第一章 集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数、方程和不等式章末综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语、一元二次函数与不等式的跨章整合，通过基础辨析与综合应用题型，构建概念关联与逻辑推理体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|约10题（选择1-5、9，填空12，解答15-16）|概念辨析（元素关系、集合运算）、逻辑推理（充要条件、命题否定）|从集合基本关系到逻辑用语推理，形成“概念-运算-推理”递进链条| |一元二次函数与不等式|约11题（选择6-8、10-11，填空13-14，解答17-19）|性质应用（解集、最值）、实际建模（糖水不等式、仓储问题）|体现函数、方程、不等式的转化关联，强化数学建模与运算能力|

第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合训练（答案版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B C CD ACD 题号 11 答案 BCD 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.CD 10.ACD 11.BCD 12.5 a>a+n、b+m、b 13.b btn atm al 14.6 9 3m- <m<0 15.(1)8 或m>0} 9 1mm≤-8o (2) 16.①4UB=x-3<x<7} lo3j 答案第1页（共2页） 6-0,6U9,+o） 17,4)a-b的花围为-82)，2a+3动的范国为0,23)。 2)0%←8+m>0b>a>0,正明如下： aa+mab+am-ab-bm (a-b)m bb+m b(b+m) b(b+m), 因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0, a_a+m<0,即b<b+m aa+m 所以bb+m (ii)M>N 18.(1)ab+6b+2a=36,其中0<a≤8,0<b≤3 Q3om 19.0m≥3+2g 3 (2)-1≤m<0时解集为 答案第2页（共2页) 第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 10．对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 11．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知且，集合，．若，则______． 13．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 14．已知正实数，满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 16．已知集合，. (1)若，求； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 17．（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 18．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 19．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据交集的定义： . 4．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 5．命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定为“，”. 6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式移项通分转化为乘积不等式，结合分母不为零的条件求解解集. 【详解】对移项可得：， 因此不等式等价于，即， 可得；， 又因为分母即， 最终解集为. 7．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，，，， 等价于，解得， 原不等式的解集为 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用加减消元法可求方程组的解集. 【详解】对于方程组，③-①得，， ①-②得，把代入得， 把代入①得， 所以方程组的解集为或. 故选：CD 10．对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析可知、不全为零是不等式成立的充要条件，结合充分、必要条件逐项分析判断即可. 【详解】因为，整理可得， 且，， 所以当且仅当，即时，， 所以、不全为零是不等式成立的充要条件. 对于A，显然一定能推出， 但成立时，可以取此时推不出， 所以是充分不必要条件，故A正确； 对于B，当时，不等式不成立，推不出，所以B错误； 对于C，能推出、不全为零，但是、不全为零时可以、互为相反数推不出， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故C正确； 对于D，等价于且，能推出、不全为零， 但是、不全为零推不出且， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故D正确. 11．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 13．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 14．已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 16．已知集合，. (1)若，求； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用并集定义计算求解； （2）应用必要条件转化为，进而列式计算求解； （3）应用交集结果列式求解. 【详解】（1）因为时，， 所以； （2）因为集合，. 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. （3）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 17．（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【答案】（1）的范围为，的范围为； （2） (i)，证明如下： ， 因为，，所以，， 所以，即； (ii） 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可判断；结合的结论即可求解． 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i），证明略； （ii）， 所以由（i）中的结论可得. 18．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】(1)，其中， (2) 【分析】（1）借助侧面与底面的建造成本及成本预算计算即可得； （2）法一：借助基本不等式可将转化为，在解不等式即可得；法二：利用表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 19．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $