2026-2027学年北师大版 八年级数学上册月考自测卷（第1-2章）

**基本信息** 本卷聚焦八年级数学第1-2章，以实数运算与勾股定理为核心，通过攀岩路径、勾股树等情境题及规律探究题，考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、直角三角形判定|第7题攀岩最短路径，体现空间观念与应用意识| |填空题|6/18|算术平方根、勾股树面积|第13题勾股树结合文化传承，考查模型观念| |解答题|9/72|赵爽弦图、规律探究|第22题“穿墙”数规律探究，培养创新意识与推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期月考自测卷（第1-2章） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．3，4，5 D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 5．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 7．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 8．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 9．如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（     ） A． B． C． D． 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．25的算术平方根是________，的立方根是________． 12．在与之间的整数是__________． 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 15．观察数表： 第1行：，2，；第2行：，，；第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 16．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求下列式子中x的值：． 18．如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 19．按要求完成下列各题： (1)求出下列各数：①绝对值等于的数；②的立方根；③的相反数； (2)将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上； (3)将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 20．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ；． (2)求证：． 证明：∵是的平方根，∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________；依据：__________________． 计算：． 21．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 22．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 23．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 25．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 参考答案 一、选择题 1．B 解：A,，不符合题意； B, ，符合题意； C,，不符合题意； D,，不符合题意． 2．A 解：A. ，，，不能构成直角三角形， B. ，能构成直角三角形， C. ，能构成直角三角形， D. ，能构成直角三角形． 3．D 解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 4．B 解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 5．C 解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 6．B 解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是． 7．C 解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 8．B 解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 9．C 解：在中，，，， 由勾股定理得 ， 由折叠的性质可知 ， ， ， 点在的延长线上， ， 设，则 ， ， 在中，， 由勾股定理得即， 解得， ． 10．B 第1次操作后：，，，和； 第2次操作后：，，，，和； 第3次操作后：，，，，，和； 第4次操作后：，，，，，，和； 第5次操作后加项为，和； 第6次操作后加项为，和； 第7次操作后加项为，和； 第8次操作后加项为，和； 第次操作后的和的周期为． 验证①：第4次操作后和为，故①正确； 验证②：第7次操作后二次根式串为，，，，，，，，，不相同的二次根式共个，故②错误； 验证③：， ，故③错误； 综上，正确的结论只有1个． 二、填空题 11． 解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 12．7 解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 13． 解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 14． 解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 15． 解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 16．6 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 三、解答题 17．（1）解：原式 ． ， 或． 18．（1） 证明：， 设． ． ． 是直角三角形； （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积． 19．（1）解：①绝对值等于的数为；②的立方根为；③的相反数是； (2) (3) 20．（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方； 平方根的定义； 原式． 21．（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 22．（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 23．（1）解：（1）①设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵两正方形A和B，它们的面积分别为和，且，， ∴（），（）， ∴长方形的宽为（），长方形的长为（）， ∴长方形的面积为（）， ∴阴影部分面积为：（）， 故答案为：，，； ②不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∵长方形的面积为， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴， 答：不能裁出符合要求的长方形； （2）如图2， ∵两正方形和面积分别为和， ∴大正方形的边长为，小正方形边长为， ∴，， ∴， ∴图2中右边的正方形的面积为， ∵图2中左边图形面积=右边正方形面积， ∴， ∴． 24．（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 25．（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $