第13章 三角形 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册三角形单元卷，覆盖三角形性质与判定，通过文化情境与探究题型，培养几何直观与推理能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、稳定性、高的识别|第5题古埃及结绳法改编，渗透文化传承| |填空题|6/18|内角和、等腰三角形“优美比”|第14题结合新定义，考查分类讨论| |解答题|8/72|角平分线、折叠变换、动态探究|22题折叠问题分层探究∠1、∠2与∠A关系，24题多图变式培养推理意识|

人教版2026-2027学年八年级上册 第13章 三角形 单元测试卷 满分120分 时间120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列四组数中，能组成三角形的是（　　） A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5 2．如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（　　） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 3．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 4．如图，在△ABC中，边BC上的高是（　　） A．AD B．BE C．BF D．CF 5．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段(共14个结)，工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 6．已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，BD是△ABC的中线，AB＝10，若△ABD的周长比△CBD的周长多2，则BC的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．12 8． 如图，在△ABC中， ∠ACB>∠B，AD、AE分别是△ABC 的高和角平分线， 点F在 BC 的延长线上，FH⊥AE交AD 于点 G，交AB 于点H.下列结论错误的是（　　） A．∠DAE=∠F B． C． D．∠AGH=∠CAE+∠B 9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 10．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 　 　 ． 12．如图，∠1＝45°，∠3＝105°，则∠2的度数为 　 　 °． 13．已知△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC按角分类是　 　 三角形． 14．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　 　 ． 15．如图，P是△ABC内一点．若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝54°，求∠P的度数　 　 ． 16．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠ACB和∠AEC的度数． 18．（8分）某木材零件如图所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 19．（8分）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 6．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，D，E分别是AC，BC上的点，P是斜边AB 上一动点。若 （1）如图1，当点 P 运动至. 时，求∠1+∠2的值； （2）如图2，当点 P 运动至AB 上任意位置时，试判断 之间的数量关系，并说明理由。 21．（8分）如图所示．AD、AE分别是△ABC的角平分线和高． （1）若∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数； （2）试探究∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由． 22．（10分）现有一张△ABC纸片，点D，E分别是边AC，AB上的点，现将其沿直线DE折叠． （1）若折成图①的形状，使点A落在CD上，则∠1与∠A的数量关系是　 　 ． （2）将△ABC纸片沿直线DE折叠．若折成如图②所示的形状，猜想∠1，∠2和∠A之间的数量关系，并说明理由． （3）若折成图③的形状，猜想∠1，∠2和∠A之间的数量关系，并说明理由． 23．（10分）如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）请说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P（如图2），试探索∠P与∠D、∠B之间的数量关系，并请说明理由； （3）点M在OD上，点N在OB上，AM与CN相交于点P，且∠DAP∠DAB．∠DCP∠DCB，其中n为大于1的自然数（如图3）．∠P与∠D、∠B之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由． 24．（12分）（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O． ①若∠A＝40°，求∠BOC的度数； ②若∠A＝60°，求∠BOC的度数； ③若∠A＝n°，求∠BOC的度数； ④若∠BOC＝3∠A，求∠BOC的度数． （2）如图（2），△A'B'C'的外角平分线相交于点O'若∠A'＝40°，求∠B'O'C'的度数； （3）上面（1）、（2）两问中的∠BOC与∠B'O'C'有怎样的数量关系？若∠A＝∠A'＝n°，∠BOC与∠B'O'C'是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？ （4）如图（3），△A″B″C″的内角∠A″C″B″的外角平分线与∠A″B″C″的内角平分线相交于点O″，∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系？若∠A＝∠A″＝n°，∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？ 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A、2+2＝4，不能组成三角形，不符合题意； B、1+1＝2＜3，不能组成三角形，不符合题意； C、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意； D、3+4＝7＞5，能组成三角形，符合题意， 故选：D． 2．解：∵过五边形的一个顶点作2条对角线，把五边形分成3个三角形， ∴至少要钉上2根木条． 故选：A． 3．解：三角形有：△ACD，△ABC，△ABD，△AED，△DEB， 故三角形的个数是5个． 故选：D． 4．解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 5．解：设每段绳长为1.第一次分成的三段长分别为3，4，5， ∵32+42=52， ∴得到直角三角形. 第二次分成等长13段(14个结)，工匠握住第1个和第14个结，助手分别握住第4个和第8个结，三段长分别为3，4，13-7=6. ∵32+42=25，62=36，且25<36， ∴该三角形中最大边所对的角为钝角. ∴此时形成的三角形是钝角三角形. 故答案为：B. 6．选：B． 7．解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴C△ABD﹣C△CBD ＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD） ＝AB﹣BC ＝10﹣BC， ∵△ABD的周长比△CBD的周长多2， ∴10﹣BC＝2， 解得BC＝8． 故选：C． 8．解：设AE与HF交于点O， 由题可得， ∠DGF=∠AGH，∠GDF=∠AOH=90°， ∴∠DAE=∠F， 故A正确； ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∵∠ACF=∠B+∠BAC=∠B+2∠BAE， ∠AEF=∠B+∠BAE， （∠ACF+∠B）=（2∠B+2∠BAE）=∠AEF， 故B正确； ∠F=∠DAE=90°-∠AED=90°-（∠B+∠BAE）=90°-∠B- =， 故C错误； ∵∠AGH+∠GAE=∠AEC+∠DAE=90°， ∴∠AGH=∠AED， ∴∠AGH=∠B+∠BAE， ∵∠BAE=∠CAE， ∴∠AGH=∠CAE+∠B， 故D正确. 故答案为：C. 9．解：∵F是BE中点， ∴S△BCE＝2S△CEF＝2×4＝8， ∵E是AD中点， ∴S△ABD＝2S△BED，S△ACD＝2S△CED， ∴S△ABD+S△ACD＝2（S△BED+S△CED） ＝2S△BEC ＝2×8 ＝16， ∴S△ABC＝16， 即△ABC的面积为16， 故选：C． 10．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜x＜7+5， ∴2＜x＜12， ∴x可能的取值可以是6（答案不唯一）． 故答案为：6（答案不唯一）． 12．解：由图可知∠3＝∠1+∠2， ∵∠1＝45°，∠3＝105°， ∴∠2＝∠3﹣∠1＝60°； 故答案为：60． 13．解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝∠B＝2∠C， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝∠B＝2×36°＝72°， ∵∠A、∠B、∠C都是锐角， ∴△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角． 14．解：当8为腰长时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴△ABC的底边长为：20﹣8﹣8＝4， ∴“优美比”为； 当8为底边长时， △ABC的腰长为：， ∴“优美比”为； 故答案为：或． 15．解：在△ABC中，∵∠A＝54°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， 在△ABC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC∠ACB） ＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°126°＝117°， 故答案为：117°． 16．解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD， ∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO， ∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y， 则有， 解得， ∴∠C＝70°， 故答案为70°． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝85°． 18．解：该零件不符合要求，理由如下： 延长AE交BC于D， ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB＝∠A+∠C， 同理，∠AEB是△BED的外角， ∴∠AEB＝∠B+∠BDE， ∴∠AEB＝∠A+∠B+∠C， ∴∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）， ∵符合标准的零件∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°， ∴符合标准的零件∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）＝125°﹣（15°+15°）＝85°， ∵∠C＝90°≠85°， ∴该零件不符合规格． 19．解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c﹣c+a+b ＝2a+2b﹣2c． 20．（1）解：∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°。 ∵∠α+∠BPE+∠APD=180°，∠α=50°， ∴∠BPE+∠APD=130°。 ∵∠A+∠APD+∠1=180°，∠B+∠BPE+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠APD+∠BPE=180°+180°， ∴∠1+∠2=360°-90°-130°=140°。 （2）解：∠1+∠2=90°+∠α。理由如下： ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°。 ∵∠α+∠BPE+∠APD=180°， ∴∠BPE+∠APD=180°-∠α。 ∵∠A+∠APD+∠1=180°，∠B+∠BPE+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠APD+∠BPE=180°+180°， ∴∠1+∠2=360°-90°-180°+∠α=90°+∠α。 21．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD∠BAC60°＝30°， ∵AE是高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°； （2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）， ∵AE是高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝（90°﹣∠B）（180°﹣∠B﹣∠C） （∠C﹣∠B）． 22．解：（1）由折叠得：∠A＝∠DA′E， ∵∠1＝∠A+∠DA′E， ∴∠1＝2∠A； 故答案为：∠1＝2∠A； （2）猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∵∠ADB+∠AEC＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED， ∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A； （3）∠2﹣∠1＝2∠A，理由是： ∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1， ∴∠2＝∠A′+∠A+∠1， ∵∠A＝∠A′， ∴∠2＝2∠A+∠1， ∴∠2﹣∠1＝2∠A． 23．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）2∠P＝∠D+∠B，理由如下： 由（1）可知，∠1+∠D＝∠P+∠3，① ∠4+∠B＝∠2+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B； （3）结论：∠P与∠D、∠B之间存在的关系为∠P， ∵∠1+∠D＝∠P+∠3，① ∠4+∠B＝∠2+∠P，② ∵∠1∠DAB．∠3∠DCB， ∴∠DAB＝n∠1，∠DCB＝n∠3， ∵∠1+∠2＝∠DAB，∠3+∠4＝∠DCB， ∴∠1+∠2＝n∠1，∠3+∠4＝n∠3， ∴∠1∠2，∠3∠4， 由（n﹣1）①+②得：（n﹣1）（∠1+∠D）+∠4+∠B＝（n﹣1）（∠P+∠3）+∠2+∠P， 即n∠P＝（n﹣1）•∠D+∠B， ∴∠P． 24．解：（1）①∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠1+∠2∠ABC∠ACB140°＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝110°； ②∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠1+∠2∠ABC∠ACB120°＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°； ③∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2∠ABC∠ACB（180°﹣∠A）， ∵∠A＝n°， ∴∠BOC＝90°n°； ④设∠A＝x°， 则∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣x°）＝90°x°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°x°）＝90°x°， ∵∠BOC＝3∠A， ∴3x＝90x， x＝36， 即∠BCO＝3x°＝108°； （2）∵∠A′＝40°， ∴∠A′B′C′+∠A′C′B′＝180°﹣40°＝140°， ∴∠MB′C′+NC′B′＝360°﹣140°＝220°， ∵B′O′、C′O′分别平分∠MB′C′，∠NC′B′， ∴∠1∠MB′C′，∠2∠NC′B′， ∴∠1+∠2＝110°， ∴∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°； （3）图1和图2的∠BOC+∠B′O′C′＝180°；∠A＝∠A'＝n°，∠BOC与∠B'O'C'有这样的关系；理由如下： 图1中∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A， 图2中∠B′O′′＝180°﹣（∠1+∠2） ＝180°（∠MB′C′+∠NC′B′） ＝180°[360°﹣（∠A′B′C′+∠A′C′B′）] （180°﹣∠A′） ＝90°∠A′， ∵∠A＝∠A′＝n°， ∴∠BOC+∠B′O′C′＝180°； （4）∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°；若∠A＝∠A″＝n°，∠BOC与∠B″O″C″有这样的关系；理由如下： ∵∠A″C″M＝2∠2＝∠A″+∠A″B″C″， ∠2＝∠O″+∠1， ∵C″D″平分∠A″C″M，B″O″平分∠A″B″C″ ∴∠A″C″M＝2∠2，∠A″B″C″＝2∠1， ∴∠A″＝2∠O″＝n°， ∴∠B″O″C″∠A″， ∵∠BOC＝90°∠A，∠A＝∠A′＝n° ∴∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°． 学科网（北京）股份有限公司 $