第二章 分式与分式方程（复习课件）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式与分式方程的概念、性质、运算及应用，通过知识图谱和方法技巧（如从整式到分式的延伸、性质与运算的联系、转化思想）构建完整知识网络，体现知识点间的内在逻辑。 其特色在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”模式，通过类比分数学习分式性质培养数学思维，转化分式方程为整式方程提升运算能力，设计含参讨论题和实际应用题发展建模意识，分层训练满足不同学生需求，帮助教师精准复习，有效巩固知识并提升学生核心素养。

单元复习课件 第二章 分式与分式方程 新教材鲁教版五四制·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解分式、分式方程的相关概念，掌握分式的基本性质与运算法则，熟练进行分式化简、运算及整数指数幂运算，明确分式方程的解法与验根要求 3.构建本章知识体系，总结易错点与解题规律，培养严谨细致的运算习惯、反思归纳能力，感受分式在实际生活中的应用价值，提升数学核心素养。 2. 通过类比、转化等数学思想，提高分式运算的准确性与规范性，能根据实际问题中的数量关系列出分式方程并求解，增强数学建模与问题解决能力。 单元学习目标 分式与分式方程 分式的概念 分式的基本性质 分式乘除法法则 分式加减法法则 分式方程 分式方程的解法 分式方程的应用 单元知识图谱 方法技巧 【知识点联系详解】 01 从整式到分式 分式是整式的延伸，当除法运算的分母中含有字母时便产生分式，是本章的学习起点。 02 性质是运算的基础 分式的约分、通分及所有四则运算，都严格遵循分式的基本性质展开。 03 运算为解方程服务 熟练掌握分式运算，特别是通分技巧，是后续顺利解分式方程的必备技能。 04 转化思想是核心 解分式方程的核心思想是“转化”，即将未知的分式方程转化为已知的整式方程求解。 05 验根是必要步骤 由于去分母的操作可能产生“增根”，因此检验根的有效性是必不可少的一步。 06 应用是最终目的 学习分式与分式方程，最终是为了解决生活中的实际问题，体现数学的应用价值。 单元知识图谱 知识点一、分式相关概念 1．概念：一般地，形如 （其中A，B表示两个整式，并且B中含有字母）的式子是分式． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式； （2）分式有意义的条件：B≠0； （3）分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 考点串讲 知识点二、分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）. 2.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.   考点串讲 知识点三、分式运算 1.分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 2.分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 考点串讲 知识点三、分式运算 3.分式的乘除分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即   考点串讲 知识点三、分式运算 考点串讲 知识点三、分式运算 考点串讲 知识点四、分式方程 5. 解分式方程的一般步骤： ①在方程的两边都乘最 ，约去分母，化 方程； ②解这个整式方程； ③______． 2.在分式方程化为整式方程的过程中， 若整式方程的根使原分式方程的分母为___，我们称它为原方程的增根． 3.解分式方程检验时，可以直接把根代入最简公分母， 看最简公分母是否为___，若为___，则是原分式方程的 增根； 若最简公分母不为____，则是原分式方程的解． 简公分母 整式 检验 零 零 零 零 4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 考点串讲 知识点四、分式方程 6.增根应满足两个条件： 一是其值应使最简公分母为0， 二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 7.分式方程检验方法： 将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 考点串讲 知识点五、分式方程的运用 1.列方程应用题的步骤 (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系； (2)设：选择恰当的未知数,注意单位； (3)列：根据等量关系正确列出方程； (4)解：认真仔细； (5)检：不要忘记检验； (6)答：不要忘记写。 考点串讲 题型一、概念辨析题 1．下列选项中是分式的是（　　） A． B． C． D．＋x 2．（1）当x_________时，分式 的值为0；  （2）当y______________时，分式 有意义．  C ＝－1 取任意实数 题型剖析 题型一、概念辨析题 1．已知分式 ． （1）当x取什么值时，分式有意义？ （2）当x取什么值时，分式值为0？ 解：（1）由分母x－3≠0，得x≠3． 所以当x≠3时，分式 有意义． （2）由题意，得2x＋1＝0，且x－3≠0． 解得x＝－． 所以当x＝－ 时，分式 的值为0． 题型剖析 题型一、概念辨析题 2．（新BS八下P145）当x取什么值时，下列分式有意义？ （1）；（2）；（3）． 解：（1）由分母1－x≠0，得x≠1， 所以当x≠1时，分式 有意义． （2）由分母（1－x）2≠0，得x≠1， 所以当x≠1时，分式 有意义． （3）当x≠0时，分式 有意义． 题型剖析 题型二、分式化简与求值 3．填空： （1）＝；（2）＝； （3）＝；（4）＝． 4．下列运算正确的是（　　） A．·＝ B．÷＝ C．（－m2）3·＝2m5 D．－＝a－1 D 题型剖析 题型二、分式化简与求值 5．化简：÷． 解：原式＝· ＝· ＝． 题型剖析 题型二、分式化简与求值 6．化简：·＋． 解：原式＝·＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ＝＝． 题型剖析 题型二、分式化简与求值 4．简：÷． 解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝． 题型剖析 题型二、分式化简与求值 7．先简，再求值：÷，其中x＝－1． 解：原式＝÷＝÷ ＝·＝． 当x＝－1时，原式＝＝． 题型剖析 题型三、解分式方程 1．解方程：＋＝0． 解：方程两边都乘x（x－2）， 得x＋x－2＝0． 解这个方程，得x＝1． 经检验，x＝1是原分式方程的根． 题型剖析 题型三、解分式方程 2.解方程：－1＝． 解：方程两边都乘2x－1， 得x－2－（2x－1）＝－1， 解这个方程，得x＝0． 经检验，x＝0是原方程的根． 题型剖析 题型三、解分式方程 3．解方程：－1＝． 解：方程两边都乘（x＋3）（x－3）， 得x（x－3）－（x＋3）（x－3）＝18． 解这个方程，得x＝－3． 经检验，x＝－3是原分式方程的增根． 所以，原分式方程无解． 题型剖析 题型四、含参分式方程讨论题 D 2.已知关于x的方程 解为正数,求m的取值范围. m＜6且m≠3 3.若关于x的方程有增根 有增根，试 求k的值. 题型剖析 题型四、含参分式方程讨论题 解：方程的两边都乘（x－2）（x＋2）， 得（x＋k）（x－2）－k（x＋2）＝x2－4. 整理，得x＝2－2k. ∵x为非负数，且x＋2≠0，2－x≠0， ∴2－2k≥0，且2－2k≠±2.∴k≤1且k≠0. 又∵k是非负整数，∴k＝1. 题型剖析 题型五、分式方程应用题 1.A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程____________________． 2．某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，已知用880元购进甲礼盒的数量是用400元购进乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则根据题意可列方程为___________．  ＝2× 题型剖析 题型五、分式方程应用题 3．某商场预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，上市后果然供不应求．商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元． （1）求两次所购数量分别是多少． （2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，最后剩下150件按8折销售，很快全部售完．商场销售这两批衬衫共盈利多少元？ 题型剖析 题型五、分式方程应用题 解：（1）设第一批购进x件这种衬衫，则第二批购进2x件这种衬衫． 根据题意，得 －＝4． 解得x＝2 000． 经检验，x＝2 000是原方程的根，且符合题意． ∴2x＝2×2 000＝4 000． 答：第一批购进2 000件衬衫，第二批购进4 000件衬衫． 题型剖析 题型五、分式方程应用题 （2）设商场销售这两批衬衫共盈利y元． 根据题意，得y＋80 000＋176 000＝58×（2 000＋4 000－150）＋80%×58×150． 解得y＝90 260． 答：商场销售这两批衬衫共盈利90 260元． 题型剖析 题型剖析 题型五：分式方程的应用 解题六步法 ▍ 核心解题 · 六步闭环 01. 审清题意 找已知量与未知量，抓等量关系 02. 巧设未知数 直接设或间接设，用字母表示 03. 列出方程 依据等量关系，建立分式方程 04. 求解方程 去分母转化为整式方程求解 05. 双重检验 验根（增根）+ 验实际意义 06. 规范作答 写出符合实际的最终答案 ▍ 常见 · 典型应用模型 行程问题 (路程模型) 核心公式：路程 = 速度 × 时间。常涉及“往返”、“相遇”、“追及”等场景。 工程问题 (效率模型) 核心公式：工作量 = 工作效率 × 时间。通常将“总工作量”设为单位“1”。 销售利润问题 (经济模型) 核心公式：利润 = 售价 - 成本；利润率 = (利润 ÷ 成本) × 100%。 1.7.2013 解决分式方程应用题，我们可以遵循“审、设、列、解、验、答”这六步法。首先要仔细审题，找到题目中的等量关系，这是列方程的关键。然后设未知数，根据等量关系列出方程。解完方程后，一定要进行双重检验：既要检验是否为增根，也要检验解是否符合实际情况，比如人数、长度不能为负数。最后写出完整的答案。常见的应用题型包括行程问题、工程问题和利润问题等。 ‹#› 考点 01 · 分式有（无）意义的条件 核心法则：分式有意义的唯一条件是“分母 ≠ 0”。若分母为0，则分式无意义。 例：分式 1/(x-2) 有意义 ⇨ x ≠ 2。 考点 02 · 分式值为 0 的条件 核心法则：必须同时满足两个条件：① 分子 = 0；② 分母 ≠ 0。缺一不可。 例：(x-3)/(x+1)=0 ⇨ x=3 且 x≠-1 ⇨ x=3。 考点 03 · 分式的值（化简求值） 核心策略：先利用因式分解化简分式，再代入数值计算，避免复杂运算。 例：x=2时，(x²-4)/(x+2) = x-2 = 0。 考点 04 · 分式的规律探究 核心方法：观察分式序列中“符号、分子、分母”的独立变化规律，归纳通项公式。 提示：注意奇偶项的符号交替（如(-1)ⁿ）。 核心考点 题型剖析 针对训练 A 1.要使 与 的值相等，则x= . 2.把a千克盐溶于b千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x千克，则其中含盐（　 ）千克. A. B. C. D. 3.已知a= ，求 的值. 4.已知关于x的分式方程 出现增根x=-1，求k的值 . 6 20 k=-2 针对训练 针对训练 6．先简，再求值：÷－，其中a，b满足b－2a＝0． 解：原式＝·－＝－＝． ∵b－2a＝0，∴b＝2a． ∴原式＝＝＝． 针对训练 7.为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？ 针对训练 8．在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3 600 m2的区域进行绿，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲、乙两工程队每天能完成绿的面积之比是3∶2，如果两工程队各自独立完成600 m2的绿面积，那么甲工程队比乙工程队少用4天． （1）甲、乙两个工程队每天能完成绿的面积分别是多少？ （2）若甲工程队每天绿费用为1.2万元，乙工程队每天绿费用为0.5万元，社区要使这次绿的总费用不超过40万元，且乙工程队施工时间不超过63天，则一共有多少种安排方案？请直接写出总费用最少的方案（工作天数为整数）． 针对训练 解：（1）设甲工程队每天能完成绿的面积是3x m2，则乙工程队每天能完成绿的面积是2x m2． 根据题意，得 －＝4．解得x＝25． 经检验，x＝25是原方程的根，且符合题意． ∴2x＝25×2＝50，3x＝25×3＝75． 答：甲、乙两个工程队每天能完成绿的面积分别是75 m2，50 m2． 针对训练 （2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿任务． 根据题意，得75a＋50b＝3 600．∴a＝． 根据题意，得1.2×＋0.5b≤40． 解得b≥＝58． 又∵b≤63，且b是整数，a＝ 也是整数， ∴b的值可取60或63． 答：共有2种方案，安排甲工程队施工18天，乙工程队施工63天时施工总费用最少． ✅ 知识构建： 分式与分式方程→类比分数理解分式定义与性质，掌握分式运算；结合一元一次方程，掌握分式方程解法、验根方法，解决实际应用问题。 ✅ 思想方法： 类比思想：分数到分式的性质与运算迁移 转化思想：分式方程→整式方程，实际问题→数学模型 建模思想：抽象实际问题为分式方程，提升应用能力 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! 1．若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为(　　) A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 2．若k是非负整数，且关于x的分式方程 ＋＝1的解为非负数，求k的值． eq \f(200,x) － eq \f(200,x＋15) ＝ eq \f(1,2) 解：原式＝÷＝÷＝·＝. 5．计算：÷. 解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种 (1＋20%)x棵， 依题意得eq \f(4000,x)－eq \f(4000＋80,（1＋20%）x)＝3，解得x＝200， 经检验x＝200是原方程的解，所以eq \f(4000,200)＝20. 答：原计划植树20天 $