2.1 等式性质与不等式性质高频考点分类专项培优训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式性质应用，以作差法、作商法等五大题型构建方法体系，形成概念-方法-应用的递进逻辑，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作差法比较大小|10题|作差变形判符号|从代数式比较切入，夯实不等式基本比较方法| |作商法比较大小|8题|作商变形比1|拓展比较技巧，强化正数情境下的比值分析| |性质比较大小|9题|性质直接/间接应用|衔接不等式性质，培养逻辑推理能力| |性质证明不等式|10题|性质递推/反证|深化性质应用，提升数学论证表达能力| |性质求取值范围|13题|不等式同向可加/乘|综合性质应用，构建范围确定的严谨逻辑链|

高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 2.1 等式性质与不等式性质 考点归纳 题型一：作差法比较代数式的大小 题型二：作商法比较代数式的大小 题型三：由不等式的性质比较代数式的大小 题型四：由不等式的性质证明不等式 题型五：由不等式的性质求不等式的取值范围 题型一 作差法比较代数式的大小 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（专题01不等式及其应用（比大小、求范围）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 5．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南昆明·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 8．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 9．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 10．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）设为不等的实数，比较与的大小. 题型二 作商法比较代数式的大小 11．（2025高一上·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 12．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 14．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 15．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 17．（24-25高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 18．设，且，比较：与的大小 题型三 由不等式的性质比较代数式的大小 19．（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若，有下面四个不等式：①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 22．（2025高一·全国·专题练习）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（25-26高一上·吉林长春·期中）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（25-26高一上·云南昆明·期中）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 26．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 28．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 题型四 由不等式的性质证明不等式 29．（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 30．（核心考点2简易逻辑（高一上学期期中备考研习室）（（泸教版）【讲】）已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 31．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 32．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 33．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 34．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 35．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 36．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 37．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 38．（24-25高一上·山东·阶段检测）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 题型五 由不等式的性质求不等式的取值范围 39．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·吉林长春·期中）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 42．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 43．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________ 44．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，那么的范围是________________ 45．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知，，则的范围是______. 46．已知，，求，，的范围． 47．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 48．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 49．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 50．（25-26高一上·安徽合肥·期中）（1）证明：，时，. （2）已知，，求，，的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 2.1 等式性质与不等式性质 考点归纳 题型一：作差法比较代数式的大小 题型二：作商法比较代数式的大小 题型三：由不等式的性质比较代数式的大小 题型四：由不等式的性质证明不等式 题型五：由不等式的性质求不等式的取值范围 题型一 作差法比较代数式的大小 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 2．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件得与同号，进而得，整理即判断D，对于ABC，利用特殊值判断不成立即可. 【详解】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 3．（专题01不等式及其应用（比大小、求范围）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 4．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据题意，利用作差比较法，求得，即可求解. 【详解】由实数满足，则， 所以. 故选：C. 5．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 故. 故选：B 6．（25-26高一上·云南昆明·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由不等式的性质判断A、B，应用作差法比较大小判断C、D. 【详解】A、B：由，根据不等式的性质知，A、B错， C：由，则，故，对， D：由，，则，故，对. 故选：CD 7．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 8．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 9．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 【答案】 【分析】利用作差法，根据配方法，可得答案. 【详解】由，则. 10．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）设为不等的实数，比较与的大小. 【答案】 【分析】通过作差法比大小，把作差后的式子化简为可以判断正负的式子即可判断两式子的大小. 【详解】两式作差可得： 为不等的实数， ， 综上所述： 题型二 作商法比较代数式的大小 11．（2025高一上·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 12．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 14．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 15．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 17．（24-25高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 18．设，且，比较：与的大小 【答案】. 【解析】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小. 【详解】 ，， ，， ， 故 题型三 由不等式的性质比较代数式的大小 19．（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C 20．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则；若，则；若，则.所以A错误； 对于B，若.则.所以B错误； 对于C，因为，所以不同时为零，所以， 又，所以，即，所以C正确； 对于D，若，则；若，则.所以D错误. 故选：C. 21．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若，有下面四个不等式：①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】对于①，由可得，所以，故①错误；对于②，，故②错误； 对于③，，，所以，，所以，故③正确； 对于④，，因为，所以 ，，，， 所以，所以，所以，故④正确. 故选：D. 22．（2025高一·全国·专题练习）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可判断选项. 【详解】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D 23．（25-26高一上·吉林长春·期中）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：因为，所以，故B正确； 选项C：因为，所以，故C错误； 选项D：因为，所以，故D错误. 故选：B 24．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 25．（25-26高一上·云南昆明·期中）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】AC选项，举出反例；B选项，先得到，利用不等式性质可得；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，若，，则，A错误； B选项，若，则，则，则两边同乘以得，B正确； C选项，若，则，C错误； D选项，， 因为，，所以，故， 所以，D正确. 故选：BD 26．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】选项A，，，， ，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，，，，， ，，，故选项B错误； 选项C，， ，，，， ，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故答案为：AC. 27．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质进行分析和判断可得. 【详解】因，，给出下列不等式： ①，，所以①正确； ②由，所以，因此②不正确； ③，，又，，所以③正确； ④由，，所以④不正确． 其中错误的不等式是②④． 故答案为：②④． 28．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】∵， ∴，故①正确； 取,,,此时，,故②错误；③错误；故④错误； 故答案为：①． 题型四 由不等式的性质证明不等式 29．（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 30．（核心考点2简易逻辑（高一上学期期中备考研习室）（（泸教版）【讲】）已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【答案】证明见解析 【分析】假设，都不小于，利用不等式的性质推出矛盾，即可证明. 【详解】假设，都不小于，即，， ∵，，∴，. ∴. 即，这与已知矛盾. ∴，中至少有一个小于. 31．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证，只需证，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 32．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 【答案】；证明见解析. 【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可； （2）利用分析法，分解因式证明即可. 【详解】（1）易知， 因为，所以，则上式大于0， 故 （2）由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 33．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】 证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】略 34．（011题组8利用不等式性质证明不等式高中数学必修第一册�RA�巅峰版）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明：因为，所以．又，所以， 则，所以，即． 又，所以． （2）证明：要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证，显然成立，所以． 【详解】（1）略； （2）略. 35．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 36．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 37．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又，， 所以， 所以原不等式成立． 38．（24-25高一上·山东·阶段检测）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 题型五 由不等式的性质求不等式的取值范围 39．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 40．（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 41．（24-25高一上·吉林长春·期中）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 【答案】C 【分析】由－4<b<2，得－4<－|b|≤0，根据不等式的性质同向相加可得结果. 【详解】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题. 42．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的基本性质求出各选项中代数式的范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 43．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 44．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，那么的范围是________________ 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算直接得出结果. 【详解】由，得，所以， 又，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 45．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知，，则的范围是______. 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】由， 可得， 所以， 即的范围是， 故答案为： 46．已知，，求，，的范围． 【答案】，， 【分析】利用不等式的基本性质，对已知不等式进行变形、运算，逐步推导目标代数式的取值范围． 【详解】，， ，， ，； ，， ， ． 47．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 48．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 49．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先将的每一项都乘以2，不等号方向不变，得到的范围，将的每一项都乘以3，不等号方向不变，得到的范围，再利用同向不等式具有可加性得到的范围； （2）先将的每一项都乘以3，不等号方向不变，得到的范围，将的每一项都乘以，不等号方向改变，得到的范围，再利用同向不等式具有可加性得到的范围； （3）利用正数不等式取倒数，不等号方向改变，使用求出的范围，利用同向正值不等式具有可乘性得到的范围. 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 50．（25-26高一上·安徽合肥·期中）（1）证明：，时，. （2）已知，，求，，的范围. 【答案】（1）， 因为，，所以， 所以，所以 （2）答案详见解析 【分析】（1）利用作差法结合已知条件即可证明不等式； （2）根据不等式的性质结合已知条件即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，所以 又，所以， 因为，所以， 根据同向同正可乘性有：，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $