1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具性，以概念辨析→求法→应用为逻辑主线，系统训练线面位置关系判定，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面法向量概念及辨析|8题|填空/选择（含多选），考定义、性质及充要条件|从法向量定义出发，辨析垂直关系与向量特性，奠定理论基础| |求平面法向量|8题|选择/解答题，结合坐标系与几何模型求法向量|概念应用，培养坐标运算能力，为位置关系判定提供工具| |直线的方向向量|8题|填空/选择，考方向向量性质及与法向量关系|与法向量并列的基础概念，构建线面关系向量表征体系| |直线、平面平行|8题|解答/多选题，证线面、面面平行|应用方向向量与法向量关系，强化逻辑推理与模型应用| |直线、平面垂直|8题|解答/多选题，证线面、面面垂直|深化向量垂直条件应用，提升空间几何证明能力|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 （题型专练）原卷版 平面法向量的概念及辨析知识点01 1．（2026高三·全国·专题练习）平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个________，且表示的有向线段所在的直线与平面________，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 2．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 4．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 7．（25-26高二下·江苏·阶段检测）（多选）设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 8．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 求平面法向量知识点02 9．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 10．（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 11．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 15．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 直线的方向向量知识点03 17．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·四川成都·期中）平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 19．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 20．（2025·山东泰安·一模）已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 21．（1.2.1空间中的点、直线与空间向量课前预习）性质： ①如果A、B是直线上两个不同的点，则_________就是直线的一个方向向量. ②如果是直线的一个方向向量，则对任意实数，空间向量_____也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都_______. ③如果是直线的一个方向向量，A为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点B，向量一定与非零向量_______，从而可知存在唯一的实数，使得________，这就是说，空间中直线的位置可由和点A唯一确定. ④如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则 ___________. 22．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 23．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 直线、平面平行知识点04 25．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 26．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 27．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 28．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．是共线的充要条件 29．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 30．（25-26高二上·浙江湖州·期末）（多选）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 31．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）（多选）下列给出的命题中正确的有（） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，点O是平面ABC外一点，且，则 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．已知，则在上的投影向量为 32．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 直线、平面垂直知识点05 33．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 34．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 35．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 36．（2026·陕西·模拟预测）如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 37．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 38．（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 39．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 40．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 （题型专练）答案版 1．（2026高三·全国·专题练习）平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个________，且表示的有向线段所在的直线与平面________，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 【答案】 非零向量 垂直 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【解析】略 2．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【知识点】空间向量数量积的应用、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 4．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平面法向量的概念及辨析 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 6．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 【答案】④ 【知识点】平行向量（共线向量）、平面法向量的概念及辨析、异面直线的概念及辨析 【分析】由向量夹角的定义可判断①；由法向量的性质可判断②；当时可得③；由异面直线的方向向量的性质可得④. 【详解】①若，可得或，①错； ②若是同一个平面的两个法向量，则，②错； ③当时，推不出，③错； ④因为异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对. 故答案为：④. 7．（25-26高二下·江苏·阶段检测）（多选）设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【知识点】判断线面是否垂直、面面关系有关命题的判断、平面法向量的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断． 【详解】对于A，若，可能有，A错误； 对于B，若，，与可能平行，可能相交也可能在内，B错误； 对于C，设，在直线上任取一点， 在平面内过作于点，在平面内过作于点， 因为，所以，同理， 而过空间一点作一个平面的垂线有且只有一条， 所以与重合，且重合为与的交线，即直线， 所以，C正确； 对于D，，说明直线的方向向量是平面的法向量， 直线的方向向量是平面的法向量，， 则平面的法向量与平面的法向量垂直，因此两平面垂直，D正确. 8．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 【答案】ACD 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、平面法向量的概念及辨析 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，D正确. 9．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、求平面的法向量 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 10．（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. (2) 【知识点】求平面的法向量、线面垂直证明线线垂直、求点面距离 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）略 （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 11．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 12．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 13．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 14．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【知识点】求平面的法向量、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 15．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 16．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】求平面的法向量、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 17．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 18．（25-26高二上·四川成都·期中）平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中）、平面法向量的概念及辨析、空间向量共线的判定 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 19．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 【答案】ABD 【知识点】求平面的法向量、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 20．（2025·山东泰安·一模）已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断. 【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 21．（1.2.1空间中的点、直线与空间向量课前预习）性质： ①如果A、B是直线上两个不同的点，则_________就是直线的一个方向向量. ②如果是直线的一个方向向量，则对任意实数，空间向量_____也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都_______. ③如果是直线的一个方向向量，A为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点B，向量一定与非零向量_______，从而可知存在唯一的实数，使得________，这就是说，空间中直线的位置可由和点A唯一确定. ④如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则 ___________. 【答案】 平行 平行 或与重合 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】略 【详解】略 22．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 23．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 24．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 25．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 26．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 27．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 28．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．是共线的充要条件 【答案】AB 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量基底概念及辨析、求投影向量 【分析】A根据投影向量的公式计算；B用反证法推出矛盾；C根据可判断；D举反例. 【详解】A选项，由题意得，，， 则在上的投影向量为，故A正确； B选项，若这两个非零向量不共线，则空间中必存在向量可以构成一个基底， 与条件矛盾，故B正确； C选项，因，则，则直线或直线，故C错误； D选项，若共线同向，则，故D错误. 故选：AB 29．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 【答案】(1)因为平面平面 ，所以 ． 因为平面，所以 平面 ． 因为 平面，所以平面平面 ． (2) 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由线面平行求线段长度、空间线段点的存在性问题、证明面面垂直 【分析】（1）利用线面垂直来证明面面垂直即可； （2）（方法一）利用线面平行来证明线线平行，再通过线段成比例，可求出线段长； （方法二）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，通过向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接． 因为平面平面 ， 平面平面，所以． 因为是 的中点，所以是的中点，所以． 过点作，交于点 ，因为是的中点，所以， 因为是的中点，所以，所以． 因为，所以， 因为是的中点，，所以 所以， 则在直角 中，可得，所以． （方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为， 是的中点，是的中点，所以． 设， 所以． 因为平面 的法向量平面 ，所以， 所以，即，所以，所以． 30．（25-26高二上·浙江湖州·期末）（多选）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 【答案】BD 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题、判断线面平行 【分析】对于A，易证平面平面，故不平行于平面，故A错误； 对于B，直线，直线与的交点即为点，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，若平面与平面平行， 则，事实上，故平面与平面不可能平行. 对于D，由题意得，平面，进而得到动点的轨迹即可求解. 【详解】    对于A，连接，易证平面平面，平面， 故不平行于平面，故A错误； 对于B，连接，并延长交的延长线于点，连接交于点，故B正确； 对于C，如图：建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 若平面与平面平行，则， 而，，显然不成立， 故平面与平面不可能平行，C错误； 选项D ，由得，，即， 而平面，所以点的轨迹为矩形的四条边， 所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD 31．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）（多选）下列给出的命题中正确的有（） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，点O是平面ABC外一点，且，则 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．已知，则在上的投影向量为 【答案】AB 【知识点】判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明、空间向量基底概念及辨析、求投影向量 【分析】利用空间向量基底的意义判断A；利用共面向量的推论计算判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，设， 展开：， 由于线性无关，得方程组：， 解得，因此它们线性无关，仍是基底，A正确； 对于B，由，点在平面ABC上， 得，解得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，，所以在上的投影向量为，D错误. 故选：AB 32．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量平行的坐标表示、面面关系有关命题的判断、空间向量垂直的坐标表示、线面关系有关命题的判断 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 33．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 【答案】ACD 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】选项A，根据向量平行建立关于的方程求解判断；选项B，结合向量夹角为钝角的充要条件，计算的范围，再排除反向共线的情况；选项C，根据空间向量垂直的充要条件，建立关于的方程，判断方程是否有解；选项D，根据共面向量基本定理建立关于的方程，判断是否存在使方程成立. 【详解】选项A，若，则存在实数使得，对应坐标满足：， 解得，，代入验证所有等式成立，因此正确，A正确； 选项B，若为钝角，等价于且不反向平行， ，得； 若，显然，则对应坐标成比例：，由得， 代入验证，不存在使得， 即时夹角仍为钝角，不需要排除，B错误； 选项C，若，， 解得或，存在实数满足条件，C正确； 选项D，能作为空间的一组基，等价于三个向量不共面，根据共面向量基本定理， 若三个向量共面，则存在实数使得， 代入坐标得方程组：， 整理方程(2)(3)得： 消元解得：. 将代入方程(1)：， 因此方程(1)化简为，即：当且仅当时，三个向量共面； 当时，三个向量不共面，可以作为空间的一组基底，D正确. 34．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 35．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 36．（2026·陕西·模拟预测）如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 【答案】(1)证明：因为底面为边长为的正方形，可得， 又因为，则满足，所以， 设与交于点，则点为的中点，因为，所以， 因为底面为正方形，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2) 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明、证明线面垂直 【分析】（1）由，得到，设与交于点，证得和，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，根据点在平面内，得到，列出方程，求得的值，进而得到的值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：平面，且， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 因为分别为的中点，可得， 又因为，即，且， 所以，可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为点在平面内，则，可得， 解得，所以. 37．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 38．（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 39．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 40．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】(1) 取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $