9月学情自测卷（测试范围：第1～2章） 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数与勾股定理，通过旋转楼梯、广播车等真实情境设计，融合抽象能力、几何直观与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数判断、二次根式意义、勾股定理逆定理|第5题估算体现数感，第8题台阶最短路径培养空间观念| |填空题|6/18|平方根立方根、折叠问题、航行角度计算|第13题正方体印章与长方体木匣结合实际应用| |解答题|8/72|实数运算、数轴作图、旋转楼梯展开、广播车覆盖范围|21题圆柱侧面展开求扶手长发展几何直观，23题广播车问题构建模型意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 3．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 5．若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 9．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则的值为________． 12．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 13．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 14．如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 15．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 16．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算题 (1) (2) (3) (4) 18．（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 19．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 20．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 21．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 22．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 23．春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 24．如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，需先排除实数范围内无意义的数，再根据无理数（无限不循环小数）的定义逐一判断即可． 识别无理数时，需先排除非实数，再紧扣“无限不循环小数”的定义判断，注意分数和有限小数都属于有理数． 【详解】解：∵的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不属于实数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数、是有限小数，均为有理数； ∴无理数共有3个， 故选：C． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 3．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负，即， 解得． 4．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【答案】B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 5．若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的应用及无理数的估算，通过解方程得到，然后比较相邻整数的平方以确定 的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 即m在4和5之间， 故选：C． 6．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先化简，结合最简二次根式可合并的条件列方程求解. 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴与的被开方数相同， ∴， 解得． 7．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 9．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 10．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入，化简各个二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 12．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 13．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 14．如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，进而得到，即可得到点所表示数，最后求出点所表示数的相反数即可得到答案． 【详解】解：由图可知，， ，则点所表示数为， 数轴上点所表示数的相反数是． 15．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 16．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键． （1）先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可； （2）将利用完全平方公式进行变形，得到，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 则， ， 即， ∴． 19．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2) 点表示的数即为； (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）略 （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 20．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】（1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 21．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1) 如图3所示，线段即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 22．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 23．春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) 解：过点作于点， 则， 即， 解得（米）， ∵， ∴嘉嘉在家能听到广播； (2)嘉嘉在家能听到广播 (3)秒 【分析】（）利用勾股定理的逆定理解答即可求解； （）过点作于点，利用三角形的面积可得米，进而即可判断求解； （）利用勾股定理可得米，即得米，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下： ，， ， ∴是直角三角形； （2）略 （3）解：由题意得，在中，（米）, 同理得，（米）， （米）， ∵（秒）， ∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是秒． 24．如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 又， ， ； （3）解：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $