精品解析：贵州遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试题

秘密★启用前｜遵义四中命题中心 ［考试时间：2026年1月29日15:00－17:00］ 遵义四中2027届高二上学期期末质量监测 数学 命题组长：王景 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 对于空间中不同的平面，不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在某校新高考物理方向的学生中，有的同学选了生物学科，的同学选了地理学科，的同学选了生物学科或地理学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了地理学科，则该同学选了生物学科的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 6. 已知双曲线的离心率为的渐近线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（ ） A. 150种 B. 180种 C. 240种 D. 300种 8. 已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的纵截距相等，则 10. 某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，且抛物线过点．过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，过点分别作抛物线的切线，且两直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 若直线的斜率分别为，则 C. 存在点，使得 D. 面积的最小值是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的真子集个数为______． 13. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 14. 如图，已知棱长为6的正四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，则平面把正四面体分成上、下两部分体积之比是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图是函数的部分图象，其中． （1）求． （2）设函数，求的值域及单调增区间． 16. 在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． （1）求圆的方程． （2）若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 17. 如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2． （1）若，证明：平面平面． （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 为深入贯彻党的教育方针和新时代军事战略方针，落实立德树人与强军目标，立足革命老区，传承红色基因，强化国防教育，遵义四中将在2028届高一年级组建遵义四中第一届“长城计划•国防班”．进国防班要求男生身高165cm及以上，女生身高160cm及以上．已知某届高一年级共有1200名学生，其中男生人数与女生人数之比为3:2．为了解我校高一年级全体学生的身高情况，按性别进行分层抽样，抽取一个样本容量为25的样本，并观测样本身高数据（单位：cm）．下表是抽取的女生样本的数据： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 158 156 163 169 155 157 161 160 162 159 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差． （1）用女生样本数据估计高一年级女生身高符合国防班要求的人数． （2）在女生样本中任抽3人，记这3人中身高达到进国防班要求的人数为，求的分布列及数学期望． （3）若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．（参考数据：） 19. 平面直角坐标系中，是圆上一动点，点，线段的中垂线交线段于点，交圆于两点，记的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）证明：直线与相切． （3）当位于点时，延长交圆于另一点，证明：内切于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前｜遵义四中命题中心 ［考试时间：2026年1月29日15:00－17:00］ 遵义四中2027届高二上学期期末质量监测 数学 命题组长：王景 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部的定义可求解. 【详解】因为复数，所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】化为， 设直线的倾斜角，则，即. 故选：B. 3. 对于空间中不同的平面，不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线,平面等的位置关系判断或举出反例即可. 【详解】若，则或相交，如墙角处的三个平面，两两互相垂直，此时和相交，故A错误. 若，则和可能平行、相交或异面，故B错误. 若，则和可能平行、相交或异面，故C错误. 若，根据直线与平面垂直的性质定理可知，故D正确. 故选：D. 4. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可. 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 在某校新高考物理方向的学生中，有的同学选了生物学科，的同学选了地理学科，的同学选了生物学科或地理学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了地理学科，则该同学选了生物学科的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率结合题意即可求出. 【详解】记：该同学选了地理学科，：该同学选了生物学科， 由题意得, 则． 则． 故选：A． 6. 已知双曲线的离心率为的渐近线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据离心率求出之间的关系，再求出双曲线的渐近线的方程，最后根据直线与圆相切的性质得到关于的方程，求解即可. 【详解】双曲线的离心率为，， 又，即，， 又双曲线的渐近线方程为，由，得，即， 圆与渐近线相切，，解得. 故选：D. 7. 遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（ ） A. 150种 B. 180种 C. 240种 D. 300种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出将5本不同的宣传册分成3组的情况，再计算分配方式即可求出. 【详解】第一步：分组 将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况： ①3－1－1型：分组数为（种）； ②2－2－1型：分组数为（种） 合计：（种）． 第二步：分配 将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）． 根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）． 故选：A． 8. 已知椭圆，点，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用距离公式得到，再结合恒成立，最后根据离心率的公式即可求出. 【详解】设，则，故 则， ，所以是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，即时，又因为，故此时， 则在时，有最小值为， 又恒成立，符合题意，则； 当时，即， 在时，有最小值为， 又恒成立，， 即，则，即，矛盾； 综上，的离心率的取值范围为. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【详解】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC 10. 某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举所有基本事件，由古典概型概率公式，结合选项逐一求解判断即可. 【详解】记2位男生分别为，3位女生分别为，第一位出场的有5种等可能的结果， 对应第一位出场的每个可能结果，第二位出场的都有4种等可能的结果， 将前两位出场的结果配对，组成20种等可能的结果，用表格表示如下： 第一位 第二位 × × × × × 第一位出场的是男生的可能结果有8种（表中第1、2行），所以，故A正确； 第二位出场的是女生的可能结果有12种（表中第3、4、5列），所以，故B错误； 事件，有6种结果，所以，故C正确； 事件表示第一位出场的是女生，故事件，有6种结果， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，且抛物线过点．过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，过点分别作抛物线的切线，且两直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 若直线的斜率分别为，则 C. 存在点，使得 D. 面积的最小值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】点代入抛物线即可得到点的坐标；设，直线的方程为，与抛物线联立结合韦达定理即可得到；利用抛物线的定义即可证明选项C，先求出，再得到与轴平行，故面积表示为计算即可. 【详解】将点代入抛物线的方程，得，所以抛物线，，故A正确； 设，直线的方程为． 由． 所以，故B正确； 由抛物线的定义可得 则，，此时无解，故C错误； 由题意，得直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 又因为，所以，即点在抛物线的准线上． 记的中点为，所以，所以与轴平行， ， 又因为，，即， 所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的真子集个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先确定集合，再求其真子集. 【详解】根据题意，集合， 所以集合的真子集有：，共3个. 故答案为：3 13. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 14. 如图，已知棱长为6的正四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，则平面把正四面体分成上、下两部分体积之比是______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过找到四个相互平行的平面利用每相邻两个平面间的距离都相等求出正四面体上、下两部分的体积即可. 【详解】如图所示，为棱上的两个三等分点，为棱的中点，为棱的中点． 平面为平面，平面为平面．平面与平面分别过点且和平面都平行． 因为， 所以， 所以． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图是函数的部分图象，其中． （1）求． （2）设函数，求的值域及单调增区间． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求得函数的解析式； （2）由（1）化简得到，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象，可得函数的最小正周期为，所以， 又由，可得，解得， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 解：由（1）知：， 可得 ， 因为，所以，所以的值域为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 16. 在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． （1）求圆的方程． （2）若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）根据圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，进而求得相交弦的方程， 【小问1详解】 由题可设圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，解得或， 所以圆的方程为或． 【小问2详解】 当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则，可得，所以圆和圆相交，符合题意， 设两圆交于，两点， 由圆，可化为 联立方程组，两式相减，可得， 即的直线方程为，所以点到直线的距离， 根据圆的弦长公式，可得； 当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 可得，此时，两圆相离，不符合题意． 综上可得，圆与圆的公共弦长为． 17. 如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2． （1）若，证明：平面平面． （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接． 由题意，得． 所以，所以． 又因为为正三角形，为的中点， 所以． 因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直进而证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，通过已知条件得到点坐标，再写出直线的方向向量与平面的法向量，最后代入公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）结合题意可知，，则二面角的平面角为，所以． 以为坐标原点，过点作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，． 设平面的一个法向量为． 由得． 因为，所以． 设直线与平面所成角为，则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 为深入贯彻党的教育方针和新时代军事战略方针，落实立德树人与强军目标，立足革命老区，传承红色基因，强化国防教育，遵义四中将在2028届高一年级组建遵义四中第一届“长城计划•国防班”．进国防班要求男生身高165cm及以上，女生身高160cm及以上．已知某届高一年级共有1200名学生，其中男生人数与女生人数之比为3:2．为了解我校高一年级全体学生的身高情况，按性别进行分层抽样，抽取一个样本容量为25的样本，并观测样本身高数据（单位：cm）．下表是抽取的女生样本的数据： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 158 156 163 169 155 157 161 160 162 159 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差． （1）用女生样本数据估计高一年级女生身高符合国防班要求的人数． （2）在女生样本中任抽3人，记这3人中身高达到进国防班要求的人数为，求的分布列及数学期望． （3）若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．（参考数据：） 【答案】（1）240 （2） 的分布列如下： 0 1 2 3 期望为 （3）159， 【解析】 【分析】（1）根据女生样本中身高符合要求的频率可直接估计总体中对应的人数； （2）先求出身高达到进国防班要求的人数为的概率，再列表格带入期望公式即可； （3）剔除偏离值后，根据平均数的公式可得新的平均数，根据原数据方差可得，进而利用方差公式求得新的方差. 【小问1详解】 由题意，知样本中身高符合国防班要求的女生频率为，高一女生一共有（人）， 故估计高一年级女生身高符合国防班要求的人数为（人）. 【小问2详解】 的取值集合为． 则， ， ， ． 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望． 【小问3详解】 由题意，得． 因为，所以169为偏离值． 剔除偏离值后的样本女生身高平均数． 由， 得． 剔除偏离值后的样本女生身高的方差 ． 19. 平面直角坐标系中，是圆上一动点，点，线段的中垂线交线段于点，交圆于两点，记的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）证明：直线与相切． （3）当位于点时，延长交圆于另一点，证明：内切于． 【答案】（1） （2） 设直线，联立方程组，得， 则直线与相切当且仅当． 化简，得． ①当直线斜率不存在时，即点位于点或时，易知直线与相切； ②当直线的斜率存在时，即点不位于点和时，设， 则线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的中垂线的方程为， 即． 因为， 所以， 即．故直线与相切，得证． （3） 当位于点时， 易得直线的方程为，直线的方程为． 设，联立方程组，得， 所以，所以． 易得，联立得， 设，过点作与相切且异于直线的切线． 由（2），得，即， 所以． 因为，， 所以． 联立直线方程， 代入，得， 即． 所以． 将代入，得． 解得， 所以直线也经过点，即直线与相切， 设点，过点作与相切且异于直线的切线，， 由（2），得，即， 所以． 因为，， 所以． 联立直线方程， 代入，得， 即． 所以． 将代入，得． 解得． 所以直线也经过点，即直线与相切， 由（2）知，直线与相切． 因为位于内部，所以内切于. 【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆的定义，可得的轨迹为以为焦点，半长轴为3的椭圆，即可得到椭圆的方程； （2）设直线，联立与的方程，若直线与相切，则有化简后的式子只有1个解，即，可得到与的关系，考虑的斜率不存在满足题意后，由圆的方程设出，结合条件得到斜率存在时的方程，经验证满足前面的与的关系，得证； （3）由题意可得的直线方程，联立与圆的方程，得到，易得，联立与圆的方程，可得点坐标的关系式，设，过点作与相切且异于直线的切线，结合条件可解过点，故与相切，同理证明与相切，且在内部，即可证明内切于. 【小问1详解】 由题意，可得，则有， 所以点的轨迹为以为焦点，半长轴为3的椭圆， 所以轨迹的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $