江西南昌市南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学试卷

莲塘一中2024-2025学年上学期高一11月期中质量检测数学试卷 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.★★若集合A={1,2,3,4,5,7,B={xx-1∈A},则A∩B= () A{1,2,3,4,5} B.{2,3,4,5} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,6} 2.已知a>0且a≠1，下列等式正确的是 Aa-2.a3=a6 Ba=a C.a6+a3=a9 D.a号=1 a园 3.★★下面命题正确的是 A已知x∈R,则“x>1”是“1<1”的充要条件 B.命题“3x≥1，x2<2”的否定是“Hx<1,x2≥2” C.已知x,y∈R,则“x+>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件 D.已知a,b∈R,则“a一3b=0”是“=3”的必要不充分条件 4.★★无字证明即无需语言的证明(proof without words),本质上是一种数学语言，形式上是隐 含数学命题或定理的证明的图像或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字.如 图，C为线段AB上的点，且AC=a,CB=b,O为AB的中点，以AB为直径做半圆.过点 C作AB的垂线交半圆于D.连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则下面可 由CD≥DE进行无字证明的不等式为 () D A画=2a>0.b>0 B.a+b≥√ab(a>0,b>0) 2 C.a2+b≥2ab(a>0,b>0) D. a2+b≥a+b(a>0,b>0) 2 2 5.函数f)=ax+1在区间(-3，+∞)上单调递增则实数a的取值范围是 x+3 A0) a(信切 C.（-3,+∞) D.(-00,-3)U(3,+∞) 6.★★★历史上第一个给出函数一般定义的是l9世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet).一般地， 义胸狄利克函数可定义为：D四)三8，“8其中a,6cR,且a≠6，Q.是Q的补集 以下对D(x)说法错误的是 () 1 A定义域为R B.当a>b时，D(x)的值域为[b,a];当a<b时，D(x)的值域为[a,b] C.D(x)为偶函数 D.D(x)在实数集的任何区间上都不具有单调性 7.★★★已知f(c)= (a-3)c+7a+2,x<1 在（←0，十0）上满足f-f<0,则实数a -ax2+x, x≥1 01一化3 的取值范围为 () A(0,3) &[23) a[] n(号3 8.★★★已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，若对于任意的x,y∈(0，+∞)，都有f(x)+f()= f(则)+2，当x>1时，都有f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为 () A2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.★★下列命题是真命题的为 () A若a>b>0>c>d,则ab>cd B.若a>b,则ac2>bc c若a>b>0且c<0,则总>号 D若a>b且>若，则b<0 10.★★★下列说法正确的有 A若函数f2x-3)的定义域是[-3,3]，则函数f(c+2)的定义域是[0,5] B.f(t)=t与g(x)=V是同一函数 c已知函数。-）=+品，则f四=3 D.函数y=√x2-2x-3的值域为[0，十o∞) 山.★★★几位同学在研究函数f四三1，红e时给出了下面几个结论，其中正确的是 () A函数f(x)的值域为[-1,1] B.若x1≠D,则一定有f(x)≠f(x2) C.f(x)在(0，+∞)上单调递增 2若规定A)-f@,且对托忘的正整数n都有天)-f.a》.则天)一1十对任意 的n∈N恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 ·2 12大（◆）化简：2-(-号+（产+07-V02I°+（号的值为一 13.★★★已知隔函数()过点(2，号)， 若f(a+1)<f(3-2a),则实数a的取值范围是 14★★★设集合A-[0,),B-[号，函数f()- Jo+EA 已知实数x0∈A,且 2-2x,x∈B f(f(x)∈A,则x的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.★★★求下列函数的解析式 (1)已知函数f(c+1)=2x2+4x+3(x≥1)，求f(x: (2)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x+8,求f(x) 16.（◆)★★★已知f(x)=x2-2x-1. (1)判断函数fx)的奇偶性并证明 (2)画出函数图像，并写出函数y=f(x)的单调区间， ·3 17.★★★已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离(m)与速疫(km/h)的平方和汽车总质量积成正 比关系，设某辆卡车不装货物以60km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了20m. (I)当汽车不装货物以36kh的速疫行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？ (Ⅱ)如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍 物5以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车 需经过1s.参考数据：√241≈15.52.) 18★★★函数f()是定义在（一0,0）U(0,+∞)上的奇函数，当>0时，f()=V丘- (1)求f(x)的解析式： (2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式f(x)>0的解集 19.★★★★已知函数f(x)=x2-mx-m. (1)若方程f(x)=-m恰有两个不同的正根，求实数m的取值范围； 2)若g)-✉ ①求g(x)在[1,2]上的最大值(m): ②若3m∈R,对vx∈[1,2]有：g≤c2-2a恒成立，求实数a的取值范围， 1.【答案】B 【分析】先求出集合B,再根据交集概慨念计算即可. 【详解】依题意得，对于集合B中的元素x,满足x-1=1,2,3,4,5,7, 则x可能的取值为2,3,4,5,6,8，即B={2,3,4,5,6,8},于是A∩B={2,3,4,5}. 4 故选：B 2.【答案】D 【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确 【详解】A选项，a>0且a≠1，故a2·a3=a2+3=a,A错误； B选项，a>0且a≠1，故=a-3=a,B错误； a C选项，a5+a3≠a°，C错误； D选项，a>0且a≠1，故a号=1=1 是√a ,D正确 故选：D 3.【答案】D 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合存在命题否定的性质逐一判断即可 【详解】A:显然当心=-1时，<1成立，但是公>1不成立，因此本选项说法不正确， B:命题“x≥1，x2<2”的否定是“Hx≥1，x2≥2，因此本选项说法不正确； C:当x=-3时，显然x+>0成立，但是x>0不成立， 当x>0时，显然|x+>0,所以本选项说法不正确； D:当a=b=0时，显然a-3b=0成立，但是号没有意义， 由号=3→a=3b→a-3动=0，所以本选项说法正确， 故选：D 4.【答案】A 【分析】利用射影定理求得CD,DE,结合CD≥DE整理得出正确答案 【详解】由于AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，圆O的半径为a+也 而CD⊥AB,由射影定理得CD=ACX BC=ab,CD=√ab. 在直角三角形OCD中，CE⊥OD, 由射影定理得CD'=DB×OD,DE=CD ab OD atb' 由CD≥De,所以d≥=2 2ab 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高，有 助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直 角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路 5.【答案】B 【分析】f()=a+2,因为f)在区间(-3，+0）上单调递增，所以函数y=1上-3a x+3 0+3 在区间（-3，+∞)上单调递1 所以1-3a<0,解不等式即可. 【解答】解根据题意，f)=a+1一3，因为fx)在区间(-3，+oo)上单调递增， x+3 所以函数y=1一3在区间(-3，+0)上单调递增， x+3 ·5 所以1-3a<0, 解得a>3’ .1 故选：B. 6.【答案】B 【分析】根据函数D(x)的定义域可判定A;由函数的奇偶性可判定B；由函数的值域可判定C; 由函数的单调性可判定D. 【详解1对守A:因为De=8,8中a,bc几且a≠ 其中QUQ。=R,所以D(x)的定义域为R,故A正确； 对于B,根据函数的对应法则，x是有理数时f(x)=a,当x是无理数时f(x)=b, 所以D(x)的值域是{a,b},故B错误； 对于C:若x∈Q,则-x∈Q,有D(-x)=D(x), 若x主Q,则-xQ,有D(-x)=D(x), 综合可得D(x)=D(-x),所以函数D(x)为偶函数，故C正确； 对于D:由于实数的稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间都有有理 数， 其函数值在a和b之间无间隙转换，所以D(x)无单调性，故D正确， 故选：B 7.【答案】B 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可： 【详解】由fe)在(-m,+∞上满足fe)-<0, 1-1D2 设c1<c2,则f(c)>f(x2),即f(x)在(-∞，+∞)上为减函数 a-3<0 所以六1 -a<0 ,解得号≤a<3, a-3+7a+2≥-a+1 所以实数a的取值范围为[号，3， 故选：B 8.【答案】D 【分析】令x=y=1可得f1)=2,再令x=y=3可得f9)=4,再令x=3,y=9即可得f27), 再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故f(27)的值即为所求 【详解】令x=y=1,则f1)=2,令x=y=3有f3)+f3)=f9)+2, 又f3)=3,所以f(9)=4, 令x=3,y=9,所以f3)+f(9)=f27)+2,所以f27)=5, 设>0>0，则>1，所以f)>2, 所以[+器）-2]=2-会)<0， 则f(c1)<f(x2),故f(x)在(0，+o)上单调递增 所以函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为f27)=5. ·6 故选：D. 9.【答案】CD 【分析】根据列举法，以及不等式的性质，即可判断选项 【详解】若a>b>0>c>d,2>1>0>-2>-3,则2×1<(-2)×(-3)，故A错误； 若a>b,c=0,则ac2=bc2,故B错误； 测。<京，c<0,所以总>总，故C正确， 若a>b>0,则1<1， 若a>b且>名，所以}号-66>0,6-a<0,所以b<0,故D正痛 ab-ab 故选：CD 10.【答案】BCD 【分析】由复合函数定义域可判断A,由函数概念可判断B,由代入法可求C,由二次函数可判 断D. 【详解】对于A:因为f2x-3)的定义域是[-3,3]，即x∈[-3,3]则2x-3∈[-9,3]， 所以x+2∈[-9,3]即x∈[-11,1]即函数f(x+2)的定义域是[-11,1]，错误； 对于B,由于g(x)=√c=x,故正确： 对FC:由e)=+-(e+2,令--1，即=5， 所以f1)=3正 2 确； 对于D:由y=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4，所以函数y=√x2-2x-3的值域为[0，+∞)正确 故选：BCD 11.【答案】BCD 【分析】分x>0,x<0,x=0,利用反比例型函数的性质判断函数的单调性，结合函数的奇 偶性判断其值域，再根据fn+1(x)=f(f(xc)递推得到规律判断 【详解】当>0时，fa)=千2=1-e0,,且f)在(0.+四)上单调递增， 当<0时，f@=产。=-1+亡元e(-1,0),且f在(-，0)上单调递增， 当x=0时，以f(0)=0. 对任意的x∈R,f一x)=,”=一f(),所以f(知)是奇函数，故A错误，B,C正确， 1+-x 因为f()=ff(x)=, 1+2四'6四=f5()=，。 1+3x' 所以f.(x)=ff(m)）=1十nl ,故D正确！ 故选：BCD 12.【答案】1 【分析】利用指数幂的运算法则即得 详解1原赋=g-(3+号誉-1=0-0+号1一号=1 故答案为：1. 13【答案】（号，》 【分析】设出幂函数解析式y=x“代入点待定α，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解 即可得 【详解】设幂函数f)=,因为函数图象过点(2，) 2， 则=竖-2片，解得=合 2 则f)=古=士，其定义域为0，+0)，且fo在(0，+0)单调递减 所以由f(a+1)<f3-2a), a+1>0 可得3-2a>0 ,解得2<a< a+1>3-2a 3 所以实数：的取值范围是（号，号》 故答案为：（号号】 14【答案】（生》 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案 x+7,x∈[0，) 【详解】依题意，f(x)= 2-2a,xe[2,1]1 ∈A,即∈[0，号)，所以fo=+号∈[3， 所以ffe》=+2）=2-2×(+号)=1-2， 依题意1-2[02）.-2[-1,3)e(生2] 而c∈[0.之)，所以x的取值范围为(}，2】 故答案为：（仔号》） 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如 本题中的ff(),则可从f(x)来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解 析式的结构，选择恰当的方法来进行求解 15.【答案】(1)f(x)=2x2+1(x≥2) (2f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4 【分析】(1)令t=x+1,可得ft)=2t+1,即可求f(x; (2)设fx)=ac+b(a≠0)，则有f[f(x)]=a'x+ab+b,利用f[f(x)]=9x+8列方程求解即可 【详解】(1)因为函数f(x+1)=2x2+4x+3, 令t=x+1,则ft)=2(t-1)2+4(t-1)+3=2t2+1, 因为x≥1，所以t≥2， 所以f(x)=2x2+1(x≥2). (2)设fx)=ax+b(a≠0)， 则有f[f(x)]=fac+b)=a(ax+b)+b=ax+ab+b, 因为f[f(x)]=9x+8, 以6d8=g ·8 限6或81 所以f(x)=3c+2或f(x)=-3x-4 16.【答案】(1)f(x)= 「x2-2x-1,x≥0 ,图像见解析(2)y=f(x)的单调增区间为：[-1,0]和 x2+2c-1,c<0 [1,+∞)： 单调减区间为：(-∞，-1)和(0,1) 【分析】(1)由函数解析式，将f(x)整理为分段函数形式，进而画出图像即可； (2)根据图像写出单调区间即可 【详解】(1)fx)= x2-2c-1,x≥0 x2+2c-1,x<0 f(x)的定义域为R,偶函数，证明略。 ∴.图像为： (2)由(1)，根据图像可得 y=f(x)的单调增区间为：[-1,0]和[1，+oo): 单调减区间为：（-00，-1)和(0,1)， 17.【答案】（I)7.2m;(IⅡ)26.3km/h 【分析】(I)设从刹车到停车滑行的距离为x(m),时速为v(km/h),卡车总质量为M,比例常 数为k,然后根据条件求出k的值，得到函数的解析式.然后代入36k/h的速度行驶，汽车从 刹车到停车所滑行的距离. (Ⅱ)再根据滑行距离<到障碍物距离建立不等关系，解之即可求出所求最大限制时速， 【详解】解：(I)滑行的距离为x(m),汽车总质量为M,时速为v(km/h),比例常数为k, 根据题意可得a=kk,将=59，=20代入可得=器=高，所以：=尚 当v=36时，代入上式，可得x=7.2m. ()卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1s.行驶的路程为u,000-0(m), 360018 由20-最-6：21≥5，可得+2万u-1350≤0，解得-252亚 2 ≤u≤ -25+5W241 2 因为v>0,所以0<u≤26.3. 所以最大限制时速应是：26.3km/h, 【点睛】本题考查函数模型的应用，解题关键是正确理解题意，根据所给函数模型列式计算 18.【答案】(1)f(x)= (2)(i)单调递增，证明见解析；(2)[-3，+o∞) 【详解】(1)因为f(x)是定义在（-∞，0)U(0,+∞)上的奇函数 .9 当x<0时，-x>0,则f(-)=--上=一+1=-f(), -x f()=-√x-1 -, x>0 f(x)= {-- ，x<0 则4=29，所以a=2,故f(x)=x2; (2)令0<<，f)-f)=回-是-（网-）=西-V回）-(》 =(√-√)-1二四=（√-√）+二>0.”>0，f)在区间(-0,0)上单调递 0102 增，又函数f(x)是定义在(-0∞，0)U(0,+∞)上的奇函数， ∴.x<0,f(x)在区间(-∞，0)上单调递增 综上，f(x)在区间(-o0,0),上单调递增 (3)由(2)可得，当x>0时，f(1)=0,所以x∈(0,1)，f(x)<0,x∈(1，+∞)，f(x)>0;由 f(x)>0→x∈(1，+∞)； 当x<0时，f(-1)=0,所以x∈（-∞，-1)，f(c)<0,x∈(-1,0)，f(x)>0;由f(x)>0→x ∈(-00，-1)： 综上，x∈(-0-1)U(1,+∞) 1答案】①1，专)月 [1-2m, m<-2 (2)①p(m)= 2-号m -2≤m<号；@(-0，-号]u1,+0). 2m-1, m>号 【分析】(1)设出方程的两根分别为1，c2,根据1十2>0，x1>0,△>0即可解出； (2)①根据m=0,m>0,m<0分类讨论函数h=f的单调性，即可求出： ②由①求出p(m)mim,即可解不等式求出 【详解】（1)设方程f(x)=-m两根分别为c1,c2,因为f(x)=-m等价于x2-mc-m十m2= 0 依题意可得，x1十x2=m>0,c1=m2-m>0,△=m2-4(m2-m)>0, 解得：1<m<专，故实数m的取值范围为1，专)》 (2)Dih()=f()=o-m-m,oE[1,21. 当m=0时，g(x)=x,易知，p(m)=g(2)=2; 当m<0时，g(x)=x-”一m,根据对构函数的单调性易知， g(x)在(0，√一m)上递减，在(W一m,+∞)上递增，而g(x)>0, 所以，p(m)=max{g(1),g(2} 即em=mar1-2加，2号m- 1-2m, m<-2 2-号m,-2≤m<01 当m>0时，根据函数单调性的运算可知，h(x)=x一m一m在[1,2]上单调递增， x ·10 即he)e[1-2n,2n小，所以，gmj=max1-2m2-号m 因为（1-2mP-2-是m-7m-6m+2,所以， o(m)-max 1-2ml,m [2m-1,m≥9 2-号m,0<m<9' [1-2m, m<-2 综上， p(m)= 2-号m, -2≤m<9. 2m-1, m≥号 ②根据①可知，(m=(9）=号，所以依题可得，。-号0≥号恒成立， 解得： a≥1或a≤-号，即实数a的取值范围为(-0，-号]U1,+0). 补证：函数f)=x+(a>0)在(0，@上递减，在(Wa,+0上递增 设046，则)-fe)=a+会会)=@ 因为0<x1<x<√a,所以x1-x2<0,c2<a,即f(c)>f(x), 所以函数f(x)=D+a(a>0)在(0，√a)上递减， 同理可证，函数f(x)=x+a(a>0)在(Wa,+o)上递增. 【点睛】本题第二问的解题关键是分类讨i论，判断h)=f@ 函数的单调性以及g(x)取最大值 的位置，即可得解 .11