第13章三角形 基础与拔尖闯关-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册第13章三角形单元卷，分基础与拔尖闯关，通过生活情境（如人字梯、桌子加固）和动态探究（如动点问题），考查三角形核心知识，培养抽象能力、推理意识与创新应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|三角形稳定性（第1题）、三边关系（第3题）、内角和（第6题）|结合生活情境，如工人人字梯原理，体现数学眼光| |填空题|6|角平分线与高（第12题）、含30°直角三角板（第14题）|设置几何直观问题，如折叠判断特殊线段| |解答题|6|面积计算（第20题）、动态动点（第21题）、分类讨论（第22题）|分层设计，拔尖题考查推理与模型意识，如坐标系中三角形面积及动点分类|

第13章三角形基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础闯关 1．如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 2．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 4．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 5．在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（     ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 10．如图，，，点F在的反向延长线上，，记，，则与之间的关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的__________（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 12．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 13．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 14．如图所示，有一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一条边上．如果，那么的度数是_________． 15．如图，已知，，，，则的度数为________． 16．如果三角形的两个内角与满足，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点是直线上的点，，若是“类直角三角形”，则___________°． 三、解答题 17．已知的三边分别为，且，若的长为小于的偶数，求的周长． 18．如图，，点B在射线上，且． (1)请你通过作图标出点B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求出的度数． 19．如图，平分，点F在上，点G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（_______）， 所以． 所以（_______）． 所以________（_______）． 因为平分（已知）， 所以________． 所以（_______）． 拔尖闯关 20．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，过点作轴，垂足为，则三角形的面积为_________； (2)如图②，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点． ①求三角形的面积； ②若是坐标轴上的一点，要使三角形的面积等于三角形的面积的3倍，直接写出点的坐标． 21．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 22．问题情境：如图1，，．求的度数． 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可得． 问题迁移： (1)请用一种与小明不同的方法求的度数； (2)如图3，，点P在直线上运动，当点P在两点之间运动时，，与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在两点外侧运动时（点P与三点不重合），请你直接写出与间的数量关系． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A B B A B B 1．C 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 2．B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 3．C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 4．B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 5．A 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，结合已知边长的大小关系和整数条件，枚举所有可能的边长即可得到结果． 【详解】解：∵，，且为整数， ∴，的可能取值为． ∵是最长边，因此只需满足即可构成三角形， 当时，得，结合，可得整数，共2种， 当时，得，结合，没有符合条件的整数， 当时，得，结合，没有符合条件的， 综上，满足条件的三角形共2个． 6．B 【分析】根据三角板角的度数结合，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 7．B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 8．A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．B 【分析】根据垂线段最短得出，当时，线段最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：根据题意，当时，线段最小， ∵， ∴． 10．B 【分析】反向延长与交于点M，根据题意令，则，根据平行线的性质得到，从而得出，再根据对顶角相等，三角形内角和定理表示出，得到，整理得出答案． 【详解】解：如图，反向延长与交于点M，与交于点N， ，， 令， 则， ， ， ， ， ， 则， ， ， ， ， ， 整理得：． 11．稳定性 【详解】解：小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性． 12．20 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 13． 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 14． 【分析】根据两直线平行内错角相等和直角三角板的特点即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．50°/50度 【分析】先设、交点为，利用三角形外角性质算出等于与的和，再根据两直线平行同位角相等，推出与度数相等，即可求出． 【详解】解：与交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴． 16．15，105或30 【分析】分为四种情况，点在点左侧，且，点在点左侧，且点在点右侧，且，点在点右侧，且，画出图形，分别求出、、、的度数即可． 【详解】解：若点在点左侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ， ； 若点在点左侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ， 如图，若点在点右侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ， ； 若点在点右侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ； 综上所述，的度数为或或． 17． 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的周长，掌握相关知识是解题的关键．由三角形三边关系定理得到，结合的长为小于的偶数，计算求解的长即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解得：， ∵的长为小于的偶数， ∴， ∴的周长． 18．(1)解：的位置如图所示： (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧交射线于即可. （2）利用三角形的内角和定理计算即可. 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴. 19．对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【分析】首先利用对顶角相等将已知条件转换为，从而根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，接着利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”得到，最后结合角平分线的定义得到，通过等量代换即可证明． 【详解】略 20．(1)6 (2)①；②，，，． 【分析】（1）利用坐标轴上直角三角形面积公式，底为横坐标绝对值，高为纵坐标绝对值计算． （2）①根据坐标平移得到，用矩形割补法求斜三角形面积；②首先求出三角形的面积，然后分点P在x轴和y轴上两种情况，设其坐标，列绝对值方程即可解答． 【详解】（1）∵，轴， ∴， ∴，， ∴； （2）①∵点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度： ∴， 包围矩形四个点为，，，， ∴矩形面积， ∴； ②根据题意得：， 分两种情况： 情况1：P在轴上，设其坐标为， 三角形的高就是纵坐标，底， ， ， ∴，， 情况2：P在轴上，设其坐标为， 三角形的高就是横坐标，底， ， ， ∴，， 点P坐标：，，，． 21．(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 22．(1)如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， 又， ， ． (3)当点在两点之间时，当点在射线上时 【分析】（1）如图，延长交于点，根据，同旁内角互补求出，再根据三角形外角的性质求出，最后根据邻补角的性质求解即可； （2）过点作，可得，然后根据平行线的性质分别把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：当点在两点之间时，当点在射线上时．过点作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点在两点之间时，当点在射线上时； 理由如下：如图，当点在射线上时，过点作， ， ， ， ， 又， ， ； 如图，当点在两点之间时，如图，过点作， ， ， ， ， 又， ， ， 综上所述：或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $