2.4.2分式方程 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的解法与增根，通过旧知回顾（分式方程定义、一元一次方程解法等）衔接新知，以具体方程示例引出探究，搭建从已有知识到新内容的学习支架。 其亮点在于以转化思想为核心，通过问题链引导学生理解去分母的依据，结合实例（如含参方程增根判断、解的正负取值范围）培养数学思维与应用意识，课堂小结分层梳理知识方法思想，帮助学生构建体系，教师可提升教学效率。

第2章 分式与分式方程 （新教材）鲁教版五四制 · 八年级上册 2.4.2 分式方程 主讲人： 1.7.2013 ‹#› 01 学习目标 理解分式方程必须检验的原因，掌握解分式方程的一般步骤（去分母、解整式方程、检验）； 能正确解可化为一元一次方程的分式方程； 理解增根的概念，知道产生增根的原因，能判断并舍去增根。 1.7.2013 ‹#› 旧知回顾 1.分母中含有 的方程叫做分式方程. 未知数 2.方程的解：使方程左右两边 的未知数的值叫方程的解. 3.解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 相等 4. 还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课列出的分式方程 你能求出这个分式方程的解吗？ 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究一：分式方程的解法 例1：解方程: 为什么可以两边同乘？ 解这个方程，得 . 左边=1，右边=1，左边=右边. 检验：将代入原方程，得 ∴是原方程的根. 方程两边都乘，得 x=3（x－2）. 解：∵分式中分母不能为零， ∴x≠2，且x≠0. 去分母后，分式方程变成了什么方程？ 1.7.2013 学生活动： 1. 回忆并口答分数乘除法法则。 2. 在练习本上写出算式并计算。 3. 同桌互相检查。 ‹#› 新知探究 探究一：分式方程的解法 解分式方程的基本思路 一般地，解分式方程时，先将方程两边都乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程。 一般步骤： 去分母 解整式方程 检验 1.7.2013 学生活动： 1. 回忆并口答分数乘除法法则。 2. 在练习本上写出算式并计算。 3. 同桌互相检查。 ‹#› 新知探究 探究一：分式方程的解法 练一练 1.解方程: . ． 解：方程两边都乘 ，得 解这个方程，得 ． 检验：将代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边. ∴是原方程的根． 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：分式方程的增根 尝试·交流 你会解吗？小亮的解法如下： 你认为是原方程的根吗？与同伴进行交流。 在这里，不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零。 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：分式方程的增根 分式方程的增根 像这样，在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 方程为什么会产生增根呢？ 产生增根的原因是，我们在方程的两边都乘了一个使分母为零的整式。 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 为了简便，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。 如果所得到的根是原方程的增根，应当舍去。 1.7.2013 学生活动： 1. 回忆并口答分数乘除法法则。 2. 在练习本上写出算式并计算。 3. 同桌互相检查。 ‹#› 新知探究 探究二：分式方程的增根 例1：解方程: 解这个方程，得 . 方程两边都乘，得 x=3（x－2）. 解：∵分式中分母不能为零， ∴x≠2，且x≠0. 左边=1，右边=1，左边=右边. 检验：将代入原方程，得 ∴是原方程的根. 经检验，x=3是原方程的根 1.7.2013 学生活动： 1. 回忆并口答分数乘除法法则。 2. 在练习本上写出算式并计算。 3. 同桌互相检查。 ‹#› 新知探究 探究二：分式方程的增根 ∴原方程无解. 例2：解方程: 方程两边同乘，得 x+1=2x 解这个方程，得1. 经检验，是原方程的增根 1.7.2013 ‹#› 新知探究 探究二：分式方程的增根 练一练 2.解方程: . 方程两边都乘 ，得 解这个方程，得 ． 检验：当时，=0 ∴是原方程的增根． 解： ∴原方程无解. 1.7.2013 ‹#› 巩固练习 1. 解下列方程： （1） （2） （3） 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 巩固练习 解： （1） （2） 经检验，是原方程的增根． 经检验，是原方程的增根． 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 巩固练习 解： （3） 检验：当时，=0 ∴是原方程的增根． ∴原方程无解. 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 巩固练习 2. 若关于的分式方程 有增根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 0 3. 若关于的分式方程 无解，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. -1 D. 0或3 4. 若关于的分式方程 无解，则的值为 . 5. 若关于的分式方程 的解是正数，则k的取值范围 是 . 6. 若关于的分式方程 的解是负数，则的取值范围 是 . A C 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 巩固练习 7. 若关于的分式方程 的解是正数，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 8. 若关于的分式方程 的解为负数，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 9 若关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是 . D D ≤1且 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 巩固练习 10. 在解分式方程 时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘，得， ……第一步 解这个整式方程得： ……第二步 任务一：在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误原因是： . 任务二：请写出解这个方程的正确过程。 任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项再提出一条建议。 一 去分母时，常数项没有乘（x-2） 解分式方程一定要检验 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 巩固练习 10. 在解分式方程 时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘，得， ……第一步 解这个整式方程得： ……第二步 任务二：请写出解这个方程的正确过程。 解： 检验：当时，， ∴是方程的增根 ∴原方程无解 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 课堂小结 知识梳理 02 方法层面 1. 转化法：分式方程转化为整式方程 2. 相反数处理：分母互为相反数时，先提取负号化为同分母。 3. 先合并再解：同分母分式先通分合并成一项，再解方程。 4. 含参问题：把参数当常数解出未知数，再利用 "增根 / 无解 / 解为正（负）数" 的条件，列方程或不等式求参数范围（注意排除使分母为零的参数值）。 5. 简便检验：只把解代入最简公分母，不为零即原方程的根。 03 思想层面：类比思想、转化思想、整体思想 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 课后作业 基础作业 1. 完成课本第45页习题2.4.2第1、2题 2. 完成同步练习册同步训练的基础巩固部分 提升作业 1. 完成课本第45页习题2.4.2的问题解决3、4题 2. 完成同步练习册同步训练的能力提高部分 拓展作业 京张高铁问题中，设速度 x 和设时间 y 都能列方程，你更喜欢哪种？理由是什么？ 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 课堂小结 知识梳理 01 知识层面 1. 解分式方程的一般步骤： ① 确定最简公分母（各分式分母的最小公倍式）； ② 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ③ 解整式方程； ④ 检验：把解代入最简公分母，值不为零才是原方程的根，为零则是增根，应舍去。 2. 增根：方程变形中产生的、使原方程分母为零的、不适合原方程的根。 3. 产生增根的原因：去分母时两边同乘了使分母为零的整式。 4. 无解的两种情况：①出现增根；②化为整式方程后无解。 两种情况都答 "原方程无解"。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 谢谢！ 1.7.2013 同学们好！今天，让我们一起踏上一段穿越时空的数学之旅，回到古代中国，探寻几何的源头。我们将要学习的“三角形”，不仅是现代数学的基础，更是我们祖先在丈量土地、观测星象、建造宫殿时智慧的结晶。这节课，我们将从现代的视角出发，结合古代的智慧，重新认识这个熟悉又陌生的图形。 ‹#› $