空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 空间向量法求动点存在性问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1.(25-26高二上河北唐山月考)如图，在四棱台 BCD-4aCD中，底面ABCD为矩形，且 AD1=4,DD,=2,AD=25 6 ADDA (1)证明：平面 平面CDDG CD⊥DD,AD=2,CD= (2)若 4,求直线8C与平面 CCA 所成角的正弦值。 【答案】(1)证明见解析 4 (2)9 【详解】(1)因为底面 A B,C D 为矩形，所以4D1CD 因为4D=4,DD,=2,4D=2V5 所以4D+DD?=4D 则AD1DD 因为DDOGR=D,DD,CDC平面DDCC 所以401平面D0CC 又4DC平面DD,4, 所以平面 DD,4平面CD,G 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 (2)在四棱 ABCD-AB,CD中， AD CD 1 由已知4DC02CD=4 ,则CD=8 CD⊥DD,CD,/CD CD,⊥DD 因为 ,所以 所以可得1D,CD,DD 两垂直. 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(480,C0,42,420,24(40,0) 所以C=(4,4,24c=(-2,40,4=2.0,-2) 设平面4CC4的一个法向量为”=(：火2)， i.AC=0「-2x+4y=0 则元.A4=02x-2z=0, 令x=2,得”=(2,12) 与平面4CC BC 设直线 所成角为， 则如6-ac B,C· -4×2+(-4×1+2×2 -81.4 BCV-42+(-42+22V22+1P+2 6×39· 4 故直线BC与平面ACCA所成角的正弦值为g: AC,BD AB,CD 例2.(25-26高二上辽宁铁岭·期末)如图， 为圆柱的母线， 为圆柱的底面直径，点F在底面圆 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 周上（不与4B重合），E为F中点 A.B D B (I)证明：平面FAC⊥平面FBD: (2)若AB=AC=2AF,求直线AE与平面FCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析： 2V399 (2)133· 【详解】(1)由平面几何知识知FA⊥FB, 由AC⊥平面FAB,FBC平面FAB,知AC⊥FB, 由FA∩AC=A,FAC平面FAC,ACc平面FAC,知FB⊥平面FAC, 由FBC平面FBD,得平面FAC⊥平面FBD, (2)取AB中点O,以O为坐标原点，垂直于平面ABDC的方向为x轴正方向， OB 的方向为'轴正方向，AC的方向为产轴正方向，建立空间直角坐标系02， ZA D : O B 不妨设E2,则40，-2.0’C0,-2,4),D0,2,4),F(3-1,0),(220 CD=(0,4,0),CF=(3,1,-4), 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 记平面FCD的法向量为i=(x,y,z), [i.CD=04y=0 元-CF=0,即V5x+y-4z=0,可取元=4,0，V5 记直线AE与平面FCD所成角为B, sine=14E.n 2W5 25_2W399 则 |AE‖i 层6 3 V19×7133 2V399 故直线AE与平面FCD所成角的正弦值为133. 例3.(25-26高三上北京房山期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且 ∠BAP=∠CDP=90° D B (I)证明：平面PAB⊥平面PAD: PD⊥AD,PD=AD=DC (2)若 求平面PAD与平面 BC 所成角的大小. 【答案】(I)证明见解析 24 【详解】(1)因为在四棱锥P-ABCD ，∠BAP=∠CDP=90 所以AB⊥PA,CD⊥PD,又底面ABCD为平行四边形，所以AB/ICD,所以AB⊥PD, 因为PA∩PD=P,PA,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD, 因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)由(I)知AB⊥平面PAD,ADC平面PAD,故AB⊥AD, 而AB/ICD,故CD⊥AD 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 PD⊥AD,PD⊥DC,AD∩DC=D,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD, DA,DC,DP 以D为原点，分别以 所在直线为，火轴建立空间直角坐标系， D B 设PD=AD=DC=1,则D(0,0,0)AL,0,0),B(11,0),C(0,1,0),P(0,0,), 平面PD的一个法向量可取为m=0,10): PB=1,1,-10,PC=(0,1-1) 万.PB=0 设平面PBC的法向量为元=k,八)，则n-PC-0, [x+y-z=0 即得y-z=0，令z=1,则x=0y=1,即n=(0,1) 设平面PAD与平面PBC所成角为B,由图可知该角为锐角， 则c0s0= m:列_0×0+1×1+0x刘。1=V2 m1×V02+1P+12V22, 即平面PAD与平面PBc所成角的大小为4 变式1.(25-26高三上·北京昌平·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,CD⊥AD, E、F分别是线段BC、AP的中点，AB=3,AD=4,CD=EF=5. 心 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 (I)求证：EF/平面PCD: (2)求证：BC⊥平面PDE: (3)求平面PDE与平面DEF所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 3√305 (3)61 【详解】1)因为PD1平面 _ABCD AD,CD ABCD 平面 所以PD⊥AD,PD⊥CD, 因为CD⊥AD,所以PD,AD,CD两两互相垂直， 以D为坐标原点，DA,DC,DP为xy,2轴建立如图所示的空间直角坐标系， z外 C方 D(0,0,0)A4,0,0)B(4,3,0)C0,5,0)E2,4,0 则 设Dp=>0,则A00d,f20引 因为F=5’所以 2-94-0-0-- 解得=6，得到P0,06,F2,03) 取平面PCD的一个法向量为=10,0，而F=(Q,-4,3列 Fi=0,EF平面PCD,所以EF1/平面PCD, 因为 (2)由1)可知DF=(0,0.6),DE=(2,40) 6 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 设平面PDE的一个法向量为m=(,,), [m·DE=2.x+4y=0 则mDP=62=0，设x=2则y=-14=0, 所以平面PDE的一个法向量为m=(2-1,0),而BC=(-4,20, 因为BC=-2m,所以BC/m,则BC1平面PDE: (3)由1)可知，DF=(20,3到 设平面DEF的一个法向量为%=（飞少，2）， m,DE=2x2+4y2=0 则m,·DF=2x,+32,=0,设x2=6?则y2=-3,=-4 可得平面DEF的一个法向量为m=(6,-3,4, 设平面PDE与平面DEF所成角为O, 1m1·1m2 则cos8=cosm,m= 153305 V5xV6161, 3√305 故平面PDE与平面DEF所成角的余弦值61. 变式2.(25-26高二上山东德州月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角 梯形，AD⊥DC,ABIDC,PC=AB=2AD=2CD=2,点E在棱PB上. (I)证明：平面EAC⊥平面PBC: 2当BE=2 时，求二面 P-AC-E的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 > 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 1 (2)3 【详解】(I)因为PC⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,所以PC⊥AC, 四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC,ABIIDC, 因为B=2,D=CD=1,所以4C=BC=N2 所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC, 又因为PCBC=CPC,BC C平面PBC,所以1C上平面PBC, 又ACC平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC: (2)以点C为原点，CB,CA,CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C00,0,BV5,0.0,A0,5,0P00,2, 设点E的坐标为x,2,因为E=2乎，所以x-2,八=2-x-y2-2), 即rs② i.CA=√2y=0 设平面C的个法向最为=压厕a正= 3 320, 取x=22,则y=0,z=-1,得i=2W5,0-刂 又因为BC⊥平面PAC,所以平面P4C的一个法向量为CB=(V50,0, 又原图可知二面角P-AC-E为锐角，设为B, 8 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 2√2x√2 os0=cosi,CB= 2√ 则 22+(-12× 3,所以sin6=3' 1 所以二面角P-AC-E的正弦值为3· 变式3.(2026广西南宁·模拟预测)如图，正三棱柱 ABC-ABG的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E,F 在棱上，且F=E=2 D (1)证明： DEI平面 BCF BCF (2)求直线CB与平面 所成角的正切值。 【答案】(I)证明过程见解析 239 (2)13 BC 【详解】(1)取C的中点M,连接 M,MF 因为正三棱 ABC-ABC的各棱长均为8，D为棱BC的中点， 所以DM=)CC=4,DM11CC, 2 又4F=AE=2 故EF=8-2-2=4,所以DM=EF, 又CG1EF,故DM/1EF,故四边形DFE为平行四边形. 故DE/IMF, 9 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 因为MFc平面 BCF BCF F,所以DE1/平面B B E 0 B方 D (2)取B的中点0,48的中点N,连接C0,0N, 则ON⊥平面ABC, 因为△ABC为等边三角形，所以CO⊥AB, 且A0=0B=4,0C=VAC2-A02=4V5 以O为坐标原点，OC,OB,ON所在直线分别为x,八，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C4W5,00,B0,4o,C4v5.08,F0,4,6 CB=-4V5,4,0,BC=435,-4,8,BF=(0,-8,6) 设平面BCF的法向量为m=(x,水， mBC=(x,y,245,-4,8=4V3x-4y+8z=0 则 m.BF=(x,y,z(0,-8,6)=-8y+6z=0 BCF 设直线CB与平面 所成角的大小为日， 则sin6=cos(m,CBy= m.CB .CB 25 +9+16×√48+16 0空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 空间向量法求空间角度问题、空间距离问题、动点存在性问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 空间向量法求动点存在性问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1．（25-26高二上·河北唐山·月考）如图，在四棱台中，底面为矩形，且. (1)证明：平面平面. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 例2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）如图，为圆柱的母线，为圆柱的底面直径，点在底面圆周上（不与重合），为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 例3．（25-26高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且．    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的大小． 变式1．（25-26高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 变式2．（25-26高二上·山东德州·月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，点E在棱PB上． (1)证明：平面平面PBC； (2)当时，求二面角的正弦值． 变式3．（2026·广西南宁·模拟预测）如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱上，且．    (1)证明：平面． (2)求直线CB与平面所成角的正切值． 考点二 空间向量法求空间距离问题 例1．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 例2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点. (1)求证：平面ACE； (2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离. 例3．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是线段上的一个动点，点在上，且满足. (1)证明：平面平面. (2)若，，，四点共面，求到平面的距离. 变式1．（25-26高二上·河南·月考）如图，设四棱锥的底面为正方形，，，，．    (1)证明：． (2)若，求点C到平面的距离． 变式2．（25-26高二上·河南周口·月考）如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，．    (1)证明：四边形是菱形； (2)求平面和平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 变式3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图，在正方体中，，，分别为，的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到线段的距离. 考点三 空间向量法求动点存在性问题 例1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若. ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·江苏南通·月考）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 例3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 变式1．（24-25高二上·河北唐山·月考）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 变式2．（25-26高二上·湖北·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 变式3．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在中，两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点，.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $