2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省佛山市适用）

**基本信息** 2026-2027学年高二数学月考模拟卷，以直线与方程、空间几何、概率统计为核心，通过餐馆好评率分析、停车场收费计算等真实情境，考查数学眼光观察现实世界的能力，适配高二上学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直线倾斜角、空间向量、独立事件|第6题结合双网站好评率数据，考查加权平均的数学思维| |填空题|3/15|点对称、比赛概率分配|第13题以比赛终止情境，考查古典概型的数学语言表达| |解答题|5/77|立体几何向量运算、概率综合应用|第15题停车场收费概率计算，第16题平行六面体向量表示，体现逻辑推理与空间观念|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省佛山市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直线方程得到斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的范围求解. 【详解】因为直线方程为， 所以斜率， 因为倾斜角的范围是， 所以倾斜角. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．两条平行线与间的距离为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用距离公式可求两平行线之间的距离. 【详解】的方程可化为， 故之间的距离为 ， 故选：B. 【点睛】本题考查两条平行线之间的距离的计算，注意将两条平行线方程中的系数和的系数化成对应相等的形式，本题为基础题. 3．已知直线与直线平行，则（   ） A． B．或0 C．1 D．1或0 【答案】B 【分析】根据平行关系列式求解，并代入检验即可. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 若，直线与直线平行，符合题意； 若，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或0. 故选：B. 4．已知四面体ABCD如图所示，其中点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助重心的性质及空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由点为的重心，故， 则，即， 则. 故选：D. 5．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则CD的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二面角的平面角的定义可得，利用向量法求的模即可． 【详解】由二面角的平面角的定义知向量， 所以， 得， 由得， 因为，所以 ， 可得. 故选：A. 6．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（    ） 网站①评价人数 网站①好评率 网站②评价人数 网站②好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁 【答案】D 【分析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答. 【详解】餐馆甲的总好评率为：， 餐馆乙的总好评率为：， 餐馆丙的好评率为：， 餐馆丁的好评率为：， 显然，所以餐馆丁的总好评率最高. 故选：D 7．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】经过点的直线方程为，即， 故直线的一个方向向量为， 又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 故选：A 8．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（     ） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D．事件与相互独立 【答案】BD 【详解】由题意：事件，事件，事件， 由于，所以事件B与C不互斥，A错误； 由于，所以，B正确； 由于，即， 即，所以事件A与C不独立，C错误； 由于，即， 即，所以事件与相互独立，D正确. 10．若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】BCD 【分析】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值. 【详解】①三条直线交于同一点， 联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行， ，，， ∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴， 故选：BCD. 11．如图，在长方体中，，点为线段上的 动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．当点M为的中点时，平面 B．当点M为的中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】AC 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 对于A，，，，，， ，即， 而平面，因此平面，故A正确； 对于B，，， 因此=， 因此直线DM与直线BC所角的余弦值为，故B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为， 而的面积为， 因此三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D， ， ，则点到直线的距离为 = == 当且仅当时取等号，故D错误； 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若点关于轴对称，则____________. 【答案】2 【分析】根据空间中点关于坐标轴对称得解. 【详解】因为点关于轴对称, 所以， 所以， 故答案为：2 13．张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得_____元． 【答案】875 【分析】利用独立事件的乘法公式计算李明连赢三局获胜的概率，再用对立事件的概率公式即可求出张华获胜的概率，即可求出张华应该分得奖金. 【详解】由题意，如果比赛继续，李明需要连赢三局才能获胜， 因张华和李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则李明连赢三局获胜的概率为，张华获胜的概率为， 所以张华应分得奖金的，李明应分得奖金的，即张华应该分得元． 故答案为：875 14．已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____. 【答案】 【分析】根据坐标求出直线DF的方程，分析可得直线l与直线DF平行，在DF上取点G，使得，则M为BG的中点，根据两直线垂直斜率的关系，求出直线BG方程，与直线DF联立，可得G点坐标，进而可得M点坐标，即可求得答案. 【详解】由题意，则直线， 如图，点B到直线l的距离最短，在DF上取点G，使得，且直线于点M， 则，即M为BG的中点， 所以，又，则直线， 联立，解得， 由中点坐标公式得，且直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对立事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式进行求解即可. 【详解】（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A， 则； （2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为. 设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M， 甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 则. 因为每人停车的时长是相互独立的，所以， . 16．（15分）在平行六面体中，，，，E为与的交点．    (1)用向量，，表示； (2)求线段的长； (3)求异面直线与所成的角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可. （3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解. 【详解】（1）由题意得， 即. （2）由（1）得 ， 所以线段的长为. （3） ， 所以异面直线与所成的角为. 17．（15分）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因，，， 设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为0时，直线过原点和点， 则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线， 代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）设关于的对称点，则中点在上且， 则， 解得，，故． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故. 因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接. 因为，，所以，均为等边三角形. 取线段的中点，连接，，则，，且. 因为平面平面，平面平面， 且平面，平面， 所以，，两两互相垂直. 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．（17分）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】(1)如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）（ⅱ）， 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省佛山市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．两条平行线与间的距离为（    ） A．3 B． C． D．1 3．已知直线与直线平行，则（   ） A． B．或0 C．1 D．1或0 4．已知四面体ABCD如图所示，其中点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则CD的长等于（    ） A． B． C． D． 6．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（    ） 网站①评价人数 网站①好评率 网站②评价人数 网站②好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁 7．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（     ） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D．事件与相互独立 10．若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 11．如图，在长方体中，，点为线段上的 动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．当点M为的中点时，平面 B．当点M为的中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若点关于轴对称，则____________. 13．张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得_____元． 14．已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 16．（15分）在平行六面体中，，，，E为与的交点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长； (3)求异面直线与所成的角． 17．（15分）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $