海南海口市海南中学2026届高三年级上学期第4次月考数学试题卷

海南中学2026届高三年级第4次月考数学试题卷 时间: 120分钟 满分: 150分 命题：毋映俊 审核：符策贵 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷(选择题) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 (其中i 为虚数单位),则|z|=() C. 2. 已知集合A={x|-1<x<1}, B={x|log₂x<1},则A∩B= ( ) A.(0,1) B.(-1,4) C.(0,2) D.(0,4) 3.记等差数列{an}的前n项和为 Sn，且 则 （ ） D. - 2 B. A. C. - 1 4.已知 则a，b，c的大小关系为( ) A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a 5.如图，设 线段DE与BC交于点F，且 则4x+y=( ) D. 5C. B. 3 A. 4 6.风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源，如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF ，D为边AB 的中点, 四边形EFDC为矩形, 且DF⊥AB,AC=BC=3,∠ACB=120°, 当AE⊥BE时, 多面体ABCEF 的体积为( ) 答案第1页，共4页错误!超链接引用无效。 学科网（北京）股份有限公司 7.甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件M：甲、乙两人出的都是剪刀；事件N：甲、乙两人出的相同；事件T：甲、乙两人至少有1人出的是布.则下列结论错误的是() A. M 与T互斥 B. N与T互为对立事件 C. P(MN)=P(M) D. P(M)+P(N)<P(T) 8.二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，教室内空气中含有0.3%的二氧化碳，若开窗通风后二氧化碳浓度为y%，且y随时间t (单位：分钟)的变化规律可以用函数 描述.则教室内的二氧化碳浓度降到0.1%至少需要 () (参考数据: ln2≈0.7,ln3≈1.1) A.18分钟 B.13 分钟 C. 11 分钟 D. 10分钟 二、多项选择题：本大题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分. 9.一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是 () A. EF与MN所成的角为60° B. AB⊥EF C. MN∥CD D. EN与CD 所成的角为90° 10. 设函数f(x)在R上可导, 其导函数为f'(x), 函数y=(x+2)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 () A. f(x)在(-∞,-2)上单调递减 B. - 2为f(x)的极小值点 C.函数f(x)有极大值f(2) D.函数f(x)有三个零点 答案第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 11.若数列{aₙ}满足：对任意正整数n，{aₙ+1-aₙ}为等差数列，则称数列{aₙ}为“二阶等差数列”.若{aₙ}不是等比数列，但{aₙ}中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称{aₙ}是“局部等比数列”.给出下列数列{aₙ}，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是有() B. =1 第Ⅱ卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 函数 的最小正周期是 .当x∈[-2π，2π]时函数的单调递增区间是 . 13.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到“椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积”.已知椭圆 的面积为 过焦点且与x轴垂直的弦长为3，则椭圆的离心率为 . 14.若不等式( 对任意x∈[1，+∞)恒成立，则实数t的最大值是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题13分)15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求B的大小; (2)已知 ，若BD是△ABC的一条内角平分线， 求△ABC的周长. 16.(本小题15分)已知数列{an}是等差数列，且( (1)求{an}的通项公式; (2)[x]表示不超过x的最大整数, 如[1.7]=[1]=1, [-1.5]=[-2]=-2.若bn=2[aₙ],Tn是数列{b,}的前n项和, 求[T₁₁]. 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 17. (本小题15分)如图, 在四棱锥P-ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, △PAD是斜边为AD的等腰直角三角形, AB⊥AD, AB=1, AD=4, (1)求证: PD⊥平面PAB; (2)求 PB与平面PCD所成角的正弦值. 18. (本小题17 分)现有n枚质地不同的游戏币a₁,a₂,…, an(n>3), 向上抛出游戏币aₖ后,落下时正面朝上的概率为 甲、乙两人用这 n枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币a₂向上抛出4次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望E(X)； (2)甲将游戏币a₁，a₂，a₃抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币的个数，求Y的分布列及其期望E(Y); (3)将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜.请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由。 19.(本小题17分)《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的.已知动点P到定点F(2，0)的距离和它到定直线l: 的距离的比值是常数 且(λ＞0λ≠2)设点 P的轨迹为曲线 H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”. (1)若λ=3, 求曲线H的方程; (2)若“齐备直线”l₁：y=kx与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，判断是否存在λ，使得 取得最小值，说明理由； (3)若λ=1，与曲线H有公共点N的“齐备直线”l₂与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段ST的中点，求证：直线l₂与曲线H有且仅有一个公共点. 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $《高三数学期末测试》参考答案 题号 1 2 4 6 7 8 9 10 答案 A D 0 B ABD AC 题号 11 答案 AC 1.A 【分析】用复数除法的运算法则化简复数z的表示，再根据复数模的定义求出模的大小 【详解】因为：=3-i3i1_31+1.-上列， i 2 -1 所以=(-1)2+(-3)2=0 故选：A 2.A 【分析】先解对数不等式，化简集合B,再求交集即可. 【详解】对数函数log2x的定义域为x>0,不等式log2x<1=log22, 因为底数大于1，为单调递增的函数，可得x<2,因此，集合B=(0,2), 根据交集运算，得A⌒B=(0,1), 故选：A 3.C 【分析】利用S-S,=3a及4+a=2a即可推导出4的大小. 【详解】由S。=S3可得S6-S,=44+4+4,=3=0,即a=0, a2=1,42+4=2a4=0,所以a4=-1. 故选：C. 4.D 【分析】由余弦函数，指、对函数的单调性可得 【群解1a-a2cos号0b=1gN0-g主c->21c>b>t 2 故选：D 5.D 【分析】先计算出亚-C+亚，进而得到不-孤+号五，利用共线定理的推论 答案第1页，共13页 得到*专=1，得到答案 5 【详解】BF=AF-AB,BC=AC-AB 又丽-c,故示-丽-}c-丽，所以丽-}c+丽， 因为=a0,C=,所以亚-亚+等D, 51 14 因为D,B,F三点共线，所以y+x=1 故4x+y=5 故选：D 6.A 【分析】先由题设结合线面垂直判定定理依次证明AB⊥平面EFDC和EC⊥平面ABC,以 及求出AB,CD,EC即可由锥体体积公式求解 【详解】因为D为AB的中点，AC=BC=3,∠ACB=120°， 所以CD⊥AB,AB2=AC2+BC2-2AC.BC cos120°=32+32-2×3×3× 27, 所B:cAD233 tan 60 又DF⊥AB,四边形EFDC为矩形，DF CD=D,DF,CDC平面EFDC, 所以AB⊥平面EFDC, 又DF⊥CD,AB∩CD=D,AB,CDC平面ABC, 所以DFL平面ABC,故由四边形EFDC为矩形得EC⊥平面ABC, 所以由EC=EC,AC=BC,∠ECA=∠ECB=90°得△ECA≌AECB, 所以AB=BE,又由AE⊥BE得AB=BB=2, 所以EC=√AE2-AC2 36 335 2 2 所以多面依40c5的体为=2e宁-23分5-子6 故选：A. 7.B 【分析】记A=“石头”，B=“剪刀”，C=“布”，列举样本空间以及确定事件M,N,T分别对 应的样本点，利用事件的关系，结合古典概型计算概率，逐项判断得结论 答案第2页，共13页 【详解】记A=“石头”，B=“剪刀”，C=“布”， 则样本空间2={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)},总数为9 对于A:事件M包含的样本点为(B,B),事件T包含的样本点为 (A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),所以M与T不会同时发生，即M与T互斥，故A正确： 对于B:事件N包含的样本点为(A,A),(B,B),(C,C),事件T包含的样本点为 (A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),因为N∩T≠0，所以N与T不可能互为对立事件，故 B错误； 对于C:事件M包含的样本点为(B,B),事件MN包含的样本点为(B,B),所以 PW-P(M)-)放C1E确： 对于D:C可知，P-g:率件N包含的样本点为a.区)(C.C,校心-多： 事件r包含的样本点为1C9.(B.C)C..(C..C.9,放P() 所议a+P)合P-行故D正流 故选：B. 8.A 【分析】根据初始条件，先求出元=0.24，得函数模型解析式y=0.06+0,.24o,再代入y=0.1, 利用对数的运算性质计算即可得解。 【详解】依题意，当t=0时，y=0.3,即0.06+e°=0.06+=0.3， 解得元=0.24，则y=0.06+0.24e0. 由y=01,得024e六-004，即e0= 6 1 两边取自然对数，得10三m三-n6 故t=10n6=10(ln2+ln3)≈18， 所以降至0.1%需要至少18分钟. 故选：A. 9.ABD 【分析】由题意还原正方体，根据正方体的几何性质，结合异面直线夹角以及面面垂直，可 答案第3页，共13页 得答案 【详解】由题意可作图如下： 对于AC,连接AE,AF,如下图： 易知AE=EF=AF,AE/IMN,则∠AEF为异面直线EF与N的一个夹角， 易知∠AEF=60,故A正确， 显然AE与CD相交，则MN与CD异面，故C错误： 对于B,连接CM,如下图： 易知CM/IAB,EF⊥CM,则AB⊥EF,故B正确； 对于D,连接AE,EN,如下图： 易知ANL平面ACED,AE⊥CD,因为CDc平面ACED,所以CD⊥AN, 因为AN∩AE=A,AE,ANc平面AEN,所以CD⊥平面AEN, 因为ENc平面AEN,所以CD⊥EN,故D正确. 故选：ABD 10.AC 答案第4页，共13页 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负，即可确定函数的极值 零点的情况 【详解】由函数y=(x+2)'(x)的图象知， 当x<-2时，f"(x)<0,当-2<<1时，f'(x)<0, 当1<x<2时，f(x)>0,当x>2时，f'(x)<0, 所以，f(x)在(-∞，-2)上单调递减，选项A正确： -2不是∫(x)的极值点，选项B错误： 2为f(x)的极大值点，函数f(x)有极大值f(2),选项C正确： 由于不知道f(x)的极小值f(1)与极大值f(2)的符号， 所以不能确定函数∫(x)的零点的个数，选项D错误. 故选：AC 11.AC 【分析】利用“二阶等差数列”、“局部等比数列的定义逐项判断即可 【详解】设b.=a+1-, 对于A选项，a.=2n+1,则b.=a1-a.=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2, 所以数列b}为常数列，该数列为等差数列， 因为91=21+3 a.2n+1 不是常数，故数列{a}不是等比数列， 取4=3，a4=9,43=27,则4=a43,即a、4、43成等比数列， 故数列{a}既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列'，A选项符合题意： 对于B选项，b。=41-a=1-1=0,所以数列地}为常数列，该数列为等差数列， 易知数列{a}为等比数列，且每项都相同，与题意矛盾，B选项不符合题意： 对于C选项，b,=a1-a=n+1°-n2=21+1, 对任意的n∈N,b1-b.=2(n+1)+1-(2n+1)=2,即数列{b}为等差数列， 答案第5页，共13页 因为a1-n+l不是常数，故数列a,}不是等比数列， a 又因为a4=1,4=9,a,=81，所以a=44,即a、4、4成等比数列， 所以数列{a,}既是“二阶等差数列，又是“局部等比数列”，C选项符合题意： 对于D选项，b=a-a,=11三1 n+1nn(n+1)' 1 1 2 所以b+1-b。=- m++2)nn+nm+1(n+2)不是常数， 故数列b}不是等差数列，故数列{a}不是“二阶等差数列”，D选项不符合题意 故选：AC 12. 4元 5ππ 33 【分析】利用正弦函数的周期性及单调性分别求解即得. - 【详解】函数y=sinx+的周期 2T-4c 1 2 31 当x∈[-2m2可时， 1x元-「2π4π 而正弦函数y=sinx在 2'2 上单调递增， 3L3’3 则由-πs1 ≤x三；，所以所求单调递增区间是 5ππ 22 3 3’3 5ππ 故答案为：4π； 3’3 05 【分析】根据题意得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，可得出c的值，即可得出 该椭圆的离心率的值， 【详解】将x=c代入椭圆方程得正+63=1，可得y=b21 1,解得y a 所以过焦点且与x轴垂直的弦长为2办 =3①， a 该椭圆的面积为πb=23π②， 联立①②可得a=2,b=√3，故c=√2-b2=√4-3=1， 因此该椭圆的离心率为e=C=马 a 2 .1 故答案为： 答案第6页，共13页 14. 2 【分行】白已知不等式变形得出[(-引-习 0对任意的x∈[1，+o)恒成立，再分x=2、 1≤x<2、x>2三种情况讨论求解即可. 【详解】由e2x+2x≥te*(2+)可得(e)-(2e+e)t+2xt2≥0， e2e-a0对在在的e树)拒成立，--o. 令)-，其中x21,则了)=e-0对任意的≥1恒成立， 2 即函数f(x)在[1，+0)上为增函数， 考虑当S=C时，X=2,此时￡=￡- 2x2 要使得-北-0时任意的e-)恒收这，只码讨论当=21s<2>2三 种情况下恒成立即可， 当x=2时，则有t- e ≥0显然成立： 2 0可得1号或1此时1或≥号 当所、号号邮认0可得1号号 由于当x→+0时， e →+0，则t≥C显然无解，故只需t≤e 2 ,则ts 1 综上所述，1任或1-分，放1的最大值为 故答案为： 2 15.肾 (2)4+22 【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合和差公式可得： (2)根据余弦定理和SBcD+S4D=SAc列方程组求出a+C即可得解. 答案第7页，共13页 1 【详解】(l)由正弦定理边化角得sinA=二sinC+sin BcosC, 2 sin A=sin(B+C)=sin B cosC+cos B sin C, 所以C+cosB sinCsinc+incoC,整理得cos BsinC= 因为C∈(0，m),sinC>0,所以cosB= 2 因为Be(Q,可，所以B-罗 （2)由余弦定理得d+e-2胥-8，即a+c-3a=8, 因为Scn+SaD=SBo,所以1ax25snL1。x25n元1 -aX- -sin- 23 sin -2c sin -s1n- 整理得2(a+c)=3ac,代入(a+c)-3ac=8得： (a+c)}-2(a+c)-8=0,解得a+c=4(负根已舍去)， 所以eABC的周长为a+b+c=4+2W2 17 16.(1)a= 2+2 (2)23 【分析】(1)根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解， (2)根据所给定义可用列举法求解，即可求和. 【详解】(1)设数列{a}的公差为d, 则a=4+4d=1,4+0。=2a+16d=-2,解得a=3,d=-】 7 (2)由a=+7可得a}前11项分别为43,20,1,23,4 2 2’2’22’2222’2’2’21 故b=2]的前11项分别为2,22,22,2,2,2°，2°，21,21,22,22， 所以 答案第8页，共13页 I1=23+22+2+2+2+2°+2°+21+21+22+22=2+2(22+2+2°+2+22）=23.5， [☑]=23 17.(1)证明见解析 Q 3 【分析】(1)由面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直的判定定理得证； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可 【详解】(I)·平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, ABC平面ABCD,AB⊥AD,:ABI平面PAD, PDC平面PAD,.AB⊥PD, 又：PD⊥PA且AB∩PA=A,PA、ABC平面PAB, .PD⊥平面PAB: (2)取AD中点为O,连接PO、CO, 又PD=PA,.PO⊥AD,则AO=PO=2, AC=CD=22,CD2+CA2=AD2, .CD⊥CA,COLAD,则CO=√AC2-AO2=2, 以O为坐标原点，分别以OC,OA,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系 ZA P A P(0,0,2),B1,2,0),D(0,-2,0),C(2,0,0), D O PB=1,2,-2),PD=(0,-2,-2),PC=(2,0,-2), 设i=（x,y,)为平面PCD的一个法向量， [元.PD=0m[-2y-2z=0 n元-0得2x-2z=0 由 令z=1,则n=1,-1,1), 答案第9页，共13页 设PB与平面PCD所成角为O, n.PB sim0=cos位，PB 1-2-2√3 PB V3×3 3 则直线PB与平面PCD,所成角的正弦值为 3 18.(1)1 (2)分布列见解析， 11 12 (3)公平，理由见解析 【分析】（1)根据二项分布的期望公式计算即可. (2)先确定Y的可能取值，然后根据事件的相互独立求出对应的概率值，进而得到Y的分 布列和期望. (3)先根据慰意列出正面朝上的游戏币个数为奇数的概率A=一 2k,记6=9， 1 k 二P1 得到数列私}为首项是分，公差为兮的等差数列，最后求得卫号 1 2 【详解】(1)依题意得：每次抛游戏币a落下时正面向上的概率均为好， 1 故X~B4, )于是()-4=1 (2)记事件4为第a枚游戏币向上抛出后，正面朝上，则P(4)-立k=123, Y可取0,1,2,3.由事件A相互独立，则 pw=-o)=Pa44)PP4P国君G P(Y=1)=P(44:4,+A4,+A4,4,P AA,43 P AA:4,PAA, - 1x3x5+1x1x+x3x1-23 2×4624*624^648 P(Y=2)=P(A4,A,)+P(A4,A,PA4,A,H 15,13113 8*6+12*422416 Pv=)P)若码 答案第10页，共13页