空间向量与立体几何：空间动点存在性问题、空间角度最值问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具在立体几何两大核心问题中的系统应用，通过分层例题构建从存在性探究到角度最值求解的逻辑链条，培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间动点存在性问题|例3+变式3|涉及线面平行、面面垂直等位置关系探究，需用向量坐标法设参论证|以空间向量为工具，连接空间几何体性质与代数运算，体现从几何直观到代数推理的转化| |空间角度最值问题|例3+变式3|求解线面角、二面角的取值范围，结合函数思想分析参数影响|基于空间角的向量计算公式，构建目标函数，深化几何问题代数化的思维方法|

空间向量与立体几何：空间动点存在性问题、空间角度最值问题专项训练 空间向量与立体几何：空间动点存在性问题、空间角度最值问题专项训练 考点目录 空间动点存在性问题 空间角度最值问题 考点一 空间动点存在性问题 例1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 例2．（24-25高二上·海南海口·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 变式2．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 变式3．（25-26高三上·四川德阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点. (1)若为中点，证明：平面； (2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由. 考点二 空间角度最值问题 例1．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 例2．（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，在三棱锥中，平面，点是的中点，点是线段上的动点.用空间向量法求解下列问题. (1)当是的中点时，求与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 例3．（25-26高二上·天津·期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. (1)当时，证明； (2)当时，求点到平面的距离； (3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 变式1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 变式2．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．    (1)求四棱锥的体积的最大值： (2)若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 变式3．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间动点存在性问题、空间角度最值问题专项训练 空间向量与立体几何：空间动点存在性问题、空间角度最值问题专项训练 考点目录 空间动点存在性问题 空间角度最值问题 考点一 空间动点存在性问题 例1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 【答案】(1)共面，理由如下： 如图，取BC的中点O，连接AO，DO，取CD的中点H，连接EH， 在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形， 则在等边三角形DCE中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理，得平面，平面， 所以OA，OB，OD两两垂直，且， 以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以． 又，，所以，则共面， 因为B为公共点，所以A，B，D，E四点共面． (2)Q为OA中点， 【分析】（1）取BC的中点O，取CD的中点H，以为原点建系，求证即可； （2）设，根据，求出点坐标即可计算. 【详解】（1）A，B，D，E四点共面．理由略； （2）如图，设，故． 若平面，则，，即，解得， 所以Q为OA中点时，平面． 当时，，又，，， 所以，，则． 例2．（24-25高二上·海南海口·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)记，连接PO， 因为底面ABCD是边长为的正方形， 所以. 因为，所以. 因为平面底面ABCD，且平面底面平面PAC， 所以底面 因为底面，所以，所以. (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接PO，进而说明，从而得到底面，得到，即可求证； （2）先说明直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角，再由（1）建系，利用线面角的向量法公式即可求解； （3）记，，结合向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】（1）略 （2）易知，又因为平面，所以平面PAB， 又因为平面PCD，平面平面，所以，所以直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角 由（1）知，可以为坐标原点建系如图所示， 由（1），， ，三角形为直角三角形，所以. 则， ， 所以 设平面DMN的法向量为， 因为，所以 令，可得.所以 设直线CD与平面DMN所成角为，则， （3）记，可得，所以. 由可得，解得， 所以. 记，可得， 所以，若，则，解得，所以， 故在线段BC上存在一点，使得，此时. 例3．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； (2) 取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：取为中点，连接，，又为的中点. ∴，又， 故， 又为等腰直角三角形，， ∴， 又，平面， 则平面，又平面， ∴.    (2) (3)存在，，理由如下： 假设存在使得平面平面，且，， 由（2）知： ，， 则， ， 若是平面的一个法向量， 则， ， 令，  则，， 所以为平面的一个法向量，， 所以 ， 所以 存在使得平面平面，此时. 【分析】（1）取为中点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明结论； （2）由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）假设存在点满足条件，且，，求平面平面的法向量，结合假设列方程求可得结论. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面， 由（1），又平面， 所以平面， 以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，   ， 则， ， ， 若为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故为平面的一个法向量， 又为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）略 变式2．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； (2)（i）, （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【详解】（1）略 （2），，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）略 变式3．（25-26高三上·四川德阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点. (1)若为中点，证明：平面； (2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1) 连接，交于点， 因为底面为矩形，故为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)存在，点为（靠近点）的三等分点. 【分析】（1）连接，交于点，结合中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，，则，利用向量法求出即可求解. 【详解】（1）略 （2）底面为矩形，所以， 平面，又平面， ， 如图，以为原点，所在直线为轴、轴，轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 设，设， 所以，可得， 所以， ，，， 设面的法向量为， 则， 取，则， 为平面的一个法向量， 设面的法向量为， 则， 取，则， 可取， 设面与面夹角为， 则， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以在线段上存在点使得面与面夹角余弦值为，此时，即点为（靠近点）的三等分点. 考点二 空间角度最值问题 例1．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) 当时，是的中点，因是的中点，则， 连接，交于点，连接， 因四棱锥是正四棱锥，则平面，且互相垂直平分， 又是的中点，则，故， 又平面，平面，故平面. (2)； (3). 【分析】（1）利用条件先证明，连接，交于点，连接，再证明，利用线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建系，设，求出相关点和向量的坐标，利用即可求得的值； （3）分别求出两平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标公式求得夹角余弦的解析式，借助于二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）易得两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 所以，则，， 则 由可得： ，解得. （3）由上分析，， 设平面的法向量为，则，可取； 又，， 设平面的法向量为，则，可取 设平面与平面的夹角为，则， 因，则，故可得. 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 例2．（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，在三棱锥中，平面，点是的中点，点是线段上的动点.用空间向量法求解下列问题. (1)当是的中点时，求与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 当是的中点时，， ， 设平面的法向量为，则 令，则， 又， ∴设与平面所成角为， 则. ， 与平面所成角的余弦值为. （2）设， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时取等号， 此时， ∴平面与平面夹角余弦的取值范围为. 例3．（25-26高二上·天津·期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. (1)当时，证明； (2)当时，求点到平面的距离； (3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【答案】(1) 证明：因为平行四边形中，，，， 所以,在中， ， 则， 所以，. 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 当时，，所以. 所以，， 所以， 所以； (2)； (3). 【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由四边形为菱形，得，从而平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与垂直． （2）利用点到面的距离公式计算即可； （3）求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用向量法能求出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）由上可知， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则点到平面的距离； （3）由上知平面的一个法向量， 设，由， 得即， 所以，. 设平面的法向量，因为，即， 取，则，， 所以平面的一个法向量， 因为，所以. 因为，所以. 变式1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1) 因为底面平面，所以 又平面, 所以平面. 又因为平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）由底面，根据线面垂直的性质得到，再结合利用线面垂直的判定证得平面即可得证; （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求解； （3）当点与或重合时，可直接求的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值； 若点与点均不重合时，根据点在上，可设，求得，从而得到平面的法向量，再用表示出与平面所成角的正弦值，利用换元法转化成二次函数的值域求解即可得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为底面平面，所以， 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵， ∴，，，. 所以，，，，， ∵是线段的中点，∴， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为, ，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为.    （3）由（2）知，,， 所以,，，， 若点与重合，则平面即为平面，则为平面的一个法向量. 则， 若点与重合，则平面即为平面,则为平面的一个法向量. 则 若点与点均不重合， 由与共线，设，且. 则. 设平面的法向量为，则， 即， 取，则， 所以，（）是平面的一个法向量. 因为 所以 . 令，则，. ， 因为，所以. 综上，. 变式2．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．    (1)求四棱锥的体积的最大值： (2)若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，则当平面时，四棱锥的体积取得最大值，然后直接计算即可； （2）根据题意可证平面，然后以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的夹角，再利用平面与平面夹角与法向量的关系，求出两法向量夹角的余弦值的最大值，即可得出结果. 【详解】（1）设与相交于点，连接，    因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，， 又，所以， 所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值， 此时， 所以四棱锥的体积取得最大值. （2），，即， ，是正方形，， 又平面，所以平面， 所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系， 设，    则， 设平面的一个法向量， 则， 不妨取，所以， 设平面的一个法向量， 同理可得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 变式3．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】(1) 由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. (2)（i），（ii） 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $