2.2基本不等式（第二课时）学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式的变形技巧这一核心知识点，承接第一课时对基本不等式的基础认知，通过直接法、配凑法、常数代换法、构造不等式法及消元法五种方法构建学习支架，结合例题与思维升华，系统梳理“一正二定三相等”的应用前提。 资料以提升数学运算素养为目标，通过多样化方法训练培养学生数学思维，如常数代换法解决条件最值问题，强化推理能力。作业融入房屋造价等实际情境，助力学生用数学语言表达现实问题，发展模型意识。课中便于教师系统授课，课后通过分层练习与详细解析帮助学生查漏补缺。

2.2基本不等式（第二课时）讲义 学习目标：熟练掌握基本不等式常见的变形技巧，提升数学运算素养 1、 直接法 例1（1）若xy=3,且x, y>0, 则2x+5y的最小值是_______ （2）若2x+5y=20,且x, y>0, 则xy+3的最大值是________. 二、配凑法 例2 例3、求（的最大值. [变式1]已知 ,求 的最大值. 三、常数代换法求最值 四、构造不等式法 五、消元法 例6已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为(　　)（用两种方法解决） A.8 B.4 C.8 D.4 思维升华　(1)使用基本不等式前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法. 2.2基本不等式（第二课时）作业 班级 姓名 1、若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 2、的最小值为（ ） A 10 B 9 C 8 D 6 3.若x>0，则函数y＝的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 4、已知a,b>0且ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为 (　　) A.4 B.6 C.2 D.8 5、 函数y=x+ (x>0)的最小值是 6、 已知x>0,y>0,且4x+y= 1,则+的最小值是 7、若x>-1 则4x＋ 的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 8、已知x>1，则 的最小值为 9、已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  10.若实数a,b满足a2+b2+ab=1, （1）求ab最大值 （2）求a+b的最小值 11.若a>0,b>0,且ab=a+b+8. (1)求ab的取值范围; (2)求a+4b的最小值,以及此时对应的a的值. 12、某公司建造一间背面靠墙的房屋,地面面积为,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5800元.如果墙高为,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少? 13、一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位:元)与仓库到车站的距离(单位:)成反比,每月库存货物费(单位：元)与成正比;若在距离车站处建仓库,则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小? 基本不等式（第二课时）作业答案 1、答案　D 由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2， 当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. 2、 B 3答案　D解析　∵x>0，∴y＝＝x＋＋1≥2＋1＝11， 当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，∴函数y＝的最小值为11 4、答案:D 5、. 6、25.解析:因为x>0,y>0,且4x+y=1, 所以+=(4x+y)(+)=4+++9≥13+2=25,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立. 7、答案　B 解析　因为x＋1>0， 则4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8， 当且仅当即x＝时，等号成立， 8 5 9、　2＋1解析　由a>0，b>0，＝1，得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2 ＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2＝＋1≥2＋1＝2＋1， 当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为 2＋1. 10、 、—. 解析:（1）由1=a2+b2+ab≥2ab+ab,得ab≤,当且仅当a=b=±时等号成立. （2）由1=a2+b2+ab=(a+b)2-ab,得ab=(a+b)2-1,而ab≤()2,所以(a+b)2-1≤()2,解得-≤a+b≤,当且仅当a=b=-时取得最小值. 11解:(1)因为a>0,b>0,所以ab=a+b+8≥2+8,得ab-2-8≥0, 整理得(-4)(+2)≥0,明显可得≥4, 所以ab≥16.故ab的取值范围为ab≥16. (2)由ab=a+b+8得a=>0,结合b>0得b>1, 所以a+4b=+4b=+4b=1++4(b-1)+4≥5+2=17, 当且仅当=4(b-1)时,等式成立,解得b=,所以a===7,即当a=7时,a+4b取最小值为17. 12、设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即， . 当时，即当时，有最小值，最低总造价为元. 答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元. 13、设，，当时，，，，， ，，两项费用之和为. 当且仅当时，即当时等号成立. 即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $