2.4.1　圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，涵盖定义、点与圆位置关系及应用。通过课前回顾几何要素，结合基础认知搭建学习支架，课堂重难突破从求方程到位置关系再到最值问题，形成递进式知识脉络。 其亮点是融入逻辑推理、数学运算与数学抽象素养，通过微训练、典例剖析（如用待定系数法与几何法求外接圆）及规律总结，助力学生掌握方法。学生提升运算推理能力，教师获得系统教学资源，提升教学效果。

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 目 标 素 养 1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程,提升逻辑推理的核心素养. 2.会根据已知条件求圆的标准方程,提升数学运算的核心素养. 3.会判断点与圆的位置关系,提升数学抽象的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.圆的标准方程 (1)圆的定义:圆是平面上到定点的距离等于　定长　的点的集合,定点称为　圆心　,　定长　称为圆的半径.用集合表示为P={M|　|MA|=r　}.  (2)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是　(x-a)2+(y-b)2=r2　.当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以　原点　为圆心、半径为r的圆.  微训练 圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是(　　). A.(-2,3),1 B.(2,-3),3 答案:D 解析:由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为 . 2.点与圆的位置关系 圆A:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为A(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PA|. 位置关系 几何法 图示 代数法 点在圆外 d　>　r  (x0-a)2+(y0-b)2　>　r2  位置关系 几何法 图示 代数法 点在圆上 d　=　r  (x0-a)2+(y0-b)2　=　r2  点在圆内 d　<　r  (x0-a)2+(y0-b)2　<　r2  微思考(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b,r∈R)表示一个圆吗?为什么? 提示:未必表示圆.当r≠0时,表示圆心为(a,b),半径为|r|的圆;当r=0时,表示一个点(a,b). (2)点A(1,1),B(-3,0),C( )与圆x2+y2=4的位置关系如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|与圆的半径r=2是什么关系? 提示:|OA|<2,|OB|>2,|OC|=2. 课堂·重难突破 一 求圆的标准方程 典例剖析 1.(1)以点(2,-3)为圆心,且经过点(4,-1)的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　.  (2)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于点(-2,3)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　.  答案:(1)(x-2)2+(y+3)2=8　(2)(x+5)2+(y-4)2=1 因此圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=8. (2)圆(x-1)2+(y-2)2=1的圆心坐标为(1,2),它关于点(-2,3)对称的点为(-5,4),因此对称圆的圆心为(-5,4),而半径不变,所以所求圆的方程为(x+5)2+(y-4)2=1. 规律总结 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:几何法和待定系数法. (1)几何法:先由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,再代入标准方程即可. (2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法.一般步骤是: ①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列——由已知条件,建立关于三个参数a,b,r的方程组; ③解——解方程组,求出三个参数a,b,r; ④代——将三个参数a,b,r代入所设方程,求得所求圆的方程. 学以致用 1.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程. 解: (方法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)三点都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程, 故△ABC的外接圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25. 同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+y+5=0. 二 点与圆的位置关系 典例剖析 2.已知圆C的圆心为C(-3,-4),且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系. 解:因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|= =5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25. 因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+ (-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外. 规律总结 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断: d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d<r⇔点在圆内. (2)代数法.根据点的坐标(x0,y0) 与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断: (x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内. 学以致用 2.已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四点,试判断四点是否共圆,并说明理由. 解:设M,N,P三点确定的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, M,N,P三点的坐标都满足该方程. ∴过M,N,P三点的圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=25. 将点Q的坐标(6,1)代入方程左端,得(6-6)2+(1-3)2=4<25, ∴点Q不在圆(x-6)2+(y-3)2=25上, ∴M,N,P,Q四点不共圆. 三 与圆有关的最值问题 典例剖析 3.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.求 的最大值和最小值. 学以致用 3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设点P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值及最小值. 解:设点P(x,y),则d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2. ∵圆心C的坐标为(3,4),原点O的坐标为(0,0), ∴|CO|2=32+42=25,∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2,即16≤x2+y2≤36. ∴d的最小值为2×16+2=34,最大值为2×36+2=74. 随堂训练　 1.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心坐标和半径分别为(　　). 答案:B 2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　). A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 答案:A 3.若点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(　　). A.(0,+∞) B.(-∞,5) C.(0,5) D.[0,5] 答案:C 解析:由题意知(a+1-a)2+(3-1)2>m, 即m<5. 又m>0,故0<m<5. 4.已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　). A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案:A 解析:由题意,a+b=1,ab=-, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8. ∴点P在圆C内. 5.求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程. 解:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 谢 谢 $