2.1等式性质与不等式性质专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“实际问题→理论方法→性质应用”为逻辑主线，系统构建等式与不等式性质的理解与应用体系，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等关系的建立|2解答题|审题设元→找不等关系→符号化表达|从实际情境抽象数学关系，培养模型意识| |实数大小比较|12题（选择/填空/解答）|差比法（a-b与0比较）|为不等式性质提供理论依据，发展推理能力| |等式性质|2题（多选/解答）|5条性质系统性归纳|类比等式性质学习不等式性质，构建知识迁移| |不等式性质|15题（选择/填空/解答）|7条性质及“糖水不等式”等拓展|性质应用与证明，强化逻辑推理与数学表达|

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质知识点讲解及专项练习 知识点一：不等关系的建立 在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组。 例题：（单选题）下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，先用表示代数式，再建立不等关系即得。 【详解】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：， 故选：D。 知识点一 专项练习 1.（解答题）一公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元，该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5x%。若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为万元，其中。 （1）若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，用不等关系表示； （2）若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，用不等关系表示。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原来A生产线的利润为；技术改进后A生产线的利润为,即可得到不等关系； （2）生产线B的利润为,由（1）,即可得到不等关系。 【详解】解:(1)由题意得,整理得， (2)由题意知,生产线B的利润为万元, 由（1）技术改进后生产线A的利润为万元, 则。 2.（解答题）用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组(钉帽厚度不计)。 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立，关键是要从已知的题目中找出不等关系，并用不等式表达出来。 【详解】解：依题意，且三次后全部进入，即， 故不等式组为 故答案为。 知识点二：两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b。反过来也对。这个基本事实可以表示为a＞b⇔a-b＞0，a=b⇔a-b=0，a＜b⇔a-b＜0。 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。 例题：（单选题）若，，，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可得出、、的大小关系。 【详解】，，， ，即， ，即， 因此， 故选：A。 知识点二 专项练习 1.（单选题）设，，，则，的大小关系是（ ）。 A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】用综合法：， 所以，所以， 又 所以 ， 故选C。 2.（单选题）设A＝，B＝，则A与B的大小关系是（ ）。 A．A<B B．A>B C．仅有x>0时，A<B D．以上结论都不成立 【答案】D 【分析】首先作差，然后分情况比较A与B的大小关系。 【详解】A-B＝－＝， 令A-B<0，得x<-4或x>-2， 令A-B>0，得-4<x<-2，所以A，B的大小不确定， 故选：D。 3.（单选题）已知，，则、 的大小关系为（ ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】对、运用作差法得，再根据,和，可得结论。 【详解】 ， ,，又， ，， 故选C。 4.（单选题）已知，，且，则（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可得到，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对和平方，然后利用作差法即可求解。 【详解】对于选项A：因为，故， 又因为，，所以，从而，故A错误； 对于选项BC：由题意可知，， 因为，所以， 故，即，从而，故B正确，C错误； 对于选项D：因为， 所以，即，故D错误； 故选：B。 5.（多选题）已知的三边长分别为，，，则下列命题正确的是（ ）。 A．以，，为边长的三角形一定存在 B．以，，为边长的三角形一定存在 C．以，，为边长的三角形一定存在 D．以，，为边长的三角形一定存在 【答案】AC 【分析】利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，一一验证即可。 【详解】不妨设，则；对于，，所以，所以以，，为边长的三角形一定存在，故正确；对于，不一定成立，因此以，，为边长的三角形不一定存在，故不正确；对于，，因此以，，为边长的三角形一定存在，故正确；对于，取，，，满足，而，因此以，，为边长的三角形不一定存在，故不正确； 故选：AC。 6.（填空题）若，，则、的大小关系是______。 【答案】 【分析】直接利用作差法，即可得出结论。 【详解】因为， 所以， 故填。 7.（填空题），则________。 【答案】 【分析】通过作差法即可判断。 【详解】由作差法得， 所以， 故答案为：。 8.（填空题）若，则, , , 按由小到大的顺序排列为_______。 【答案】 【分析】利用作差法判断即可。 【详解】解：−=， ∵， ∴， ∴， −=， ∵， ∴， ∴， ∴， −=， ∵a>b>0，n>0， ∴−<0， ∴， 综上可知，， 故答案为：。 9.（解答题）我们知道，实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。对于两个实数a、b，它们的大小关系有几种？怎样判断？ 【答案】对于两个实数a，b，它们的大小关系有3种， 如果是正数，那么； 如果是负数，那么； 如果是零，那么。 【详解】略 10.（解答题）已知，比较与的大小。 【答案】 【分析】利用作差法比较两个式子的大小。 【详解】（方法一） ， ∵，∴，， ∴， ∴， （方法二） ∵，∴，， ∴， ∴。 11.（解答题）已知x，y均为正数，设，比较m和n的大小。 【答案】m≥n 【分析】用作差的方法，因式分解，判断符号，判断与0的关系，可得结果。 【详解】∵， 又x，y均为正数， ∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0， ∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)。 12.（解答题）月饼是中华传统特色节日糕点。某食品工坊推出冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品，已知冰流酥月饼每个售价为x元，青红丝月饼每个售价为y元，销售数量为a个或b个，且，，销售结果如下： （1）冰流酥月饼销售数量为a个，青红丝月饼销售数量为b个； （2）冰流酥月饼销售数量为b个，青红丝月饼销售数量为a个； 试问：哪一种销售结果，销售收入更好？请说明理由。 【答案】第一种，理由： 第一种销售结果的收入为（元）， 第二种销售结果的收入为（元）， 则， 因为，，所以，即， 所以第一种销售结果，销售收入更好。 【分析】列出两种销售结果的收入，利用作差法比较即可。 【详解】略 知识点三：等式性质 性 质 1 如果a=b，那么b=a 性 质 2 如果a=b，b=c，那么a=c 性 质 3 如果a=b，那么a±c=b±c 性 质 4 如果a=b，那么ac=bc 性 质 5 如果a=b，c≠0，那么 例题：（填空题）已知等式恒成立，则常数__________。 【答案】 【分析】将方程右式展开整理，由题意得到对应项系数相等，求出的值即得。 【详解】由，可得恒成立， 可得，解得，故，故答案为：。 知识点三 专项练习 1.（多选题）如果x=y，a为有理数，那么下列等式一定成立的是（ ）。 A． B．x2=y2 C． D．ax=ay 【答案】ABD 【分析】本题根据等式的性质即可判断ABD成立，再当a=0时判断C不一定成立，即可得到答案。 【详解】A选项：∵x=y，∴，∴，即，故A一定成立； B选项：∵x=y，∴ x²=y²，故B一定成立； C选项：当a=0时，无意义，故C不一定成立; D选项：由等式的性质可知：ax=ay，故D一定成立； 故选：ABD。 2.（解答题）用十字相乘法分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】由十字相乘法即得。 【详解】（1）=； （2）=； （3）=； （4）=。 知识点四：不等式性质 ①如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b；即a＞b⇔b＜a ②如果a＞b，b＞c，那么a＞c；即a＞b，b＞c⇒a＞c ③如果a＞b，那么a+c＞b+c ④如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc ⑤如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d ⑥如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd ⑦如果a＞b＞0，那么（n∈N，n≥2） 例题：（单选题）下列命题中，正确的是（     ）。 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于A：利用不等式的可乘性证明； 对于B：取特殊值即可判断； 对于C：取特殊值即可判断； 对于D：取特殊值即可判断。 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确； 对于B：取满足，但，故B不正确； 对于C：取，则，不成立，故C不正确； 对于D：取，则，有，不成立，故D不正确； 故选：A。 知识点四 专项练习 1.（单选题）设，，则下列不等式成立的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决。 解：∵a>b，c>d; ∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5, 选项A：1-（-2）>-1-（-5），不成立; 选项B：1（-2）>（-1）（-5），不成立; 取选项C：，不成立,故选D。 2.（单选题）已知，，，那么下列各式正确的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知得出，，，再对符号相同的运用作差法比较出其大小关系，可得选项。 【详解】，，， ，， ，，， ， 又，而，，， ， 故选A。 3.（单选题）A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质分析可得。 【详解】为简便起见，复用表示四个同学的年龄， 则：①，②,③； ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③,； 由①得， ∵,∴，∴,∴, 综上， 故选：D。 4.（单选题）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断A；举反列可判断BCD。 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，已知，取， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，已知，取， ，所以，故D错误；故选：A。 5.（单选题）若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（ ）。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解，得到答案。 【详解】由题意，实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x²＞y²， 例如x＝1，y＝2时，有x²＜y²； 反之，若x²＞y²，则x²﹣y²＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0； 由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0成立； 所以当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x²＞y²”，“x²＞y²”⇒“x＞0”； ∴“x＞0”是“x²＞y²”的必要不充分条件， 答案：B。 6.（单选题）给出下列四个命题，①若，则；②若，则；③当时，若，则；④当时，若，则。 其中正确的个数是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①，利用特值法即可判断①错误；对②，利用函数在上为增函数即可判断②正确；对③，利用平方差公式即可判断③正确；对④，利用立方差公式即可判断④正确。 【详解】对①，若，，满足，则，故①错误； 对②，因为在上为增函数，若，则，故②正确； 对③，因为，所以，即， 因为，所以，即，故③正确； 对④，因为，所以，即， 因为，所以，故，即，故④正确； 故选：C。 7.（多选题）已知实数a，b，c满足，且，则（ ）。 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意判断出，继而结合不等式的性质一一判断各选项，即可得答案。 【详解】由实数a，b，c满足，且， 得，b的正负无法确定； 故，A正确； 由于，则，但b的正负不确定，故不能确定，B错误； 由于，，故，C正确； 由于，故，D正确， 故选：ACD。 8.（多选题）下列命题为真命题的是（ ）。 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案。 【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确； B项, 若,可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； C项，举反例，虽然，但是，故D不正确； 故选：BC。 9.（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”。根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）。 A．若，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，则 C．若，则 D．若，则一定有 【答案】CD 【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A； 举反例，如，即可判断B； 若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C； 利用不等式的性质即可判断D。 【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误； 对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确。 10.（填空题）使成立的的取值范围是________。 【答案】 【分析】不等式等价于，从而可得结果。 【详解】不等式等价于， 因为，所以可化为 的取值范围是，故答案为。 11.（填空题）已知三个不等式：（其中均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是______。 【答案】3 【分析】由题意结合不等式的性质分别以其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，然后考查其真假即可得到正确命题的个数。 【详解】若成立，不等式两边同除以可得, 即； 若成立，不等式两边同乘，可得, 即； 若，成立，则，又，则， 即，； 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个， 故答案为3。 12.（解答题）证明：，。 【答案】证明：由，故得证。 【分析】根据同向不等式的可加性证明即可。 【详解】略 13.（解答题）阅读材料： （1）若，且，则有， （2）若，则有； 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：。 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答。 【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立。 14.（解答题）设，问是否存在实数c，使得不等式成立，如果存在，求出c的取值范围；如果不存在，请说明理由。 【答案】答案见解析 【解析】先将不等式化简为，然后分情况讨论即可得答案。 【详解】解：假设存在，则由，得， 因为，所以， 所以， （i） 时， ， （ii）时，， （iii） 时，不存在； 综上，当，时，不等式成立； 当，时，不等式成立； 当时，不存在实数c，使得不等式成立。 15.（解答题）已知，试比较与的大小，并给出证明。 【答案】，证明如下： 因为， 所以， 即； 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， ， 即证得。 【分析】先证明，然后用，分别替换中的可证明 ，再用，分别替换中再利用已证的不等式放缩即可求证。 【详解】,证明略。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质知识点讲解及专项练习 知识点一：不等关系的建立 在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组。 例题：（单选题）下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（     ）。 A． B． C． D． 知识点一 专项练习 1.（解答题）一公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元，该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5x%。若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为万元，其中。 （1）若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，用不等关系表示； （2）若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，用不等关系表示。 2.（解答题）用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组(钉帽厚度不计)。 知识点二：两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b。反过来也对。这个基本事实可以表示为a＞b⇔a-b＞0，a=b⇔a-b=0，a＜b⇔a-b＜0。 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。 例题：（单选题）若，，，则（     ）。 A． B． C． D． 知识点二 专项练习 1.（单选题）设，，，则，的大小关系是（ ）。 A． B． C． D．不确定 2.（单选题）设A＝，B＝，则A与B的大小关系是（ ）。 A．A<B B．A>B C．仅有x>0时，A<B D．以上结论都不成立 3.（单选题）已知，，则、 的大小关系为（ ）。 A． B． C． D．无法确定 4.（单选题）已知，，且，则（ ）。 A． B． C． D． 5.（多选题）已知的三边长分别为，，，则下列命题正确的是（ ）。 A．以，，为边长的三角形一定存在 B．以，，为边长的三角形一定存在 C．以，，为边长的三角形一定存在 D．以，，为边长的三角形一定存在 6.（填空题）若，，则、的大小关系是______。 7.（填空题），则________。 8.（填空题）若，则, , , 按由小到大的顺序排列为_______。 9.（解答题）我们知道，实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。对于两个实数a、b，它们的大小关系有几种？怎样判断？ 10.（解答题）已知，比较与的大小。 11.（解答题）已知x，y均为正数，设，比较m和n的大小。 12.（解答题）月饼是中华传统特色节日糕点。某食品工坊推出冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品，已知冰流酥月饼每个售价为x元，青红丝月饼每个售价为y元，销售数量为a个或b个，且，，销售结果如下： （1）冰流酥月饼销售数量为a个，青红丝月饼销售数量为b个； （2）冰流酥月饼销售数量为b个，青红丝月饼销售数量为a个； 试问：哪一种销售结果，销售收入更好？请说明理由。 知识点三：等式性质 性 质 1 如果a=b，那么b=a 性 质 2 如果a=b，b=c，那么a=c 性 质 3 如果a=b，那么a±c=b±c 性 质 4 如果a=b，那么ac=bc 性 质 5 如果a=b，c≠0，那么 例题：（填空题）已知等式恒成立，则常数__________。 知识点三 专项练习 1.（多选题）如果x=y，a为有理数，那么下列等式一定成立的是（ ）。 A． B．x2=y2 C． D．ax=ay 2.（解答题）用十字相乘法分解因式： （1） （2） （3） （4） 知识点四：不等式性质 ①如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b；即a＞b⇔b＜a ②如果a＞b，b＞c，那么a＞c；即a＞b，b＞c⇒a＞c ③如果a＞b，那么a+c＞b+c ④如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc ⑤如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d ⑥如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd ⑦如果a＞b＞0，那么（n∈N，n≥2） 例题：（单选题）下列命题中，正确的是（     ）。 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点四 专项练习 1.（单选题）设，，则下列不等式成立的是（ ）。 A． B． C． D． 2.（单选题）已知，，，那么下列各式正确的是（ ）。 A． B． C． D． 3.（单选题）A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ）。 A． B． C． D． 4.（单选题）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）。 A． B． C． D． 5.（单选题）若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（ ）。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（单选题）给出下列四个命题，①若，则；②若，则；③当时，若，则；④当时，若，则。 其中正确的个数是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 7.（多选题）已知实数a，b，c满足，且，则（ ）。 A． B． C． D． 8.（多选题）下列命题为真命题的是（ ）。 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9.（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”。根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）。 A．若，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，则 C．若，则 D．若，则一定有 10.（填空题）使成立的的取值范围是________。 11.（填空题）已知三个不等式：（其中均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是______。 12.（解答题）证明：，。 13.（解答题）阅读材料： （1）若，且，则有， （2）若，则有； 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：。 14.（解答题）设，问是否存在实数c，使得不等式成立，如果存在，求出c的取值范围；如果不存在，请说明理由。 15.（解答题）已知，试比较与的大小，并给出证明。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $