2.1等式性质与不等式性质 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式性质核心知识点，以实数大小比较基本事实为起点，系统梳理等式的对称性、传递性等五条性质，进而延伸至不等式的对称性、可加性等性质，明确前提条件与变形规则，构建从基础比较到性质应用的知识支架。 资料特色在于题型设计联系现实（如矿山车队运输、药剂配制问题），培养数学眼光观察实际不等关系，通过典例与变式训练（如判断命题真假、比较代数式大小）发展数学思维中的推理能力，分层练习助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用意识。

人教A版必修第一册同步讲义 学科网 - 徽率数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 同步讲义 课时目标 & 学习重难点 1. 掌握实数大小比较的基本事实,理解作差比较的逻辑依据。 2. 熟练掌握等式的五条基本性质,能规范进行等式变形。 3. 系统掌握不等式基本性质,熟记每条性质的前提条件与变形规则。【重点】 4. 区分等式与不等式变形差异,规避不等式变形常见逻辑错误。【重难点】 知识点 1 实数大小比较的基本事实 对于任意实数 : 1. 2. 3. 是比较代数式大小、证明不等式的唯一理论依据。 知识点 2 等式的基本性质 • 对称性:若 ,则 • 传递性:若 ,则 •可加性:若 ,则 •可乘性:若 ,则 •可除性:若 ,则 等式变形无符号、方向限制,变形恒成立。 知识点3 不等式的基本性质 •对称性: •可乘性: •传递性: •同向正值可乘性:(仅限正数,负数不成立) •可加性: •正值乘方性: •同向可加性: •正值开方性: 知识点4 常见错误变形 1. 异向不等式不能相加 2. 同向不等式不能相减 3. 不等式不能随意相除 4.乘方、开方、同向相乘必须为正数 5.含参数未知正负时,不能随意乘除变形 用不等式表示不等关系题型01 【典例】某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,如果设每天派出甲型卡车辆,乙型卡车辆,则满足上述所有不等关系的不等式组为. 【答案】 【详解】根据题意得,需要满足如下不等关系:①, ,化简为②, 又③,④,且;⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组,即. 【变式】配制两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂种药需甲料3毫克,乙料5毫克;配一剂种药需甲料5毫克,乙料4毫克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若、两种药至少各配一剂,应满足的条件是. 【答案】 【详解】设两种药分别配剂,则. 即. 利用不等式的性质判断命题真假题型02 【典例】(多选)已知为实数,下列命题中一定成立的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若 且 ,则 D.若,则 【答案】ACD 【详解】已知,不等式两边同时加上同一个实数,不等式方向不变,所以,正确; 已知,当时,,错误; 已知且,不等式两边同时乘同一个负数,不等式方向改变,即,正确; 已知,对于正数,分母越大,分数越小,即,正确. 【变式】(多选)下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】BD 【详解】A选项,当时,,所以A选项错误; B选项,若,则,所以,所以B选项正确; C选项,若,则,所以C选项错误; D选项,若,则,则,所以D选项正确. 由已知条件判断所给不等式是否正确题型03 【典例】(多选)已知实数,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【详解】选项A,因为,所以. 选项B,若,,满足,但不满足. 选项C,因为,所以,则,所以. 选项D,若,,不满足. 【变式】已知,不等式:①;②;③恒成立的个数是() A. B. C. D. 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式,已知仅给出条件,没有限定的正负性: ①:取,,满足,但,,此时,故①不恒成立; ②:取,,满足,但,,此时,故②不恒成立; ③:取,,满足,此时,,,即, 故③也不恒成立; 三个不等式都无法在的条件下保证成立,成立的个数为. 比较两个数(式)的大小题型04 【典例】已知,试比较的大小. 【答案】 【详解】因为, 所以. 【变式】(1)已知,,,,比较p与q的大小,并说明理由; (2)已知,,比较与的大小,并说明理由. 【答案】(1),理由: 由, , 作差得 . 因 ,,故 ,又 , 所以 ,即 ,当且仅当 时取等号. (2),理由: 作差得 . 因 ,,故 ,,又 , 所以 , 即 ,当且仅当 时取等号. 【分析】(1)利用差比较法判断两者的大小关系. (2)利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】(1)略 (2)略 求代数式的取值范围题型05 【典例】(1)已知,求的取值范围. (2)已知,,求的取值范围. 【答案】(1);(2). 【分析】(1)根据对进行变形,再根据不等式的性质计算求解; (2)用待定系数法将变形,根据已知范围确定的范围. 【详解】(1), ∴,,, , 且, , 的取值范围为. 设, 解得,即, , , 又, , 即的取值范围为. 【变式】已知,. (1)求y的取值范围; (2)求的取值范围; (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)通过待定系数法将表示为与的线性组合,分别求出各部分范围后相加; (2)由已知求出的取值范围,再与的范围相乘得到结果; (3)将表示为与的线性组合,求出范围后再相加. 【详解】(1)设,则, 所以,解得, 所以. 因为,所以.① 因为,所以.② ①+②得,,所以. (2)∵,,∴,∴, 所以. (3)设,则, 所以,解得 所以. 因为,所以.③ 因为,所以. ④ ③+④得,,所以. 由不等式的性质证明不等式题型06 【典例】若,,,求证:. 【答案】证明:因为,所以, 又因为, 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得, 所以, 所以, 因为,, 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又,所以, 所以 由不等式的同号可乘性可得. 【分析】因为,所以,又,先得出,再得出,由不等式的同号可乘性即可证明. 【详解】略 【变式】已知,求证:. 【答案】证明:方法一:因为,所以, 所以,所以, 所以, 即,所以, 又因为,所以. 方法二: 因为,所以, 所以,所以, 所以,因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较,即可得到结论. 【详解】略. 1.已知,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质,分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为,根据不等式的性质有,所以充分性成立, 当时,满足,但不成立,必要性不成立, 所以“”是“”的充分不必要条件. 2.已知,则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】对于ABD,不妨设,满足, A选项,,故,A错误; B选项,,故,B错误; D选项,,故,D错误; 对于C,,则,,C正确. 3.下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解. 【详解】对于A,由,所以,故A错误; 对于B,由,所以,,所以,故B错误; 对于C,若,由,所以,故C错误; 对于D,若,则,故D正确. 4.已知,记,,则( ) A. B. C. D.以上都有可能 【答案】C 【详解】由, 因为,所以,, 所以,即. 5.(多选)下列说法错误的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,,则 【答案】AB 【详解】对于A,若,当时,则,A错误; 对于B,若,则,B错误; 对于C,若,则,C正确, 对于D,, 因为,所以,所以,D正确. 6.(多选)下列说法正确的是( ) A.“,”是“”成立的充分不必要条件 B.命题:,,则:, C.命题“若,则”是真命题 D.“”是“”成立的必要不充分条件 【答案】AC 【分析】根据充分性的定义、必要性的定义、全称命题的否定的性质、比较法逐一判断即可. 【详解】对于,由,可以推出,但推不出,, 比如,但, 所以“,”是“”成立的充分不必要条件,故A正确; 对于B,根据全称命题的否定为特称命题,所以:,,故B错误; 对于C,当时,,可得,故C正确; 对于D,由不能推出,比如,,所以必要性不成立,故D错误. 故选:AC. 7.设,,,,则、的大小关系为. 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为,,所以 , 当且仅当时,等号成立,故. 故答案为:. 8.已知命题p:“若,则”.能够说明命题p是假命题的一组x,y的值为. 【答案】,(答案不唯一,只需满足即可). 【分析】根据不等式的性质结合命题关系判断即可. 【详解】若命题p:“若,则”是假命题, 则“,当时,但”是真命题. 由可知,,所以,又, 从而,. 故是能够说明命题p是假命题的一组x,y的值. 故答案为:,(答案不唯一,只需满足即可). 9.(1)设,为实数,比较与的值的大小. (2)已知,,,求证:. 【答案】(1); (2)因为, ,所以, 所以,又,所以. 【分析】(1)利用作差法比较大小. (2)利用不等式的性质比较大小. 【详解】(1)因为 , 所以. (2)略 10.已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若,求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)(2)(3)由不等式的性质即可求解; 【详解】(1), (2) (3)由条件, , 又 1.已知,则“”的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】对于A,,则或或, 所以,是的既不充分也不必要条件,故A不符合题意; 对于B,,则, 所以,是的充要条件,故B不符合题意; 对于C,,则, 所以,是的一个充分不必要条件,故C符合题意; 对于D,当时,符合, 所以是的既不充分也不必要条件,故D不符合题意. 2.下列运用等式或不等式的性质变形中,正确的是( ) A.如果那么 B.如果那么 C.如果那么 D.如果,那么 【答案】B 【详解】对于A,若,则等式变形不成立;A错误; 对于B,若,则,, 所以,B正确; 对于C,时,满足,但,C错误; 对于D,, 因为,所以,但的符号不确定, 当时,,当时,,当时,,D错误. 3.已知,,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为,,所以,, 因为,所以,即,得, 将代入中,得,即,得, 所以. 4.设,定义运算“”和“”如下:若,,则( ) A.且 B.且 C.且 D.且 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则,将不等式转化为关于变量大小关系的条件组,再分情况推导出变量乘积或和的范围. 【详解】结合定义及可得或即或, 所以; 结合定义及,可得或即或, 所以; 综上,且. 故选:A. 5.(多选)下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 【答案】BC 【详解】对于A选项,取,,则,A不正确. 对于B选项,因为,所以,因为,所以,B正确. 对于C选项,因为,,所以,则正确. 对于D选项,取,,,则,故D不正确. 6.(多选)下列命题正确的是( ) A.有理数集可表示为 B.所有的素数不都是奇数 C.设a,,,,,则 D.已知,,,则 【答案】BCD 【分析】本题综合考查集合概念、命题真假判断、集合相等性质及不等式性质,需结合对应知识点逐项分析判断. 【详解】选项A中有理数包括正数,负数和0,而集合中不包含负数,故A错. 选项B中素数指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外没有其他因数的自然数,2是素数且2是偶数,所以所有的素数不都是奇数是真命题,故B对. 选项C中即得,所以,故C对. 选项D中,所以,所以,又因为,所以,故D对. 7.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元,用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元,则提高了元,销售量减少了件, 则利润为元(), 则,化简得. 销售量为非负,结合提价要求得, 故. 8.,,,则,,,由大到小的顺序是. 【答案】 【分析】根据题意,利用作差法判断即可. 【详解】已知,,,则,,,, 由于,所以, 由于,所以, 所以, 综上,. 9.两次购买同一种物品,通常有两种不同的策略. 策略①不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量相同; 策略②不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的金额相同; 已知某人两次购买同一种物品,第一次、第二次购买时的价格分别为,设采用策略①时,两次购买的数量均为;采用策略②时,两次购买的金额均为. (1)若,请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额,以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问,采用哪种策略更经济?说明理由. 【答案】(1)采用策略①购买的产品总量为,总金额为;策略②购买的产品总量为,总金额为 (2)采用策略②比采用策略①更经济,理由如下: 采用策略①,两次购买物品的数量均为m,则两次的平均价格为; 采用策略②,两次购买的金额均为n,购买物品的数量为, 则两次平均价格为, 因为,,于是, 当时,两次购买的平均价格相等,采用策略①与采用策略②一样经济; 当时,,采用策略②比采用策略①更经济. 【分析】(1)代入数值计算,直观对比两种策略采购数据; (2)通用推导平均价格,作差比较大小判断经济性,再分情况讨论得出结论. 【详解】(1)因为,,,, 采用策略①,两次购买物品的数量均为,且第一次、第二次购买的价格分别为,, 则采用策略①购买的产品总量为,总金额为; 采用策略②,两次购买的金额均为,其中第一次、第二次购买的价格分别为,,则策略②购买的产品总量为,总金额为. (2)略 1.已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先整理已知条件: 由 移项得 ,且因为 ,所以 ,可得 ,即同号,据此分析每个选项. 【详解】选项A:,因为 ,,所以 ,A正确; 选项B:取 ,满足 ,但 ,B错误; 选项C:取 ,满足 ,但 ,C错误; 选项D:取,满足条件,但 ,D错误. 2.(多选)生活经验告诉我们:克糖水中有克糖(,,且),若再添加克糖()后,糖水会更甜,于是得出“糖水不等式”:.根据“糖水不等式”等知识判断,下列命题一定正确的是( ) A.若,,则 B.若,且,则 C.若,,为三条边长,则 D.若,,为三条边长,则 【答案】ACD 【分析】对A,利用作差法比较;对B,举反例说明;对CD,根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A,, ,即,故A正确; 对于B,当,时,,,故B错误; 对于C,由题,,则, , 又,所以,故C正确; 对于D,,,, ,故D正确. 故选:ACD. 3.已知,记为,三个数中最大的数,则的最小值为. 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为,再验证等号成立条件. 【详解】由题可知,,则,, 因为,所以,即,解得, 当且仅当,时,等号成立, 当时,,,, 故的最小值为2. 4.假设克糖水中含有克糖,若再添加克糖(其中,),生活常识告诉我们:添加的糖完全溶解后,糖水会更甜. (1)根据这个生活常识,提炼出一个不等式,并证明; (2)利用(1)提炼的不等式证明:若为三角形的三边长,则; (3)求证:,且. 【答案】(1),证明如下: . 因为都是正数,且, 所以,可得,所以. (2)证明: 由(1)及是三角形的三边,得,则, 同理, 所以. (3)证明:由(1)可知. 取,则 ,故有 , 则有, 因为, 所以 , 故,且. 【分析】(1)写出“糖水不等式”,再利用作差证明即得; (2)利用“糖水不等式”,结合不等式的性质推理得证. (3)先由结论得到,再利用乘法法则证明结论. 【详解】(1),证明略; (2)略; (3)略. 第 1 页 共 7 页 学科网(北京)股份有限公司 $人教A版必修第一册同步讲义 学科网 - 徽率数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 §2.1 等式性质与不等式性质 同步讲义 课时目标 & 学习重难点 1. 掌握实数大小比较的基本事实，理解作差比较的逻辑依据。 2. 熟练掌握等式的五条基本性质，能规范进行等式变形。 3. 系统掌握不等式基本性质，熟记每条性质的前提条件与变形规则。【重点】 4. 区分等式与不等式变形差异，规避不等式变形常见逻辑错误。【重难点】 知识点 1 实数大小比较的基本事实 · 对于任意实数 ： 1. 2. 3. · 是比较代数式大小、证明不等式的唯一理论依据。 知识点 2 等式的基本性质 • 对称性：若 ，则 • 传递性：若 ，则 •可加性：若 ，则 •可乘性：若 ，则 •可除性：若 ，则 · 等式变形无符号、方向限制，变形恒成立。 知识点3 不等式的基本性质 •对称性： •可乘性： •传递性： •同向正值可乘性：（仅限正数，负数不成立） •可加性： •正值乘方性： •同向可加性： •正值开方性： 知识点4 常见错误变形 1. 异向不等式不能相加 2. 同向不等式不能相减 3. 不等式不能随意相除 4.乘方、开方、同向相乘必须为正数 5.含参数未知正负时，不能随意乘除变形 用不等式表示不等关系题型01 【典例】某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【变式】配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 利用不等式的性质判断命题真假题型02 【典例】（多选）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【变式】（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 由已知条件判断所给不等式是否正确题型03 【典例】（多选）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 比较两个数（式）的大小题型04 【典例】已知，试比较的大小. 【变式】（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 求代数式的取值范围题型05 【典例】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【变式】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 由不等式的性质证明不等式题型06 【典例】若，，，求证：. 【变式】已知，求证:. 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 5．（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“，”是“”成立的充分不必要条件 B．命题：，，则：， C．命题“若，则”是真命题 D．“”是“”成立的必要不充分条件 7．设，，，，则、的大小关系为______． 8．已知命题p：“若，则”．能够说明命题p是假命题的一组x，y的值为________． 9．（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 10．已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 1．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 3．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（多选）下列命题正确的是（    ） A．有理数集可表示为 B．所有的素数不都是奇数 C．设a，，，，，则 D．已知，，，则 7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 8．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 9．两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 3．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 4．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $