不等式专题06利用基本不等式求最值（专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以8类核心方法为纲，系统构建基本不等式求最值的解题体系，实现从方法掌握到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型建模·专项突破|32题（8题型×4题）|直接法、"1"法、配凑法、消元法、换元法、二次商式处理、对勾函数法、恒成立问题转化|从基本不等式直接应用（直接法）到条件转化（"1"法）、式子变形（配凑/换元）、多元消元，进阶至特殊函数（对勾函数）及应用（恒成立），形成"概念-方法-应用"完整链条，培养运算能力与推理意识|

不等式专题06利用基本不等式求最值 目录 A题型建模・专项突破 题型01利用直接法求最值 题型02利用"1"法求最值 题型03利用配凑法求最值 题型04利用消元法求最值 题型05利用换元法求最值 题型06二次与二次(或一次)的商式的最值 题型07对勾函数求最值 题型08基本不等式的恒成立问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01利用直接法求最值 1．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 2．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型02利用"1"法求最值 5．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 6．（2026高一·全国·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 8．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 题型03利用配凑法求最值 9．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 10．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 11．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 12．（2026高一·全国·专题练习）已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 题型04利用消元法求最值 13．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 14．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 16．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型05利用换元法求最值 17．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是_____. 18．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 19．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为__________． 20．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）已知，均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型06二次与二次(或一次)的商式的最值 21．（2026高一·全国·专题练习）设，求的最大值. 22．（25-26高一上·上海·期末）若，则的最小值为________. 23．（25-26高一·全国·课后作业）（1）求当时，的最小值； （2）求当时，的最小值. 24．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为8 题型07对勾函数求最值 25．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 26．（25-26高一上·浙江·期中）设，则的最大值为__________. 27．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 28．（25-26高二下·重庆·阶段检测）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最小值为 题型08基本不等式的恒成立问题 29．（2026高三上·全国·专题练习）已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 30．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 31．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·吉林白城·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 1．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 4．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 7．（26-27高三上·云南曲靖·开学考试）（多选）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 9．（25-26高一上·广西玉林·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 10．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 11．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 13．（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知，且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 14．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 15．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少 (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少 (3)已知，且，求的最大值． 16．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式专题06利用基本不等式求最值 目录 A题型建模・专项突破 题型01利用直接法求最值 题型02利用"1"法求最值 题型03利用配凑法求最值 题型04利用消元法求最值 题型05利用换元法求最值 题型06二次与二次(或一次)的商式的最值 题型07对勾函数求最值 题型08基本不等式的恒成立问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01利用直接法求最值 1．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 2．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 题型02利用"1"法求最值 5．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 8．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 题型03利用配凑法求最值 9．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 10．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 11．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 12．（2026高一·全国·专题练习）已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 题型04利用消元法求最值 13．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 14．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 15．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 【答案】/ 【分析】先对条件变形，通过代换，将变形为，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 16．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】由得出，可判断A选项；由已知等式变形得出，结合基本不等式可判断BCD选项. 【详解】因为，，，等式两边同时乘以可得， 即，即，即， 对于A选项，由得，所以，故，A对； 对于C选项，由可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C对； 对于B选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D错. 故选：ABC. 题型05利用换元法求最值 17．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 18．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式得，结合条件求解. 【详解】由，，得， 又，即， 令，上式为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当时，等号成立， 所以得最小值为1. 故选：A. 19．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 20．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）已知，均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】因为，均为正实数，且， 对A, ，当且仅当时取“=”，正确； 对B， ，当且仅当时取“=”，错误； 对C， ，当且仅当时取“=”，正确； 对D， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”，正确； 故选：ACD. 题型06二次与二次(或一次)的商式的最值 21．（2026高一·全国·专题练习）设，求的最大值. 【答案】1 【解析】，然后利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴∴ 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 【点睛】运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”. 22．（25-26高一上·上海·期末）若，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】通过分离常数的方法将分式转化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】       （当且仅当，即时取等号） ，即的最小值为 故答案为 【点睛】本题考查分式最值的求解问题，关键是能够通过分离常数的方式将所求式子转化为符合基本不等式的形式，从而利用基本不等式求得和的最小值. 23．（25-26高一·全国·课后作业）（1）求当时，的最小值； （2）求当时，的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值； （2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值. 【详解】（1）当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，函数的最小值为； （2）， 当时，，所以， 当且仅当，即在时等号成立， 所以，当时，的最小值为. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要观察题中代数式的形式，若不能直接利用基本不等式，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能利用基本不等式的条件. 24．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为8 【答案】ABD 【分析】利用二次函数性质判断A，利用基本不等式求最值判断BCD． 【详解】因为，，所以，即，又， ，所以时，取得最小值，A正确； ，又， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是，所以的最大值是，B正确； ， 令，则，， ，当且仅当时取等号，所以取得最小值为， 所以取得最小值为，C错； ，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，D正确， 故选：ABD． 题型07对勾函数求最值 25．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为. 【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）由题意，则， 当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以时目标式最小值为16； （3）由，则， 所以， 当且仅当，对应时取等号， 所以，时目标式的最大值为. 26．（25-26高一上·浙江·期中）设，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 27．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；将已知变形为，然后根据“1”的妙用可判断D. 【详解】对A，令，则， 因为在上单调递增，所以，A错误； 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD 28．（25-26高二下·重庆·阶段检测）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最小值为 【答案】BC 【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A，当时，故A错误； 对于B，若，则，即，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，显然， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 令，则，令， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以， 所以 ，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：BC 题型08基本不等式的恒成立问题 29．（2026高三上·全国·专题练习）已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用均值不等式可求实数的最大值. 【详解】因为，故，故， 而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故，故实数的最大值是. 30．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 31．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 32．（25-26高二下·吉林白城·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 1．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 2．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 4．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 6．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 7．（26-27高三上·云南曲靖·开学考试）（多选）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 8．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】根据基本不等式及不等式等号成立的条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C， ，当且仅当， 即，时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 与已知矛盾，所以等号不成立，故D错误. 综上所述，选项BC正确. 9．（25-26高一上·广西玉林·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 【答案】ACD 【分析】选项A，根据不等式的性质进行判断，选项C根据基本不等式进行判断，选项D利用柯西不等式判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，， 两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得， 所以，故B错误， 对于C，由，得， 由，可得，又，所以 ， 当且仅当，时等号成立，故C正确， 对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得， 当时等号成立，故D正确. 10．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 11．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 13．（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知，且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，求出； （2）利用消元法，结合一元二次函数求最值； （3）利用1的妙用，结合基本不等式即可. 【详解】（1）因，，所以，得， 故的取值范围为； （2）因，所以， 因为，所以当时，有最小值，最小值为； （3）因为，， 所以， 等号成立时当且仅当， 故的最小值为. 14．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 15．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少 (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少 (3)已知，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)6， (3) 【分析】（1）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，将各项转化为正数利用基本不等式求解即可. （2）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，构造出积为定值的形式利用基本不等式求解即可. （3）根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为. 16．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为，. 【分析】（1）将目标式变形，借助平方数为非负数求出最小值. （2）利用基本不等式求出最大值，结合取得最大值的条件及恒成立求出范围. （3）利用基本不等式，结合配凑方法求出最大值及的关系. 【详解】（1）由，，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值是2. （2）由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号，而， 因此，则，所以实数的取值范围为. （3）由，得，， 当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为，此时. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $