第13章 三角形全章专题讲义 2026-2027学年数学人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形核心知识，以“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”为主线，系统梳理概念、分类、三边关系、中线等重要线段及内角和与外角性质，构建完整知识体系。 资料通过表格对比分类与线段特征培养抽象能力，典例变式训练强化推理意识，分层课后提升兼顾不同学生需求。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

三角形 · 专题讲义 教师版（含全部答案与解析） 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 本讲义围绕"与三角形有关的线段""与三角形有关的角"两条主线，梳理核心概念、公式与解题方法，通过知识梳理、典例精讲、变式训练、选择题、解答题、课后提升六个环节分层训练，帮助学生构建完整的三角形知识体系。 第一部分 知识梳理与考点归纳 一、三角形的概念与表示 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。用符号"△"表示，如顶点为 A、B、C 的三角形记作 △ABC。 2. 基本要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角。边常用对角顶点的小写字母 a、b、c 表示（a 为∠A 的对边 BC）。 图 1 三角形的顶点、边与内角 3. 分类： 分类标准 类别 判定条件 按角分 锐角三角形 三个内角都是锐角 按角分 直角三角形 有一个内角是直角（90°） 按角分 钝角三角形 有一个内角是钝角 按边分 不等边三角形 三边互不相等 按边分 等腰三角形 有两条边相等（含等边三角形） 按边分 等边三角形 三条边都相等，是特殊的等腰三角形 表 1 三角形的分类 图 2 三角形按角分类 二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。设三边长为 a、b、c，则 | a − b | < c < a + b 判定三条线段能否构成三角形，只需检验"较短两边之和是否大于最长边"。已知两边 a、b 时，第三边 c 满足 a−b < c < a+b。 三、与三角形有关的三条重要线段 中线、角平分线、高都是线段，各有三条，交于一点（或交点位置特殊），对比如下： 名称 定义 交点 位置随三角形类型的变化 中线 连接一个顶点与它对边中点的线段 三条中线交于重心 G 始终在三角形内部 角平分线 一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 三条角平分线交于内心 I 始终在三角形内部 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 三条高所在直线交于垂心 锐角：在内部；直角：两直角边即高；钝角：两条在外部 表 2 三条重要线段对比 图 3 三条中线交于重心 G（一条中线把三角形分成面积相等的两部分） 图 4 三条角平分线交于内心 I 图 5 锐角、直角、钝角三角形中高的位置 四、与三角形有关的角：内角与外角 1. 内角和定理：三角形三个内角之和等于 180°。 ∠A + ∠B + ∠C = 180° 推论：直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形三个外角之和为 360°。 2. 外角：三角形一边与另一边延长线组成的角。图中 ∠ACD 是 △ABC 的一个外角。 图 6 三角形的外角 ∠ACD 外角性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角。 ∠ACD = ∠A + ∠B ， ∠ACD > ∠A ， ∠ACD > ∠B 第二部分 典例精讲 【例 1】三角形概念辨析 1. 下列说法正确的是（ ） A. 由三条线段组成的图形叫三角形 B. 三角形的边可以是曲线 C. 三角形三条高一定都在内部 D. 三角形至少有 2 个锐角 【答案】 D 【解析】 三角形须由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而成；边是线段，B 错；钝角三角形有两条高在外部，C 错。若锐角少于 2 个，则至少两个角为直角或钝角，其和已 ≥ 180°，矛盾，故至少有 2 个锐角。 【例 2】三边关系与取值范围 2. 已知三角形两边长为 3 和 7，第三边长为偶数 x，求 x 的所有取值。 【答案】 x = 6 或 8 【解析】 由 7−3 < x < 7+3 得 4 < x < 10，其中偶数为 6、8。 【例 3】中线与面积 3. AD 是 △ABC 的中线，若 S△ABC = 20 cm²，则 S△ABD = ______。 【答案】 10 cm² 【解析】 中线平分对边，BD = DC，△ABD 与 △ACD 等底同高，面积各为总面积的一半，即 20 ÷ 2 = 10 cm²。 【例 4】内角和与外角综合 4. 在 △ABC 中，∠A = 55°，∠B 比 ∠C 大 15°，求∠B 以及与∠C 相邻的外角度数。 【答案】 ∠B = 70°，与∠C 相邻的外角 = 125° 【解析】 设∠C = x°，∠B = x + 15。由 55 + (x+15) + x = 180 得 x = 55，故∠C = 55°、∠B = 70°。与∠C 相邻的外角 = ∠A + ∠B = 55° + 70° = 125°。 第三部分 变式训练 （先独立完成，再对照教师版解析订正。） 1. 若 a、b、c 是 △ABC 的三边，化简 | a+b−c | − | b−a−c |。 【答案】 2b − 2c 【解析】 a+b>c 故 a+b−c>0；b<a+c 故 b−a−c<0。原式 = (a+b−c) − (a+c−b) = 2b − 2c。 2. 三角形三个内角度数之比为 1 : 2 : 3，则它是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】 B 【解析】 设 x、2x、3x，x+2x+3x=180，x=30，三角为 30°、60°、90°，是直角三角形。 3. AD 平分∠BAC，AE 是 BC 边上的中线，AF 是 BC 边上的高。若 BC=10，则 BE=______；若∠BAC=70°，则∠BAD=______。 【答案】 BE = 5，∠BAD = 35° 【解析】 中线平分对边 BE=10÷2=5；角平分线平分该角 ∠BAD=70°÷2=35°。 4. △ABC 中∠A 的外角为 130°，∠B=45°，求∠C。 【答案】 ∠C = 85° 【解析】 外角=不相邻两内角之和：130°=45°+∠C，∠C=85°。 第四部分 选择题 1. 以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2, 3, 5 B. 3, 4, 8 C. 5, 6, 10 D. 4, 4, 9 【答案】 C 【解析】 较短两边之和须大于最长边：2+3=5、3+4<8、4+4<9 均不成立，仅 5+6=11>10 成立。 2. 三角形两个内角分别是 40° 和 70°，则它是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】 A 【解析】 第三角=180°−40°−70°=70°，三角均为锐角，是锐角三角形。 3. 三角形三边为 3、8、x，则 x 的范围是（ ） A. 5 < x < 11 B. x > 11 C. x < 5 D. 3 < x < 8 【答案】 A 【解析】 8−3 < x < 8+3，即 5 < x < 11。 4. 门框上钉斜拉木条防止变形，利用的是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的稳定性 C. 三角形的灵活性 D. 节约材料 【答案】 A 【解析】 斜拉木条把四边形分成三角形，利用三角形的稳定性。 5. △ABC 中∠A=50°，∠B、∠C 平分线交于 O，则∠BOC=（ ） A. 115° B. 65° C. 125° D. 130° 【答案】 A 【解析】 ∠OBC+∠OCB=(180°−50°)÷2=65°，∠BOC=180°−65°=115°。 6. 三条高所在直线的交点在三角形外部时，它是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】 C 【解析】 钝角三角形有两条高在外部，垂心在三角形外部。 7. 等腰三角形两边长为 3 和 7，则周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13 或 17 D. 20 【答案】 B 【解析】 腰只能取 7（腰取 3 时 3+3<7 不成三角形），周长=3+7+7=17。 8. 一副三角板拼接使各有一条边共线，拼出的钝角∠α 可以是（ ） A. 105° B. 120° C. 90° D. 95° 【答案】 A 【解析】 一副三角板含 45° 与 60° 角，∠α=60°+45°=105°。 第五部分 解答题 1. 已知 △ABC 三边满足 a : b : c = 2 : 3 : 4，周长为 45，求三边长。 【答案】 a = 10，b = 15，c = 20 【解析】 设 a=2k, b=3k, c=4k，则 9k=45，k=5，故 a=10, b=15, c=20，验证 10+15>20 成立。 2. △ABC 中∠BAC=70°，∠B=50°，AD 是角平分线，AE 是 BC 边上的高，求∠DAE。 【答案】 ∠DAE = 5° 【解析】 ∠C=180°−70°−50°=60°；AD 平分∠BAC 得∠BAD=35°；AE⊥BC，在直角三角形 ABE 中∠BAE=90°−∠B=40°。故∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−35°=5°。 3. 一个三角形的外角与它相邻内角之比为 3 : 2，且有一个内角为 40°，求另外两个内角。 【答案】 72° 与 68° 【解析】 外角与相邻内角互补，比 3:2，故该内角=180°×2÷5=72°。第三角=180°−72°−40°=68°，另两角为 72° 与 68°。 4. （综合）△ABC 中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 I。若∠A=60°，求∠BIC，并探究∠BIC 与∠A 的关系。 【答案】 ∠BIC = 120°；一般地 ∠BIC = 90° + (1/2)∠A 【解析】 ∠IBC+∠ICB=(180°−∠A)÷2=(180°−60°)÷2=60°，∠BIC=180°−60°=120°。推广：∠BIC=180°−(180°−∠A)/2=90°+(1/2)∠A。 第六部分 课后提升（分层作业） A 组 基础必做 1. △ABC 中∠A=3∠B，∠B=2∠C，求三个内角。 【答案】 ∠C=18°，∠B=36°，∠A=108° 【解析】 设∠C=x，则∠B=2x，∠A=6x，x+2x+6x=180，x=18。 2. 三角形三边为 2、a−1、4，求 a 的范围。 【答案】 3 < a < 7 【解析】 4−2 < a−1 < 4+2，即 2 < a−1 < 6，各加 1 得 3 < a < 7。 B 组 提高选做 3. 等腰三角形周长 18 cm，一腰上的中线把周长分成相差 3 cm 的两部分，求底边长。 【答案】 底边为 4 cm 或 8 cm 【解析】 设腰 x、底 y，2x+y=18。两部分为 (x+x/2) 与 (y+x/2)，其差 x−y=±3。当 x−y=3 得 y=4、x=7；当 y−x=3 得 x=5、y=8。两组 (7,7,4)、(5,5,8) 均能构成三角形，故底为 4 cm 或 8 cm。 4. ∠1、∠2、∠3 分别是 △ABC 三个顶点处的外角，求证 ∠1+∠2+∠3=360°。 【答案】 见解析 【解析】 每个外角与相邻内角互补：∠1=180°−∠A，∠2=180°−∠B，∠3=180°−∠C。三式相加=540°−(∠A+∠B+∠C)=540°−180°=360°。 学科网（北京）股份有限公司 $三角形·专题讲义 学生版（课堂练习用）姓名： 班级： 日期： 本讲义围绕”与三角形有关的线段”"与三角形有关的角"两条主线，梳理核 心概念、公式与解题方法，通过知识梳理、典例精讲、变式训练、选择题、解 答题、课后提升六个环节分层训练，帮助学生构建完整的三角形知识体系。 第一部分知识梳理与考点归纳 一、三角形的概念与表示 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形。用符号"△"表示，如顶点为A、B、C的三角形记作△ABC。 2.基本要素：3个顶点、3条边、3个内角。边常用对角顶点的小写字母 a、b、c表示(a为∠A的对边BC)。 1 边 边 ∠B 边 C 图1三角形的顶点、边与内角 3.分类： 分类标准 类别 判定条件 按角分 锐角三角形 三个内角都是锐角 按角分 直角三角形 有一个内角是直角(90°) 按角分 钝角三角形 有一个内角是钝角 按边分 不等边三角形 三边互不相等 按边分 等腰三角形 有两条边相等（含等边三角形） 按边分 等边三角形 三条边都相等，是特殊的等腰三角形 表1三角形的分类 2 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 A 图2三角形按角分类 二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。设三 边长为a、b、c,则 |a-b|<c〈a+b 判定三条线段能否构成三角形，只需检验“较短两边之和是否大于最长边”。 已知两边a、b时，第三边c满足a-b〈c<a+b。 三、与三角形有关的三条重要线段 中线、角平分线、高都是线段，各有三条，交于一点（或交点位置特殊）， 对比如下： 名称 定义 交点 位置随三角形类型的 变化 中线 连接一个顶点与它对边中点 三条中线交于重 始终在三角形内部 的线段 心G 角平分线 一个内角的平分线与对边相 三条角平分线交 始终在三角形内部 交，顶点与交点间的线段 于内心I 3 高 从顶点向对边所在直线作垂 三条高所在直线 锐角：在内部；直 线，顶点与垂足间的线段 交于垂心 角：两直角边即高： 钝角：两条在外部 表2三条重要线段对比 B 图3三条中线交于重心G(一条中线把三角形分成面积相等的两部分) A B C 图4三条角平分线交于内心I 4 锐角三角形：E条高均在内部 A直角三角形：两直角边互为高 A钝角三角形：两条高在外部 B C B 图5锐角、直角、钝角三角形中高的位置 四、与三角形有关的角：内角与外角 1.内角和定理：三角形三个内角之和等于180°。 ∠A+∠B+∠C=180° 推论：直角三角形两锐角互余：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角之和：三角形三个外角之和为360°。 2.外角：三角形一边与另一边延长线组成的角。图中∠ACD是△ABC的 一个外角。 A ∠B ∠ACD D B Q 图6三角形的外角∠ACD J 外角性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与 它不相邻的内角。 ∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 6 第二部分典例精讲 【例1】三角形概念辨析 1.下列说法正确的是() A.由三条线段组成的图形叫三角形B.三角形的边可以是曲 线C.三角形三条高一定都在内部D.三角形至少有2 个锐角 【例2】三边关系与取值范围 2.已知三角形两边长为3和7，第三边长为偶数x,求x的所有 取值。 【例3】中线与面积 3.AD是△ABC的中线，若S△ABC=20cm2,则S△ABD= 7 【例4】内角和与外角综合 4.在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大15°，求∠B以及 与∠C相邻的外角度数。 第三部分变式训练 (先独立完成，再对照教师版解析订正。) 1.若a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b-c|-|b-a-c 。 2.三角形三个内角度数之比为1：2：3，则它是() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等 腰三角形 8 3.AD平分∠BAC,AE是BC边上的中线，AF是BC边上的高。若 BC-10,则BE-一；若∠BAC=70°，则∠BAD 4.△ABC中∠A的外角为130°，∠B=45°，求∠C。 9 第四部分选择题 1.以下各组线段为边，能组成三角形的是() A.2,3,5B.3,4,8C.5,6,10D.4,4,9 2.三角形两个内角分别是40°和70°，则它是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等 腰三角形 3.三角形三边为3、8、x,则x的范围是() A.5<x<11B.x>11C.x<5D.3<x<8 4.门框上钉斜拉木条防止变形，利用的是() 10 A.三角形的稳定性B.四边形的稳定性 C.三角形的灵 活性D.节约材料 5.△ABC中∠A=50°，∠B、∠C平分线交于0，则∠B0C= () A.115° B.65° C.125°D.130° 6.三条高所在直线的交点在三角形外部时，它是() A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等 边三角形 7.等腰三角形两边长为3和7，则周长为() A.13B.17C.13或17D.20 11 8.一副三角板拼接使各有一条边共线，拼出的钝角∠α可以是( ) A.105° B.120° C.90°D.95° 第五部分解答题 1.已知△ABC三边满足a:b:c=2:3:4,周长为45，求 三边长。 2.△ABC中∠BAC=70°，∠B=50°，AD是角平分线，AE是BC边 上的高，求∠DAE。 3.一个三角形的外角与它相邻内角之比为3：2，且有一个内角为 40°，求另外两个内角。 12 4.(综合)△ABC中∠ABC、∠ACB的平分线交于点I。若 ∠A=60°，求∠BIC,并探究∠BIC与∠A的关系。 第六部分课后提升（分层作业) A组基础必做 1.△ABC中∠A=3∠B,∠B=2∠C,求三个内角。 2.三角形三边为2、a-1、4,求a的范围。 B组提高选做 3.等腰三角形周长18cm,一腰上的中线把周长分成相差3cm的 两部分，求底边长。 13 4.∠1、∠2、∠3分别是△ABC三个顶点处的外角，求证 ∠1+∠2+∠3=360°。 14