第二章 等式性质与不等式性质5种考点讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦等式与不等式性质的5种高频考点，从用不等式表示不等关系（基础），到作差法比较代数式大小（方法），再到利用性质判断不等式正确性、求取值范围及证明不等式（综合应用），构建递进式学习支架。 资料亮点在于例题结合装修工程、运输方案等实际情境，培养数学眼光观察现实世界，解题思路如作差法四步流程（作差→变形→定号→结论）强化数学思维推理能力，变式训练助力课中教学与课后查漏补缺，提升应用意识。

等式性质与不等式性质5种高频考点讲义 等式性质与不等式性质5种高频考点讲义 考点目录 用不等式表示不等关系 作差法比较代数式的大小 利用不等式的性质判断所给不等式是否正确 利用不等式的性质求取值范围 由不等式的性质证明不等式 考点一 用不等式表示不等关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 本质：用不等号（、、、、）连接代数式，表示数量之间的不等关系。 1. 常见关键词与不等号的对应 关键词 对应不等号 大于、超过、高于、多于 小于、低于、少于、不足 不大于、不超过、至多、不高于 不小于、至少、不低于、不少于 正数、非零正量 非负数、不小于0 负数 非正数、不大于0 1. 实际隐含约束：表示长度、人数、件数等实际量时，需同时满足物理意义（如人数为正整数、长度为正数）。 二、解题思路 1. 设变量：用字母表示问题中的未知量； 1. 抓关键词：定位描述不等关系的词语，匹配对应不等号； 1. 列不等式：将数量关系用代数式表示，用不等号连接； 1. 补约束：补充实际问题中隐含的取值限制。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元________，并写出x，y所满足的不等关系________． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·甘肃酒泉·阶段检测）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 考点二 作差法比较代数式的大小 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心依据：实数的大小与差的符号一一对应 · · · 1. 标准四步流程：作差 → 变形 → 定号 → 结论 1. 常用变形手段：因式分解、通分、配方、合并同类项，目标是将差式化为容易判断正负的形式（乘积、平方和等）。 二、解题思路 1. 作差：将两个代数式相减，整理成标准整式/分式形式； 1. 变形：通过因式分解、配方等方法，将差式转化为若干因式的乘积或平方和的形式； 1. 定号：根据已知条件或平方的非负性，判断差的正负符号； 1. 结论：根据差的符号，对应得出两个代数式的大小关系。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山西阳泉·阶段检测）设，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 例2．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D．t与s的大小关系不确定 例3．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知，，则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．与x的取值有关 变式2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若，设，，则（   ） A． B． C． D．的大小关系随取值的变化而变化 变式3．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点三 利用不等式的性质判断所给不等式是否正确 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 不等式的基本性质 · 对称性： · 传递性： · 可加性：（加减同一个数，不等号方向不变） · 可乘性：；（乘正数不变号，乘负数变号） · 同向可加： · 同向正可乘： · 正项乘方：（ 为正整数） · 正项开方：（ 为大于1的正整数） 1. 常见错误结论 · 同向不等式不能直接相减、相除； · 两边同乘0，不等号变为等号，不再是严格不等式； · 两边平方必须保证两边均为非负，否则结论不成立。 二、解题思路 1. 先看运算类型：判断是加减、乘除还是乘方开方运算； 1. 再看数的符号：涉及乘除、平方、开方时，先判断两边式子的正负； 1. 对照性质验证：每一步变形都对应不等式性质，不符合则为错误； 1. 反例排除：对于不确定的结论，举出符合条件但结论不成立的反例，即可判定错误。 【例题分析】 例1．（24-25高一上·安徽淮北·期末·多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（2026·山西吕梁·二模·多选）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·广东广州·阶段检测·多选）若，则下列命题正确的是（  ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试·多选）设，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测·多选）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 变式3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测·多选）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 考点四 利用不等式的性质求取值范围 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心原则：每一步变形都必须符合不等式性质，保证变形等价，不扩大也不缩小范围。 1. 常用操作 · 单变量线性变形：对不等式两边同加、同乘（除），逐步解出目标变量的范围； · 多变量同向叠加：已知多个同向不等式，将两边分别相加，得到新的不等式； · 差的范围转化：求两式差的范围时，先求被减式的相反数的范围，再同向相加。 二、解题思路 1. 明确已知：梳理所有已知不等式条件，明确各变量的取值范围； 1. 逐步变形：根据目标代数式，对已知不等式进行同向变形（加常数、乘正数等）； 1. 同向合并：将同向不等式两边相加，推出目标式的范围； 1. 验证端点：检查等号能否同时成立，确定范围端点是否可取。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·广东·期中）若实数满足，则的取值范围为___________（用区间表示） 例4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若，则的取值范围是 ____________ . 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知，则的取值范围为__________. 变式4．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，，，则的取值范围是_____． 考点五 由不等式的性质证明不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 证明逻辑：从已知条件出发，每一步都严格依据不等式的基本性质，逐步推导出要证明的不等式。 1. 常用思路 · 直接推导：由已知条件出发，通过同向相加、同向相乘、放缩等直接推出结论； · 作差结合性质：先作差，再利用已知条件判断差的正负，从而证明大小关系； · 分析法：从结论出发，反向寻找使结论成立的充分条件，直至与已知条件吻合。 二、解题思路 1. 分析关联：明确已知条件和待证不等式，找到二者的数量联系； 1. 选择方法：简单不等式直接用性质推导，复杂的可结合作差法； 1. 逐步推导：从已知开始，每一步都有性质依据，有序推导到结论； 1. 检查严谨性：确认每一步都符合不等式性质，无跳步、无默认条件。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广西来宾·阶段检测）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 例2．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 变式2．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 变式3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 2 学科网（北京）股份有限公司 $等式性质与不等式性质5种高频考点讲义 等式性质与不等式性质5种高频考点讲义 考点目录 用不等式表示不等关系 作差法比较代数式的大小 利用不等式的性质判断所给不等式是否正确 利用不等式的性质求取值范围 由不等式的性质证明不等式 考点一 用不等式表示不等关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 本质：用不等号（、、、、）连接代数式，表示数量之间的不等关系。 1. 常见关键词与不等号的对应 关键词 对应不等号 大于、超过、高于、多于 小于、低于、少于、不足 不大于、不超过、至多、不高于 不小于、至少、不低于、不少于 正数、非零正量 非负数、不小于0 负数 非正数、不大于0 1. 实际隐含约束：表示长度、人数、件数等实际量时，需同时满足物理意义（如人数为正整数、长度为正数）。 二、解题思路 1. 设变量：用字母表示问题中的未知量； 1. 抓关键词：定位描述不等关系的词语，匹配对应不等号； 1. 列不等式：将数量关系用代数式表示，用不等号连接； 1. 补约束：补充实际问题中隐含的取值限制。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 例2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 例3．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元________，并写出x，y所满足的不等关系________． 【答案】 且 【分析】理解题意，由题意得出的关系式，再列出不等式组并进行化简，再根据图表中的食品成本数据，用x，y表示混合食物成本c元即可. 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 变式2．（25-26高一上·甘肃酒泉·阶段检测）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”. 【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 考点二 作差法比较代数式的大小 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心依据：实数的大小与差的符号一一对应 · · · 1. 标准四步流程：作差 → 变形 → 定号 → 结论 1. 常用变形手段：因式分解、通分、配方、合并同类项，目标是将差式化为容易判断正负的形式（乘积、平方和等）。 二、解题思路 1. 作差：将两个代数式相减，整理成标准整式/分式形式； 1. 变形：通过因式分解、配方等方法，将差式转化为若干因式的乘积或平方和的形式； 1. 定号：根据已知条件或平方的非负性，判断差的正负符号； 1. 结论：根据差的符号，对应得出两个代数式的大小关系。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山西阳泉·阶段检测）设，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用作差法即可比较大小. 【详解】由于，，则，所以; 故选：C 例2．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D．t与s的大小关系不确定 【答案】C 【分析】通过作差法，即可比较大小. 【详解】，所以． 故选：C 例3．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差配方即得结果. 【详解】， ， 由于 ，， 所以：， 因此 . 故选：A 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知，，则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．与x的取值有关 【答案】C 【分析】将两函数进行作差进而判断的大小. 【详解】已知，， 则. 故选：C. 变式2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若，设，，则（   ） A． B． C． D．的大小关系随取值的变化而变化 【答案】A 【分析】利用作差法即可比大小. 【详解】由题意， 取等号的条件为，但由于，所以，即. 故选：A 变式3．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作差法即可比较大小. 【详解】由题意有， 因为， 所以，， 所以，即． 故选：B 考点三 利用不等式的性质判断所给不等式是否正确 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 不等式的基本性质 · 对称性： · 传递性： · 可加性：（加减同一个数，不等号方向不变） · 可乘性：；（乘正数不变号，乘负数变号） · 同向可加： · 同向正可乘： · 正项乘方：（ 为正整数） · 正项开方：（ 为大于1的正整数） 1. 常见错误结论 · 同向不等式不能直接相减、相除； · 两边同乘0，不等号变为等号，不再是严格不等式； · 两边平方必须保证两边均为非负，否则结论不成立。 二、解题思路 1. 先看运算类型：判断是加减、乘除还是乘方开方运算； 1. 再看数的符号：涉及乘除、平方、开方时，先判断两边式子的正负； 1. 对照性质验证：每一步变形都对应不等式性质，不符合则为错误； 1. 反例排除：对于不确定的结论，举出符合条件但结论不成立的反例，即可判定错误。 【例题分析】 例1．（24-25高一上·安徽淮北·期末·多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误；     选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 例2．（2026·山西吕梁·二模·多选）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. 例3．（24-25高一上·广东广州·阶段检测·多选）若，则下列命题正确的是（  ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断A，作差法结合不等式性质判断B，C，D. 【详解】对于A选项，若且，取则 ，A错； 对于B选项，若，则 ，B对； 对于C选项，若且，则， 则 ，故  ，C错； 对于D选项，   ， 当且仅当 时，等号成立，故 ，D对.   【变式训练】 变式1．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试·多选）设，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B， 因为，正负不定，B错误； 对于C，，当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，，D正确.. 变式2．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测·多选）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质，逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，所以，故A正确； 令，所以，得，故B错误； 当时，，故C错误； 由，又，，所以，即，故D正确. 变式3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测·多选）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由，，得或，则，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，，而，故C错误； 对于D，当时，满足，，而，故D错误. 考点四 利用不等式的性质求取值范围 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心原则：每一步变形都必须符合不等式性质，保证变形等价，不扩大也不缩小范围。 1. 常用操作 · 单变量线性变形：对不等式两边同加、同乘（除），逐步解出目标变量的范围； · 多变量同向叠加：已知多个同向不等式，将两边分别相加，得到新的不等式； · 差的范围转化：求两式差的范围时，先求被减式的相反数的范围，再同向相加。 二、解题思路 1. 明确已知：梳理所有已知不等式条件，明确各变量的取值范围； 1. 逐步变形：根据目标代数式，对已知不等式进行同向变形（加常数、乘正数等）； 1. 同向合并：将同向不等式两边相加，推出目标式的范围； 1. 验证端点：检查等号能否同时成立，确定范围端点是否可取。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可求解. 【详解】由，可得，又由，可得， 所以，即的取值范围为. 故选：D. 例2．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【详解】设，即 故，解得， 故 由于，，所以， 故，即 故选：D 例3．（25-26高一上·广东·期中）若实数满足，则的取值范围为___________（用区间表示） 【答案】 【分析】根据不等式的性质，分别求得和，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，又由，可得， 所以， 即的取值范围为. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若，则的取值范围是 ____________ . 【答案】 【分析】根据不等式的性质得到取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 由不等式的性质可得. 因此，的取值范围是. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的基本性质即可求得结果. 【详解】，，， 又，． 故选：D． 变式3．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】应用不等式的性质计算求解. 【详解】. 故答案为： 变式4．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设， 所以，解得，故， 因为，，所以， 由不等式的基本性质可得，即， 故的取值范围是. 故答案为：. 考点五 由不等式的性质证明不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 证明逻辑：从已知条件出发，每一步都严格依据不等式的基本性质，逐步推导出要证明的不等式。 1. 常用思路 · 直接推导：由已知条件出发，通过同向相加、同向相乘、放缩等直接推出结论； · 作差结合性质：先作差，再利用已知条件判断差的正负，从而证明大小关系； · 分析法：从结论出发，反向寻找使结论成立的充分条件，直至与已知条件吻合。 二、解题思路 1. 分析关联：明确已知条件和待证不等式，找到二者的数量联系； 1. 选择方法：简单不等式直接用性质推导，复杂的可结合作差法； 1. 逐步推导：从已知开始，每一步都有性质依据，有序推导到结论； 1. 检查严谨性：确认每一步都符合不等式性质，无跳步、无默认条件。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广西来宾·阶段检测）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 例2．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 【答案】(1) (2)证明：因为，所以，由同向不等式的可加性可得. (3) 【分析】（1）由作差法得到，即可比较； （2）由则，由同向不等式的可加性可得； （3）由作差法得到，即可比较. 【详解】（1）因为， . （2）略 （3）因为，，，所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】 证明：因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 【分析】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【详解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 变式2．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 变式3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】 （1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $