第06讲 电场能的性质 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习教案聚焦电场能的性质专题，涵盖电势、电势能、电场力做功、等势面等核心考点，按概念辨析、规律应用、图像分析的逻辑层次组织知识点，通过考情分析、知识要点梳理、解题策略指导、题型归纳训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破正负号辨析、大小比较等难点。 教案以科学思维为核心，创新采用“三步推导法”分析电场线与轨迹问题，引导学生从轨迹弯曲方向判断电场力方向，结合等势面分布确定电势高低，培养模型建构与科学推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合典型例题精讲和即时反馈，确保复习高效精准，为教师把控复习节奏提供清晰框架，助力学生快速提升应试能力。

第06讲 电场能的性质 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：电场能的性质的理解 10 题型02：电势高低的判断 13 （一）根据电场线方向判断 13 （二）场源电荷φ＝判断 17 （三）电势的叠加 19 （四）电场力做功 22 题型03：电场力做功与电势能大小的关系 24 题型04：匀强电场场强与电势的关系 37 （一）公式E=Ud在匀强电场中的应用 37 （二）非匀强电场中电势差与电场强度分析 43 题型05：等势面 51 （一）常见等势面特点 51 （二）对等势面的理解 54 （三）等势面特点的综合应用 57 题型06：等势面与轨迹问题 59 题型07：电场线与轨迹问题 67 题型08：场强大小、电势高低、电势能大小的综合比较 73 题型09：电场中的图像问题 75 （一）v－t图像 75 （二）电场中的E-X图像 77 （三）电场中的φ-X图像 81 （四）Ep－x图象、Ek－x图象 85 题型10：电场中的功能综合关系 89 巩固提升 99 1. 高频考点：电势、电势差、电势能的辨析，电场力做功与电势能变化关系，等势面与电场线综合分析。 2. 题型分布：以选择题为主，偶尔结合带电粒子运动、动力学出计算题，属于高考必考基础考点。 3. 命题特点：侧重概念辨析、规律应用，常结合匀强电场、非匀强电场模型考查，难度中等，易在正负号、大小比较上失分。 1. 熟记电势、电势差、电势能的定义及正负物理意义，区分三者区别与联系。 2. 掌握电场力做功特点，熟练运用做功与电势能变化的对应规律。 3. 能根据电场线、等势面判断电势高低、电势能大小及电场力做功正负。 4. 掌握匀强电场电势差与场强的关系，可快速解决基础计算和定性分析问题。 知识点一：电场能相关物理量的概念 一．电场力做功 1.电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。 2.电场力做功的计算方法 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 二．电势能 1.定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。用符号Ep表示 2.说明：电势能具有相对性，通常把 无穷远处 或 地面 的电势能规定为零。 3.静电力做功与电势能变化的关系 ①静电力做的功等于电荷电势能的减少量 ，即WAB＝ EpA－EpB 。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就 减少 多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就 增加 多少。 ②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。 4.电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。 5.电势能的大小判断“四法” 判断方法 方法解读 公式法 将电荷量、电势及正负号一起代入公式EpA＝qφA计算，EpA＞0时值越大，电势能越大；EpA＜0时绝对值越大，电势能越小。 电势高 低法 同一正电荷在电势越高的地方电势能越大；同一负电荷在电势越低的地方电势能越大。 静电力 做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。 能量守 恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化而且其和守恒，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加 三．电势 1.定义：试探电荷在电场中某点具有的 电势能Ep 与它的电荷量q 的比值。 2.定义式：φ＝ 　。 3.矢标性：电势是标量 ，有正、负之分，其正（负）表示该点电势比零电势高（低）。 点电荷在空间某点电势φ＝。 若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和 4.相对性：电势具有 相对性 ，同一点的电势因选取 零电势点 的不同而不同。 5.电势高低的判断“四法” 判断方法 方法解读 电场线 方向法 沿电场线方向电势逐渐降低 场源电荷正负法 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；越靠近正电荷处电势越高，越靠近负电荷处电势越低 电势能 大小法 同一正电荷的电势能越大的位置处电势越高，同一负电荷的电势能越大的位置处电势越低 静电力 做功法 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低 四．电势差 1.定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差。 2.表达式：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。 3.静电力做功与电势差的关系 ①公式：WAB＝qUAB或UAB＝。 ②适用范围：任意电场。 4.影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及静电力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。 知识点二： 电场力做功与电势差及电势能的关系 1.电场力做功与电势差及电势能变化的关系 关系式WAB＝UABq＝EpA－EpB ①注意角标顺序：WAB表示电荷从A移到B电场力做的功；UAB表示φA－φB。 ②应用的各量均代入正、负号。 ③WAB＝UABq适用于任何电场。 2.电场力做功正负的判断方法 ①根据电场力与速度的夹角判断：夹角是锐角，电场力做正功；夹角是钝角，电场力做负功。 ②根据WAB＝qUAB判断：由q和UAB的正负，判断WAB的正负。 3.几种功能关系 ①若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； ②若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； ③除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化． ④所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 4.在解决电场中的能量问题是常用到的基本规律有：动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 （1） 应用动能定理解决问题需要研究合外力做功（或总功）； （2） 应用能量守恒定律解决问题需要注意电势能和其他形式能的相互转化； （3） 应用功能关系解决问题需要明确电场力做功和电势能改变之间的对应关系； （4） 有点长粒做功的过冲中机械能不一定守恒，但机械能和电势能的综合保持不变。 注意：①电荷在电场中运动时，电场力做功将引起电势能与其他形式的能相互发生转化，电荷的机械能不再守恒． ②要搞清几个功能关系：重力做功等于重力势能的变化，电场力做功等于电势能的变化，弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，合外力做功等于动能的变化． ③无论能量如何变化，总是满足能量守恒定律． 知识点三：电势差与电场强度的公式及应用 1.电势差与电场强度的关系式：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积即U＝Ed。其中d为电场中两点间沿 电场线方向 的距离。 2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，即E＝。 3.电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场线方向单位距离上降低的电势　。 在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论” 4.非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用 （1）判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。 （2）判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。 （3）E＝在非匀强电场中的妙用 ①解释等差等势面的疏密与场强大小的关系，当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密集． ②定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小． ③利用φ ­x图象的斜率判断沿x方向场强Ex随位置的变化规律．在φ ­x图象中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向． 5．等分法及其应用 (1)等分法： 如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 (2)“等分法”的应用思路： 由匀强电场的电势分布确定电场强度 匀强电场中同一条直线上的线段两端点间电势差正比于线段长度。 三步法确定电场强度：①确定等势线；②画等势线的垂线，确定电场强度方向；③根据E＝确定电场强度大小 匀强电场中若两线段（非等势线线段）平行，则这两线段各自的端点间电势差正比于线段长度。题中出现平行线时可用此方法 匀强电场中，利用E＝，分别求出两垂直方向的电场强度，再求出各电场强度 知识点四：等势面 1.定义：电场中 电势相等 的各点组成的面。 2.四个特点 ①等势面一定与 电场线 垂直。 ②在 同一等势面上 移动电荷时电场力不做功。 ③电场线方向总是从 电势高 的等势面指向电势低的等势面。 ④等差等势面越密的地方电场强度 越大 ，反之 越小 。 3.常见电场线与等势面 电场 等势面（实线）图样 重要特点 匀强电场 垂直于电场线的一簇平面 点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面 等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面 等量同种正点电荷的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高 知识点五：带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 一:带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． 2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向． 若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线． 若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直． 3． 判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加． 二：等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据电场力沿着垂直于等势面方向且指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合等势面的电势高低关系确定电场线的方向，进而确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做功、电势能的变化情况等。 三：电场线与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据带电粒子所受的电场力沿着电场线的切线方向且（或等势面的垂线）指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合电场线的方向（或等势面的电势）确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子运动轨迹与电场线的分布情况，确定电场力做功、电势能的变化情况 知识点六：几种常见电场图象的特点及规律 v ­t图象 根据v ­t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化 φ ­x图象 (1)电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ ­x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ ­x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断 E­x图象 (1)反映了电场强度随位移变化的规律； (2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 Ep­x图象 (1)反映了电势能随位移变化的规律； (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小； (3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况 1. 概念辨析技巧：电势看位置（沿电场线电势降低），电势能看电荷+电势（正电荷高势高能大，负电荷高势高能小）。 2. 核心万能规律：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 3. 匀强电场解题：巧用 U=Ed，d 为沿电场线方向的有效距离，优先找等势点、画等势线。 4. 快速破题方法：先判电场线方向→定电势高低→结合电荷正负→判电势能、做功、能量变化，分步推导不混淆。 题型01：电场能的性质的理解 【典型例题1】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（　　） A．， B．， C．， D．， 【典型例题2】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（  ） A．b、h两点的电场强度相同 B．a点电势比e点电势高 C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差 D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等 【典型例题3】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（    ）    A．b、c、d三点的电场强度相同 B．b、c、d三点的电势相等 C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大 D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功 【典型例题4】如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（　　）    A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大 【变式训练1-1】如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（　　） A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小 B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大 C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大 D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负 【变式训练1-2】如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（　　） A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上 B．D点电势高于A点电势 C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功 D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC 【变式训练1-3】如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（　　）    A．a、b、c、d四点的电场强度相同 B．D、O、B三点的电势相等 C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功 D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回 【变式训练1-4】在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（　　）     A．AB间C点电势最低 B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点 C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零 D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小 【变式训练1-5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．处电势等于处电势 B．处电场强度与处电场强度相同 C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动 D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动 题型02：电势高低的判断 （1） ：根据电场线方向判断 【典型例题1】有一电场的电场线如图所示，场中A、B两点电场强度的大小和电势分别用，和，表示，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【典型例题2】A、B是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示t=0时刻，一个质子从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，该过程中其速度v随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．A点的电势低于B点的电势 B．A点的电场强度大于B点的电场强度 C．该质子在A点的电势能小于在B点的电势能 D．该质子在A点的电势能等于在B点的电势能 【典型例题3】如图所示，实线和虚线分别为两点电荷和产生的电场中的电场线、等势线。已知的电量是的电量的9倍，以点电荷位置作为坐标原点，指向为轴正方向，、距离为。则关于两电荷的电性以及在轴上的范围内电势最低的点的坐标说法正确的是（    ） A．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 B．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 C．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 D．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 【变式训练2-1-】1《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则四点中电势最高的是（　　）    A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【变式训练2-1-2】如图所示，a、b是同一电场线上的两个点，下列说法正确的是（　　） A．电场可能是由一个负点电荷产生的 B．质子在a点的加速度小于在b点的加速度 C．a点电势低于b点电势 D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能 【变式训练2-1-3】如图所示，两等量同种正电荷Q分别放置在椭圆的焦点A、B两点，O点为椭圆中心，P、S是椭圆长轴的端点，取无穷远处电势为零，则（　　） A．O点的电势高于M点和N点的电势 B．O点电场强度为零，电势也为零 C．椭圆上M、N两点电场强度相同 D．将一电子从P点移到S点，电场力一直做正功 【变式训练2-1-4】静电除尘利用静电场净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由带正电的金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、B、C在圆筒的直径上，，若电极P的电势为0，下列说法正确的是（　　） A．AP＞BP B．金属圆筒Q为等势体 C．M、N两点的电场强度相同 D．C点的电势是B点电势的2倍 【变式训练2-1-5】（多选）如图，真空中存在一对等量同种点电荷，电荷量大小均为+Q，O为两电荷连线的中点，a、b、c、d为电场中的四个点，其中a、b位于两电荷连线上，b点比a点更靠近O点。c、d位于两电荷连线的中垂线上，c点比d点更靠近O点。下列说法正确的是（　　） A．a点的电势低于b点的电势 B．c点的电场强度一定大于d点的电场强度 C．将正试探电荷从O点沿两电荷连线移至a点，电场力做负功 D．负试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能 【变式训练2-1-6】真空中有两个点电荷和分别固定在轴上的和位置处。在它们的连线上，电势与的关系如图所示，已知点电荷的电势公式为（其中为静电力常量，为点电荷电量，为该点到点电荷的距离），点的坐标为，取无穷远处电势为零。下列说法正确的是（　　） A．两个点电荷为同种电荷 B．图中对应的位置 C．图中对应的位置 D．无法计算电荷量为的试探电荷在轴任意位置受到的电场力 【变式训练2-1-7】反天刀鱼是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生类似于等量异种点电荷形成的电场，其电场线分布如图所示，P、Q为电场中的两个点，下列说法正确的是（　　） A．反天刀鱼的头部带负电荷 B．P点的电场强度小于Q点的电场强度 C．带电粒子只在电场力作用下有可能沿电场线从P点运动到Q点 D．若将一负试探电荷从P点移动到Q点，该负电荷电势能增加 【变式训练2-1-8】如图所示，、、、、、是以为球心的球面上的点，平面与平面相互垂直，分别在、两点放上等量异种点电荷，则下列说法正确的是() A.、、、四点电场强度大小相同，但方向不同 B.、、、四点电势不同 C.若电子沿直线运动过程中，电子受到的电场力大小一直不变 D.若电子沿圆弧运动过程中，电势能保持不变 【变式训练2-1-9】“彭宁离子阱”是一个可以用来储存带电粒子的装置，它主要由一对左右对称的环电极和一对上下对称的端电极构成，如图所示，其内部某一截面的部分电场线和等势线分布，则（　　） A．P、M两点电场强度相同 B．P、Q两点电场强度 C．P、Q两点电势 D．M、N两点电势 【变式训练2-1-10】如图所示，两个相同的圆环A、B平行正对放置，圆环上各有一个小缺口，两环带有等量的正电荷且电荷分布均匀。现让B环绕通过两环圆心的轴线缓慢转动，在两环缺口由相距最近转到最远的过程中，两环圆心连线的中点O处（　　） A．场强逐渐减小 B．场强逐渐增大 C．电势逐渐降低 D．电势逐渐升高 （2） 场源电荷φ＝判断 【典型例题1】 以O为圆心的圆上有a、b、c、d四个点，O点右侧M点固定一负点电荷，位置关系如图所示，则圆上四点中电势最高的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．d点 【典型例题2】如图所示，真空中的四个电荷量均为Q的正点电荷分别固定在水平面内的正方形的四个顶点上，正方形的边长为L，O为正方形的中心，M、N分别是AB、CD的中点，P点在O点的正上方处。若在P点无初速度释放一个质量为m的均匀带电小球，小球恰好能悬浮静止。已知静电力常量为k，重力加速度为g，规定无限远处电势为0，则下列说法正确的是（　　） A．M、N两点的电场强度相同 B．M点的电势高于N点的电势 C．小球所带的电荷量为 D．P点的电场强度大小为 【变式训练2-2-1】如图，轴水平向右，其坐标原点的正上方点放有一正点电荷，、为轴上的两点，各点间的距离满足。现分别用、表示、两点的电势，将、两点的电场强度沿轴方向和垂直于轴方向进行分解，设轴方向的分量分别为、，则下列判断正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-2-2】在真空中，一点电荷在M、N两点产生的电场的电场强度方向如图所示，已知在两点的连线上电场强度的最大值为100N/C，取sin53°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．该点电荷为负电荷 B．N点的电势等于M点的电势 C．N点的电场强度大小E＝36N/C D．N点的电场强度与M点的电场强度大小之比为16：9 【变式训练2-2-3】如图甲所示为某品牌负离子空气净化器，其产生负离子的原理如图乙所示，针状电极M和弧形电极N之间加上直流高压，使其间的空气发生电离，产生的负离子通过鼓风装置排出。在MN连线上，下列说法正确的是（　　）    A．离M点越近，场强越大，电势越低 B．离M点越近，同一正离子的加速度越小 C．离M点越近，同一负离子的电势能越大 D．各点的电势都大于零 （三）电势的叠加 【典型例题1】如图所示，A、B两点分别固定电荷量为、的两个点电荷，以B为圆心的圆交A、B中垂线于C、D两点，交AB延长线于P点，下列说法正确的是（　　） A．C、D两点电场强度相同 B．C、D两点电势不同 C．将一正电荷从C点沿上方圆弧移至P点，电势能减小 D．将一负电荷从P点沿下方圆弧移至D点，电场力做负功 【典型例题2】如图所示，四根完全相同的均匀带负电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上，点为长方体几何中心。现将处的绝缘棒替换为总带电量与相同，均匀带正电荷的绝缘棒。假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于替换后点处电场强度方向和替换前后点处电势的变化，下列说法正确的是（　　） A．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 B．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 C．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 D．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 【典型例题3】如图所示，边长为L的等边三角形的三个顶点a、b、c上各放置一个点电荷，电荷量分别为+q、+q、−q，O为等边三角形外接圆的圆心，d为ab边的中点。已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，若将无限远处的电势规定为零，则距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。则（　　） A．O点的电场强度大小为 B．O点的电势为 C．d点的电势为 D．系统的总电势能为 【典型例题4】如图所示为光滑水平桌面的俯视图，空间中存在平行于桌面的匀强电场E，A、B两带电小球（可视为点电荷）放置在光滑水平桌面上处于静止状态，两者连线与电场方向平行，C点为A、B连线中点，D点与A、B构成等边三角形。下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球带电荷量大小一定相等，A球带负电荷 B．D点电场强度为零 C．C点电场强度是D点电场强度的7倍，且两者方向相反 D．D点电势高于C点电势 【变式训练2-3-1】如图所示，真空中为边长为的等边三角形三个顶点，在两点分别固定电荷量为的点电荷，在点固定电荷量为的点电荷，点为三角形中心，点为三角形三边中点，设点电荷在某点产生电势为为点电荷电量，为到点电荷的距离，关于四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是() A.点场强大小，电势为 B.点场强大小为，电势为 C.点和点场强大小相等，电势不同 D.电子由点沿直线移动到点过程中，加速度减小，电势能增大 【变式训练2-3-2】真空中电量相等的两异种点电荷连线和一绝缘正方体框架的两侧面和中心连线重合，连线中点和立方体中心重合，除两异种电荷Q产生的电场外，不计其它电场的影响，则下列说法中正确的是（　　） A．正方体两顶点A、B电场强度相同 B．正方体两顶点A、B电势相同 C．面是等势面 D．负检验电荷q从移到电势能先减小后增大 【变式训练2-3-3】如图所示，等边三角形的三个顶点A、B、C上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为q、+q、+q，已知M、N、P分别为AC、BC、AB的中点，设无穷远的电势为零，下列关于M、N、P三点说法正确的是（　　） A．M、N两点电势相等 B．N点电势最低 C．M、P两点电场强度大小相同 D．N点的电场强度最大 【变式训练2-3-4】理论表明，将无限远处的电势规定为零时，距离点电荷Q为r处的电势，其中k为静电力常量。如图所示，真空中有四个可视为点电荷的带正电的小球，约束在边长为的正方形的顶点上。已知各小球所带电荷量均为q，P为正方形的几何中心，则（　　） A．P点的电场强度大小为 B．P点的电势为 C．小球1的电势能为 D．将小球1从位置1沿直线移至P的过程中电势能增加 （四）电场力做功 【典型例题1】匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，则运动过程中，其（　　） A． 所处位置的电势一定不断降低 B． 所处位置的电势一定不断升高 C． 轨迹可能是与电场线平行的直线 D． 轨迹可能是与电场线垂直的直线 【典型例题2】某平行板电容器内外的电场线分布如图甲所示，上极板所带电荷量为，两极板内正中心位置A点固定着一小试探电荷。现在上极板正中心施加力，使电容器的上极板弯曲成如图乙所示。已知极板内部的电场强度大小为（为电荷面密度，为电容器中电介质的介电常数），下列分析正确的是（　　） A．施加力F前后，两极板中间都是匀强电场 B．A点的场强保持不变 C．A点的电势增大 D．试探电荷q的电势能保持不变 【变式训练2-4-1】如图，圆心为的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径。将电荷量为的粒子从点移动到点，电场力做功为；若将该粒子从点移动到点，电场力做功为。下列说法正确的是() A.该匀强电场的场强方向与平行 B.将该粒子从点移动到点，电场力做功为 C.点电势低于点电势 D.若只受电场力，从点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动 【变式训练2-4-2】下图为地图上某山地的等高线图，O点为峰顶（图中数字的单位是米）。小山坡的左边a和右边b，据地理知识可根据该图判断出哪一边的地势更陡，若现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中数字的单位是伏特，以下说法正确的是（   ）    A．与Ob方向相比，沿Oa方向电势降落较快 B．负电荷在20V等势线上的电势能小于在40V等势线上的电势能 C．若只考虑电场力，在电势为30V的等势线上静止释放q = 1.6 × 10－6C的点电荷，运动到零势能面时动能一定为4.8 × 10－5J D．若电子沿30V的等势线从左到右逆时针运动一周，则电场力先做正功，后做负功，总功为零 【变式训练2-4-3】在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为和的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的单位是伏特），则（　　） A． ， B．， C．， D．， 题型03：电场力做功与电势能大小的关系 【典型例题1】如图所示的电场中，电子从M点运动到N点，电子只受电场力的作用，在M点和N点的电势能分别为EpM、EpN，加速度分别为aM、aN。则（　　） A．EpM＜EpN，aM＜aN B．EpM＜EpN，aM＞aN C．EpM＞EpN，aM＞aN D．EpM＞EpN，aM＜aN 【典型例题2】如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，a和b均可视为点电荷，一个点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点转动，在位置MN和位置EF时系统总电势能刚好相等。则（　　） A．a、b两球带异种电荷 B．a、b两球带电量相等 C．a球由E转动到M过程中，O点电场强度可能变小 D．b球在N点的电势能一定小于F点的电势能 【典型例题3】如图为孤立点电荷和金属板间的电场线分布。下列说法正确的是（    ） A．C点场强比D点大 B．金属板上表面的A点电势比B点低 C．外力作用下，电子从C点移到D点电势能一定减小 D．电子从F点释放，仅受电场力作用将沿电场线运动到E点 【典型例题4】由生物岛实验室领衔研制、我国首个拥有自主知识产权的国产商业场发射透射电镜TH-F120完成了首批订单合同签订，正式开启了国产透射电镜的市场应用。其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在电场力的作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．电子在P点的受力方向斜向左上 B．电子在R点的加速度大于在P点的加速度 C．从P点至R点的运动过程中，电子的电势能先增大再减小 D．从P点至R点的运动过程中，电子的速度大小一直增大 【典型例题5】三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【典型例题6】如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向的夹角为37°。重力加速度大小为g，sin37°=0.6，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．现用外力缓慢把小球拉到最低点，电势能减少 D．在最低点由静止释放小球，小球到达A点时细线的拉力大小为 【典型例题7】如图所示，正三角形的中心在O点，边长为L，A、B、C分别是三条边的中点，各顶点分别固定一个正点电荷，电荷量均为Q。已知元电荷为e，若取无限远处的电势为零，则与点电荷Q距离为r的某点的电势φ＝k，k为静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．A、B、C三点的电场强度相同 B．A点的电场强度大小为 C．B点的电势为 D．电子在O点的电势能为 【典型例题8】（多选）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为的光滑绝缘斜面上的点，其正上方处固定一电荷量为的球2，斜面上距点处的点有质量为的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列说法正确的是（　　） A．球3带正电 B．球3在间做简谐运动 C．球3运动至点的速度大小为 D．球3在点时的加速度大小是在中点时的4倍 【变式训练3-1】如图所示，竖直平面内存在一个非匀强电场，电场中有一固定光滑绝缘细杆倾斜放置，A、B、C是细杆上的三个点，且AB=BC。一带电小球套在细杆上，从A点静止释放，沿杆运动恰好能到达C点。不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确 的是（     ） A．小球带正电 B．小球在C点所受的静电力大小小于在A点所受的静电力大小 C．小球在C点的电势能大于在A点的电势能 D．小球从A点到B点静电力做的功等于从B点到C点静电力做的功 【变式训练3-2】一束粒子撞击一静止的金原子核，它们的运动轨迹如图所示。图中虚线是以金原子核为圆心的圆。已知静电力常量，元电荷，金原子序数为79，不考虑粒子间的相互作用，则（　　） A．沿轨迹1运动的粒子受到的库仑力先做正功，后做负功 B．沿轨迹2运动的粒子到达P时动能为零、电势能最大 C．位于图中虚线圆周上的3个粒子的电势能不相等 D．若粒子与金原子核距离为，则库仑力数量级为 【变式训练3-3】如图所示，M、N是真空中一条直线上的两点，O点为M、N的中点，直线MN外存在一点电荷（图中未画出）。将电荷量为的试探电荷从无穷远处（电势为0）沿直线经M点、O点移动到N点，电场力做正功。已知M点和O点电势相等。下列说法正确的是（    ） A．N点的电势为 B．O点的电势高于N点的电势 C．试探电荷沿直线从M点移动到N点的过程中，电势能先减小后增大 D．试探电荷沿直线从M点移动到N点的过程中，电场力做的总功为正功 【变式训练3-4】如图所示是甲、乙两个点电荷电场的部分电场线分布图，下列说法正确的是（　　） A．甲带负电，乙带正电，甲的电荷量大于乙的电荷量 B．P点的电场强度大于Q点的电场强度 C．将一个正试探电荷从P点由静止释放，只在静电力的作用下会沿电场线运动到Q点 D．一个负试探电荷在P点电势能比在Q的电势能大 【变式训练3-5】如图所示，是等量带正电的点电荷，固定在同一水平线上，O为连线的中点，是连线竖直垂直平分线上的两点，这两点关于O点对称，将一个带正电的小球（大小不计）在C点上方P点由静止释放，小球沿直线运动到D点，关于小球在两点（　　） A．速度相同 B．机械能相同 C．电场力相同 D．加速度相同 【变式训练3-6】 (多选)带电荷量分别为＋Q1和－Q2(Q1>Q2)的两个点电荷固定放置，两点电荷连线中点为O，M、N两点位于两电荷连线上，P点位于两点电荷连线中垂线上，如图所示，则下列判断正确的是(　　) A.O点的电场强度小于P点的电场强度 B.N点的电势高于M点的电势 C.负试探电荷在N点的电势能小于其在M点的电势能 D.将正点电荷由N点移到M点，静电力做负功 【变式训练3-7】 (多选)为避免雷击，高大的建筑物顶端均需安装避雷针。如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图，电场线指向避雷针尖端。、、三点位于同一条电场线上，空间电场分布关于直线对称。一带电探测粒子仅在电场力作用下运动，其部分轨迹如图所示。下列说法正确的是（　　） A．粒子在轨迹上某点的加速度方向与电场线切线方向相反 B．粒子从点运动到点的过程中，电场力一定做负功 C．、、三点满足电势关系 D．粒子在图中点的电势能一定大于在点的电势能 【变式训练3-8】 (多选)城市生活污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用静电技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成的电场分布如图所示。其中实线为电场线，虚线为等势面，M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．N点的电场强度比P点的小 B．M点的电势比N点的高 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做负功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小 【变式训练3-9】复印机的核心部件如图，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示，感光鼓置于水平面上并接地，一带负电墨粉颗粒沿直线从a点运动到感光鼓，以a为原点竖直向下为正方向建立x轴，设颗粒在感光鼓所在平面重力势能为零，设电势为φ，重力势能为Ep1、机械能为E、电势能为Ep，则下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-10】细胞电转染的原理简化如图所示，两带电的平行金属板间，由于细胞的存在形成如图所示的电场。其中实线为电场线，关于轴对称分布。虚线为带电的外源DNA进入细胞膜的轨迹，、为轨迹上的两点，点与点关于轴对称，下列说法正确的是（    ） A．、两点的电场强度相同 B．点的电势与点的电势相等 C．DNA分子在点的加速度比在点小 D．DNA分子在点的电势能比在点小 【变式训练3-11】 两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则（　　） A．场强大小关系有 B．电势大小关系有 C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值 D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做负功 【变式训练3-12】某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 【变式训练3-13】在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示，A、B两个带电球之间产生非匀强电场，茶叶茶梗都带正电荷，且茶叶的比荷小于茶梗的比荷，两者通过静电场便可分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P从A球表面O点离开，最后落入桶底。不计空气阻力。则（　　） A．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶 B．M处的电场强度大于N处的电场强度 C．M处的电势低于N处的电势 D．茶梗P下落过程中电势能减小 【变式训练3-14】如图所示，两个电量为的点电荷和一个电量为的点电荷附近的电场线分布如图所示，d是两负电荷连线的中点，c、d两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．c点电势高于d点 B．b点与e点的电场强度相同 C．将某正试探电荷从a点运动到b点过程中电场力做负功 D．某负试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能 【变式训练3-15】类比于磁通量的定义，静电场中的电通量定义为。在某点电荷Q的电场中，有以Q为球心，半径分别为和的两个球面（），关于两球面的电势、场强E和电通量的大小，以下选项正确的是（　　） A．若Q为正电荷，则、、 B．若Q为正电荷，则、、 C．若Q为负电荷，则、、 D．若Q为负电荷，则、、 【变式训练3-16】如图所示，点电荷A、B的电荷量均为+Q，C、D的电荷量均为-Q，它们处在一个矩形的四个顶点上。它们产生静电场的等势线如图中虚线所示。abcd位于一个正方形的四个顶点，与ABCD共面，O为正方形与矩形的中心，则（　　） A．b、d两点场强相等，电势相等 B．b、d两点场强不相等，电势相等 C．将某一正电荷q沿正方形路径a→b→c移动，电场力先做正功，后做负功 D．将某一正电荷q沿正方形路径a→b→c移动，电场力先做负功，后做正功 【变式训练3-17】 (多选)如图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　) A.P点电势比M点的低 B.P点电场强度大小比M点的大 C.M点电场强度方向沿z轴正方向 D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变 【变式训练3-18】如图所示，、、、为匀强电场中的四点，它们的连线构成正方形，其中边与电场线平行，点为与连线的交点。一个电荷量为的正点电荷固定在点，下列说法正确的是（　　） A．、两点的电场强度相同 B．、两点的电势不等 C．将电子沿直线从点移动到点，电场力做正功 D．将电子沿直线从点移动到点，电势能先减小后增大 【变式训练3-19】(多选如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是(　　) A.M、N两点电场强度相同 B.M、N两点电势相同 C.负电荷在M点的电势能比在O点时要小 D.负电荷在N点的电势能比在O点时要大 【变式训练3-20】如图所示，BCGF是两个完全相同的正方体的公共面，B、C两点分别固定有两个等量正点电荷，M、N分别是棱EH、IJ的中点。已知点电荷在其周围某点产生的电势（其中k为静电力常量，q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离），则下列说法正确的是（    ） A．M点与N点的电势相等 B．M点与N点的电场强度相同 C．负试探电荷在M点的电势能大于其在N点的电势能 D．沿FG连线移动一正试探电荷，电场力对该试探电荷始终不做功 【变式训练3-21】如图所示，匀强电场中有一个梯形，梯形平面与匀强电场的方向平行，，相互平行且均垂直于，，，，已知点电势为，点电势为，点电势为，则下列说法正确的是（　　） A．点电势为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．一电子由点到点再到点的过程中，电势能减少了 D．一正电荷由点无初速度释放，将沿着所在直线运动 【变式训练3-22】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的顶点B、E处各固定一个带电荷量为的点电荷，顶点D处固定一个电荷量为的点电荷，顶点F处固定一个电荷量为的点电荷，O为正六边形的几何中心。下列说法正确的是（　　） A．O点场强方向沿OC方向 B．O点场强大小为 C．电子在O点的电势能比在C点的电势能大 D．点电荷在O点的电势能比在A点的电势能小 【变式训练3-23】如图所示，在空间直角坐标系中的、、、四点分别固定电荷量为＋q、－q、＋q、－q的四个点电荷，z轴上有两个点、（图中未画出）。已知静电力常量为k，无穷远处为电势零点。下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度为0，电势不为0 B．AD连线中点的电场强度与BC连线中点的电场强度相同 C．E点、F点的电场强度为0，电势也为0 D．沿y轴移动一个负试探电荷，它的电势能逐渐增大 【变式训练3-24】如图所示，空间有一正八面体M-ABCD-N，O点是ABCD的中心，在顶点M、N分别固定电荷量为和的点电荷，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C、D四点的电场强度相同 B．A、B、C、D四点的电势相等 C．将一正试探电荷从A点沿直线移到O点过程中，电场力不做功 D．将一正试探电荷从A点沿直线移到C点过程中，该试探电荷电势能先增大后减小 【变式训练3-25】如图所示，竖直平面内有一圆心为、半径为的光滑半圆环套有一带正电小球，沿过点的竖直方向固定有一竖直细杆，一端固定于圆环上，杆上套有另一带正电小球。初始时小球距离圆环底端很近的位置，两小球间距离为, 现用绝缘装置向小球施加竖直向上的作用力，使其缓慢运动到半圆环底端处，使小球沿右侧圆环缓慢上滑，半圆环和杆均光滑绝缘。则下列说法中错误的是（　　） A．小球上滑过程中圆环对小球的支持力一直增大到初始位置的2倍 B．最后两小球的距离为 C．小球上滑过程中两小球组成系统重力势能和电势能都增大 D．小球对竖直杆的弹力逐渐变大 【变式训练3-26】如题图甲所示，同轴电缆由两个同心导体组成，通常是一个铜制的内导体和一个铜或铝制的外导体，两者之间由绝缘材料隔开。图乙为同轴电缆横截面内静电场的电场线和等势面分布情况，相邻的虚线圆间距相等，a、b、c点均为实线与虚线圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．图乙中实线代表等势线，虚线代表电场线 B．a、c间的电势差是b、c间电势差的两倍 C．a点的电场强度和b点的电场强度不相同 D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能 【变式训练3-27】（多选）如图，电荷量为+q的点电荷固定在点Q，电荷量为-q、质量为m的点电荷P绕点Q沿椭圆轨道运动，轨道长轴的两端点a、b到点Q的距离分别为r、3r，点电荷P运动的周期为T。不计粒子受到的重力，静电力常量为k，两电荷距离为d时的电势能。下列判断正确的是（　　） A．点电荷P在点a和点b的速度大小之比为 B．点电荷P从b运动到a的过程中电势能先减小后增大 C．若电荷P运动到a点时，速度方向不变，大小变为，则此后运动周期为 D．点电荷P运动到b点时的速度为 【变式训练3-28】（多选）太极图的含义丰富而复杂，它体现了中国古代哲学的智慧。如图所示，O为大圆的圆心，O1为上侧阳半圆的圆心，O2为下侧阴半圆的圆心，O、O1、O2在同一直线上，AB为大圆的直径且与O1O2连线垂直，C、D为关于O点对称的两点，在O1，O2两点分别固定电荷量大小相等的异种点电荷，整个空间只有O1，O2处点电荷产生的电场。下列说法正确的是（　　） A．C、D两点电势相等 B．把电子由A沿直线移到B的过程中，电子的电势能保持不变 C．把质子由A沿直线移到B的过程中，质子所受电场力先增加后减小 D．将一电子（不计重力）从A点由静止释放，电子可以沿直线在AB间做往返运动 【变式训练3-29】（多选）如图，圆心为的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径。将电荷量为的粒子从点移动到点，电场力做功为；若将该粒子从点移动到点，电场力做功为。下列说法正确的是() A.该匀强电场的场强方向与平行 B.将该粒子从点移动到点，电场力做功为 C.点电势低于点电势 D.若只受电场力，从点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动 【变式训练3-30】如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．乙比甲先到达极板 B．甲、乙的电势能均增大 C．甲、乙受到的电场力方向相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【变式训练3-31】一带电粒子在电场中仅在电场力作用下，从A点运动到B点，速度随时间变化的图像如图所示。分别是带电粒子到达两点对应的时刻，则下列说法中正确的是（　　） A．该电荷从A到B的过程中，一定克服电场力做功 B．A处的场强可能等于B处的场强 C．该电荷在A处的电势能一定大于在B处的电势能 D．该电荷一定带正电 【变式训练3-32】（多选）如图所示，在倾角为的足够长的绝缘固定斜面上，静止放置有质量分别为、的两金属块A、B，其中A带电量为，B不带电。现让金属块A以初速度沿斜面向下运动，一段时间后与金属块B发生弹性正碰，且碰撞后A、B带电荷量均为。已知金属块与斜面间的滑动摩擦因数为，下列说法正确的是（　　）    A．碰撞前，A沿斜面做匀加速直线运动 B．碰撞后，A、B都沿斜面向下运动的过程中总动量守恒 C．碰撞后，当A的速度为时，B的速度为 D．碰撞后，A、B系统的电势能先减小后不变 【变式训练3-33】（多选）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在的中点处的速度大小为 D．的长度为 题型04：匀强电场场强与电势的关系 （一）公式E=Ud在匀强电场中的应用 【典型例题1】（多选）一匀强电场的方向平行于平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为和的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为。下列说法正确的是（　　） A．中点的电势为零 B．电场的方向与x轴正方向成角 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【典型例题2】在研制新型芯片材料的过程中，科研人员需要精确测量材料内部微小区域的电场强度。如图所示，在一块待测样品表面，有一个以O为圆心、半径为R的圆形探测区域，该区域存在与圆所在平面平行的匀强电场。科研人员在圆上选取A、B、C三个探测点，其中A与C的连线为直径，在△ABC中，∠A＝30°。科研人员从A点以相同的初动能Ek，沿不同方向先后发射两个完全相同的、带电荷量均为q（q＞0）的探测粒子（仅受电场力，其他影响不计），它们分别经过了B点和C点。探测器测得：经过B点时粒子的动能为EkB＝2Ek；经过C点时粒子的动能为EkC＝3Ek。根据以上探测数据，该区域电场强度的大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】 (多选)如图3所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20 cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场。b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2 000 eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2 100 eV、1 900 eV，忽略电子间的相互作用。则下列说法正确的是(　　) 图3 A.a点的电势比b点的电势高100 V B.匀强电场的电场强度大小为1 000 V/m C.该电场的方向由a指向d D.图中的虚线框内c点的电势最高 【变式训练4-1-1】在匀强电场中有一个直角三角形与电场平行，，，的长度为7cm，A、B、C三点的电势分别为10V、3V、7V，则电场强度大小为（　　） A．V/m B．V/m C．V/m D．V/m 【变式训练4-1-2】如图所示，M、N、P、Q为椭圆上的4个顶点，O为中心；半短轴长OMm，半长轴ON＝2m；空间有一方向与椭圆所在平面平行的范围足够大的匀强电场（图中未画出）。已知M、N、P三点的电势分别为φM＝1V、φN＝2.5V、φP＝4V。下列判断正确的是（　　） A．椭圆中心O点的电势为2V B．电场强度的大小为V/m C．一电子沿长轴NOQ运动，电场力先做负功后做正功 D．一电子在Q点的电势能为2.5eV 【变式训练4-1-3】如图，匀强电场中有一假想长方体ABCD﹣A1B1C1D1；AB，BC，CC1长度分别为2m，1m，1m；A，B，C及C1四点的电势分别为8V，6V，2V，﹣6V，则该匀强电场的电场强度大小为（　　） A．4V/m B．6V/m C．8V/m D．9V/m 【变式训练4-1-4】如图所示，平行于纸面的匀强电场中的点有一放射源，能沿纸面内各个方向射出动能为的电子，电子经过、两点时的动能分别为和，恰构成一个直角三角形，与夹角为，、间距离为。下列说法正确的是() A.、之间的电势差 B.、之间的电势差 C.从到电子的电势能增加 D.电场强度大小为 【变式训练4-1-5】（多选）如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．D点电势为 B．电场强度大小为 C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为 D．粒子过C点的速度为 【变式训练4-1-6】如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（　　） A．c点的电势大小为a点的两倍 B．场强方向由d指向b C．电子从b点运动到c点所用时间为 D．电子从b点运动到c点，电场力做功 【变式训练4-1-7】(多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是(　　) A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线 B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J 【变式训练4-1-8】(多选)如图所示 ，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是(　　) 【变式训练4-1-9】(多选)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　) A.该电场的电场强度大小为1 V/m B.电子在R点的电势能大于在P点的电势能 C.将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV D.将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV 【变式训练4-1-10】（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点位置如图所示，三点的电势分别为4.6V、11V、7.4V，下列说法正确的是（　　） A．坐标原点O处的电势为1V B．电场强度的大小为250V/m C．电子在a点的电势能比在b点大6.4eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功3.6eV 【变式训练4-1-11】如图所示，平面内有一个半径的圆，该圆处于平行于该圆周平面的匀强电场中，为圆周上的点，其中为圆的一条直径，与相互垂直，。已知点的电势为，和点的电势分别为、，点固定有一个电荷量为的粒子（不计重力），则（　　） A．将固定在点粒子静止释放，可能到达点 B．匀强电场的电场强度大小为 C．点的电势为 D．将固定在点的粒子移动到点，电场力不做功 【变式训练4-1-12】如图所示，半径为0.5 m的圆处在匀强电场中，电场线与圆所在的平面平行。AB和CD是圆的两个直径，O为圆心，两直径的夹角为60°。沿直线从A到B，每1 cm电势降低0.1 V，沿直线从C到D，每1 cm电势降低0.2 V，则下列判断正确的是（　　） A．B点电势比D点电势低 B．匀强电场的电场强度大小为20 V/m C．电场强度方向与AB垂直 D．沿圆弧将一个带负电的粒子从A点移动到C点，电势能增大 【变式训练4-1-13】如图所示，三维坐标系O﹣xyz内存在着匀强电场，A、B、C为坐标轴上的点，它们到坐标原点O的距离分别为3m、2m、1m，已知四个点的电势分别为φO＝0、φA＝12V、φB＝24V、φC＝3V，则电场强度大小为（　　） A．9N/C B．13N/C C．18N/C D．26N/C 【变式训练4-1-14】如图所示，边长为10cm的正方体ABCD﹣A′B′C′D′处于匀强电场中，已知A、B、C、B′四点的电势分别为11V、10V、11V、9V，则该匀强电场的电场强度大小为（　　） A．10V/m B．5V/m C．10V/m D．10V/m 【变式训练4-1-15】如图所示，在匀强电场中，有边长为cm的正方体，底面水平，电场方向与面平行。把一电子从A点移到C点，其电势能减少了4eV，而把该电子从A点移到点，其电势能减少了2eV。若取A点的电势V，电子电荷量大小为e。则下列说法正确的是（　　） A．C点的电势V B．该电场强度的方向与竖直方向的夹角为45° C．B、两点的电势相等 D．若把电子从C点移到D点，电场力做的功为2eV （二）非匀强电场中电势差与电场强度分析 【典型例题1】如图甲所示，点电荷q1固定在A点，点电荷q2固定在B点，A、B之间的距离为r1，现把点电荷q2，从B点移到C点，A、C之间的距离为r2，图乙是点电荷q1、q2之间的库仑力F随距离r的变化图像，已知图像下面阴影部分曲边梯形的面积为S，则B、C之间电势差为UBC为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】某平行板电容器内外的电场线分布如图甲所示，上极板所带电荷量为+Q，两极板内正中心位置A点固定着一小试探电荷+q。现在上极板正中心施加压力F，使电容器的上极板弯曲成如图乙所示。已知极板内部的电场强度大小为（σ为电荷面密度，ɛ0为电容器中电介质的介电常数），下列分析正确的是（　　） A．施加力F前后，两极板中间都是匀强电场 B．A点的场强保持不变 C．A点的电势增大 D．试探电荷q的电势能保持不变 【典型例题3】截至2025年底，中国高铁里程达到5万公里。高铁站内两段水平钢轨连接处设置有8mm厚的机械绝缘节，起着电气绝缘和机械连接的作用，拉开后各部分如图甲所示。某次列车经过绝缘节时，钢轨A、B之间产生了约为60V的电势差，此时绝缘节顶部空间的等势面分布如图乙所示，其中c点位于绝缘节正上方，下列说法正确的是（　　） A．a点的电势低于b点 B．负电荷在a点的电势能比在c点大 C．c点电场强度方向沿着x轴负方向 D．绝缘节顶部的电场强度约为6.25×103V/m 【典型例题4】多个点电荷产生的电场中，某点的电势等于各个点电荷单独在该点产生的电势的代数和。已知，在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势，其中k为静电力常量。若真空中有两个点电荷Q1和Q2，分别固定在x轴的坐标为﹣4cm和1cm的位置上。两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示。下列说法正确的是（　　） A．Q1为正电荷，Q2为负电荷，且Q2＝﹣4Q1 B．x轴上x＝6cm处的电场强度为0 C．若仅将Q2的电荷量变为原来的2倍，x轴上x＝﹣1.5cm处的电势将变为0 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，M、N两点间的电势差仍为0.4V 【典型例题5】如图所示为一针状电极与平板电极间形成的电场。现有一微小带电颗粒（重力可忽略），沿虚线轨迹运动，并最终被吸附在平板电极上。图中a、b两点距离与c、d两点距离相等，下列说法不正确的是（　　） A．该微小颗粒带负电 B．a、b两点电场强度不相同 C．a、b两点间电势差一定等于c、d两点间电势差 D．该微小颗粒在a点的电势能比在d点的电势能大 【变式训练4-2-1】如图，在竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有、、三点，其中为中点。粒子从点以某一初速度沿轴向运动，到点时速度为零，则（　　） A．粒子从到的过程中加速度一定一直增大 B．粒子从到的过程中电势能一定一直增大 C．点的电场强度一定等于点的电场强度 D．两点间的电势差一定等于两点间的电势差 【变式训练4-2-2】在工业生产中，静电场喷雾技术可用于汽车、家电、仪表等外壳的喷涂。如图所示的是一个静电场喷雾装置，该电场中a、c两点分别处于两个等势面中，点b处于两个等势面正中央。从喷口喷出的都是带负电液滴，其中有一滴刚好经过a、b、c三个点。下列说法正确的是（　　） A．a点的电势高于c点的电势 B．a、b两点的电势差一定等于b、c两点电势差 C．液滴一定沿直线做匀加速直线运动 D．从a到c的过程中液滴的电势能减小 【变式训练4-2-3】如图所示为电子束焊接机，K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高电压U，两极之间形成了辐向分布的电场，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点。有一电子在K极由静止被加速，不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是（　　） A．A、K之间的电场强度均为 B．B点电势大于C点电势 C．电子由K到A的电势能减少了eU D．电子在B点加速度大于C点加速度 【变式训练4-2-4】如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，a和b均可视为点电荷，一个点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点转动，在位置MN和位置EF时系统总电势能刚好相等。则（　　） A．a、b两球带异种电荷 B．a、b两球带电量相等 C．a球由E转动到M过程中，O点电场强度可能变小 D．b球在N点的电势能一定小于F点的电势能 【变式训练4-2-5】地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电容器，其间的电场，称为大气电场。设大地电势为零，晴天的大气电场中，不同高度h处的电势φ的变化规律如图所示，其中①线为曲线的切线，不考虑水平方向的电场。则高度h＝5km处的电场（　　） A．电场强度比h＝0处大 B．电场强度方向向上 C．电场强度约为40V/m D．电场强度约为20V/m 【变式训练4-2-6】如图1，、、是某电场中一条电场线上的三点，且。一个负电荷从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点经过点运动到点，其运动的图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．三点的电场强度大小 B．三点的电势 C．相邻两点间的电势差 D．该负电荷在三点的电势能 【变式训练4-2-7】如图所示，空间中有正方体，点是中点，点处固定一正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．两点处的电场强度相同 B．若点处的电势为，点处的电势为，则点处的电势为 C．平面为等势面 D．将带负电的试探电荷从点沿直线移动到点，静电力先做正功后做负功 【变式训练4-2-8】如图所示，一簇电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则（   ） A．M点的电势比P点的电势高 B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差 C．一正电荷在O点时的电势能小于在Q点时的电势能 D．将一负电荷由P点移到M点，电场力做正功 【变式训练4-2-9】图为某建筑物上的避雷针和带电云层之间的电场线分布示意图，是同一电场线上的点，且点的电势点的电势点的电势记为。下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2-10】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线c点时的动能为80eV 【变式训练4-2-11】如图所示为电缆终端周围的电场分布情况，图中虚线为等差等势线，实线为电场线，a、b、c、d四点中b点的电势最高，下列说法正确的是（　　） A．b点的电场强度大于a点的电场强度 B．把一个电子从c点移动到d点电场力不做功 C．Ubd=Uad D．从a点静止释放一个质子，它将沿电场线运动 【变式训练4-2-12】如图所示，两个点电荷固定在水平直线上的、两点，竖直虚线为线段的中垂线，交于点，曲线为一电子的运动轨迹，轨迹及、两点均关于点中心对称。除电场力外其他力均不计。下列说法正确的是（　　） A．、两点的点电荷均带正电 B．的带电量可能大于的带电量 C．电子一定是从运动到 D．点电势一定高于点电势 【变式训练4-2-13】某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，分别是运动轨迹与等势面的交点，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．点的电场强度比点的大 C．粒子在图示运动阶段的动能最小值为0 D．粒子在点的电势能大于在点的电势能 【变式训练4-2-14】如图所示，电荷量为+Q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为θ的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。只考虑+Q在空间各处产生的电场，取离+Q无限远处的电势为0。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k。仅利用以上条件不能求出的是（　　） A．B点的场强EB B．OB之间的距离xOB C．A点的电势φA D．AC两点间的电势差UAC 【变式训练4-2-15】沿静电场中某直线建立x轴，该直线上的电场方向沿x轴，坐标轴正半轴上有A、B两点，A距坐标原点的距离为，B距坐标原点的距离为。规定沿x轴正方向为电场正方向，x轴上各点的电场强度E随x的变化关系如图所示。将一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由O点静止释放，粒子在运动过程中只受静电力的作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子从O到B先做加速运动，后做减速运动 B．OA两点间的电势差与AB两点间的电势差相等 C．粒子不可能到达B点 D．粒子到达A点时的速度大小为 【变式训练4-2-16】防疫口罩中使用的熔喷布经驻极处理后，可增加静电吸附功能。驻极处理如图所示，针状电极与平板金属电极分别接高压直流电源的正、负极，针尖附近的空气被电离后，带电粒子在电场力作用下运动，熔喷布捕获带电粒子带上静电，熔喷布带电后对电场的影响忽略不计。下列说法正确的是（　　）    A．熔喷布上表面因捕获带电粒子而带负电 B．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电势能不断增加 C．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，加速度逐渐减小 D．图中虚线上的a、b、c三点，电势分别为、、，目，则 【变式训练4-2-17】在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，底面圆周上有三点a、b、c，是底面圆心，与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的电场中，下列判断正确的是（　　） A．a、b、c三点的电场强度相同 B．O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为 C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至过程中受到的电场力逐渐增大，电势能也逐渐增大 D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变 【变式训练4-2-18】雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫做“跨步电压”。如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点，若O点附近地质结构分布均匀，则在地面以O为圆心的同心圆为一系列的等势线。图中O、A、B、C在同一直线上，是过B点圆的切线，，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是（　　） A．图中A、B、C三点中，C点电势最高 B．地面上电子由O向C定向移动 C．为了安全，人应该沿方向迈大步快速脱离 D．A、B、C、D四点间电势差大小关系为 【变式训练4-2-19】（多选）如图所示，直线为点电荷电场中的一条电场线（方向未标出），A、B、C为电场线上等间距的三点，一个带负电粒子从电场中P点（图中未标出）分三次以不同的方向射出，仅在电场力作用下分别经过A、B、C三点，粒子经过这三点时，在A点速度变化最快，则A、B、C三点中（　　）    A．A点场强最大 B．场强方向从A指向C C．A点电势最高 D．A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值 【变式训练4-2-20】（多选）复印机的核心原理是静电吸附，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示。一带负电墨粉颗粒（忽略重力）沿直线从a点运动到b点，以a为原点、ab连线向下为正方向建立x轴。设电场强度大小为E、颗粒加速度大小为a、速度大小为v、电势能为Ep，则下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2-21】（多选）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于轴，其电势随的分布如图所示。一质量，电荷量的带负电的粒子从点由静止开始，仅在电场力作用下在轴上往返运动。则() A.轴左侧电场强度和右侧电场强度的大小之比 B.粒子在区间运动过程中的电势能减小 C.该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为 D.该粒子运动的周期 题型05：等势面 （一）常见等势面特点 【典型例题1】图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（     ） A．平面d上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【典型例题2】等量异种点电荷的电场线分布如图所示，点为两点电荷连线中点。下列说法正确的是（    ） A．两电荷连线上，点的电场强度最大 B．两电荷连线的中垂线上，点的电场强度最小 C．两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度相同 D．两电荷连线的中垂线上，电势处处不相等 【典型例题3】等量正点电荷的电场线（实线带箭头表示）及等差等势面（虚线表示）分布图如图所示。将一带正电的试探电荷从点沿直线经、移动到点，、、、均在等势面上。取无限远处的电势为零，则（　　） A．从点沿直线到点运动过程中电势不变 B．点的电场强度大小比点的大 C．该试探电荷在点的电势能比在点的大 D．、间的电势差比、间的电势差大 【典型例题4】某房子屋顶造形如图所示，P为顶点，底面四个点a、b、c、d构成正方形，O为正方形中点，一金属球固定于顶点P，由于风的摩擦而成为正场源点电荷，下列说法正确的是（　　） A．四个点a、b、c、d的场强相同 B．试探电荷在O处受到电场力方向竖直向下 C．底面一定是一个等势面 D．点电荷沿移动电势能先减小后增大 【典型例题5】做心电图时，心脏可视为由两个等量异种点电荷组成的系统。图中显示的是患者体表的瞬时电势分布，实线为等差等势面，数值表示其电势，a、b为两点电荷连线上对称的两点，c、d为连线中垂线上对称的两点，则（　　） A．Uab=2Ubc B．a点与b点的电场强度相同 C．人体内的Cl−在a点的电势能比在b点的电势能大 D．若人体内Na+沿两电荷连线的中垂线从c点运动到d点，电场力先做正功再做负功 【变式训练5-1-1】水平直线上有A、B、C三点，在B、C两点各固定一点电荷，电荷量分别为和，周围的等势面分布示意图如图所示。在A点固定一根竖直光滑绝缘细杆，一带正电的小环（重力不可忽略）套在细杆上从D点无初速度释放到达A点。下列说法正确的是（　　） A．小环在D点与在A点所受电场力的方向相同 B．小环运动到A点时的加速度大于重力加速度 C．小环在D点的电势能小于在A点的电势能 D．小环最终以A点为中心做往复运动 【变式训练5-1-2】 关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　) A．两个电势不同的等势面可能相交 B．电场线与等势面处处相互垂直 C．同一等势面上各点电场强度一定相等 D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功 【变式训练5-1-3】(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是(　　) A．带正电 B．速度先变大后变小 C．电势能先变大后变小 D．经过b点和d点时的速度大小相等 【变式训练5-1-4】如图所示，两个等量负点电荷固定于P、Q两点，正方形abcd为垂直P、Q连线的平面，e、f分别是ad、bc的中点。O点正好是PQ和ef连线的中点，下列说法中正确的是（　　） A．a、b两点场强相同 B．e、f两点电势相等 C．abcd是一个等势面 D．将一正电荷由e点移动到f点，电势能先增加后减小 【变式训练5-1-5】如图所示，M、N两点分别固定等量的异种点电荷，正方形为垂直连线的平面，正方形中心O是连线的中点，E、F分别是、的中点，，下列说法正确的是（　　）    A．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同 B．A、D两点的电势相等 C．把一个正电荷从A点沿直线移到C点过程中，电场力先做正功后做负功 D．若仅将N处的电荷换成正电荷，F点的场强大小不变 （二）对等势面的理解 【典型例题1】我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【典型例题2】如图所示为避雷针周围的等势面分布情况，电场中有M、N、P三点，则(　　) A．P点的电势比M点的高 B．M、N两点的电场强度相同 C．P点的电场强度大小比M点的大 D．电子在P点的电势能大于其在M点的电势能 【典型例题3】如图所示为一个带正电荷的小球与一块大金属板之间形成的电场线和等势面，a、b、c、d、e、f为其中六个点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．金属板表面e、f两点的电势相等 C．将一电子从c点移到d点，电子的电势能减小 D．若电子在e点静止释放，仅受静电力作用可沿电场线ae运动 【典型例题4】如图所示为一带正电导体周围的电场线及等势线分布。A、B、C为电场中的三个点。则（　　） A．电场强度EA>EB>EC B．电势 C．从A到B和从A到C，电场力对电子做功相等 D．在A点静止释放的电子将沿其所在电场线运动到金属表面 【变式训练5-2-1】某小山坡的等高线如图所示，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则（　　） A．同一小球在A点的加速度比B点的大 B．同一小球在A点的重力势能比在B点的大 C．若把等高线看成某静电场的等势面，则A点电场强度比B点大 D．若把等高线看成某静电场的等势面，则右侧电势比左侧降落得快 【变式训练5-2-2】某电场的等势面分布如图所示，相邻等势面之间的电势差均为1V，部分等势面的电势已标明，下列说法正确的是（　　） A．B点的电场强度小于C点的电场强度 B．将电子放在A点，其受到的电场力方向向左 C．电子在A点的电势能大于在D点的电势能 D．将电子沿直线从B点移至C点，电场力一直做负功 【变式训练5-2-3】（多选）如图所示，在一固定点电荷产生的电场中，将一带正电的粒子先后以大小相等、方向不同的初速度从M点射入电场，粒子仅在电场力作用下形成了曲线轨迹1和直线轨迹2，P、Q分别为轨迹1和轨迹2上的点，已知粒子经过P、Q两点时的速度大小相等，则（    ） A．粒子在P、Q两点的加速度大小相同 B．粒子沿轨迹2向左运动过程电势能一定增加 C．M点电势比Q点电势高 D．P点电势比Q点电势低 【变式训练5-2-4】如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 （三）等势面特点的综合应用 【典型例题1】雷雨天带电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，a、b、c、d为等差等势面，一个电子只在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是（　　） A．云层带负电 B．A点的电场强度大小比B点的小 C．电子在A点动能比在B点动能小 D．电子在A点电势能比在B点电势能大 【典型例题2】在做心电图体检时，人体表面某一时刻的电势分布如图所示。P、Q是心电图机的两个电极，a、b是人体表面的两点，下列说法正确的是（    ） A．P极是负极，Q极是正极 B．b点的电势比a点的电势低 C．b点的电场强度比a点的电场强度小 D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 【变式训练5-3-1】盘型悬式绝缘子是高压输电线路上常见的设备，其模型如图甲所示，图乙所示是其轴线所在截面上的等差等势线分布，空气中沙粒间的非对称摩擦会使沙粒带上电荷，悬浮沙粒携带电荷是绝缘子沿面电位和电场畸变的重要原因。下列说法正确的是（　　） A．图乙中a、b、c三点的电势关系为 B．图乙中a、b、c三点的电场强度大小关系为 C．带负电的沙粒聚集在绝缘子的低压端 D．某带电沙粒可从a点沿电场线运动到b点 【变式训练5-3-2】如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面，下列说法正确的是（　　） A．云层带正电 B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小 C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4 keV D．电子从b点移动至c点，电势能增加 【变式训练5-3-3】竖直面内，一带电小球以一定的速度进入匀强电场中，如图所示，虚线为匀强电场的等差等势面，实线为带电小球的运动轨迹。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的方向一定竖直向上 B．小球从到，其机械能守恒，电势能增大 C．小球从到与从到，其动能的变化量相同 D．小球从到，电场力对其做正功，小球的电势能减小 【变式训练5-3-4】如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 题型06：等势面与轨迹问题 【典型例题1】某电场的等差等势线分布如图中的实线所示。一带正电的试探电荷射入电场中，虚线为其运动轨迹，a、b、c为运动轨迹与等势线的交点。已知试探电荷仅受静电力作用，下列说法正确的是（　　） A．b点的电势低于c点的电势 B．若试探电荷从a点运动到c点，电势能先增大后减小 C．试探电荷在a点时的加速度小于在c点时的加速度 D．试探电荷在a点时的速度小于在c点时的速度 【典型例题2】如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计重力，下列说法错误的是（　　） A.M带负电荷，N带正电荷 B.M在b点的动能小于它在a点的动能 C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能 D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功 【典型例题3】（多选）某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电荷 B．M点的电场强度比N点的小 C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点 D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能 【典型例题4】如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（　　） A．A点的电势大于B点的电势 B．A点的电场强度大于B点的电场强度 C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大 D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小 【典型例题5】如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，且方向与等势面平行，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（　　） A．粒子的速度v2一定大于v1 B．等势面b的电势比等势面c的电势低 C．粒子从A点运动到B点所用的时间为 D．匀强电场的电场强度大小为 【典型例题6】 (多选)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图6所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球(　　) 图6 A.在运动过程中，电势能先增加后减少 B.在P点的电势能大于在N点的电势能 C.在M点的机械能等于在N点的机械能 D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功 【典型例题7】图示为电缆终端周围的电场分布情况，图中虚线为等势线，实线为电场线，a、b、c为电场线和等势线的三个交点，下列说法正确的是（　　） A．电场中b点的场强大于a点的电场强度 B．将一电子放在c点，电子的电势能为30eV C．将一电子由a点移至b点，电场力做功20eV D．在a点以一定初速度释放一带正电的粒子，粒子可沿图中轨迹经过c点到达b点 【典型例题8】某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 【变式训练6-1】如图所示，为某静电透镜的示意图，图中实线K、G是电【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（　　）    A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心 【变式训练6-2】如图为一带电粒子在稳定的电场中运动的示意图，虚线为该粒子的运动轨迹，实线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分别为0V、10V、20V和30V的等势线，其中M、N为该粒子的运动轨迹与Ⅳ等势线和Ⅱ等势线的交点，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带正电 B．该粒子在M点的速度大小大于在N点的速度大小 C．该粒子在M点所受的电场力大小小于在N点所受的电场力大小 D．该粒子在M点的电势能大于在N点的电势能 【变式训练6-3】如图所示，实线1、2、3、4为电场中的等势线，电势分别为、、、，a、d为电场中的两个点。一带正电的粒子仅在电场力的作用下沿虚线从M点运动到N点，下列说法正确的是（　　） A．电场力对粒子先做正功后做负功 B． C．粒子在N点的加速度大于在M点的加速度 D．电子在d点的电势能大于在a点的电势能 【变式训练6-4】如图所示，图中实线b、c、d、e为某静电场中的等差等势线，虚线为一个电子在该静电场中的运动轨迹，电子的电量为，则下列判断正确的是（　　） A．电子在A点速度比在B点大 B．电子在A点加速度比在B点小 C．电子在B点的电势能比在A点大 D．b、c、d、e等势线中e的电势最高 【变式训练6-5】如图所示，平行等距的竖直虚线为某电场的一组等差等势面，一带电微粒以一定初速度射入电场后，恰能沿直线从向运动，则由此可知（　　） A．点的电势一定小于点的电势 B．微粒从到点，电势能减小，机械能增大 C．若微粒从点运动到点，合力做正功 D．若初速度方向改变，微粒一定做曲线运动 【变式训练6-6】如图所示，虚线、、代表电场中一簇等势线，相邻等势线之间的电势差相等，实线为一带负电的粒子（重力不计）仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，、是这条轨迹上的两点，据此可知（    ） A．该粒子加速度方向水平向左 B．从运动到，电场力做正功，带电粒子的电势能减小 C．、、三条等势线中，的电势最高 D．带电粒子在运动过程中机械能守恒 【变式训练6-7】如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（　　）    A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小 B．负点电荷一定位于M点左侧 C．a点的场强大于b点的场强 D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度 【变式训练6-8】如图7所示的5条虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子只在静电力作用下在电场中运动(轨迹未画出)，已知 电子经过等势面1时动能为5 eV，经过等势面4时动能为20 eV，等势面2的电势为＋3 V，下列说法正确的是(　　) 图7 A.电子从等势面1运动至等势面4过程电势能增加15 eV B.等势面3的电势－6 V C.电子经过等势面4时具有的电势能－13 eV D.等势面3、5间的电势差为8 V 【变式训练6-9】如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为1、2、3和4，相邻等势面间的电势差相等，一带负电的粒子，重力不计，在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b、c、d是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（　　） A．4等势面上各点场强处处相同 B．四个等势面的电势关系是 C．粒子从a运动到d的过程中静电力一直做负功 D．粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va>vb>vc=vd 【变式训练6-10】（多选）某电子显微镜使用非匀强电场聚集电子束。该电场的等势面分布如图中虚线所示，相邻两等势面间的电势差均为1V。实线是一电子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b是轨迹上位于不同等势面上的两点。取等势面MN为零势面，则（　　） A．电子在a点的加速度比在b点小 B．a、b两点的电势关系为φa＞φb C．从a到b，电子的电势能增加了2eV D．从a到b，电子的动能增加了2eV 【变式训练6-11】一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0V，电子从a点运动到b点电势能变化了10eV，则（　　） A．a点电势为 B．电子在b点的电势能为 C．b点的电场强度比c点的大 D．电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合 【变式训练6-12】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（　　）    A．A点的电势小于D点的电势 B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为 C．电场中C、D两点的电场强度相同 D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大 【变式训练6-13】静电透镜是利用电场来偏转和聚焦电子束的装置，其电场由两个相互靠近的圆筒所带的等量异种电荷产生。圆筒之间形成静电场的等差等势面如图中的虚线所示，当电子束沿中心轴附近有一定的散射角射入该区域时，静电场使平行入射的电子束汇聚于对称轴Z轴上，设某电子的运动轨迹如图中的实线所示，先后经过P、Q、R三点，则下列说法不正确的是（    ） A．该静电透镜中带正电的圆筒位于图中靠左侧的位置 B．电子的运动过程中在P处的电场强度小于在Q处的电场强度 C．电子在由P到R运动过程中的电势能减小，动能增大 D．电子可能仅在电场力作用下在图示电场区域沿垂直于纸面的某平面做圆周运动 【变式训练6-14】已知一个点电荷与无限大金属板间的电场与等量异种点电荷连线中垂线一侧的电场分布相同。如图所示，无限大接地金属板的垂线上、、三点恰将均分为四段，每段长度均为。在点固定一电荷量为的正点电荷，虚线分别为过、、三点的等势线，实线为某试探电荷仅在电场力作用下运动的轨迹，轨迹与等势线分别交于、、、、点。当该试探电荷运动到点时，其电势能、动能。已知单个点电荷周围某点的电势，为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是（　　） A．该试探电荷分别从到和从到的运动过程中，电场力做的功相等 B．该试探电荷带正电 C．该试探电荷运动到点时的动能为 D．点的场强大小为 【变式训练6-15】极板，K板电势为120V、带孔的G板电势为30V，虚线为等势线，从K板中心附近沿水平方向向右发射的带电粒子最终都汇聚到B点。不计粒子重力，关于从A点发射的粒子其从A点到B点的过程，下列说法中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在A点时的动能大于在B点时的动能 C．粒子在A点时的电势能大于在B点时的电势能 D．粒子动量的变化率一直不变 【变式训练6-16】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是(　　) A.两点电荷可能是异种点电荷 B.A点的电场强度比B点的大 C.A点的电势高于B点的电势 D.电子运动到P点时动能最小 【变式训练6-17】某静电场的等差等势面分布如图所示，一带正电的粒子仅在电场力作用下运动，轨迹如图中虚线所示，a、b为轨迹上的两点，已知等势面的电势，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的方向垂直等势面由指向 B．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 C．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能 D．粒子在a点的动能大于在b点的动能 题型07：电场线与轨迹问题 【典型例题1】(多选)电子透镜是通过静电场来使电子束聚焦的装置。电子透镜两极间的电场线分布如图中带箭头的实线。现有一电子仅在静电力作用下从M运动到N，运动轨迹如图虚曲线所示。则下列说法正确的是(　　) A.电子在M点的加速度最大 B.P点的电势高于M点的电势 C.从M点到N点电子的动能先增大后减小 D.从M点到N点电子的电势能一直减小 【典型例题2】如图甲所示，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出生物电，猎取食物。该电鳗头部附近的电场线分布情况如图乙中实线所示，虚线为某一带电粒子的运动轨迹，只考虑电场力的作用，下列说法正确的是（     ） A．该带电粒子带正电 B．该带电粒子在A点的速度小于在B点的速度 C．该带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度 D．该带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能 【典型例题3】两个的电荷和一个的电荷附近的电场线分布如图所示，d是两负电荷连线的中点，c、d两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．c点比d点的电势高 B．b点与e点电场强度相同 C．将负试探电荷从a点移到e点电场力做正功 D．负试探电荷的电势能a点比b点大 【典型例题4】污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有（　　） A．M点的电势比N点的低 B．N点的电场强度比P点的大 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大 【典型例题5】（多选）为避免雷击，高大的建筑物顶端均需安装避雷针。如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图，电场线指向避雷针尖端。M、N、P三点位于同一条电场线上，空间电场分布关于直线MP对称。一带电探测粒子仅在电场力作用下运动，其部分轨迹如图所示。下列说法正确的是（　　） A．粒子在轨迹上某点的加速度方向与电场线切线方向相反 B．粒子从A点运动到B点的过程中，电场力一定做负功 C．M、N、P三点满足电势关系φM＞φN＞φP D．粒子在图中A点的电势能一定大于在B点的电势能 【典型例题6】如图所示，一带电粒子q以一定的初速度进入某点电荷Q产生的电场中，粒子只受静电力，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成30°角；b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成60°角。下列说法中正确的是（　　） A．点电荷Q带正电 B．粒子q在a点的静电力大于在b点的静电力 C．粒子q在a点的电势能大于在b点的电势能 D．a点的电势低于b点电势 【变式训练7-1】如图所示，为某一电荷所形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线为一圆弧，AB的长度等于BC的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力。则下列说法正确的是（　　） A．a一定是正粒子的运动轨迹，b和c一定是负粒子的运动轨迹 B．AB的长度等于BC的长度，故 C．a虚线对应的粒子的加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子的加速度大小不变 D．b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量 【变式训练7-2】如图所示为位于MN两点的点电荷周围的电场线示意图，若将不计重力的带电粒子沿垂直MN连线的方向以速度抛出，粒子运动轨迹如图中虚线所示，经过A、B两点，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．M处点电荷的电荷量小于N处点电荷的电荷量 C．粒子在A、B两点之间的运动过程中加速度越来越小 D．粒子从A点到点运动过程中电势能越来越大 【变式训练7-3】如图所示，竖直放置的金属板右侧有一带正电的点电荷，电场线分布如图所示，一带电粒子仅受电场力作用沿虚线从运动到，已知、、为直线上的三点，且。不考虑粒子所带电荷对空间中电场分布的影响，下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．粒子在点的电势能大于在点的电势能 C．粒子在点的加速度小于在点的加速度 D．、两点的电势差等于、两点的电势差 【变式训练7-4】由太阳能板阵列产生的人工可控匀强电场，主要用于偏转太空尘埃和微小碎片。为了测试电场对带电微粒的偏转效果，工程师将一个足够长、倾角为30°的固定斜面置于电场强度大小方向水平向右的匀强电场中，并向该区域发射了一质量为m、电荷量为+q的小球，小球以初速度v0从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°，如图所示。重力加速度为g，不计空气阻力。从抛出到落回斜面的过程中，小球机械能的增加量为（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-5】如图所示，在匀强电场中有半径的圆形区域，O为圆心，圆形区域所在平面与匀强电场的电场线平行，AC、BD为直径且夹角。已知，，。则（　　） A．电场方向由B指向D B．质子在该圆形区域电势能最大值为5eV C．电场强度等于200V/m D．电子从A到C移动的过程，电场力做的功为-2eV 【变式训练7-6】如图所示，在匀强电场中，有边长为10cm的等边三角形，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行，点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为，，，电子电荷量为，下列说法正确的是（   ） A．电场强度的方向由指向 B．匀强电场的电场强度大小为 C．将电子由点移到点，电子所受电场力做功为 D．在三角形外接圆的圆周上，电势最低点的电势为 【变式训练7-7】如图所示，沿纸面方向的匀强电场内有一长方形区域ABCD，A点有一质子源，以相同大小的初速度沿各个方向射入电场，其中到达B、D两处的质子具有相同大小的速度。已知，，质子电荷量为q，质量为m，不计质子重力，下列说法正确的是（　　） A．电场方向由B指向D B．电场方向与AD垂直 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【变式训练7-8】某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）      A． B． C． D． 【变式训练7-9】如图所示为某静电纺纱工艺中的电场分布示意图，虚线是电场线，实线是某检验电荷只在电场力作用下的运动轨迹，A、B为运动轨迹上的两点，则下列判断正确的是（　　） A．该检验电荷带正电 B．A点的电势高于B点的电势 C．检验电荷在A点的动能小于在B点的动能 D．检验电荷在A点的加速度小于在B点的加速度 【变式训练7-10】《自然·生物技术》报道了“高通量基因编辑电转染平台”，该技术通过对称电场设计提高外源DNA导入效率。其原理可简化如图所示，两带电平行金属板在细胞周围形成关于y轴对称的电场，实线为电场线，虚线为带电外源DNA进入细胞膜的运动轨迹。L、M、N为轨迹上三点，P点与N点关于y轴对称，且。下列说法正确的是（　　） A．N、P两点的电场强度相同 B．DNA分子在M点的加速度比在N点大 C．DNA分子在M点的电势能大于在N点的电势能 D．L、N两点间的电势差等于N、P两点间的电势差 【变式训练7-11】静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件（如阴极时线示波管）和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是（　　）    A．O点的电场强度小于P点的电场强度 B．各点电势高低为 C．该电子束从P点到R点过程中动能一直增大 D．该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大 【变式训练7-12】高压电场干燥中药技术基本原理如图所示，在一个很大的导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电。水分子在静电力的作用下会加速从中药材中分离出去，被鼓风机吹出的水平微风裹挟着飞离电场区域。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始运动的轨迹，不计阻力与水分子的重力。下列说法正确的是(　　) A.水分子的运动轨迹ABCD是一条抛物线 B.水分子运动过程中的加速度保持不变 C.水分子运动过程中轨迹上各点电势逐渐降低 D.水分子运动过程中的电势能不断减小 【变式训练7-13】（多选）如图所示，两段半径均为R的圆形玻璃管道AO、OB拼接在一起并固定于竖直面内，管道内壁光滑，M、N为两段管道的中点，两管道在O点相切，以O为原点沿水平方向建立x轴，x轴与AOB连线相垂直，等量正、负点电荷分别固定在x轴上，处。一带正电小球从A点沿管道自由下落，运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．UAM＝UBN B．M、N两点电场强度大小相等，方向相反 C．AOB连线上O点的电场强度最大 D．小球在O点、B点速度之比为 【变式训练7-14】“场离子显微镜”的金属钨针的针尖O和导电膜间的电场线分布如图所示，该电场可视为位于O点处点电荷形成的电场。a、b、c、d四点位于同一平面内，abc是一段以O为圆心的圆弧，d为Ob的中点，下列说法正确的是（　　） A．O、d两点间的电势差的2倍大于O、a两点间的电势差 B．d点的电势小于b点的电势 C．负试探电荷在a点的电势能小于在c点的电势能 D．a点的电场强度与b点的电场强度相同 题型08：场强大小、电势高低、电势能大小的综合比较 【典型例题】如图所示，、、、、、是以为球心的球面上的点，平面与平面相互垂直，分别在、两点放上等量异种点电荷，则下列说法正确的是() A.、、、四点电场强度大小相同，但方向不同 B.、、、四点电势不同 C.若电子沿直线运动过程中，电子受到的电场力大小一直不变 D.若电子沿圆弧运动过程中，电势能保持不变 【变式训练8-1】如图所示，真空中为边长为的等边三角形三个顶点，在两点分别固定电荷量为的点电荷，在点固定电荷量为的点电荷，点为三角形中心，点为三角形三边中点，设点电荷在某点产生电势为为点电荷电量，为到点电荷的距离，关于四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是() A.点场强大小，电势为 B.点场强大小为，电势为 C.点和点场强大小相等，电势不同 D.电子由点沿直线移动到点过程中，加速度减小，电势能增大 【变式训练8-2】如图所示，正方体，在和处放置电量分别为、的点电荷，则下列说法正确的是() A.点电势高于点电势 B.B、两点电场强度的比值为 C.A、、、四点处电场方向相同 D.将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电势能不变 【变式训练8-3】如图甲所示，带电的物块固定在光滑绝缘水平面上，时刻将另一带电物块从与物块距离为处由静止释放，物块在时间内的速度随时间变化的图像及时刻和时刻该图像的切线如图乙中所示，图乙中和为已知。若两物块均可视为点电荷，带电量的数值相等，物块的质量为，静电力常量为，两物块带电量始终不变。下列说法正确的是() A.两物块带异号电荷 B.时刻、相距 C.两物块的带电量为 D.时间内、组成的系统减小的电势能为 题型09：电场中的图像问题 （一）v－t图像 【典型例题1】如图甲所示，、、为同一水平直线上的三点，在点右侧固定着两点电荷、。时，一电荷量为的试探电荷从点以的速度向左运动，时刻到达点，其图像如图乙所示，若带负电，则（　　） A．电荷从点运动到点的过程中，电势能先减小后增大 B．一定带正电，且电荷量大于 C．点和点之间不存在电场强度为零的点 D．点电场强度方向一定水平向右 【典型例题2】如图，空间中有两个电荷量相等的正点电荷，以连线中点O为原点，在垂直连线方向上建立轴。将一带正电粒子从紧靠O点的上方由静止释放，粒子仅在电场力作用下沿x轴运动。和分别表示该粒子的速度和电势能，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-1-1】如图甲所示，、是一条电场线上的两个点，质量为、电荷量为的粒子仅在电场力的作用下沿电场线从向运动，初速度为，刚好能到达点。粒子运动的图像如图乙所示。下列判断正确的是（    ） A．点电势低于点电势 B．、两点间的电势差 C．点电场强度大于点电场强度 D．粒子在点的电势能大于在点的电势能 【变式训练9-1-2】、是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示，时刻，一个质子从点由静止释放，仅在静电力作用下从点运动到点，该过程中其速度随时间的变化图像如图乙所示。关于该电场，下列说法正确的是（　　） A．可以判断出电场线的方向是由到 B．点的电场强度小于点的电场强度 C．点电势低于点的电势 D．该质子在点的电势能小于在点的电势能 【变式训练9-1-3】如图所示，在坐标轴上，电荷量为的点电荷固定在坐标处，电荷量为的点电荷固定在处。现有一电荷量为的点电荷，在轴上从靠近处由静止释放，不考虑重力及电荷对原电场的影响，取无穷远处电势能为零，在点电荷的整个运动过程中，其瞬时速度随时间、电势能随位置变化的关系图像如图所示，其中可能正确的是（    ） A． B． C． D． （二）电场中的E-X图像 【典型例题1】如图甲所示，真空中固定一个半径为R、带电荷量为+Q的均匀带电小圆环，取中轴线为x轴，圆环圆心为坐标原点，向右为正方向，中轴线上的电场强度分布如图乙所示。x、﹣x是坐标轴上电场强度最大的两点，电场强度最大值为Em。已知点电荷q在距离为r处产生的电势为，k为静电力常量。则下列说法正确的是（　　） A．x处电势为φ＝k B．x处场强大小为 C．O点和x处的电势差为 D．若有带负电粒子沿x轴从O点一直向右运动，则其电势能先增加后减小 【典型例题2】沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电场强度E随位置x变化的图像如图所示，取x轴正方向为电场强度正方向。现将一正电荷从x轴上N点由静止释放，若该电荷仅受电场力。已知ON＝OP，则（　　） A．N、P两点的电势相等 B．该电荷会在NP两点间往复运动 C．由N到P，该电荷的速度先增大后减小 D．由N到P，该电荷的加速度先增大后减小 【典型例题3】两个等量异种点电荷关于原点对称放置，以两点电荷的连线为轴，其电场线分布如图所示。下列关于轴上的电场强度或电势随位置变化的规律图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-2-1】（多选）沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，以x轴正方向为电场强度的正方向，坐标点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从x轴上O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则（　　） A．从O点到C点，电势逐渐降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子在AB段电势能变化量大于BC段的电势能变化量 D．粒子运动到C点时动能大于3Ek 【变式训练9-2-2】如图（a）所示，有一电荷均匀分布的固定绝缘细圆环，圆心为O，轴线上的电场强度和电势分布如图（b）（c）所示。现有一带负电的粒子（重力不计）以初速度v0沿轴线由P运动到Q，OP＝OQ＝L。关于粒子由P运动到Q的过程分析，下列说法正确的是（　　） A．粒子一直加速 B．静电力对粒子做功不为0 C．粒子所受静电力先增大后一直减小 D．粒子经Q点后可能在某处返回，也可能一直沿x轴正向运动 【变式训练9-2-3】如图所示为某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系（图像），x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，下列说法正确的是（　　） A．点电荷由a运动到d的过程中加速度先减小后增大 B．点电荷从b运动到a电场力做的功小于从c运动到b电场力做的功 C．点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大再减小 D．b和d两点处电势相等 【变式训练9-2-4】如图所示，空间存在沿x轴方向的电场，x轴正方向为电场强度正方向，原点O到间的图线为直线，x轴上下方图像与x轴围成的面积相等。一个电荷量大小为q的粒子在O点由静止释放，一段时间后运动到处，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．处的电势低于处的电势 C．粒子在处的动能为 D．O点到之间电势差等于到之间电势差 【变式训练9-2-5】在轴上关于原点对称的、两点上有两个场源点电荷、，它们在空间中产生电场。以轴正方向为沿轴上的电场强度的正方向，与的关系如图所示。轴上任意关于点对称的两点的相同。、两点关于点对称。以下说法正确的是（　　） A．为负电荷，为正电荷 B．与的电荷量大小不相等 C．两点间电势差大于两点间电势差 D．将一负检验电荷从点移动到点，负检验电荷电势能减少 【变式训练9-2-6】某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，其中是间隔相等的四点，下列说法正确的是（　　） A．和处电场强度方向不同 B．和处电势不相等 C．两点之间的电势差大于两点之间的电势差 D．由静止释放一正点电荷，仅在电场力作用下运动到的过程中，电势能先增大后减小 【变式训练9-2-7】某材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示。取O点的电势为零，N点到P点的电势随位置x变化的图像可能为（　　） A． B． C． D． （三）电场中的φ-X图像 【典型例题1】某材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示。取O点的电势为零，N点到P点的电势φ随位置x变化的图像可能为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】真空中存在沿x轴方向的静电场，电势φ随位置x变化的图像如图所示。一电荷量为e的负电粒子，仅在电场力作用下以1.5eV的动能沿x轴正方向经过x2点，下列说法正确的是（　　） A．x3点的电场强度大于x2点的电场强度 B．粒子在x3点的电势能为2eV C．粒子在x3点两侧往复运动 D．粒子在x1点两侧往复运动 【典型例题3】电荷量分别为q1、q2的两个点电荷，分别固定在x＝﹣x0和x＝0处，在它们形成的电场中，在x轴正半轴上各点的电势如图中曲线所示，x＝x0处电势为零，x＝2x0处电势最大。根据提供的信息，下列判断正确的是（　　） A．两个点电荷可能带同种电荷 B．电荷量一定满足关系式2|q1|＝3|q2| C．一电子从x＝x0处由静止释放，电势能一定先减小后增大 D．一电子从x＝x0处由静止释放，一定在x0∼3x0之间做往复运动 【变式训练9-3-1】真空中有两个点电荷和，分别固定在x负半轴上某点和坐标原点O处。取无限远处的电势为0，x正半轴上各点电势随x的变化如图所示。下列说法正确的是（　　） A．带正电，带负电 B．b处的电场强度为零 C．x负半轴上有一点场强与c处相同 D．一带负电的试探电荷在仅受电场力作用下沿x轴从c运动到d的过程中动能一直增加 【变式训练9-3-2】如图所示，一绝缘杆两端分别固定着带等量异种电荷的两小球。以杆的中点为坐标原点、杆所在直线为轴建立坐标系，规定向右为轴正方向，取无限远处为零电势点，关于轴上各点电势随位置变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-3-3】空间中存在方向平行于x轴的电场，其电势随x的变化关系如图所示。一带电粒子沿x轴正方向、以速度大小由O点射出，粒子运动到c点时的速度恰好为0，已知粒子仅受静电力作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小恒定，且沿x轴负方向 B．从a点到b点，粒子的电势能增加 C．粒子在b点的速度大小为 D．粒子将在O、c两点间一直做往返运动 【变式训练9-3-4】某工厂的静电除尘装置结构如图甲所示，两板状收集器A接高压电源正极，位于两板正中央的线状电离器B接高压电源负极。该装置的俯视图如图乙，以B上某一点为坐标原点，建立与A垂直的轴，板内沿轴的电势随位置的变化规律如图丙所示。下列说法正确的是（     ） A．板间电场方向均与轴平行 B．从到电场强度逐渐减小 C．带负电的尘埃在处所受电场力沿轴负方向 D．带负电的尘埃从点附近向A运动的过程中，电势能逐渐增大 【变式训练9-3-5】在真空中建立一个x轴，在x=-6m处固定一个电荷量为Q1的点电荷，原点O处固定一个电荷量为Q2的点电荷。取无限远处为电势能零点，距离点电荷为r处的电势决定式为（Q为场源电荷的电荷量，k为静电力常量），x轴上的电势φ的分布与位置x的关系如图所示，其中图像与x轴的交点分别为A点和B点，C点为x>0范围内的最低点。关于这两个电荷及其激发的电场的描述，下列说法正确的是（　　） A． B．Q1为正电荷 C．B点的横坐标为2m D．A点的电场方向沿x轴正方向 【变式训练9-3-6】真空中存在着平行轴方向的电场，轴上各点的电势随位置变化的关系图像如图所示。一个带负电的粒子从处由静止释放，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．处的电势为零，电场强度大小也为零 B．处的电场强度大于处的电场强度 C．粒子沿轴正方向运动过程中，电势能先变大后变小 D．粒子沿轴正向运动的最远位置处坐标为 【变式训练9-3-7】如图甲所示，固定点电荷上方有一水平方向的光滑绝缘细杆，一个带电小环套在细杆上。某时刻，小环从点由静止释放，小环在间做往复运动，沿细杆方向建立一维坐标系，设坐标原点在正上方，轴上各点电势随变化图像如图乙所示，规定无限远处电势为零，则（　　） A．点电荷为负电荷 B．点电场强度为零 C．到过程中，小环的电势能减小 D．小环的往复运动属于简谐运动 【变式训练9-3-8】一对等量点电荷固定在平面直角坐标系xOy的同一个坐标轴上，它们激发的电场沿x、y轴变化如图所示。甲图为y轴上各点场强随坐标变化的E-y图像，沿y轴正向的场强为正。乙图为x轴上各点电势随坐标变化的φ-x图像，规定无穷远处电势为零。图中a、b关于原点O对称，c、d关于原点O对称，关于这一对点电荷，下列说法正确的是（　　） A．关于原点O对称的异种点电荷，固定在x轴上 B．关于原点O对称的同种负电荷，固定在x轴上 C．关于原点O对称的异种点电荷，固定在y轴上 D．关于原点O对称的同种正电荷，固定在y轴上 （四）Ep－x图象、Ek－x图象 【典型例题1】如图所示，在x轴上的O点固定一点电荷+Q，取x轴正方向为电场强度正方向，一带正电的试探电荷仅在电场力的作用下沿x轴从A点（x＝2r）运动到B点（x＝4r）的过程中，下列关于电场强度E、电势φ、电势能Ep、动能Ek随坐标x变化的关系图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）在水平平面内存在范围足够大且方向平行x轴方向的匀强电场，一带电荷量为1×10﹣5C的带正电小球沿x轴运动，其经过x轴上各点的电势能如图所示，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场大小为4V/m B．电场强度沿x轴正方向 C．坐标为1cm处的电势为1V D．坐标为1cm和3cm两点间的电势差U13为8V 【典型例题3】绝缘的水平面上存在着沿水平方向的电场，带负电滑块（可视为质点）在水平面上不同位置所具有的电势能Ep如图甲所示，P点是图线最低点。现将滑块由x=1m处以v=2m/s的初速度沿x轴正方向运动（如图乙），滑块质量m=1kg、与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，g取10m/s²，则（　　） A．电场中x=3m处的电势最低 B．滑块沿x轴正方向运动过程中，速度先增加后减少 C．滑块运动至x=3m处，速度大小为2m/s D．滑块不可能到达x=4m处 【典型例题4】某平面内存在未知的电场，一正点电荷（电荷量不变）在外力作用下沿方向移动时，其电势能随位置x变化的关系如图所示。则下列说法正确的是（　　） A． 处的电场强度为零 B．从到处过程中，外力做功为 C． 和处的电场方向一定相反 D． 和处的电场方向可能相反 【变式训练9-4-1】如图所示，在等边三角形的三个顶点分别固定着三个电荷量相等的点电荷A，B，C，其中A，B带正电，C带负电，点为三角形的中心，以连线中点为坐标原点，以方向为轴的正方向建立坐标系。一带正电的点电荷以一定的初速度从点射出，沿轴正方向运动到了无限远处。若以表示该点电荷的速度，以表示该点电荷的电势能，以、分别表示轴上各点的电场强度和电势，各矢量以轴的正方向为正，取无限远处电势为零。则上述各物理量随变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-4-2】（多选）如图所示为某带正电的试探电荷沿x轴正方向移动过程中其电势能随位移x的变化关系，图中处的电势能最大，处与处的电势能相等，已知电场方向沿x轴方向。下列说法正确的是（　　） A．0的过程，电场方向始终沿x轴正方向 B．0的过程，该电场的电场强度先增大后减小 C．若将电子从处静止释放，则电子在间往复运动 D．0内，电子在处的电势能最大，电子在处的电势能最小 【变式训练9-4-3】（多选）如图甲所示，A、B是某电场中的一条电场线上的两点，一电子仅在电场力的作用下从A点运动到B点，其电势能Ep与离A点的距离x的关系如图乙所示。规定无穷远处的电势为零，下列说法正确的是（　　） A．电场线的方向由A指向B B．A点的电势小于B点的电势 C．电子在A点的速度大于在B点的速度 D．A点的电场强度大于B点的电场强度 【变式训练9-4-4】（多选））一电荷量为e的质子仅在电场力的作用下从O点沿x轴正方向运动，其电势能随位置坐标x变化的关系图像如图所示，其中图线在时为抛物线，在时为直线，且直线与抛物线在处相切。下列说法正确的是（　　） A．内质子的加速度先减小后增大 B．处的电场强度大小为 C．处的电势为 D．在内电场力对质子做正功，在内电场力对质子做负功 题型10：电场中的功能综合关系 【典型例题1】如图所示，在竖直平面内有水平向左场强E的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。在A点让小球获得一定的初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 【典型例题2】空间中有竖直向上的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的微粒在竖直平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒（　　） A．可能带正电 B．0～3s内电场力做的功为﹣9J C．运动过程中匀加速直线运动 D．0～3s内微粒的机械能减少了3J 【典型例题3】三角形OPN是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为θ，以O点为坐标原点，沿斜面向下为x轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度E随x变化的关系如图2所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为m，电荷量大小为q的带电小滑块（视为质点）从O点静止释放，且小滑块释放后沿斜面向下运动，已知qE0＝2mgsinθ，运动过程中小滑块的电荷量q保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块一定带正电 B．小滑块沿斜面向下运动过程中机械能先减小后增大 C．小滑块沿斜面向下运动过程中的最大速度为 D．小滑块沿斜面向下运动的最远距离为2x0 【典型例题4】（多选）将甲乙两个带电小球置于光滑绝缘水平面上的a、b两点，两球质量分别为m甲、m乙，且m甲＞m乙，带电量q甲＞q乙，电性相同，小球可视为质点，O为ab连线中点，无穷远处电势为零。从静止开始同时释放，此后的运动过程中（　　） A．两球受到的电场力F甲＞F乙 B．甲乙球位移大小之比为 C．两球系统的电势能不断减小 D．O点的电势保持不变 【典型例题5】（多选）如图所示，在竖直平面xOy内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的小球从y轴上P点以水平速度v进入第一象限，速度方向沿x轴正方向，经过x轴上点Q（a，0）时的速度大小也为v，方向与x轴夹角为60°。重力加速度为g。不计空气阻力，小球从P点运动到Q点的过程中（　　） A．速度的最小值为v B．所受静电力的最小值为mg C．动能与电势能之和一直增大 D．P、Q两点间电势差为UPQ 【典型例题6】如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，，，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角，一个电荷量为的正电荷从a移动到b，静电力做功为，求： (1)若规定a点电势为零，求该电荷在b点的电势能及b点的电势； (2)匀强电场的电场强度E； (3)该电荷从b到c，电荷的电势能的变化量。 【典型例题7】由多个点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量和相对位置有关。如图甲所示，a、b、c三个质量均为m，带等量正电荷的小球，用长度相等不可伸长的绝缘轻绳连接，静置于光滑绝缘水平面上，设此时系统的电势能为。现剪断a、c两小球间的轻绳，一段时间后c球的速度大小为v，方向如图乙所示。关于这段时间内的电荷系统，下列说法中正确的是（    ） A．动量不守恒 B．机械能守恒 C．c球受到的电场力冲量大小为mv D．图乙时刻系统的电势能为 【典型例题8】如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为-q （q>0）的小环，在杆的左侧固定一个电荷量为+Q （Q>0）的点电荷，杆上a、b两点与+Q正好构成等边三角形，c是ab的中点。使小环从O点无初速度释放，小环通过a点的速率为v。若已知ab=Oa=l，静电常量为k，重力加速度为g。则（　　） A．在a点，小环所受弹力大小为 B．在c点，小环的动能最大 C．在c点，小环的电势能最大 D．在b点，小环的速率为 【典型例题9】 (多选)如图所示，带电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.OB的距离l＝ B.OB的距离l＝ C.从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs D.AC之间的电势差UAC＝－ 【变式训练10-1】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（　　）    A．小球P的速度先增大后减小 B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零 C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒 D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒 【变式训练10-2】竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-3】如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-4】如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（　　）    A．用时为 B．机械能增加 C．电势能减少 D．动能增加 【变式训练10-5】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（　　） A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍 【变式训练10-6】如图所示，M、N两小球（可视为质点）用绝缘细线连接悬挂于O点处于静止状态，两段绝缘细线长度均为L，两小球质量均为m，小球M带电量为+q，小球N带电量为﹣q。现在该空间加上水平向右、电场强度的匀强电场，最终两小球达到新的平衡状态再次保持静止。小球运动过程中还会受到与速率成正比的空气阻力。不计两小球之间的库仑力作用，则此过程中空气阻力对M、N两小球组成的系统做的功为（　　） A．﹣0.5mgL B．﹣mgL C．﹣1.5mgL D．﹣3mgL 【变式训练10-7】如图所示，地表空间中存在一匀强电场，一个质量为m的带电小球仅在重力和电场力作用下运动，虚线与水平面的夹角为45°，若小球从虚线上某处静止释放，则恰好沿虚线向斜下方向运动；若小球的初速度方向垂直于虚线向右上方向，大小为，从图示位置出发到最高点的过程中，小球重力势能增加了E0，则在上述过程中小球电势能的改变量为（　　） A．﹣3E0 B．3E0 C．﹣E0 D．E0 【变式训练10-8】如图所示，空间存在竖直向下大小为E的匀强电场，一个质量为m、带电荷量为q的带正电绝缘小环套在粗糙程度相同的绝缘木杆上，若小环以初速度从M点沿杆上滑，到达N点时速度恰好为零，随后小环下滑回到M点，此时速度为，已知小环电荷量保持不变，重力加速度为g，空气阻力不计，则（　　） A．小环所能达到的最大高度为 B．从M到N的过程中，克服摩擦力做的功为 C．从M到N的过程中，小环的电势能增加了 D．N、M间的电势差为 【变式训练10-9】如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（　　） A．电容器的上板带负电 B．粒子的机械能逐渐增加 C．粒子的电势能逐渐增加 D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动 【变式训练10-10】真空中质量为m的带正电小球由A点无初速自由下落t秒，在t秒末加上竖直向上、范围足够大的匀强电场，再经过t秒小球又回到A点．小球电荷量不变且小球从未落地，重力加速度为g．则 A．整个过程中小球电势能变化了mg2t2 B．整个过程中小球速度增量的大小为2gt C．从加电场开始到小球运动到最低点时小球动能变化了mg2t2 D．从A点到最低点小球重力势能变化了 【变式训练10-11】如图（a）所示，两个带正电的小球A、B（均可视为点电荷）套在一根倾斜的光滑绝缘直杆上，其中A球固定，电荷量QA=2.0×10-4C，B球的质量m=0.1kg。以A为坐标原点，沿杆向上建立直线坐标系，B球的总势能（重力势能与电势能之和）随位置x的变化规律如图（b）中曲线I所示，直线Ⅱ为曲线I的渐近线。图中M点离A点距离为6m，令A位置的重力势能为零，无穷远处电势为零，重力加速度g取10m/s2，图（a）静电力恒量k=9.0×109N·m2/C2，下列说法错误的是（　　） A．B球的电荷量QB=1.0×10-5C B．直线Ⅱ实质上是小球B的重力势能变化曲线 C．若B球从离A球2m处静止释放，则向上运动过程中加速度先减小后增大 D．若B球以4J的初动能从M点沿杆向上运动，到最高点时电势能减小1J 【变式训练10-12】如图所示，两竖直光滑绝缘杆AB、CD与半径为R的半圆形光滑绝缘杆BC平滑连接，半圆的圆心O处固定有带负电的点电荷，两质量相同、带等量正电荷的圆环M、N套在杆上，圆环之间用长为R的轻杆相连，连接处可自由转动，初始时，N环位于B点，M环位于N环正上方，B、O、C三点等高，现由静止释放两圆环，不计两圆环之间的电场力，对于两圆环与轻杆组成的系统，从释放到速度再次为零的过程中，以下说法正确的是（　　） A．系统电势能先增大再不变后减小 B．电场力对N环先做正功再不做功后做负功 C．系统的动能先增大再不变后减小 D．系统动能最大时机械能也最大 【变式训练10-13】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中(　　) A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球的重力势能增加－W1 C．小球的机械能增加W1＋mv2 D．小球的电势能减少W2 【变式训练10-14】如图，在竖直平面内分布着与水平方向成45°角斜向右上方的匀强电场，一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点由静止开始沿电场线做匀加速直线运动，经过时间恰好到达电场线上点，粒子仅受电场力作用，求： (1)电场强度的大小； (2)粒子从点运动到点过程中，电场力做的功； (3)粒子从点运动到点过程中，电势能的改变量及机械能的变化量（说明增减）。 【变式训练10-15】带电粒子绕着带电量为＋Q的点电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，点电荷固定在椭圆左焦点F上，带电粒子电量为-q；已知椭圆焦距为c，半长轴为a，电势计算公式为，带电粒子速度的平方与其到电荷的距离的倒数满足如图关系。 (1)求在椭圆轨道半短轴顶点B的电势； (2)求带电粒子从A到B的运动过程中，电场力对带电粒子做的功； 【变式训练10-16】如图，空间中存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。电场中有一竖直放置的劲度系数为k的轻质绝缘弹簧，两端连接两个绝缘小球A、B，其中A带正电，电荷量为q，质量为2m，B不带电，质量为m。现将A、B同时由静止释放，释放时弹簧处于原长，A、B运动过程中弹簧始终不超过弹性限度。已知弹簧弹性势能与形变量x的关系为，重力加速度为g，忽略空气阻力。求： (1)B的速度最大时弹簧的伸长量。 (2)A的最大速度。 (3)静电力对系统做功的最大值。 【变式训练10-17】如图所示， 虚线PQ、MN间存在如图所示的水平匀强电场， 一带电粒子质量为m ＝2.0 × 10－11kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5 C，从a点由静止开始经电压为U＝100 V的电场加速后，垂直于匀强电场方向进入匀强电场中，从虚线MN上的某点b(图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN间距离为20 cm，带电粒子的重力忽略不计．求： (1)带电粒子刚进入匀强电场时的速度v1； (2)匀强电场的场强大小； (3)ab两点间的电势差． 一：单选题 1.我国科学家通过冷冻电镜揭开了新冠病毒入侵人体的神秘面纱。其中电子显微镜是冷冻电镜的关键，电子显微镜中利用电场控制电子运动的电场线分布如图所示。、、、为电场中的四个点，下列有关说法正确的是() A.四个点中点的电场强度最大 B.四个点中点的电场强度最大 C.点电势高于点电势 D.电子在点时电势能最大 2.如图所示，曲线中带箭头的为电场线，没有箭头的为等势线，下列判断正确的是() A.点的电势高于点的电势 B.点的电场强度大于点的电场强度 C.两点的电势差为正值 D.负电荷由点移动到点时，静电力做正功 3.某不规则的导体置于电场中，由于静电感应，在导体周围出现了如图所示的电场分布，图中虚线表示电场线，实线表示等势面，、为电场中的两个点，则、两点处的电场强度和电势大小比较正确的是() A.， B.， C.， D.， 4.如图，三角形中，，。匀强电场的电场线平行于所在平面，且、、点的电势分别为、、。下列说法中正确的是() A.电场强度的方向沿方向 B.电场强度的大小为 C.质子从点移动到点，电势能减少了 D.电子从点移动到点，电场力做功为 5.如图所示中实线为某静电透镜中部分电场的电场线，虚线为一个电子在电场中仅在电场力作用下运动的轨迹，电子运动先后经过轨迹上的、两点，则下列判断正确的是（） A.点电势比点电势高 B.电子在点加速度比在点加速度大 C.电子在点速度在增大，在点速度也在增大 D.电子在点动能比在点动能大 6.两个固定的点电荷、产生的电场线如图甲所示，是、连线的中点，两个固定的点电荷、产生的电场线如图乙所示，、关于连线对称，试探电荷在如图丙所示的电场中从运动到，实线为电场线虚线为运动轨迹，下列说法正确的是() A.A、是同种电荷，、是异种电荷 B.点处的电场强度为 C.点比点电势高，、两点的电场强度相同 D.试探电荷从到，电势能减小，加速度减小 7.如图所示为某电场等势面的分布情况在电场中的、两点放置电荷量相等的试探电荷，则() A.A、两点的试探电荷所受电场力相等 B.点的试探电荷所受电场力比点的小 C.A、两点的试探电荷的电势能相等 D.点的试探电荷的电势能比点的小 8.图中虚线、、、、代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面上的电势为。一电子经过时的动能为，从到的过程中克服电场力所做的功为。下列正确的是() A.该电子一定能到达平面 B.平面上的电势为零 C.该电子经过平面时，其电势能为 D.该电子经过平面时的速率是经过时的倍 9.如图甲所示，坐标原点处固定有电荷量为的负点电荷，、点固定有电荷量为的正点电荷。轴上、、三点的横坐标分别为、、，轴上电势随坐标的变化曲线如图乙所示，其中为图线最高点对应的横坐标，下列说法正确的是() A.、、三点的电场强度方向都是沿着轴正方向 B.沿轴正方向从到，电场强度逐渐减小 C.、两点的电场强度方向不同但大小相等 D.轴上到点之间存在电场强度为零的点 10.如图所示，、分别为棱长为的正四面体的内切球与面和面的切点，为边中点，正四面体的顶点、、、分别固定有带电荷量为、、、的点电荷，规定无穷远处电势为零，静电力常量为，则下列说法正确的是() A.点的电场强度大小为 B.点的电场强度大小为 C.正试探电荷沿直线由移动到，电势能增加 D.正试探电荷沿直线由移动到，电势能减少 11．如图所示，光滑的绝缘水平面内存在水平向左的匀强电场（图中未画出）。轻质不带电的绝缘弹簧一端固定在墙上，另一端与电荷量为+2q的金属小球相连。现用外力将弹簧压缩x1（O为弹簧原长处），然后撤去外力。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，x为弹簧的形变量，小球可视为质点。关于小球向右减速到零的过程中，下列说法正确的是（　　） A．若电场强度为，则小球能运动到O点右侧 B．若电场强度为，则小球向右运动的最大距离为 C．若电场强度为，则小球的电势能和动能之和先增大后减小 D．若电场强度为，则小球不能运动到O点右侧 12．如图所示，在固定光滑直杆上套有一个质量为m、电荷量为+q的小球和两根原长均为2L的完全相同的绝缘轻弹簧，两根轻弹簧的一端分别与小球相连，另一端分别固定在杆上相距为4L的A、B两点，空间中存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小E，已知直杆与水平面的夹角θ＝53°，小球在距B点的P点处于静止状态。现将小球拉至距A点的Q点由静止释放，小球可视为质点，运动过程中小球所带电荷量保持不变，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，弹簧弹性势能为Epkx2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为 B．小球运动至最低点时的加速度大小为 C．小球从开始运动至最低点的过程中，小球的电势能减小量为 D．运动过程中小球的最大速率为 二：多选题 1.（多选）、为一电场中轴上的两点，如图所示。一电子仅在电场力的作用下沿轴从点运动到点，轴上各点电势随其坐标变化的关系如图所示，则() A.电子在点的动能大于在点的动能 B.该电场可能是等量异种点电荷形成的电场 C.电子在、两点所受电场力大小关系为 D.电子在、两点的电势能大小关系为 2.（多选）如图所示是带电量不同的正、负点电荷的电场线，、、是电场中的三点。是两电荷连线的中点，、在两电荷连线的垂直平分线上。一个带负电的点电荷在、两点受到的电场力分别为、。无穷远处电势为零，则() A. B.点电势为零 C.点电势高于点电势 D.将负点电荷从点移动到点的过程中，电势能增加 3.（多选）如图所示，在匀强电场中有一正四面体，、、、分别是正四面体的四个顶点，正四面体的棱长，、、、分别为棱、、、的中点，其电势分别为，，。下列说法正确的是() A.点电势为零 B.电场强度大小为 C.电场强度方向由指向 D.将一电子从点移到点，电势能增加 4.（多选）如图所示，两个带+Q的点电荷固定于水平木板边缘中点A、B处，现将一个带﹣Q的点电荷在木板中线边缘C处静止释放，木板始终保持静止。已知木板的质量为M，且上表面光滑，三个点电荷的质量均为m。﹣Q从C运动到D的过程中，下列说法正确的是（　　） A．﹣Q点电荷的加速度一定先减小后增大 B．﹣Q点电荷动能和电势能的和总是保持不变 C．地面给木板的作用力可能先增大后减小 D．地面给木板的摩擦力总是与﹣Q的加速度方向相同 5.（多选）如图所示，在竖直向上匀强电场中有一绝缘粗糙的圆弧曲面，有一带电金属块沿曲面滑下。已知在金属块滑下的过程中金属块的重力势能减小了10J，机械能增大了8J，电势能减少了13J，则以下判断正确的是（　　） A．金属块带正电荷 B．金属块的动能增大了18J C．金属块克服摩擦力做功5J D．金属块运动到圆弧最低点速度最大 6.（多选）静电喷涂机工作时，其喷口（带负电荷）与被涂面板（带正电荷）之间静电场的电场线分布如图中实线所示。一带负电的涂料颗粒仅在电场力的作用下，从M点运动到N点，下列说法正确的是（　　） A．M点的电势高于N点的电势 B．M点的电场强度大于N点的电场强度 C．该涂料颗粒的运动轨迹可能是虚线1 D．该涂料颗粒在M点的电势能小于在N点的电势能 7.（多选）如图所示，在真空中水平放置一长方体高为2L，其上下两个面是边长为L的正方形，在顶点A、C处分别放置电荷量为+Q的点电荷，在顶点F、H处分别放置电荷量为﹣Q的点电荷，O1、O2分别是线段AC和线段FH的中点。下列说法错误的是（　　） A．该长方体的几何中心处场强为零 B．B、D两点场强相同 C．将一电子从B点移到E点，电场力做负功 D．沿竖直方向从O1到O2，电势先减小后增大 8.（多选）如图所示，A、B、C、D是边长为l的正方形的四个顶点，在A点和C点放有电荷量均为q的正点电荷。在B点放一个未知点电荷q′后，D点的电场强度恰好等于0。下列说法正确的是（　　） A．q′是负电荷，电荷量q′＝2q B．q′是正电荷，电荷量q′＝2q C．将q′沿BD连线从B点移到D点的过程中，静电力一直不做功 D．将q′沿BD连线从B点移到D点的过程中，其电势能先变小后变大 9.（多选）如图，电荷量为+q的点电荷固定在点Q，电荷量为-q、质量为m的点电荷P绕点Q沿椭圆轨道运动，轨道长轴的两端点a、b到点Q的距离分别为r、3r，点电荷P运动的周期为T。不计粒子受到的重力，静电力常量为k，两电荷距离为d时的电势能。下列判断正确的是（　　） A．点电荷P在点a和点b的速度大小之比为 B．点电荷P从b运动到a的过程中电势能先减小后增大 C．若电荷P运动到a点时，速度方向不变，大小变为，则此后运动周期为 D．点电荷P运动到b点时的速度为 10.（多选）如图所示，半径为R=0.8m的圆上有M、N、P三点，其中MN为直径，P点为半圆MN上靠近M点的三等分点。空间中存在与圆面平行的匀强电场。带电荷量为q=+0.02C的试探电荷从M点移动到P点的过程克服电场力做的功为2J，该试探电荷从M移动到N的过程电场力做的功为-8J。规定N点电势为0。下列说法正确的是（    ） A．P点电势为300V B．试探电荷在O点的电势能为-4J C．匀强电场的方向为从M指向N D．匀强电场的电场强度大小为250N/C 11．（多选）在如图所示的等边三角形的三个顶点处，分别固定电荷量为、和的点电荷。已知三角形中心到三个顶点的距离均为，点为边中点，点为连线中点，则关于、、三点电势、、关系正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（多选）如图所示，一绝缘正四面体的顶点a、b、c、d分别固定电荷量为、、、的四个点电荷。O、P、M、Q为四面体棱上的点，且满足。规定无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（    ） A．M与O点的场强不同 B． C．将电性为负的试探电荷由P点移动到Q点，电场力做正功 D．在四面体的棱上，另有3个点的电势与M点相同 三：解答题 1．如图所示，在匀强电场中直角三角形ABC的边长AB＝8cm，BC＝4cm，将带电荷量q＝﹣6×10﹣6C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了2.4×10﹣5J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10﹣5J的功。求： （1）A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC； （2）如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？ （3）计算电场强度的大小。 2．如图17所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量绝对值为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向成37°角。已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）判断小球的带电性质，并求该匀强电场的电场强度E的大小； （2）若将小球向左拉起至与O点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，将小球由静止释放，小球运动到最低点时，求： ①该过程中系统电势能的变化量ΔEp； ②最低点处小球对细线的拉力T的大小。 3．如图所示，水平地面上放置一足够长、质量M＝2kg的绝缘长木板，长木板与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。质量m＝1kg、带电量q＝+1×10﹣5C的小物块（可视为质点）静止在长木板上，小物块与长木板间的动摩擦因数μ2＝0.4。在距小物块L1＝4m的虚线右侧存在宽度L2＝12.75m的匀强电场E1，方向水平向右，匀强电场E1右侧存在宽度L3＝13m的匀强电场，其场强大小，方向竖直向上。现对长木板施加一水平向右F＝9N的恒力，使物块穿过右侧两电场区域。已知物块进入电场E1前和长木板保持相对静止，进入电场E1后与长木板发生了相对运动，穿过电场E1的过程中，小物块的电势能减少了127.5J。重力加速度g取10m/s2，求： （1）小物块进入电场E1前的加速度大小a1； （2）小物块离开电场E1时的速度大小v2； （3）小物块从进入电场E1到离开电场E2所用的时间t； （4）从开始到最终小物块与长木板共速的整个过程中，小物块与长木板间因摩擦产生的热量Q。 4．如图所示，A点右侧无限大的区域内有水平向右的匀强电场，电场强度E＝1×106N/C。带电物块（可视为质点）以初速度v0＝3m/s沿着绝缘粗糙水平面从A点进入电场，从经过A点开始计时，经过2s物块到达某处。已知物块质量m＝1kg，电荷量q＝﹣2×10﹣6C，与水平面的动摩擦因数μ＝0.1，g＝10m/s2。求： （1）画出物块在电场中运动时的受力图； （2）物块在电场中运动时加速度的大小和方向； （3）从开始运动到第2s末，物块经过的路程为多少？ （4）从开始运动到第2s末，物块电势能的变化量。 5．如图所示，轻质绝缘细绳上端固定，绳长为L＝1m，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球质量m＝0.8kg，小球静止在水平向左足够大的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°，匀强电场的场强E＝4.0×104N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）小球的带电性质及所受电场力F的大小； （2）设悬点的正下方电场中的某点电势能为零，带电小球静止处的电势能； （3）其他条件不变小球还平衡，只改变电场，则最小的电场强度为多少？方向如何？ 6.如图所示，匀强电场内有一矩形区域，电荷量为的某带电粒子从点沿方向以的动能射入该区域，恰好从点射出该区域，已知矩形区域的边长，，、、三点的电势分别为、、，不计粒子重力，求： 粒子到达点时的动能； 匀强电场的场强大小和方向。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 电场能的性质 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：电场能的性质的理解 10 题型02：电势高低的判断 15 （一）根据电场线方向判断 15 （二）场源电荷φ＝判断 22 （三）电势的叠加 25 （四）电场力做功 31 题型03：电场力做功与电势能大小的关系 34 题型04：匀强电场场强与电势的关系 57 （一）公式E=Ud在匀强电场中的应用 57 （二）非匀强电场中电势差与电场强度分析 68 题型05：等势面 82 （一）常见等势面特点 82 （二）对等势面的理解 87 （三）等势面特点的综合应用 91 题型06：等势面与轨迹问题 93 题型07：电场线与轨迹问题 107 题型08：场强大小、电势高低、电势能大小的综合比较 118 题型09：电场中的图像问题 122 （一）v－t图像 122 （二）电场中的E-X图像 125 （三）电场中的φ-X图像 132 （四）Ep－x图象、Ek－x图象 140 题型10：电场中的功能综合关系 146 巩固提升 166 1. 高频考点：电势、电势差、电势能的辨析，电场力做功与电势能变化关系，等势面与电场线综合分析。 2. 题型分布：以选择题为主，偶尔结合带电粒子运动、动力学出计算题，属于高考必考基础考点。 3. 命题特点：侧重概念辨析、规律应用，常结合匀强电场、非匀强电场模型考查，难度中等，易在正负号、大小比较上失分。 1. 熟记电势、电势差、电势能的定义及正负物理意义，区分三者区别与联系。 2. 掌握电场力做功特点，熟练运用做功与电势能变化的对应规律。 3. 能根据电场线、等势面判断电势高低、电势能大小及电场力做功正负。 4. 掌握匀强电场电势差与场强的关系，可快速解决基础计算和定性分析问题。 知识点一：电场能相关物理量的概念 一．电场力做功 1.电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。 2.电场力做功的计算方法 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 二．电势能 1.定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。用符号Ep表示 2.说明：电势能具有相对性，通常把 无穷远处 或 地面 的电势能规定为零。 3.静电力做功与电势能变化的关系 ①静电力做的功等于电荷电势能的减少量 ，即WAB＝ EpA－EpB 。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就 减少 多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就 增加 多少。 ②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。 4.电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。 5.电势能的大小判断“四法” 判断方法 方法解读 公式法 将电荷量、电势及正负号一起代入公式EpA＝qφA计算，EpA＞0时值越大，电势能越大；EpA＜0时绝对值越大，电势能越小。 电势高 低法 同一正电荷在电势越高的地方电势能越大；同一负电荷在电势越低的地方电势能越大。 静电力 做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。 能量守 恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化而且其和守恒，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加 三．电势 1.定义：试探电荷在电场中某点具有的 电势能Ep 与它的电荷量q 的比值。 2.定义式：φ＝ 　。 3.矢标性：电势是标量 ，有正、负之分，其正（负）表示该点电势比零电势高（低）。 点电荷在空间某点电势φ＝。 若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和 4.相对性：电势具有 相对性 ，同一点的电势因选取 零电势点 的不同而不同。 5.电势高低的判断“四法” 判断方法 方法解读 电场线 方向法 沿电场线方向电势逐渐降低 场源电荷正负法 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；越靠近正电荷处电势越高，越靠近负电荷处电势越低 电势能 大小法 同一正电荷的电势能越大的位置处电势越高，同一负电荷的电势能越大的位置处电势越低 静电力 做功法 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低 四．电势差 1.定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差。 2.表达式：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。 3.静电力做功与电势差的关系 ①公式：WAB＝qUAB或UAB＝。 ②适用范围：任意电场。 4.影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及静电力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。 知识点二： 电场力做功与电势差及电势能的关系 1.电场力做功与电势差及电势能变化的关系 关系式WAB＝UABq＝EpA－EpB ①注意角标顺序：WAB表示电荷从A移到B电场力做的功；UAB表示φA－φB。 ②应用的各量均代入正、负号。 ③WAB＝UABq适用于任何电场。 2.电场力做功正负的判断方法 ①根据电场力与速度的夹角判断：夹角是锐角，电场力做正功；夹角是钝角，电场力做负功。 ②根据WAB＝qUAB判断：由q和UAB的正负，判断WAB的正负。 3.几种功能关系 ①若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； ②若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； ③除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化． ④所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 4.在解决电场中的能量问题是常用到的基本规律有：动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 （1） 应用动能定理解决问题需要研究合外力做功（或总功）； （2） 应用能量守恒定律解决问题需要注意电势能和其他形式能的相互转化； （3） 应用功能关系解决问题需要明确电场力做功和电势能改变之间的对应关系； （4） 有点长粒做功的过冲中机械能不一定守恒，但机械能和电势能的综合保持不变。 注意：①电荷在电场中运动时，电场力做功将引起电势能与其他形式的能相互发生转化，电荷的机械能不再守恒． ②要搞清几个功能关系：重力做功等于重力势能的变化，电场力做功等于电势能的变化，弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，合外力做功等于动能的变化． ③无论能量如何变化，总是满足能量守恒定律． 知识点三：电势差与电场强度的公式及应用 1.电势差与电场强度的关系式：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积即U＝Ed。其中d为电场中两点间沿 电场线方向 的距离。 2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，即E＝。 3.电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场线方向单位距离上降低的电势　。 在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论” 4.非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用 （1）判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。 （2）判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。 （3）E＝在非匀强电场中的妙用 ①解释等差等势面的疏密与场强大小的关系，当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密集． ②定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小． ③利用φ ­x图象的斜率判断沿x方向场强Ex随位置的变化规律．在φ ­x图象中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向． 5．等分法及其应用 (1)等分法： 如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 (2)“等分法”的应用思路： 由匀强电场的电势分布确定电场强度 匀强电场中同一条直线上的线段两端点间电势差正比于线段长度。 三步法确定电场强度：①确定等势线；②画等势线的垂线，确定电场强度方向；③根据E＝确定电场强度大小 匀强电场中若两线段（非等势线线段）平行，则这两线段各自的端点间电势差正比于线段长度。题中出现平行线时可用此方法 匀强电场中，利用E＝，分别求出两垂直方向的电场强度，再求出各电场强度 知识点四：等势面 1.定义：电场中 电势相等 的各点组成的面。 2.四个特点 ①等势面一定与 电场线 垂直。 ②在 同一等势面上 移动电荷时电场力不做功。 ③电场线方向总是从 电势高 的等势面指向电势低的等势面。 ④等差等势面越密的地方电场强度 越大 ，反之 越小 。 3.常见电场线与等势面 电场 等势面（实线）图样 重要特点 匀强电场 垂直于电场线的一簇平面 点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面 等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面 等量同种正点电荷的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高 知识点五：带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 一:带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． 2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向． 若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线． 若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直． 3． 判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加． 二：等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据电场力沿着垂直于等势面方向且指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合等势面的电势高低关系确定电场线的方向，进而确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做功、电势能的变化情况等。 三：电场线与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法 1.如果带电粒子只受电场力作用，根据带电粒子所受的电场力沿着电场线的切线方向且（或等势面的垂线）指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向； 2.再结合电场线的方向（或等势面的电势）确定带电粒子的电性； 3.最后根据带电粒子运动轨迹与电场线的分布情况，确定电场力做功、电势能的变化情况 知识点六：几种常见电场图象的特点及规律 v ­t图象 根据v ­t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化 φ ­x图象 (1)电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ ­x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ ­x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断 E­x图象 (1)反映了电场强度随位移变化的规律； (2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 Ep­x图象 (1)反映了电势能随位移变化的规律； (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小； (3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况 1. 概念辨析技巧：电势看位置（沿电场线电势降低），电势能看电荷+电势（正电荷高势高能大，负电荷高势高能小）。 2. 核心万能规律：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 3. 匀强电场解题：巧用 U=Ed，d 为沿电场线方向的有效距离，优先找等势点、画等势线。 4. 快速破题方法：先判电场线方向→定电势高低→结合电荷正负→判电势能、做功、能量变化，分步推导不混淆。 题型01：电场能的性质的理解 【典型例题1】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】AB．假设电场线的方向向右，则正电荷在a的左侧，所以a点的电场强度大，即Ea＞Eb；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项A正确，B错误； C．沿着电场线电势会逐渐降低，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，两点的场强和电势不可能相等，选项C错误； D．若电场线的方向向左，则正电荷在b的右侧，所以b点的电场强度大，即Eb＞Ea；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项D错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（  ） A．b、h两点的电场强度相同 B．a点电势比e点电势高 C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差 D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等 【答案】D 【详解】A．由题图可知，b、h两点到O点的距离相同，则电场强度的大小相同，但是方向不同，则b、h两点的电场强度不同，故A错误； BC．电势沿着电场线的方向逐渐降低，该电场是由带负电的点电荷产生的，则离点电荷越远，电势越高，所以a点电势低于e点电势，d点电势低于e点电势，则d、b两点间电势差小于e、b两点间电势差，故BC错误； D．d、f两点到O点的距离相等，则d、f两点的电势相同，电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等，故D正确。 故选D。 【典型例题3】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（    ）    A．b、c、d三点的电场强度相同 B．b、c、d三点的电势相等 C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大 D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功 【答案】B 【详解】A．根据点电荷的场强公式 由图可知，b、c、d三点到两电荷的距离相等，所以A、B两点电荷在三点产生的合场强的大小相等，方向不相同，故A错误； B．A、B两个点电荷分别在b、c、d三点产生的电势相等，根据电势的叠加法则可知A、B两个点电荷在b、c、d三点的电势相等，故B正确； C．根据等量同种电荷的场强分布特点可知O点的合场强为零，从b点沿直线移动到O点，电场强度可能一直减小，也可能先增大后减小，所以所受电场力可能逐渐减小，也可能先增大后减小，故C错误； D．根据等量同种电荷的场强分布特点可知将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力先做负功后做正功，故D错误。 故选B。 【典型例题4】如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（　　）    A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大 【答案】C 【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知 A错误； B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误； C．由于沿电场线电势降低，可知根据可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确； D．根据 可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。故选C。 【变式训练1-1】如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（　　） A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小 B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大 C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大 D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负 【答案】C 【详解】点电荷形成的电场如图所示，图中虚线为等势面， A．由于一正点电荷固定在P点，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，故PM＜PN，由点电荷形成的电场的场强公式可得，从M到N点，场强先增大后减小，故A错误； B．电场线与等势面相互垂直，并且沿电场线方向电势降低，由图可知，从M到N电势先增大后减小，故B错误； C．由图可知，从M到N电势先增大后减小，由电势能公式可得，由于此检验电荷为负电荷，电势越高，电势能越小，所以从M点移动到N点，电势能先减小后增大，故C正确； D．由图可知，M点电势大于N点电势，由电势能公式可得，由于此检验电荷为正电荷，电势越高，电势能越大，故正点电荷在M点的电势能高于在N点的电势能，从M点到N点，正电荷的电势能减小，电场力做正功，故D错误； 故选C。 【变式训练1-2】如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（　　） A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上 B．D点电势高于A点电势 C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功 D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC 【答案】C 【详解】A．因、两点电场强度大小相等，所以点电荷在、两点连线的垂直平分线上，如图所示，和的方向相同，点电荷定在、连线上，过、两点连线的垂直平分线与、连线相交于，故点电荷在点，故A正确； B．由几何关系得到的距离小于到的距离，根据越靠近正电荷，电势越高可知，点电势高于点电势，故B正确； C．从点沿直线到点再到点，电势先升高再降低，故将正试探电荷从点沿直线移到点，电势能先增大后减小，电场力先做负功再做正功，故C错误； D．点电荷的等势面是以点电荷为圆心的同心圆，、两点在同一等势面上，故有故D正确； 错误的故选C。 【变式训练1-3】如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（　　）    A．a、b、c、d四点的电场强度相同 B．D、O、B三点的电势相等 C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功 D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回 【答案】D 【详解】A．由等量同种点电荷电场特点得，a、b、c、d四点电场强度大小相等，方向不同，则电场强度不同，故A错误； B．B、D两点电势相等，O点电势高于B、D两点的电势，故B错误； C．根据电场叠加原理可知，沿直线从E点到O点的电场强度方向一直向右，电场力对点电荷做正功，故C错误； D．根据电场的对称性可知，到达O点后点电荷将继续沿直线运动，到达F点时速度恰好为零并会立刻返回，故D正确。 故选D。 【变式训练1-4】在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（　　）     A．AB间C点电势最低 B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点 C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零 D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小 【答案】B 【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，C点电势高于其右侧点电势，故不是AB间电势最低的点，A错误； B．C的电场强度由两个电荷产生的电场同向叠加而成，方向向右，A的左侧电场方向向左故不可能存在，B的右侧两电荷产生电场反向叠加，并且当的电场大于的电场时，电场方向与C相同，但因为此位置相对于A的距离比C相对于A的距离远，所以在此区域产生的电场强度一定小于C处的场强，B正确； C．B右侧场强为0的点满足电势为0的点满足很明显不是同一位置，C错误； D．由图中电场线分布可知C的电势高于D点；所以负电荷在C点的电势能低，移到D点时电势能增大，D错误。 故选B。 【变式训练1-5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．处电势等于处电势 B．处电场强度与处电场强度相同 C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动 D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动 【答案】AD 【详解】A．结合图像和电场力做功可得：电子从处到处电场力做功为零，处电势等于处电势，A正确； B．由图像乙可见处电场强度与处电场强度等值反向，B错误； C．由图像乙可见处到处，电场强度是先增大后减小，由 可得：将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，C错误； D．因为= 可见将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动，D正确。 故选AD。 题型02：电势高低的判断 （1） ：根据电场线方向判断 【典型例题1】有一电场的电场线如图所示，场中A、B两点电场强度的大小和电势分别用，和，表示，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，因B点电场线较A点密集，得； 根据沿着电场线方向电势降低，得。 故选B。 【典型例题2】A、B是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示t=0时刻，一个质子从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，该过程中其速度v随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．A点的电势低于B点的电势 B．A点的电场强度大于B点的电场强度 C．该质子在A点的电势能小于在B点的电势能 D．该质子在A点的电势能等于在B点的电势能 【答案】B 【详解】A．质子带正电，从A由静止释放后向B运动，说明电场力方向为，因此电场方向也为。根据沿电场线方向电势降低，可知点电势高于点电势，故A错误； B．图像的斜率表示加速度，由图乙可知，质子运动过程中加速度逐渐减小，根据牛顿第二定律 质子的、不变，因此电场强度逐渐减小，即点电场强度大于点电场强度，故B正确； CD．质子从到过程中，电场力做正功，电势能减小，因此质子在点的电势能大于在点的电势能，故CD错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，实线和虚线分别为两点电荷和产生的电场中的电场线、等势线。已知的电量是的电量的9倍，以点电荷位置作为坐标原点，指向为轴正方向，、距离为。则关于两电荷的电性以及在轴上的范围内电势最低的点的坐标说法正确的是（    ） A．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 B．两点电荷和为同种电荷，处电势最低 C．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 D．两点电荷和为异种电荷，处电势最低 【答案】B 【解析】根据电场线分布的特点可知，两点电荷和为同种电荷，电势最低点为场强为0的位置，电荷量为9倍的关系，根据 可知，该点到两电荷的距离为3倍的关系，处场强为0，电势最低。 故选B。 【变式训练2-1-】1《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则四点中电势最高的是（　　）    A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】D 【解析】根据电场线的性质：沿电场线方向，电势逐渐降低。观察图中电场线，可判断电场线方向（假设从电势高处指向低处）。比较a、b、c、d四点，d点位于电场线“上游”，沿电场线方向电势依次降低，即d点电势高于c点，c点高于b点，b点高于a点。因此电势最高的是d点。 故选D。 【变式训练2-1-2】如图所示，a、b是同一电场线上的两个点，下列说法正确的是（　　） A．电场可能是由一个负点电荷产生的 B．质子在a点的加速度小于在b点的加速度 C．a点电势低于b点电势 D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能 【答案】B 【详解】A．一个负电荷产生的电场线是直线，图中该电场不可能是由一个负电荷产生的，故A错误； B．根据电场线的疏密反映电场强度的大小，可知，又由qE=ma可知，质子在a点的加速度小于b点，故B正确； C．沿着电场线方向电势逐渐降低，由图中电场线方向可知，a处电势高于b处，故C错误； D．负点电荷所受电场力方向与电场线方向相反，从a到b电场力做负功，电势能增加，则电子在a点的电势能小于在b点的电势能，故D错误。 故选B。 【变式训练2-1-3】如图所示，两等量同种正电荷Q分别放置在椭圆的焦点A、B两点，O点为椭圆中心，P、S是椭圆长轴的端点，取无穷远处电势为零，则（　　） A．O点的电势高于M点和N点的电势 B．O点电场强度为零，电势也为零 C．椭圆上M、N两点电场强度相同 D．将一电子从P点移到S点，电场力一直做正功 【答案】A 【解析】A．根据等量同种电荷的电场线分布可知在中垂线上电场线的方向分别是OM和ON方向，根据沿着电场线方向，电势逐渐降低，可知O点的电势高于M点和N点的电势，故A正确； B．根据等量同种正点电荷的电场分布规律，可知O点电场强度为零，根据等量同种正点电荷的电势分布规律，可知O点电势大于零，故B错误； C．由等量同种点电荷的电场分布特点及题图中的对称关系易知，M、N两点场强大小相等，方向相反，故C错误； D．等量同种正点电荷的电场线与等势线分布规律如图所示 根据等势线分布规律可知，P点与S点电势相等，将一电子从P点移到S点过程中，电势可能一直不变，也可能先升高后降低或先降低或升高，对应电场力一直不做功、先做正功后做负功、先做负功后做正功，故D错误。 故选A。 【变式训练2-1-4】静电除尘利用静电场净化气体或回收有用尘粒。某静电除尘装置由带正电的金属圆筒Q和带负电的线状电极P组成，其横截面上的电场线分布如图所示，A、B、M、N为同一等势线（图中虚线）上的四点，A、B、C在圆筒的直径上，，若电极P的电势为0，下列说法正确的是（　　） A．AP＞BP B．金属圆筒Q为等势体 C．M、N两点的电场强度相同 D．C点的电势是B点电势的2倍 【答案】B 【详解】A．因A点到电极P的平均电场强度大于B点到电极P的平均电场强度，所以A点到电极P的距离较小，故A错误； B．金属圆筒Q为等势体，故B正确； C．根据对称性可知M、N两点电场强度大小相等、方向不同，故C错误； D．，根据电场线的疏密可知，C点的电势小于B点电势的2倍，故D错误。 故选B。 【变式训练2-1-5】（多选）如图，真空中存在一对等量同种点电荷，电荷量大小均为+Q，O为两电荷连线的中点，a、b、c、d为电场中的四个点，其中a、b位于两电荷连线上，b点比a点更靠近O点。c、d位于两电荷连线的中垂线上，c点比d点更靠近O点。下列说法正确的是（　　） A．a点的电势低于b点的电势 B．c点的电场强度一定大于d点的电场强度 C．将正试探电荷从O点沿两电荷连线移至a点，电场力做负功 D．负试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能 【答案】CD 【分析】根据电场线的分布特点判断电势高低，电势能大小，场强大小； 根据电场力做功与电荷电性的关系判断正、负。 【解答】解：A、在等量正点电荷的连线上，电场方向从两侧电荷指向中点O（即从+Q指向O），沿电场线方向电势降低。a比b离左侧+Q更近，所以a点电势高于b点电势，故A错误； B、在等量正点电荷的中垂线上，O点的电场强度为0，从O点向外，电场强度先增大后减小（存在一个最大值点）。因此c点的场强不一定大于d点的场强，故B错误； C、将正试探电荷从O沿连线移至a点，位移方向向左，电场方向也向左（从a指向O的反方向），电场力方向与位移方向相反，电场力做负功，故C正确； D、根据等量同种电荷电场的分布特点可知，c点电势高于d点电势，根据Ep＝qφ可知，负试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，故D正确。 故选：CD。 【变式训练2-1-6】真空中有两个点电荷和分别固定在轴上的和位置处。在它们的连线上，电势与的关系如图所示，已知点电荷的电势公式为（其中为静电力常量，为点电荷电量，为该点到点电荷的距离），点的坐标为，取无穷远处电势为零。下列说法正确的是（　　） A．两个点电荷为同种电荷 B．图中对应的位置 C．图中对应的位置 D．无法计算电荷量为的试探电荷在轴任意位置受到的电场力 【答案】B 【详解】A．电势图像在处趋向正无穷，在处趋向负无穷，说明为正电荷，为负电荷，二者为异种电荷，A错误； B．由图可知，，结合电势关系，可得 由图可知，C点的电场强度为0，即两电荷在C点产生的电场等大反向，即 解得，B正确； C．B 点电势为零，满足解得， C错误； D．根据及电场叠加，可以求得x轴上某点的电场强度，再利用可求得试探电荷所受的静电力，D错误。 故选B。 【变式训练2-1-7】反天刀鱼是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生类似于等量异种点电荷形成的电场，其电场线分布如图所示，P、Q为电场中的两个点，下列说法正确的是（　　） A．反天刀鱼的头部带负电荷 B．P点的电场强度小于Q点的电场强度 C．带电粒子只在电场力作用下有可能沿电场线从P点运动到Q点 D．若将一负试探电荷从P点移动到Q点，该负电荷电势能增加 【答案】D 【分析】结合电场线的方向、疏密特点，分析场源电荷电性、场强大小、粒子运动可能性及电势能变化。 【解答】解：A、根据电场线从正电荷出发回到负电荷的特性，可知反天刀鱼的头部带正电荷，故A错误； B、由于P点处的电场线比Q点处密集，所以P点的电场强度大于Q点的电场强度，故B错误； C、带电粒子只在电场力作用下不可能沿电场线从P点运动到Q点，故C错误； D、一个负试探电荷从P点运动到Q点的过程中，电场力做负功，电势能增加，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-1-8】如图所示，、、、、、是以为球心的球面上的点，平面与平面相互垂直，分别在、两点放上等量异种点电荷，则下列说法正确的是() A.、、、四点电场强度大小相同，但方向不同 B.、、、四点电势不同 C.若电子沿直线运动过程中，电子受到的电场力大小一直不变 D.若电子沿圆弧运动过程中，电势能保持不变 【答案】D 【解析】A.等量异种点电荷中垂面上，关于点对称的点的电场强度大小相等，方向相同，故A错误； B.、、、四点在等量异种点电荷中垂面上，因此四点在零势面上，电势相同，故B错误； C.电子沿直线运动过程中，场强大小变化，电场力大小变化，故C错误； D.电子沿球面曲线运动过程中，电势处处相等，电势能不变，故D正确。 故选：。 【变式训练2-1-9】“彭宁离子阱”是一个可以用来储存带电粒子的装置，它主要由一对左右对称的环电极和一对上下对称的端电极构成，如图所示，其内部某一截面的部分电场线和等势线分布，则（　　） A．P、M两点电场强度相同 B．P、Q两点电场强度 C．P、Q两点电势 D．M、N两点电势 【答案】D 【详解】A．电场强度是矢量，方向沿电场线切线方向；由图像结合对称性可知P、M两点电场强度大小相同，方向相反，因此P、M两点电场强度不同，故A错误； B．电场线越密场强越大，P点比Q点更靠近中心，电场线更稀疏，因此，故B错误； CD．根据图像可知上、下端电极带正电，左、右环电极带负电，电场、电势的分布具有对称性；结合沿电场线电势降低，等势线与电场线垂直，可知P、Q两点电势相等，M点电势大于N点电势，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2-1-10】如图所示，两个相同的圆环A、B平行正对放置，圆环上各有一个小缺口，两环带有等量的正电荷且电荷分布均匀。现让B环绕通过两环圆心的轴线缓慢转动，在两环缺口由相距最近转到最远的过程中，两环圆心连线的中点O处（　　） A．场强逐渐减小 B．场强逐渐增大 C．电势逐渐降低 D．电势逐渐升高 【答案】A 【分析】根据电场强度的矢量性、叠加知识结合电势的标量性特点进行分析解答。 【解答】解：两个带等量正电荷的圆环A、B，各有一个小缺口。初始时缺口方向相同，相当于两个“完整圆环”各自减去一个“小缺口电荷”。完整均匀带电圆环在圆心连线上中点O处的场强为0（对称性抵消）。因此，O点的场强等于两个“小缺口电荷”在O点产生的场强的叠加，初始时方向大致相同，大小相等，总场强最大。当B环绕轴线缓慢转动时，B环的缺口方向与A环的缺口方向逐渐错开，两个“小缺口电荷”到O点的距离不变， 电势为标量，转动过程中O点总电势保持不变，场强逐渐减小。故A正确，BCD错误。 故选：A。 （2） 场源电荷φ＝判断 【典型例题1】 以O为圆心的圆上有a、b、c、d四个点，O点右侧M点固定一负点电荷，位置关系如图所示，则圆上四点中电势最高的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．d点 【答案】C 【详解】负点电荷的电势分布规律为：以负点电荷为中心，离负点电荷越远，电势越高。结合题图位置：负点电荷在圆心与点之间，四个点到的距离关系为，即点离负点电荷最远，因此点电势最高。故选C。 【典型例题2】如图所示，真空中的四个电荷量均为Q的正点电荷分别固定在水平面内的正方形的四个顶点上，正方形的边长为L，O为正方形的中心，M、N分别是AB、CD的中点，P点在O点的正上方处。若在P点无初速度释放一个质量为m的均匀带电小球，小球恰好能悬浮静止。已知静电力常量为k，重力加速度为g，规定无限远处电势为0，则下列说法正确的是（　　） A．M、N两点的电场强度相同 B．M点的电势高于N点的电势 C．小球所带的电荷量为 D．P点的电场强度大小为 【答案】C 【详解】A．因为M、N两点的电场强度方向不同，所以M、N两点的电场强度不相同，故A错误； B．根据对称性可知，M、N两点的电势相同，故B错误； CD．由几何关系可知，每个点电荷到P点的距离均为 故每个点电荷在P点产生的电场强度大小均为，电场强度方向均与竖直方向的夹角为45°，则四个点电荷在P点产生的合电场强度大小为设小球所带的电荷量为q，由力的平衡条件可知，解得，故C正确，D错误。故选C。 【变式训练2-2-1】如图，轴水平向右，其坐标原点的正上方点放有一正点电荷，、为轴上的两点，各点间的距离满足。现分别用、表示、两点的电势，将、两点的电场强度沿轴方向和垂直于轴方向进行分解，设轴方向的分量分别为、，则下列判断正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】离正点电荷越近的地方电势越高，A点比B点离正点电荷更近， 则A点电势更高，即。设x轴正方向上某点的横坐标为x，该点与M点的距离为r，则该点与M点连线和x轴负方向的夹角为，几何关系有 正点电荷在该点产生的电场强度沿x方向的分量大小 可知 由于 整理得 故 故选A。 【变式训练2-2-2】在真空中，一点电荷在M、N两点产生的电场的电场强度方向如图所示，已知在两点的连线上电场强度的最大值为100N/C，取sin53°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．该点电荷为负电荷 B．N点的电势等于M点的电势 C．N点的电场强度大小E＝36N/C D．N点的电场强度与M点的电场强度大小之比为16：9 【答案】D 【分析】反向延长两处场强方向确定场源位置，由几何得M、N到场源的距离比值，结合点电荷场强公式与连线最大场强分析各选项。 【解答】解：A、两电场线反向延长线的交点即为点电荷的位置，点电荷带正电，故A错误； B、根据几何关系M点到点电荷的距离比N点到点电荷的距离大，M点的电势低于N点的电势，故B错误； C、设M、N两点的连线到点电荷的最近距离为rmin，N点到点电荷的距离为rN，则有 根据题意可得 代入数据可得，故C错误； D、N点到点电荷的距离与M点到点电荷的距离之比为3：4，结合 N点的电场强度与M点的电场强度大小之比为16：9，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-2-3】如图甲所示为某品牌负离子空气净化器，其产生负离子的原理如图乙所示，针状电极M和弧形电极N之间加上直流高压，使其间的空气发生电离，产生的负离子通过鼓风装置排出。在MN连线上，下列说法正确的是（　　）    A．离M点越近，场强越大，电势越低 B．离M点越近，同一正离子的加速度越小 C．离M点越近，同一负离子的电势能越大 D．各点的电势都大于零 【答案】AC 【详解】A．高压供电装置正极接地，针状电极接电源负极，而弧形电极接地，可知弧形电极N点的电势高于针状电极M点的电势，且离M点越近电势越低，而针状电极尖端处电荷的密集程度大，因此离M点越近，场强越大，故A正确； B．离M点越近，场强越大，由可知，离M点越近，同一正离子的加速度越大，故B错误； C．带负电的粒子在电势越低的地方电势能越大，因此可知离M点越近，同一负离子的电势能越大，故C正确； D．因为弧形电极N接地，电势为零，而MN连线各点上的电势都小于N点的电势，因此可知MN连线上各点（不包括N点）的电势都小于零，故D错误。故选AC。 （三）电势的叠加 【典型例题1】如图所示，A、B两点分别固定电荷量为、的两个点电荷，以B为圆心的圆交A、B中垂线于C、D两点，交AB延长线于P点，下列说法正确的是（　　） A．C、D两点电场强度相同 B．C、D两点电势不同 C．将一正电荷从C点沿上方圆弧移至P点，电势能减小 D．将一负电荷从P点沿下方圆弧移至D点，电场力做负功 【答案】C 【详解】A．由点电荷场强公式及电场叠加原理可知，C、D两点电场强度大小相等，方向不同，故A错误； B．根据题意，由电势公式及电势叠加原理可知，C、D两点电势相同，故B错误； C．根据题意可知，点处点电荷在和点产生的电势相等，且为负，点处点电荷在点产生的电势大于点电势，且为正，叠加后点电势高于点电势，由可知，正电荷在点电势能较多，即将一正电荷从C点沿上方圆弧移至P点，电势能减小，故C正确； D．由BC分析可知，点电势高于点电势，负电荷在点的电势能较大，将一负电荷从P点沿下方圆弧移至D点，电势能减小，电场力做正功，故D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，四根完全相同的均匀带负电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上，点为长方体几何中心。现将处的绝缘棒替换为总带电量与相同，均匀带正电荷的绝缘棒。假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于替换后点处电场强度方向和替换前后点处电势的变化，下列说法正确的是（　　） A．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 B．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 C．电场强度方向由点垂直指向，电势降低 D．电场强度方向由点垂直指向，电势升高 【答案】B 【详解】根据对称性可知，替换处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向，再根据电势的叠加原理，单个点电荷在距其处的电势为，取无穷远处电势为零，故撤去处的绝缘棒，替换为总带电量与相同，均匀带正电荷的绝缘棒后，点电势升高，故B正确。 故选B。 【典型例题3】如图所示，边长为L的等边三角形的三个顶点a、b、c上各放置一个点电荷，电荷量分别为+q、+q、−q，O为等边三角形外接圆的圆心，d为ab边的中点。已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，若将无限远处的电势规定为零，则距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。则（　　） A．O点的电场强度大小为 B．O点的电势为 C．d点的电势为 D．系统的总电势能为 【答案】D 【详解】AB．O点到三个顶点的距离 则O点的电场强度大小为 O点的电势，故AB错误； C．d点的电势，故C错误； D．由公式Ep=φq可知系统的总电势能，故D正确。 故选D。 【典型例题4】如图所示为光滑水平桌面的俯视图，空间中存在平行于桌面的匀强电场E，A、B两带电小球（可视为点电荷）放置在光滑水平桌面上处于静止状态，两者连线与电场方向平行，C点为A、B连线中点，D点与A、B构成等边三角形。下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球带电荷量大小一定相等，A球带负电荷 B．D点电场强度为零 C．C点电场强度是D点电场强度的7倍，且两者方向相反 D．D点电势高于C点电势 【答案】AB 【详解】A．水平方向上，两小球均在电场力和库仑力的作用下处于平衡状态，由于库仑力为相互作用力，大小相等，方向相反，因此两小球受到的电场力也一定是大小相等，方向相反，故两小球带电荷量大小一定相等，且A带负电荷，B带正电荷，故A正确； B．设A、B间距为d，小球带电荷量为q，两小球所受电场力和库仑力大小相等，即 因为是等边三角形，所以A、B两小球所带电荷在D点产生的合场强与匀强电场大小相等，方向相反，因此D点的电场强度是零，故B正确； C．A、B两点电荷在C点产生的合场强为 C点电场强度大小 方向与E反向，故C错误； D．A、B两小球带等量异种电荷，C点为A、B连线中点，D点在C点的正右方，都在A、B连线中垂线上且与匀强电场方向垂直，因此D、C两点的电势相等，故D错误。 故选AB。 【变式训练2-3-1】如图所示，真空中为边长为的等边三角形三个顶点，在两点分别固定电荷量为的点电荷，在点固定电荷量为的点电荷，点为三角形中心，点为三角形三边中点，设点电荷在某点产生电势为为点电荷电量，为到点电荷的距离，关于四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是() A.点场强大小，电势为 B.点场强大小为，电势为 C.点和点场强大小相等，电势不同 D.电子由点沿直线移动到点过程中，加速度减小，电势能增大 【答案】B 【解析】A.根据对称性可知、两个点电荷在点产生的电场强度大小相等，均为 处点电荷在点产生的电场强度方向分别如图所示 根据电场强度的叠加法则可得点的电场强度大小为 根据点电荷在某点产生电势 可得点的电势分别为 故A错误； B.两个正点电荷在点的合场强为零，故点的场强即为负电荷在点产生的场强，即 根据点电荷在某点产生电势 可得点的电势分别为故B正确； C.根据等量同种电荷的电场分布特点以及点电荷的电场分布特点可知，点和点场强大小相等，根据点电荷在某点产生电势 可得点和点的电势分别为， 可知这两点电势相等，故C错误； D.电子由点沿直线移动到点过程中，电场强度减小，电子受到的电场力减小，其加速度减小，电场力一直做正功，电势能减少，故D错误。 故选B。 【变式训练2-3-2】真空中电量相等的两异种点电荷连线和一绝缘正方体框架的两侧面和中心连线重合，连线中点和立方体中心重合，除两异种电荷Q产生的电场外，不计其它电场的影响，则下列说法中正确的是（　　） A．正方体两顶点A、B电场强度相同 B．正方体两顶点A、B电势相同 C．面是等势面 D．负检验电荷q从移到电势能先减小后增大 【答案】B 【详解】A．由等量异种电荷的电场线分布可知，顶点A、B电场强度大小相同，方向不同，故A错误； B．A、B两点与正电荷Q的距离相等，正电荷Q在A、B两点产生的电势相等且为正值，同理负电荷Q在A、B两点产生的电势也相等且为负值；电势为标量，根据标量的叠加法则可得A、B两点电势相同，故B正确； C．、、、四点电势相同，但面不是等势面，电场线不与该面垂直，故C错误； D．由等量异种电荷的电势分布可知，点电势为正值，点电势为负值，因此负检验电荷q在处的电势能小于处的电势能；若负检验电荷沿直线移动，则电势能逐渐增大，若沿其他路径移动，电势能的变化情况未知，故D错误。 故选B。 【变式训练2-3-3】如图所示，等边三角形的三个顶点A、B、C上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为q、+q、+q，已知M、N、P分别为AC、BC、AB的中点，设无穷远的电势为零，下列关于M、N、P三点说法正确的是（　　） A．M、N两点电势相等 B．N点电势最低 C．M、P两点电场强度大小相同 D．N点的电场强度最大 【答案】C 【详解】AB．图像可知，相对M、P两点，N点更加靠近正电荷，故N点是M、N、P三点中电势最高的点，故AB错误； C．根据电场叠加原理可知，M、P两点场强大小相同，方向不同，故C正确； D．单独看B、C电荷在N点产生的电场强度抵消为0，所以N点的电场强度只是跟A处的正电荷有关，由于N点距离A点电荷最远，可知N点场强最小，故D错误。 故选C。 【变式训练2-3-4】理论表明，将无限远处的电势规定为零时，距离点电荷Q为r处的电势，其中k为静电力常量。如图所示，真空中有四个可视为点电荷的带正电的小球，约束在边长为的正方形的顶点上。已知各小球所带电荷量均为q，P为正方形的几何中心，则（　　） A．P点的电场强度大小为 B．P点的电势为 C．小球1的电势能为 D．将小球1从位置1沿直线移至P的过程中电势能增加 【答案】BD 【详解】A．根据电场的叠加原理可知，等量同种点电荷连线的中点的电场强度为0，可知，小球1，3在P点的电场强度为0，小球2，4在P点的电场强度为0，则P点的电场强度大小为0，故A错误； B．根据电势的代数和规律有，故B正确； C．小球1所在位置的电势 则小球1的电势能，故C错误； D．根据点电荷电场强度的叠加原理可知，P点到小球1连线的电场方向由P指向小球1，将小球1从位置1沿直线移至P的过程中，电场力做负功，则电势能增加，故D正确。 故选BD。 （四）电场力做功 【典型例题1】匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，则运动过程中，其（　　） A． 所处位置的电势一定不断降低 B． 所处位置的电势一定不断升高 C． 轨迹可能是与电场线平行的直线 D． 轨迹可能是与电场线垂直的直线 【答案】C 【解析】在匀强电场中，带正电的点电荷所受电场力恒定，方向与电场线方向一致，加速度恒定。分析各选项： A．若初速度方向与电场力方向相反（如初速度向左，电场力向右），电荷会先减速至零再反向加速。在减速阶段，电荷沿电场线反方向运动，电势升高。因此电势不一定一直降低，故A错误； B．若初速度方向与电场力方向相同（如初速度向右，电场力向右），电荷将一直加速，电势不断降低，因此电势不一定升高，故B错误； C．若初速度方向与电场力方向共线（同向或反向），电荷将做匀变速直线运动，轨迹与电场线平行，故C正确； D．若轨迹与电场线垂直，则电荷初速度方向与电场力方向垂直。但电场力大小方向恒定，此时电荷将做类平抛运动，轨迹是曲线，故D错误。故选C。 【典型例题2】某平行板电容器内外的电场线分布如图甲所示，上极板所带电荷量为，两极板内正中心位置A点固定着一小试探电荷。现在上极板正中心施加力，使电容器的上极板弯曲成如图乙所示。已知极板内部的电场强度大小为（为电荷面密度，为电容器中电介质的介电常数），下列分析正确的是（　　） A．施加力F前后，两极板中间都是匀强电场 B．A点的场强保持不变 C．A点的电势增大 D．试探电荷q的电势能保持不变 【答案】C 【详解】A．施加力后，极板间的电场线发生了改变，不再是匀强电场，A项错误； B．在点的极板间的距离减小，且点附近的极小面积内的电荷面密度增大，则点的场强增大，B项错误； C．由下极板接地，可得，可知不变，增大，电势增大，C项正确； D．由可知试探电荷的电势能增大，D项错误。 故选C。 【变式训练2-4-1】如图，圆心为的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径。将电荷量为的粒子从点移动到点，电场力做功为；若将该粒子从点移动到点，电场力做功为。下列说法正确的是() A.该匀强电场的场强方向与平行 B.将该粒子从点移动到点，电场力做功为 C.点电势低于点电势 D.若只受电场力，从点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动 【答案】AB 【解析】A.由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路，沿方向建立轴，垂直于方向建立轴如下图所示 在方向有在方向有 经过计算有，，，，， 可知电场方向与水平方向成，则电场与平行，且沿指向，故A正确； B.该粒从点运动到点，电场力做的功为，故B正确； C.沿电场线方向电势逐渐降低，则点的电势高于点的电势，故C错误； D.若粒子的初速度方向与平行则粒子做匀变速直线运动，故D错误。 故选AB。 【变式训练2-4-2】下图为地图上某山地的等高线图，O点为峰顶（图中数字的单位是米）。小山坡的左边a和右边b，据地理知识可根据该图判断出哪一边的地势更陡，若现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中数字的单位是伏特，以下说法正确的是（   ）    A．与Ob方向相比，沿Oa方向电势降落较快 B．负电荷在20V等势线上的电势能小于在40V等势线上的电势能 C．若只考虑电场力，在电势为30V的等势线上静止释放q = 1.6 × 10－6C的点电荷，运动到零势能面时动能一定为4.8 × 10－5J D．若电子沿30V的等势线从左到右逆时针运动一周，则电场力先做正功，后做负功，总功为零 【答案】C 【详解】A．由图判断相邻等势面为等差等势面，描述电势降落快慢的物理量是电场强度，描述电场强度的大小可用等差等势面的疏密程度，a侧电场强度小，所以沿Oa方向电势降落得慢，故A错误； B．负电荷在电势低的地方电势能大，故B错误； C．据能量守恒，带电粒子的动能和电势能之间相互转化，总能量不变为4.8 × 10－5J，故C正确； D．在同一条等势线上移动电荷，电场力始终不做功，故D错误。故选C。 【变式训练2-4-3】在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为和的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的单位是伏特），则（　　） A． ， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】根据两点电荷周围的电势分布可知带正电，带负电；由图中电势为0的等势线可知 由图中距离关系可知联立解得故选B。 题型03：电场力做功与电势能大小的关系 【典型例题1】如图所示的电场中，电子从M点运动到N点，电子只受电场力的作用，在M点和N点的电势能分别为EpM、EpN，加速度分别为aM、aN。则（　　） A．EpM＜EpN，aM＜aN B．EpM＜EpN，aM＞aN C．EpM＞EpN，aM＞aN D．EpM＞EpN，aM＜aN 【答案】B 【分析】先依据电场线疏密比较两点场强，场强越大电子受力越大、加速度越大；再由电场线走向判断电势高低，结合电子带负电的特点确定电势能大小，也可通过电场力做功正负分析电势能变化，最后对照选项得出结果。 【解答】解：电场线疏密代表电场强度大小，M处电场线比N处密集，则EM＞EN 电子仅受电场力F＝eE，可得FM＞FN 由牛顿第二定律，因此 电场线沿箭头指向电势逐渐降低，故φM＞φN 电子带负电，负电荷在电势越高处电势能越小，因此。 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【典型例题2】如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，a和b均可视为点电荷，一个点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点转动，在位置MN和位置EF时系统总电势能刚好相等。则（　　） A．a、b两球带异种电荷 B．a、b两球带电量相等 C．a球由E转动到M过程中，O点电场强度可能变小 D．b球在N点的电势能一定小于F点的电势能 【答案】C 【详解】A．根据题意，a、b两球电势能总量刚好相等，说明点电荷对a、b两球所做的总功为零，a、b两球电性一定相同，故A错误； B．由A分析可得显然则，故B错误； C．若开始在EF位置带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场反向，则转动过程中，带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场夹角越来越小一直到垂直，由矢量合成规律可得O点电场强度会变大；若开始在EF位置带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场同向，则转动过程中，带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场夹角越来越大一直到垂直，由矢量合成规律可得O点电场强度会变小，故C正确； D．小球a和b距离不变，小球a对b不做功，若b球与点电荷带异种电荷，则相互吸引，从N点到F点，电场力做负功，电势能增加，则N点的电势能小于F点的电势能；若b球与点电荷带同种电荷，则相互排斥，从N点到F点，电场力做正功，电势能减少，则N点的电势能大于F点的电势能，故D错误。故选C。 【典型例题3】如图为孤立点电荷和金属板间的电场线分布。下列说法正确的是（    ） A．C点场强比D点大 B．金属板上表面的A点电势比B点低 C．外力作用下，电子从C点移到D点电势能一定减小 D．电子从F点释放，仅受电场力作用将沿电场线运动到E点 【答案】C 【详解】A．C点比D点离点电荷远，D点电场线密，场强大，A错误； B．金属板上表面是等势体，A、B两点电势相同，B错误； C．D 点离点电荷更近，因此C点电势低于D 点电势。电子带负电，在电势高的地方电势能低，电势低的地方电势能高。电子从C点移到D点，电势能减小，C正确； D．电子将沿力的方向运动，不会沿电场线运动，D错误。 故选C。 【典型例题4】由生物岛实验室领衔研制、我国首个拥有自主知识产权的国产商业场发射透射电镜TH-F120完成了首批订单合同签订，正式开启了国产透射电镜的市场应用。其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在电场力的作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．电子在P点的受力方向斜向左上 B．电子在R点的加速度大于在P点的加速度 C．从P点至R点的运动过程中，电子的电势能先增大再减小 D．从P点至R点的运动过程中，电子的速度大小一直增大 【答案】D 【详解】A．电子在P点的受力方向与等势面垂直，电子做曲线运动受力方向指向轨迹的凹侧，所以电子在P点的受力方向斜向右下，故A错误； B．等差等势线越密，电场强度越大，所以P点场强大于R点场强，则电子在P点受到的电场力大，根据牛顿第二定律可知，电子在P点的加速度大于在R点的加速度，故B错误； CD．电子受电场力方向与电场强度方向相反，所以电场强度方向背离PQ实线方向，根据电场线与等势面垂直，且由电势高的地方指向电势低的地方，则从P到R的电势升高，根据公式可知，电子电势能减小，动能增大，速度大小一直增大，故D正确，C错误。 故选D。 【典型例题5】三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 【答案】D 【解析】A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误； B．a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误； C．从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知，则，C错误； D．a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。 故选D。 【典型例题6】如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向的夹角为37°。重力加速度大小为g，sin37°=0.6，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．现用外力缓慢把小球拉到最低点，电势能减少 D．在最低点由静止释放小球，小球到达A点时细线的拉力大小为 【答案】D 【详解】A．小球静止时细线向左偏，电场水平向右，故小球受到向左的电场力，它带负电，故A错误； B．由平衡条件有 解得，故B错误； C．将小球拉到最低点的过程中，电场力做的功 电场力做负功，电势能增加，故C错误； D．小球从最低点到A点，由动能定理有 代入数据得 在A点，有 解得，故D正确。 故选D。 【典型例题7】如图所示，正三角形的中心在O点，边长为L，A、B、C分别是三条边的中点，各顶点分别固定一个正点电荷，电荷量均为Q。已知元电荷为e，若取无限远处的电势为零，则与点电荷Q距离为r的某点的电势φ＝k，k为静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．A、B、C三点的电场强度相同 B．A点的电场强度大小为 C．B点的电势为 D．电子在O点的电势能为 【答案】C 【分析】电场强度遵循矢量叠加法则、电势遵循标量叠加法则，结合正三角形几何关系算出各点场强与电势，再通过电势能公式检验D选项。 【解答】解：A、由对称性结合电场的叠加知，A、B和C三点的场强大小相等，方向不同，即A、B、C三点的电场强度不相同，故A错误； B、A为等边三角形的中点，则上方和左下方电荷在A点的合场强为0，可见A点的场强等于右下方电荷在A点产生的场强，为，故B错误； C、B为等边三角形的中点，则B点的电势，故C正确； D、O点为正三角形的中心，则三个点电荷到O点的距离相等，均为，O点的电势，电子在O点的电势能，故D错误。 故选：C。 电场力做功 【典型例题8】（多选）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为的光滑绝缘斜面上的点，其正上方处固定一电荷量为的球2，斜面上距点处的点有质量为的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列说法正确的是（　　） A．球3带正电 B．球3在间做简谐运动 C．球3运动至点的速度大小为 D．球3在点时的加速度大小是在中点时的4倍 【答案】AD 【详解】A．若球3带负电，由于球1带正电对其产生沿斜面向下的吸引力，球2带负电对其产生的排斥力在斜面上的分力沿斜面向上，加上重力沿斜面向下的分力，为了维持静止状态弹簧必须处于拉伸状态以提供向上的拉力，这与题中弹簧处于压缩状态矛盾，故球3必然带正电，根据题意可知球2、3间的静电力大小为 球2、3间的距离与、两点间的距离相等均为，根据库仑定律可知球1、3间的静电力大小为 代入数据解得 对处于点静止的球3进行受力分析，根据受力平衡条件有 代入已知数据解得 设弹簧的劲度系数为，根据胡克定律有 解得 受力情况与题设条件相符，故A正确； B．迅速移走球1后球3沿斜面向下运动，球3到球2的距离随位移不断发生变化，球2对球3的库仑力大小和方向均发生改变，库仑力沿斜面的分力与位移不呈线性关系，因此球3受到的合力不与位移成正比，不满足简谐运动的回复力特征，故B错误； C．球3从点运动到点的过程中，由于点与点到球2的距离均为，两点处于同一等势面上，球2对球3的静电力做功为零，弹簧在点压缩量为，在点伸长量也为，初末状态弹性势能相等，弹力做总功为零，根据动能定理有 解得 运动至点的速度大小不为，故C错误； D．当球3运动至中点时，位移为，此时弹簧刚好恢复原长弹力为零，球2与该中点的连线垂直于斜面，球2对球3的静电力方向垂直于斜面，其沿斜面方向的分力为零，沿斜面方向根据牛顿第二定律有 解得 当球3运动至点时，弹簧处于拉伸状态且伸长量为，球2对球3的静电力方向竖直向上，设沿斜面向上为正方向，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 经过对比可知，故D正确。 故选AD。 【变式训练3-1】如图所示，竖直平面内存在一个非匀强电场，电场中有一固定光滑绝缘细杆倾斜放置，A、B、C是细杆上的三个点，且AB=BC。一带电小球套在细杆上，从A点静止释放，沿杆运动恰好能到达C点。不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确 的是（     ） A．小球带正电 B．小球在C点所受的静电力大小小于在A点所受的静电力大小 C．小球在C点的电势能大于在A点的电势能 D．小球从A点到B点静电力做的功等于从B点到C点静电力做的功 【答案】C 【详解】A．小球从A点由静止开始运动，恰好运动到C点，可知静电力做负功，小球带负电。故A错误； B．根据电场线越密电场强度越大，可知C点的电场强度大于A点的电场强度，则小球在C 点所受的静电力大小大于在A点所受的静电力大小。故B错误； C．小球从A点运动到C点的过程中静电力做负功，电势能增加，则小球在C点的电势能大于在A点的电势能。故C正确； D．由于AB=BC，但BC段的电场线更密，电场强度更大，则小球从A点到B点静电力做的功小于从B点到C点静电力做的功。故D错误。故选C。 【变式训练3-2】一束粒子撞击一静止的金原子核，它们的运动轨迹如图所示。图中虚线是以金原子核为圆心的圆。已知静电力常量，元电荷，金原子序数为79，不考虑粒子间的相互作用，则（　　） A．沿轨迹1运动的粒子受到的库仑力先做正功，后做负功 B．沿轨迹2运动的粒子到达P时动能为零、电势能最大 C．位于图中虚线圆周上的3个粒子的电势能不相等 D．若粒子与金原子核距离为，则库仑力数量级为 【答案】D 【解析】A．沿轨迹1运动的粒子受到的库仑力先做负功，后做正功，A错误； B．沿轨迹2运动的粒子因为做曲线运动，则到达P时动能不为零，因距离原子核最近，则电势能最大，B错误； C．位于图中虚线圆周上各点的电势都相等，可知虚线圆周上的3个粒子的电势能相等，C错误； D．若粒子与金原子核距离为，则根据库仑定律可知库仑力 即数量级为，D正确。 故选D。 【变式训练3-3】如图所示，M、N是真空中一条直线上的两点，O点为M、N的中点，直线MN外存在一点电荷（图中未画出）。将电荷量为的试探电荷从无穷远处（电势为0）沿直线经M点、O点移动到N点，电场力做正功。已知M点和O点电势相等。下列说法正确的是（    ） A．N点的电势为 B．O点的电势高于N点的电势 C．试探电荷沿直线从M点移动到N点的过程中，电势能先减小后增大 D．试探电荷沿直线从M点移动到N点的过程中，电场力做的总功为正功 【答案】C 【详解】A．根据电场力做功与电势差的关系，试探电荷从无穷远移动到N点，总电场力做功满足 得，故A错误； B．已知M、O电势相等，说明M、O到场源点电荷的距离相等，因此场源一定在MO的垂直平分线上（MN直线外）。由，说明场源是负电荷。点电荷的电势满足 时，离场源越远（越大），电势越高。N到场源的距离大于O到场源的距离，因此，故B错误； C．场源在MN外MO的垂直平分线上，MN直线到场源的垂足落在M、O之间：试探电荷沿MN从M到N的过程中，到场源的距离先减小，后一直增大。负电荷电场中，电势随距离场源减小而降低，结合、，电势能变化和电势变化一致，因此电势能先减小后增大，故C正确； D． 从M到N，电场力总功 已知，因此，总功为负，故D错误。 故选C。 【变式训练3-4】如图所示是甲、乙两个点电荷电场的部分电场线分布图，下列说法正确的是（　　） A．甲带负电，乙带正电，甲的电荷量大于乙的电荷量 B．P点的电场强度大于Q点的电场强度 C．将一个正试探电荷从P点由静止释放，只在静电力的作用下会沿电场线运动到Q点 D．一个负试探电荷在P点电势能比在Q的电势能大 【答案】B 【解析】A．电场线从正电荷出发到负电荷终止。甲带正电，乙带负电。 甲周围的电场线比乙密集，所以甲的电荷量大于乙的电荷量，A错误； B．电场线越密，电场强度越大。 P点的电场强度大于Q点的电场强度，B正确； C．将一个正试探电荷从P点由静止释放，只在静电力的作用下不会沿电场线运动到Q点，因为只有电场线是直线时，试探电荷才会沿着电场线运动，C错误； D．一个负试探电荷从P点运动到Q点的过程中，电场力做负功，电势能增大，所以一个负试探电荷在P点电势能比在Q点的电势能小，D错误。 故选B。 【变式训练3-5】如图所示，是等量带正电的点电荷，固定在同一水平线上，O为连线的中点，是连线竖直垂直平分线上的两点，这两点关于O点对称，将一个带正电的小球（大小不计）在C点上方P点由静止释放，小球沿直线运动到D点，关于小球在两点（　　） A．速度相同 B．机械能相同 C．电场力相同 D．加速度相同 【答案】B 【详解】B．根据等量同种电荷的电势分布特点可知C、D两点的电势相等，所以小球在C、D两点的电势能相等。小球只受电场力与重力作用，因此电势能与机械能总和为定值，因此小球在C、D两点机械能相等，故B正确； A．由于在D点重力势能小，小球的动能大，小球的速度大，故A错误； C．根据等量同种电荷的电场分布特点可知在C、D两点电场强度大小相等，小球受到的电场力大小相等，方向相反，故C错误； D．在C点重力与电场力方向相反，在D点，电场力与重力方向相同，可知小球在D点的加速度较大，故D错误。 故选B。 【变式训练3-6】 (多选)带电荷量分别为＋Q1和－Q2(Q1>Q2)的两个点电荷固定放置，两点电荷连线中点为O，M、N两点位于两电荷连线上，P点位于两点电荷连线中垂线上，如图所示，则下列判断正确的是(　　) A.O点的电场强度小于P点的电场强度 B.N点的电势高于M点的电势 C.负试探电荷在N点的电势能小于其在M点的电势能 D.将正点电荷由N点移到M点，静电力做负功 答案　BC 解析　由于O点离两点电荷的距离比P点离两点电荷的距离小，可知两点电荷在O点产生的电场强度都比在P点产生的电场强度大，且两点电荷在O点产生的电场强度方向相同，根据叠加原理可知，O点的电场强度大于P点的电场强度，A错误;两点电荷连线之间的电场方向由正电荷指向负电荷，根据沿电场强度方向电势降低可知，N点的电势高于M点的电势，B正确;根据Ep＝qφ，可知负试探电荷在N点的电势能小于在M点的电势能，C正确;将正点电荷由N点移到M点，则有W＝qUNM>0，D错误。 【变式训练3-7】 (多选)为避免雷击，高大的建筑物顶端均需安装避雷针。如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图，电场线指向避雷针尖端。、、三点位于同一条电场线上，空间电场分布关于直线对称。一带电探测粒子仅在电场力作用下运动，其部分轨迹如图所示。下列说法正确的是（　　） A．粒子在轨迹上某点的加速度方向与电场线切线方向相反 B．粒子从点运动到点的过程中，电场力一定做负功 C．、、三点满足电势关系 D．粒子在图中点的电势能一定大于在点的电势能 【答案】CD 【详解】A.粒子的加速度方向与所受电场力方向一致，由轨迹弯曲方向可知，粒子受力方向与电场线切线方向相同，说明粒子带正电，因此加速度方向与电场线切线方向相同，故A错误； BD.粒子从A到B运动过程中，电场力方向与速度方向夹角为锐角，粒子的速率一直在增加，电场力做正功，电势能减少，故B错误，D正确； C.电场线的方向是电势降低的方向，因此，故C正确； 故选CD。 【变式训练3-8】 (多选)城市生活污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用静电技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成的电场分布如图所示。其中实线为电场线，虚线为等势面，M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．N点的电场强度比P点的小 B．M点的电势比N点的高 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做负功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小 【答案】AD 【详解】A．根据电场线的疏密程度可知N点比P点更稀疏，故N点的电场强度比P点的小，故A正确； B．根据沿着电场线方向，电势降低，可知M点的电势比N点的低，故B错误； C．污泥絮体带负电，根据可知，污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故C错误； D．M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D正确。 故选AD。 【变式训练3-9】复印机的核心部件如图，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示，感光鼓置于水平面上并接地，一带负电墨粉颗粒沿直线从a点运动到感光鼓，以a为原点竖直向下为正方向建立x轴，设颗粒在感光鼓所在平面重力势能为零，设电势为φ，重力势能为Ep1、机械能为E、电势能为Ep，则下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助电场线分布判断场强、电势变化，结合重力势能、电势能、机械能相关公式，分析各图像的增减趋势与弯曲特征完成判断。 【解答】解：A.电势沿电场线方向降低，电场方向沿x轴正方向，因此φ随x增大不断减小，感光鼓接地满足 φ＝0，x＝0的a点电势φ＞0，该图像起点电势为负值，故A错误； B.重力势能计算公式Ep1＝mgh，h是颗粒到感光鼓的竖直高度，x越大对应h越小，重力势能随之减小，感光鼓处 h＝0、Ep1＝0，图像的变化趋势、终点数值均符合重力势能变化规律，故B正确； C.由功能关系ΔE＝W电，颗粒带负电，电场力F＝﹣qE，沿x轴负方向，颗粒位移沿x轴正方向，电场力持续做负功，机械能E不断减小； φ﹣x图像满足，越靠近感光鼓电场线越密、场强E越大，相等位移内电场力做功的绝对值更大，机械能下降速度应越来越快，图像下降速度逐渐变缓，故C错误； D.电势能计算公式Ep＝qφ，颗粒带负电即q＜0，x增大时电势φ持续降低，代入公式可得电势能应当持续增大，该图像电势能随x增大不断减小，故D错误。 故选：B。 【变式训练3-10】细胞电转染的原理简化如图所示，两带电的平行金属板间，由于细胞的存在形成如图所示的电场。其中实线为电场线，关于轴对称分布。虚线为带电的外源DNA进入细胞膜的轨迹，、为轨迹上的两点，点与点关于轴对称，下列说法正确的是（    ） A．、两点的电场强度相同 B．点的电势与点的电势相等 C．DNA分子在点的加速度比在点小 D．DNA分子在点的电势能比在点小 【答案】C 【详解】A．电场中某点的电场强度的方向为电场线在该点的切线方向，由图可知、两点的电场强度的方向不同，故A错误； B．沿着电场线电势降低，故点的电势低于点的电势，故B错误； C．处的电场线更稀疏，场强更小，由牛顿第二定律可知，分子在点的加速度比在点小，故C正确； D．由轨迹可知，DNA分子由向运动的过程电场力做正功，电势能减小，故DNA分子在点的电势能比在点大，故D错误。 故选C。 【变式训练3-11】 两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则（　　） A．场强大小关系有 B．电势大小关系有 C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值 D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做负功 【答案】B 【解析】A．电场线越密的地方，电场强度越大，由图可知c点的电场线比b点的更密，所以有，故A错误； B．沿着电场线，电势逐渐降低，b点所处的电场线位于右侧导体的前面，即b点的电势比右侧的导体高，而d点紧靠右侧导体的表面，电势与导体的电势几乎相等，故b点电势高于d点的电势，故B正确； C．d点处电势为负值，根据可知负电荷放在d点时其电势能为正值，故C错误； D．从图中可以看出，a点的电势高于b点的电势，而b点的电势又高于d点的电势，所以a点的电势高于d点的电势；正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正检验电荷从a点移到d点的过程中，电势能减小，则电场力做正功，故D错误。 故选B。 【变式训练3-12】某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 【答案】C 【解析】AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故AB错误； C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV 故C正确； D．一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad = －eUad = 4eV 由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4eV，故D错误。 故选C。 【变式训练3-13】在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示，A、B两个带电球之间产生非匀强电场，茶叶茶梗都带正电荷，且茶叶的比荷小于茶梗的比荷，两者通过静电场便可分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P从A球表面O点离开，最后落入桶底。不计空气阻力。则（　　） A．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶 B．M处的电场强度大于N处的电场强度 C．M处的电势低于N处的电势 D．茶梗P下落过程中电势能减小 【答案】D 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 由于茶叶、茶梗均带正电，则电场力产生的加速度方向整体向右，由于茶叶的比荷小于茶梗的比荷，则茶叶所受电场力产生的加速度小于茶梗所受电场力产生的加速度，即在相等时间内，茶叶的水平分位移小于茶梗的水平分位移，所以茶叶落入左桶，茶梗落入右桶，故A错误； BC．电场线分布的密集程度表示电场强弱，M处电场线分布比N处电场线稀疏一些，则M处电场强度小于N处电场强度，且沿着电场线方向电势降低，故M处的电势高于N处的电势，故BC错误； D．茶梗P下落过程中电场力做正功，则电势能减小，故D正确。 故选D。 【变式训练3-14】如图所示，两个电量为的点电荷和一个电量为的点电荷附近的电场线分布如图所示，d是两负电荷连线的中点，c、d两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．c点电势高于d点 B．b点与e点的电场强度相同 C．将某正试探电荷从a点运动到b点过程中电场力做负功 D．某负试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能 【答案】A 【详解】A．电场线方向是电势降低的方向，从电场线分布可知，c点所在的等势面电势高于d点，故A正确； B．b、e两点关于连线上下对称，沿电场方向的切线方向为电场的方向，所以b、e两点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误； C．从a点移到b点，电势降低，正电荷的电势能减小，所以从a点移到b点电场力对该电荷做正功，故C错误； D．a点电势比b点高，所以负电荷在a点电势能比b点小，故D错误。 故选A。 【变式训练3-15】类比于磁通量的定义，静电场中的电通量定义为。在某点电荷Q的电场中，有以Q为球心，半径分别为和的两个球面（），关于两球面的电势、场强E和电通量的大小，以下选项正确的是（　　） A．若Q为正电荷，则、、 B．若Q为正电荷，则、、 C．若Q为负电荷，则、、 D．若Q为负电荷，则、、 【答案】C 【详解】三个物理量的判断依据分别为：点电荷场强大小：，场强大小与成反比；电势：沿电场线方向电势降低，正电荷电场线向外辐射，负电荷电场线向内汇聚；电通量：基于题干定义 ：半径为r的球面面积S=4πr2，球面上的场强，故电通量 其大小与半径r无关，因此包围点电荷的同心球面的电通量仅与内部电荷量有关，与球面半径无关。 AB．若Q为正电荷，r越小电势越高、场强越大，则、正确，但两球面电通量与半径无关，应该相等，即，故AB错误； CD．若Q为负电荷，电场线指向Q，沿电场线电势降低，故；由得；两球面包围电荷量相同，电通量相等，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练3-16】如图所示，点电荷A、B的电荷量均为+Q，C、D的电荷量均为-Q，它们处在一个矩形的四个顶点上。它们产生静电场的等势线如图中虚线所示。abcd位于一个正方形的四个顶点，与ABCD共面，O为正方形与矩形的中心，则（　　） A．b、d两点场强相等，电势相等 B．b、d两点场强不相等，电势相等 C．将某一正电荷q沿正方形路径a→b→c移动，电场力先做正功，后做负功 D．将某一正电荷q沿正方形路径a→b→c移动，电场力先做负功，后做正功 【答案】D 【详解】AB．由图及对称性可知，、两点关于中心对称，场强大小相等，点靠近正电荷、，电势为正，点靠近负电荷、，电势为负，故电势不相等，故AB错误； CD．、两点位于连线与连线的中垂线上，根据等量异种电荷电场分布规律，该中垂线为零势线，即，而点靠近正电荷，电势。将正电荷从移到，电势升高，电势能增加，电场力做负功；从移到，电势降低，电势能减小，电场力做正功，故C错误D正确；故选D。 【变式训练3-17】 (多选)如图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　) A.P点电势比M点的低 B.P点电场强度大小比M点的大 C.M点电场强度方向沿z轴正方向 D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变 答案　CD 解析　由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误;等势面的疏密程度反映电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误;由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确;由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变，D正确。 【变式训练3-18】如图所示，、、、为匀强电场中的四点，它们的连线构成正方形，其中边与电场线平行，点为与连线的交点。一个电荷量为的正点电荷固定在点，下列说法正确的是（　　） A．、两点的电场强度相同 B．、两点的电势不等 C．将电子沿直线从点移动到点，电场力做正功 D．将电子沿直线从点移动到点，电势能先减小后增大 【答案】D 【详解】A．如图所示，在点的正点电荷在、、、四点产生电场方向如图所示 由图可知、两点的电场强度方向不相同，故、两点的电场强度不相同，A错误； B．匀强电场在、两点的电势相等，点电荷在、两点的电势相等，故、两点的电势相等，B错误； C．点电荷在、两点的电势相等，故将电子沿直线从点移动到点，点电荷对电子做功为零，匀强电场对电子做负功，故电场力做负功，C错误； D．边与匀强电场方向垂直，将电子沿直线从点移动到点，匀强电场对电子不做功，点电荷对电子先做正功后做负功，故电势能先减小后增大，D正确。故选D。 【变式训练3-19】(多选如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是(　　) A.M、N两点电场强度相同 B.M、N两点电势相同 C.负电荷在M点的电势能比在O点时要小 D.负电荷在N点的电势能比在O点时要大 答案　BC 解析　根据电场强度叠加原理可知，M、N两点电场强度的大小相等，方向不同，A错误;M、N两点在A、B的电场中电势相等，且比O点电势要高，同时M、N两点在C的电场中电势也相等，也比O点电势要高，所以M、N两点电势相等，B正确;由于M、N两点的电势均高于O点的电势，根据Ep＝qφ可知，负电荷在M、N点的电势能均小于在O点的电势能，C正确，D错误。 【变式训练3-20】如图所示，BCGF是两个完全相同的正方体的公共面，B、C两点分别固定有两个等量正点电荷，M、N分别是棱EH、IJ的中点。已知点电荷在其周围某点产生的电势（其中k为静电力常量，q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离），则下列说法正确的是（    ） A．M点与N点的电势相等 B．M点与N点的电场强度相同 C．负试探电荷在M点的电势能大于其在N点的电势能 D．沿FG连线移动一正试探电荷，电场力对该试探电荷始终不做功 【答案】A 【详解】A．电势是标量，满足算术法则，由对称性可知，到、的距离与到、的距离相等，根据 可知，故A正确； B．M点与N点位于B、C两点处两个等量正点电荷的中垂面上，电场强度是矢量，根据等量正点电荷周围电场线分布规律，M点与N点的电场强度大小相同，方向不同，因此电场强度不同，故B错误； C．负试探电荷电势能 因为， 所以，故C错误； D． 沿连线上不同位置到、的距离不同，根据等量正点电荷周围电势分布规律，电势沿连线是变化的，移动正试探电荷时，电势能变化，电场力做功，故D 【变式训练3-21】如图所示，匀强电场中有一个梯形，梯形平面与匀强电场的方向平行，，相互平行且均垂直于，，，，已知点电势为，点电势为，点电势为，则下列说法正确的是（　　） A．点电势为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．一电子由点到点再到点的过程中，电势能减少了 D．一正电荷由点无初速度释放，将沿着所在直线运动 【答案】D 【详解】A．作AD的中点F，如图所示 则F点电势 则由平行且等于可得 即 解得，故A错误； B．在BD上找点H，使，则在同一等势面上。可得 可得 且，可得几何关系，即电场方向沿DB从D指向B。 则电场强度大小为，故B错误； C．电子带电量，电势能 从到电势能变化，即电势能增加了，不是减少，故C错误； D．电场方向沿DB所在直线。正电荷受力沿电场方向，从D点无初速度释放，加速度沿DB方向，因此将沿DB所在直线运动，故D正确。 故选D。 【变式训练3-22】如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的顶点B、E处各固定一个带电荷量为的点电荷，顶点D处固定一个电荷量为的点电荷，顶点F处固定一个电荷量为的点电荷，O为正六边形的几何中心。下列说法正确的是（　　） A．O点场强方向沿OC方向 B．O点场强大小为 C．电子在O点的电势能比在C点的电势能大 D．点电荷在O点的电势能比在A点的电势能小 【答案】D 【详解】AB．B、E处的点电荷在O点产生的场强大小均为，方向相反，在O点叠加后场强为零；则O点场强仅由D、F处点电荷决定，D处的的点电荷在O点产生的场强大小为，方向沿OD；F处的的点电荷在O点产生的场强大小为，方向沿OC，合场强不沿OC方向。F，O、D三点不共线，则 故AB错误； C．取无穷远处电势为零，O点电势 C点电势 O点电势高，电子在O点电势能小，在C点电势能大，故C错误； D． 则点电荷在O点的电势能比在A点的电势能小，故D正确。 故选D。 【变式训练3-23】如图所示，在空间直角坐标系中的、、、四点分别固定电荷量为＋q、－q、＋q、－q的四个点电荷，z轴上有两个点、（图中未画出）。已知静电力常量为k，无穷远处为电势零点。下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度为0，电势不为0 B．AD连线中点的电场强度与BC连线中点的电场强度相同 C．E点、F点的电场强度为0，电势也为0 D．沿y轴移动一个负试探电荷，它的电势能逐渐增大 【答案】C 【详解】A．根据电场的矢量叠加可知O点的电场强度为0，O点到四个电荷的距离相等，则电势也为0，故A错误； B．根据矢量的叠加可知，AD连线中点的电场强度方向沿y轴正方向，BC连线中点的电场强度方向沿y轴负方向，故B错误； C．根据矢量的叠加可知，E点、F点的电场强度为0，根据对称性可知这两点的电势也为0，故C正确； D．y轴是一条等势线，沿y轴移动一个负试探电荷，它的电势能不变，故D错误； 故选C。 【变式训练3-24】如图所示，空间有一正八面体M-ABCD-N，O点是ABCD的中心，在顶点M、N分别固定电荷量为和的点电荷，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C、D四点的电场强度相同 B．A、B、C、D四点的电势相等 C．将一正试探电荷从A点沿直线移到O点过程中，电场力不做功 D．将一正试探电荷从A点沿直线移到C点过程中，该试探电荷电势能先增大后减小 【答案】B 【详解】A．根据正八面体的结构特点，可知A、B、C、D四点与两点电荷距离相等，由场强叠加原理易知和的两点电荷在A、B、C、D四点产生的电场强度大小相等，方向不同，故A错误； B．根据正八面体的结构特点，A、B、C、D四点与两点电荷距离相等，由电势叠加原理易知A、B、C、D四点的电势相等，故B正确； CD．由电势叠加原理可知，从A点沿直线到C点，电势先减小后增大，将一正试探电荷从A点沿直线移到C点过程中，该试探电荷电势能先增大后减小，电场力先做负功后做正功，故CD错误。 故选B。 【变式训练3-25】如图所示，竖直平面内有一圆心为、半径为的光滑半圆环套有一带正电小球，沿过点的竖直方向固定有一竖直细杆，一端固定于圆环上，杆上套有另一带正电小球。初始时小球距离圆环底端很近的位置，两小球间距离为, 现用绝缘装置向小球施加竖直向上的作用力，使其缓慢运动到半圆环底端处，使小球沿右侧圆环缓慢上滑，半圆环和杆均光滑绝缘。则下列说法中错误的是（　　） A．小球上滑过程中圆环对小球的支持力一直增大到初始位置的2倍 B．最后两小球的距离为 C．小球上滑过程中两小球组成系统重力势能和电势能都增大 D．小球对竖直杆的弹力逐渐变大 【答案】B 【详解】小球B缓慢上移过程，小球A处于动态平衡状态，对小球A受力分析，如图所示    根据三角形相似有 初始时，即 随着小球B上移，h减小，当其缓慢运动到半圆环底端处，，则 小球A上滑过程中圆环对小球A的支持力一直增大到初始位置的2倍，A正确； B．根据库仑定律有则 初始时小球A刚要移动时，有F=N，，即 当小球缓慢运动到半圆环底端处，设AB之间距离为，则有联立得 解得，B错误； C．小球A上滑过程中，除重力和电场力做功外还有竖直方向的外力做正功，故两小球组成系统重力势能和电势能总和变大。过程中，AB两球的高度均升高，重力势能增大，AB两球带同种电荷的距离变小，系统电势能也变大，故C正确； D．对AB系统受力分析，根据正交分解可知，竖直杆对小球B的弹力等于半圆环对A弹力在水平方向的分力。设OA与竖直方向的夹角为，则有 小球A沿右侧圆环缓慢上滑的过程中在增大，N在增大，故竖直杆对小球B的弹力在增大。根据牛顿第三定律可知，小球B对竖直杆的弹力在增大，D正确。 本题选择错误的，故选B。 【变式训练3-26】如题图甲所示，同轴电缆由两个同心导体组成，通常是一个铜制的内导体和一个铜或铝制的外导体，两者之间由绝缘材料隔开。图乙为同轴电缆横截面内静电场的电场线和等势面分布情况，相邻的虚线圆间距相等，a、b、c点均为实线与虚线圆的交点，下列说法正确的是（　　） A．图乙中实线代表等势线，虚线代表电场线 B．a、c间的电势差是b、c间电势差的两倍 C．a点的电场强度和b点的电场强度不相同 D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能 【答案】C 【详解】A．静电场中电场线是不闭合的，则实线代表电场线，虚线代表等势线，故A错误； B．段平均电场强度大于段平均电场强度，则、间的电势差绝对值大于、间的电势差绝对值的两倍，故B错误； C．电场线越密集电场强度越大，则点处的电场强度大于点处的电场强度，故C正确； D．若电场线方向不确定，点处的电势和点处的电势大小无法确定，故正电荷电势能大小无法确定，故D错误； 故选C 【变式训练3-27】（多选）如图，电荷量为+q的点电荷固定在点Q，电荷量为-q、质量为m的点电荷P绕点Q沿椭圆轨道运动，轨道长轴的两端点a、b到点Q的距离分别为r、3r，点电荷P运动的周期为T。不计粒子受到的重力，静电力常量为k，两电荷距离为d时的电势能。下列判断正确的是（　　） A．点电荷P在点a和点b的速度大小之比为 B．点电荷P从b运动到a的过程中电势能先减小后增大 C．若电荷P运动到a点时，速度方向不变，大小变为，则此后运动周期为 D．点电荷P运动到b点时的速度为 【答案】CD 【详解】A．点电荷之间的库仑力公式与物体之间的万有引力形式类似，都满足平方反比关系，可知点电荷P绕Q点的运动关系也满足开普勒三定律。根据开普勒第二定律的内容可知，电荷P单位时间内与Q的连线转过的面积相同，即  所以，故A错误； B．点电荷之间是吸引力，从b运动到a时距离减小，静电力做正功，电势能减小，故B错误； C．点电荷运动到a点时速度方向不变，大小变为，刚好有 说明在a点做半径为的圆周运动； 在椭圆轨道运动时的半长轴为，根据开普勒第三定律，有，其中为一个常数，根据开普勒第三定律，有 解得，故C正确； D．利用能量守恒和开普勒第二定律，总能量，其中 解得b点时的速度为。故D正确； 故选CD。 【变式训练3-28】（多选）太极图的含义丰富而复杂，它体现了中国古代哲学的智慧。如图所示，O为大圆的圆心，O1为上侧阳半圆的圆心，O2为下侧阴半圆的圆心，O、O1、O2在同一直线上，AB为大圆的直径且与O1O2连线垂直，C、D为关于O点对称的两点，在O1，O2两点分别固定电荷量大小相等的异种点电荷，整个空间只有O1，O2处点电荷产生的电场。下列说法正确的是（　　） A．C、D两点电势相等 B．把电子由A沿直线移到B的过程中，电子的电势能保持不变 C．把质子由A沿直线移到B的过程中，质子所受电场力先增加后减小 D．将一电子（不计重力）从A点由静止释放，电子可以沿直线在AB间做往返运动 【答案】BC 【分析】A、结合C、D相对两个异种电荷的位置，对比两点叠加电势高低； B、判断AB连线是否处在同一等势面，根据电势变化分析电子移动时电场力做功与电势能变化； C、分析AB连线上电场强度的大小变化趋势，由场强变化确定质子受到电场力的增减规律； D、分析AB线上电场的方向分布，判断电子受力方向变化，确定电子释放后的运动形式。 【解答】解：A、C、D关于O对称，但两点距离正负电荷的远近不同，电势叠加结果不一样，电势不等，故A错误； B、AB为等量异种电荷连线的中垂线，根据等量异种电荷电势分布特点可知，中垂线为一等势线，所以把电子由A沿直线移到B的过程中，电子的电势能保持不变，故B正确； C、根据等量异种电荷中垂线电场分布特点可知，O点为中垂线上场强最大的点，则把质子由A沿直线移到B的过程中，场强先变大后变小，质子所受电场力先增加后减小，故C正确； D、由于根据等量异种电荷中垂线上的场强方向与中垂线垂直，所以将一电子（不计重力）从A点由静止释放，在A处受到的电场力与AB直线垂直，电子不可能沿直线在AB间做往返运动，故D错误。 故选：BC。 【变式训练3-29】（多选）如图，圆心为的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径。将电荷量为的粒子从点移动到点，电场力做功为；若将该粒子从点移动到点，电场力做功为。下列说法正确的是() A.该匀强电场的场强方向与平行 B.将该粒子从点移动到点，电场力做功为 C.点电势低于点电势 D.若只受电场力，从点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动 【答案】AB 【解析】A.由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路，沿方向建立轴，垂直于方向建立轴如下图所示 在方向有在方向有 经过计算有，，，，， 可知电场方向与水平方向成，则电场与平行，且沿指向，故A正确； B.该粒从点运动到点，电场力做的功为，故B正确； C.沿电场线方向电势逐渐降低，则点的电势高于点的电势，故C错误； D.若粒子的初速度方向与平行则粒子做匀变速直线运动，故D错误。 故选AB。 错误。 故选A。 【变式训练3-30】如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．乙比甲先到达极板 B．甲、乙的电势能均增大 C．甲、乙受到的电场力方向相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【答案】A 【详解】A．未接通极板电源时，甲乙颗粒均悬浮，重力等于浮力，调节溶液pH=3，从图中可知甲蛋白质颗粒带电量为-2q0，乙带电量为2q0，接通电源后电场强度一样，由牛顿第二定律可得 由于甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，故甲的加速度为乙的一半，二者到相应极板距离相同，则乙比甲先到达极板，故A正确； B．甲乙运动过程中电场力都做正功，电势能均减小，故B错误； C．甲乙带电性相反，受力方向相反，故C错误； D．由图可知，增大pH值，甲带的电荷量先减小后增大，故电场力也是先减小后增大，故D错误。 故选A。 【变式训练3-31】一带电粒子在电场中仅在电场力作用下，从A点运动到B点，速度随时间变化的图像如图所示。分别是带电粒子到达两点对应的时刻，则下列说法中正确的是（　　） A．该电荷从A到B的过程中，一定克服电场力做功 B．A处的场强可能等于B处的场强 C．该电荷在A处的电势能一定大于在B处的电势能 D．该电荷一定带正电 【答案】C 【详解】D．根据图像可知，粒子做加速直线运动，由于粒子在电场中仅在电场力作用下，表明粒子所受电场力方向与速度方向相同，由于不知道电场方向，则不能确定粒子的电性，故D错误； B．图像的斜率的绝对值表示加速度大小，根据图像可知，粒子在A处的加速度大于在B处的加速度，即粒子在A处的电场力大于在B处的电场力，则A处的场强一定大于B处的场强，故B错误； C．根据上述可知，粒子从A点运动到B点，粒子做加速运动，动能增大，电场力做正功，电势能减小，即该电荷在A处的电势能一定大于在B处的电势能，故C正确； A．根据上述，粒子从A点运动到B点，粒子做加速运动，电场力一定做正功，故A错误。 故选C。 【变式训练3-32】（多选）如图所示，在倾角为的足够长的绝缘固定斜面上，静止放置有质量分别为、的两金属块A、B，其中A带电量为，B不带电。现让金属块A以初速度沿斜面向下运动，一段时间后与金属块B发生弹性正碰，且碰撞后A、B带电荷量均为。已知金属块与斜面间的滑动摩擦因数为，下列说法正确的是（　　）    A．碰撞前，A沿斜面做匀加速直线运动 B．碰撞后，A、B都沿斜面向下运动的过程中总动量守恒 C．碰撞后，当A的速度为时，B的速度为 D．碰撞后，A、B系统的电势能先减小后不变 【答案】BC 【详解】A．由于则有可知碰撞前，A沿斜面做匀速直线运动，故A错误； BC．碰撞后，A、B都沿斜面向下运动的过程中，由于， A、B之间的库仑斥力为A、B组成系统的内力，则A、B组成系统所受外力之和为零，系统满足动量守恒，当A的速度为时，有解得故BC正确； D．碰撞后，对于金属框A、B组成的系统，由于A、B之间存在库仑斥力，且A、B两者距离逐渐增大，可知库仑斥力对系统做正功，则系统的电势能逐渐减小，故D错误。故选BC。 【变式训练3-33】（多选）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在的中点处的速度大小为 D．的长度为 【答案】CD 【详解】A．对物块受力分析，垂直斜面方向，根据平衡条件有 结合可得 可见滑动摩擦力为一定值，故A错误； B．设物块沿斜面方向移动的距离为，由牛顿第二定律有 整理可得 故B错误； CD．作出图像，可知物块从到的过程，图线的面积乘以质量即为合力做功，根据对称性可知，解得。设物块在的中点处的速度为，根据动能定理可得，解得，故C、D正确。 故选CD。 题型04：匀强电场场强与电势的关系 （一）公式E=Ud在匀强电场中的应用 【典型例题1】（多选）一匀强电场的方向平行于平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为和的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为。下列说法正确的是（　　） A．中点的电势为零 B．电场的方向与x轴正方向成角 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【答案】AD 【解析】A．根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为，， 故中点的电势为，故A正确； B．如图，设N点为AB的三等分点，同理易知N点电势为0，连接MN为一条等势线，过A点做MN的垂线，可知电场线沿该垂线方向，指向右下方，由可知，故电场的方向与x轴正方向成角，故B错误； CD．电场强度的大小为 故C错误，D正确。 故选AD。 【典型例题2】在研制新型芯片材料的过程中，科研人员需要精确测量材料内部微小区域的电场强度。如图所示，在一块待测样品表面，有一个以O为圆心、半径为R的圆形探测区域，该区域存在与圆所在平面平行的匀强电场。科研人员在圆上选取A、B、C三个探测点，其中A与C的连线为直径，在△ABC中，∠A＝30°。科研人员从A点以相同的初动能Ek，沿不同方向先后发射两个完全相同的、带电荷量均为q（q＞0）的探测粒子（仅受电场力，其他影响不计），它们分别经过了B点和C点。探测器测得：经过B点时粒子的动能为EkB＝2Ek；经过C点时粒子的动能为EkC＝3Ek。根据以上探测数据，该区域电场强度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由动能定理求出A到B、A到C的电势差，利用圆的几何性质确定△ABC的边长与角度；设A点电势为0，求出B、C点电势，通过中点电势确定等势线BO；根据电场线与等势线垂直的规律，结合电势差与电场强度的关系，计算出电场强度的大小。 【解答】解：粒子仅受电场力，动能变化等于电场力做功，由动能定理W＝ΔEk＝qU 从A到B有EkB﹣Ek＝qUAB，即2Ek﹣Ek＝qUAB，解得 从A到C有EkC﹣Ek＝qUAC，即3Ek﹣Ek＝qUAC，解得。 AC为圆的直径，故AC＝2R；△ABC中∠A＝30°，由圆的性质可知∠ABC＝90°，因此，BC＝ACsin30°＝R。 设φA＝0，则， 取AB中点D，则 取AC中点O（圆心），则，因此BO为等势线。电场方向垂直于等势线BO，由电势高低可知电场方向由C指向A与BO垂直的分量。 在△ABO中，AO＝R，，BO＝R，∠BAO＝30°，故A到等势线BO的距离 A到BO的电势差 可得电场强度大小，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【典型例题3】 (多选)如图3所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20 cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场。b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2 000 eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2 100 eV、1 900 eV，忽略电子间的相互作用。则下列说法正确的是(　　) 图3 A.a点的电势比b点的电势高100 V B.匀强电场的电场强度大小为1 000 V/m C.该电场的方向由a指向d D.图中的虚线框内c点的电势最高 答案　AC 解析　由b到a由动能定理可得－eUba＝Eka－Ekb＝2 100 eV－2 000 eV，解得Uba＝－100 V，则a点的电势比b点的电势高100 V，A正确；由b到c由动能定理可得－eUbc＝Ekc－Ekb＝1 900 eV－2 000 eV，解得Ubc＝100 V，可知bc间的电势差为100 V，所以ac间的电势差为Uac＝100 V－(－100 V)＝200 V，则b点与ac中点电势相等，连接b点与ac中点即为等势线，如图所示，由几何关系可知，电场线方向沿ad方向，电场强度大小为E＝＝ V/m＝1 000 V/m，B错误，C正确；电场线方向沿ad方向且由a指向d，则图中的虚线框内，顶点a的电势最高，D错误。 【变式训练4-1-1】在匀强电场中有一个直角三角形与电场平行，，，的长度为7cm，A、B、C三点的电势分别为10V、3V、7V，则电场强度大小为（　　） A．V/m B．V/m C．V/m D．V/m 【答案】B 【解析】在AB上取一点D，D点电势为7V，则CD为等势线，过A点作CD的垂线AG，垂足为，AG方向为电场方向，如图所示 则有 AC长度为7cm，则AB长度为14cm，AD长度为6cm，在中有 解得cm 由三角形面积解得cm 电场强度大小为V/m 故选B。 【变式训练4-1-2】如图所示，M、N、P、Q为椭圆上的4个顶点，O为中心；半短轴长OMm，半长轴ON＝2m；空间有一方向与椭圆所在平面平行的范围足够大的匀强电场（图中未画出）。已知M、N、P三点的电势分别为φM＝1V、φN＝2.5V、φP＝4V。下列判断正确的是（　　） A．椭圆中心O点的电势为2V B．电场强度的大小为V/m C．一电子沿长轴NOQ运动，电场力先做负功后做正功 D．一电子在Q点的电势能为2.5eV 【答案】B 【分析】题目描述带电粒子在椭圆匀强电场中的电势分布与运动，核心是匀强电场中电势的线性变化规律与等势线的几何关系。已知M、N、P三点的电势，利用匀强电场中沿任意直线电势均匀变化的性质，通过椭圆中心O作为MP和NQ的中点，可求出O点和Q点的电势，从而确定等势线的方向，进而分析电场强度大小和电子运动过程中电场力的做功情况。 【解答】解：在匀强电场中，沿任意直线电势均匀变化。由于O点为MP的中点，可得，代入数据解得：φO＝2.5V。同理，由于O点为NQ的中点，可得，代入数据解得：φQ＝2.5V。 A、根据以上分析，O点电势为2.5V，故A错误。 B、由于φN＝φO＝φQ＝2.5V，因此长轴NOQ所在直线为一条等势线，电场线方向必定垂直于该等势线，即沿PM连线方向。根据匀强电场中场强与电势差的关系，其中d＝2OM，代入数据解得：，故B正确。 C、由于长轴NOQ为一条等势线，电子沿该直线运动时，电势能保持不变，电场力不做功，故C错误。 D、根据电势能公式Ep＝qφ，电子带负电荷，代入数据解得电子在Q点的电势能为﹣2.5eV，故D错误。 故选：B。 【变式训练4-1-3】如图，匀强电场中有一假想长方体ABCD﹣A1B1C1D1；AB，BC，CC1长度分别为2m，1m，1m；A，B，C及C1四点的电势分别为8V，6V，2V，﹣6V，则该匀强电场的电场强度大小为（　　） A．4V/m B．6V/m C．8V/m D．9V/m 【答案】D 【分析】题目描述长方体在匀强电场中的电势分布，已知长方体三个相互垂直方向上的棱长及四个顶点的电势值。匀强电场的电场强度为矢量，需通过电势差与电场强度的关系确定其在各方向上的分量。由于长方体棱边相互垂直，可将其视为坐标轴方向，分别计算沿AB、BC、CC1方向的电势差与对应棱长的比值，得到电场强度在各方向上的分量大小，再根据矢量合成法则计算合场强的大小。 【解答】解：在匀强电场中，电场强度沿某方向的分量等于该方向电势差与距离的比值。由于AB、BC、CC1是长方体中三条相互垂直的棱，可据此建立直角坐标系。 根据电势差与电场强度的关系U＝Ed，电场强度在AB方向的分量为，解得：E1＝1V/m。电场强度在BC方向的分量为，解得：E2＝4V/m。 电场强度在CC1方向的分量为，解得：E3＝8V/m。根据场强的矢量合成原理，该匀强电场的电场强度大小为，解得：E＝9V/m，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练4-1-4】如图所示，平行于纸面的匀强电场中的点有一放射源，能沿纸面内各个方向射出动能为的电子，电子经过、两点时的动能分别为和，恰构成一个直角三角形，与夹角为，、间距离为。下列说法正确的是() A.、之间的电势差 B.、之间的电势差 C.从到电子的电势能增加 D.电场强度大小为 【答案】D 【解析】根据动能定理，，得，，A错误； ，得，B错误； 从到电子动能增大，静电力做正功，电势能减小，C错误； ，将四等分，每一份电势差为，离最近的等分点点电势和相等，连接为等势线，则垂直于，为电场方向， ，电场强度，D正确。 【变式训练4-1-5】（多选）如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．D点电势为 B．电场强度大小为 C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为 D．粒子过C点的速度为 【答案】AC 【详解】A．因，A、B、C三点的电势分别为，取O点为的中点，则，则为等势线，连接并延长过D点，则，A正确； B．过A点作的垂线，则带箭头的实线为电场线，如图所示 故B错误； C．粒子从A点开始做类平抛运动到C点，设粒子运动到C点时瞬时速度与初速度方向的夹角为，粒子运动到C点时位移与初速度方向的夹角，则根据类平抛运动的推论C正确； D．粒子在C点时，故D错误。 故选AC。 【变式训练4-1-6】如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（　　） A．c点的电势大小为a点的两倍 B．场强方向由d指向b C．电子从b点运动到c点所用时间为 D．电子从b点运动到c点，电场力做功 【答案】D 【详解】AB．连接bd，将bd六等分，，ae为等势线，连接cf，由几何知识可知ae与cf平行，则，可知c点的电势大小为a点的三倍；做ae的垂线eg，电场强度的方向由g指向e，如图所示 故AB错误； C．由几何知识可知 电子从b点运动到c点所用时间为故C错误； D．电子从b点运动到c点，电场力做功为 故D正确。 故选D。 【变式训练4-1-7】(多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是(　　) A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线 B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J 解析：选ACD.由AC的中点电势为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝＝ V/m＝ V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J. 【变式训练4-1-8】(多选)如图所示 ，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是(　　) 解析：选BC.匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分．把AB等分为三段，AB间电压为3 V，则每等分电压为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把AC相连，分为两份，AC电压为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确． 【变式训练4-1-9】(多选)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　) A.该电场的电场强度大小为1 V/m B.电子在R点的电势能大于在P点的电势能 C.将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV D.将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV 【答案】AD 【解析】P点电势为φP＝＝2 V＝φb 可知bP是等势线，则电场强度方向由c点指向a点，电场强度大小为 E＝ V/m＝1 V/m，选项A正确； R点的电势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V 可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误； Q点的电势为φQ＝＝1.5 V 将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝－0.5 eV，选项C错误； 将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为 WPR＝UPR(－e)＝＋0.5 eV，选项D正确。 【变式训练4-1-10】（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点位置如图所示，三点的电势分别为4.6V、11V、7.4V，下列说法正确的是（　　） A．坐标原点O处的电势为1V B．电场强度的大小为250V/m C．电子在a点的电势能比在b点大6.4eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功3.6eV 【答案】AC 【分析】题目描述匀强电场中a、b、c三点的电势，需要分析原点O处的电势、电场强度大小、电子电势能比较及电场力做功。已知匀强电场中沿平行方向移动相同距离电势变化量相等，由a、b、c三点位置及电势值可确定O点电势，进而通过电势差与距离关系计算电场强度分量并合成。电子电势能与电势关系为负电荷电势能随电势升高而减小，比较两点电势差即可得电势能差值。电场力做功由电势差与电荷量乘积决定，注意电子带负电。 【解答】解：在匀强电场中，沿两条相互平行的方向移动相同距离，电势的变化量相等。由题图可知，线段ab与线段Oc平行且长度相等（均为4cm），根据此规律有φb﹣φa＝φc﹣φO。 A、将已知电势值代入，得11V﹣4.6V＝7.4V﹣φO，解得：φO＝1V，故A正确； B、电场强度在x轴方向的分量为，在y轴方向的分量为，根据矢量合成法则，电场强度的大小为，故B错误； C、电子在a点的电势能Epa＝﹣eφa，代入数据可得Epa＝﹣4.6eV，在b点的电势能Epb＝﹣eφb，代入数据可得Epb＝﹣11eV，两者之差ΔEp＝Epa﹣Epb，代入数据可得ΔEp＝﹣4.6eV﹣（﹣11）eV＝6.4eV，即电子在a点的电势能比在b点大6.4eV，故C正确； D、从b点到c点的电势差Ubc＝φb﹣φc＝11V﹣7.4V＝3.6V，根据电场力做功公式W＝qUbc，电场力做功为W＝﹣e×3.6V＝﹣3.6eV，故D错误。 故选：AC。 【变式训练4-1-11】如图所示，平面内有一个半径的圆，该圆处于平行于该圆周平面的匀强电场中，为圆周上的点，其中为圆的一条直径，与相互垂直，。已知点的电势为，和点的电势分别为、，点固定有一个电荷量为的粒子（不计重力），则（　　） A．将固定在点粒子静止释放，可能到达点 B．匀强电场的电场强度大小为 C．点的电势为 D．将固定在点的粒子移动到点，电场力不做功 【答案】B 【详解】C．由中点电势和端点电势关系可以算出，O电势为 故C错误。 B．根据几何知识可得，结合匀强电场的特点，可判断知D点电势为7V，B、D电势相等，为两个等势点，连线为等势线，CO垂直于BD，电场线方向由C指向O，大小为 故B正确。 A．粒子由C静止释放，将沿着CO方向做直线运动，不可能到达B点，故A错误。 D．由C到D电场力做正功，故D错误。 故选B。 【变式训练4-1-12】如图所示，半径为0.5 m的圆处在匀强电场中，电场线与圆所在的平面平行。AB和CD是圆的两个直径，O为圆心，两直径的夹角为60°。沿直线从A到B，每1 cm电势降低0.1 V，沿直线从C到D，每1 cm电势降低0.2 V，则下列判断正确的是（　　） A．B点电势比D点电势低 B．匀强电场的电场强度大小为20 V/m C．电场强度方向与AB垂直 D．沿圆弧将一个带负电的粒子从A点移动到C点，电势能增大 【答案】B 【详解】A．由题意知，从O到B电势降低5 V，从O到D电势降低10 V，因此B点电势比D点电势高，故A错误； C．OD中点与B点等势，B点与OD中点连线即为等势线，由几何关系可知，此连线与OD垂直，因此电场强度方向沿CD方向，故C错误； B．电场强度大小 故B正确； D．沿圆弧将带负电的粒子从A点移到C点，电势变高，电场力做正功，故带负电的粒子的电势能减小，故D错误。 故选B。 【变式训练4-1-13】如图所示，三维坐标系O﹣xyz内存在着匀强电场，A、B、C为坐标轴上的点，它们到坐标原点O的距离分别为3m、2m、1m，已知四个点的电势分别为φO＝0、φA＝12V、φB＝24V、φC＝3V，则电场强度大小为（　　） A．9N/C B．13N/C C．18N/C D．26N/C 【答案】B 【解答】解：设电场在x、y、z三个坐标轴上的分量分别为Ex、Ey、Ez，各方向均满足匀强电场关系式U＝Ed 根据题意可知沿AO方向电势降低，电场强度在x轴的分量沿x轴负方向，大小满足， 沿BO方向电势降低，电场强度在y轴的分量沿y轴负方向，大小满足 沿CO方向电势降低，电场强度在z轴的分量沿z轴负方向，大小满足 根据矢量的合成可知，三维坐标系O﹣xyz内电场强度大小为 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练4-1-14】如图所示，边长为10cm的正方体ABCD﹣A′B′C′D′处于匀强电场中，已知A、B、C、B′四点的电势分别为11V、10V、11V、9V，则该匀强电场的电场强度大小为（　　） A．10V/m B．5V/m C．10V/m D．10V/m 【答案】D 【解答】解：根据A、B、C、B'、四点电势，结合正方体的几何关系，可得到A'的电势满足：φA′﹣φB′＝φA﹣φB，C'的电势满足：φB′﹣φC′＝φB﹣φC，解得：φA′＝10V，φC′＝10V，即A'BC'为等势面； 根据匀强电场的电场线与等势面垂直，结合正方体的几何关系，即可得B'B在沿电场方向的长度为：，由匀强电场的场强公式：，即可得到场强大小为：，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练4-1-15】如图所示，在匀强电场中，有边长为cm的正方体，底面水平，电场方向与面平行。把一电子从A点移到C点，其电势能减少了4eV，而把该电子从A点移到点，其电势能减少了2eV。若取A点的电势V，电子电荷量大小为e。则下列说法正确的是（　　） A．C点的电势V B．该电场强度的方向与竖直方向的夹角为45° C．B、两点的电势相等 D．若把电子从C点移到D点，电场力做的功为2eV 【答案】C 【详解】A．一电子从A点移到C点，其电势能减少了4eV，则的电场力做功为4eV，从A到C，由 因，则C点的电势 选项A错误； B．同理 则C＇点的电势，可知场强竖直向上的分量 沿CA方向的分量 则该电场强度的方向与竖直方向的夹角为 选项B错误； C．因 可知 即B、两点的电势相等，选项C正确； D．同理可求解 则 即若把电子从C点移到D点，电场力做的功为-2eV，选项D错误。 故选C。 （二）非匀强电场中电势差与电场强度分析 【典型例题1】如图甲所示，点电荷q1固定在A点，点电荷q2固定在B点，A、B之间的距离为r1，现把点电荷q2，从B点移到C点，A、C之间的距离为r2，图乙是点电荷q1、q2之间的库仑力F随距离r的变化图像，已知图像下面阴影部分曲边梯形的面积为S，则B、C之间电势差为UBC为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像下面阴影部分曲边梯形的面积的物理意义代表点电荷从到运动过程中库仑力所做的功，电荷从到克服电场力做功，即电场力做负功，可得因为所以故选D。 【典型例题2】某平行板电容器内外的电场线分布如图甲所示，上极板所带电荷量为+Q，两极板内正中心位置A点固定着一小试探电荷+q。现在上极板正中心施加压力F，使电容器的上极板弯曲成如图乙所示。已知极板内部的电场强度大小为（σ为电荷面密度，ɛ0为电容器中电介质的介电常数），下列分析正确的是（　　） A．施加力F前后，两极板中间都是匀强电场 B．A点的场强保持不变 C．A点的电势增大 D．试探电荷q的电势能保持不变 【答案】C 【解答】解：A、平行板电容器两极板平行时，内部电场为匀强电场。当上极板弯曲后，两极板不再平行，电场线分布不再均匀，因此两极板中间不再是匀强电场，故A错误； B、由题目给出的电场强度公式可知，电场强度E与极板面积S成反比。上极板弯曲后，极板面积S减小，而电荷量Q不变，因此电场强度E增大，故B错误；C、电势差U＝Ed，其中d为极板间距。上极板弯曲后，极板间距d减小，由B知E增大，因此电势差U增大。由于下极板接地（电势为0），A点电势等于上极板与下极板间的电势差，故A点电势增大，故C正确；D、电势能EP＝qφ，其中φ为A点电势。由C知A点电势φ增大，试探电荷q为正电荷，因此试探电荷q的电势能增大，故D错误。 故选：C。 【典型例题3】截至2025年底，中国高铁里程达到5万公里。高铁站内两段水平钢轨连接处设置有8mm厚的机械绝缘节，起着电气绝缘和机械连接的作用，拉开后各部分如图甲所示。某次列车经过绝缘节时，钢轨A、B之间产生了约为60V的电势差，此时绝缘节顶部空间的等势面分布如图乙所示，其中c点位于绝缘节正上方，下列说法正确的是（　　） A．a点的电势低于b点 B．负电荷在a点的电势能比在c点大 C．c点电场强度方向沿着x轴负方向 D．绝缘节顶部的电场强度约为6.25×103V/m 【答案】C 【解答】解：A.由图乙可知，a点和b点在同一等势面上，则a点的电势与b点相等，故A错误； B.a点电势比c点高，则由Ep＝qφ可知，负电荷在a点的电势能比在c点小，故B错误； C.电场强度的方向与等势面垂直并指向低电势处，由图乙可知，c点场强方向沿着x轴负方向，故C正确； D.绝缘节顶部的场强约为 故D错误。 故选：C。 【典型例题4】多个点电荷产生的电场中，某点的电势等于各个点电荷单独在该点产生的电势的代数和。已知，在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势，其中k为静电力常量。若真空中有两个点电荷Q1和Q2，分别固定在x轴的坐标为﹣4cm和1cm的位置上。两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示。下列说法正确的是（　　） A．Q1为正电荷，Q2为负电荷，且Q2＝﹣4Q1 B．x轴上x＝6cm处的电场强度为0 C．若仅将Q2的电荷量变为原来的2倍，x轴上x＝﹣1.5cm处的电势将变为0 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，M、N两点间的电势差仍为0.4V 【答案】B 【解答】解：根据等势线分布及电势叠加原理进行分析。共性分析：由图可知，点电荷Q1位于x＝﹣4cm，其周围等势线为正值（1.2V，0.8V），故Q1为正电荷； 点电荷Q2位于x＝1cm，其周围等势线为负值（﹣0.4V），故Q2为负电荷。零电势线（标有0的曲线）绕过Q2且经过原点O（0，0），根据点电荷电势公式，在原点处，代入数据解得φ＝0，解得Q1＝﹣4Q2，即Q1＝4|Q2|。 A、由上述分析可知，Q1为正电荷，Q2为负电荷，且|Q1|＝4|Q2|，则Q1＝﹣4Q2，故A错误； B、在x轴上，Q1和Q2产生的电场强度方向相反。设场强为0的点坐标为x，由于|Q1|＞|Q2|，该点应在Q2右侧，根据，代入数据解得E＝0可得，即x﹣（﹣4）＝2（x﹣1），解得x＝6cm，故B正确； C、在x＝﹣1.5cm处，Q1的距离r1＝2.5cm，Q2的距离r2＝2.5cm。初始电势。若仅将Q2的电荷量变为原来的2倍，则Q2'＝2Q2，由于Q1＝﹣4Q2，此时电势，故C错误； D、若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，根据，空间中各点的电势均变为原来的2倍。M点电势变为2.4V，N点电势变为1.6V，两点间的电势差变为0.8V，故D错误。 故选：B。 【典型例题5】如图所示为一针状电极与平板电极间形成的电场。现有一微小带电颗粒（重力可忽略），沿虚线轨迹运动，并最终被吸附在平板电极上。图中a、b两点距离与c、d两点距离相等，下列说法不正确的是（　　） A．该微小颗粒带负电 B．a、b两点电场强度不相同 C．a、b两点间电势差一定等于c、d两点间电势差 D．该微小颗粒在a点的电势能比在d点的电势能大 【答案】C 【详解】A．根据微粒的运动轨迹可知，该微小颗粒受电场力大致向下，可知微粒带负电，故A正确，不符合题意； B．因a点电场线较b点密集，可知a、b两点电场强度不相同，故B正确，不符合题意； C．由图可知a、b两点间与c、d两点间场强不相等，又a、b两点距离与c、d两点距离相等，根据U=Ed可知，a、b两点间电势差不等于c、d两点间电势差，故C错误，符合题意； D．沿电场线电势逐渐降低，可知a点电势低于d点，负电荷在低电势点的电势能较大，可知该微小颗粒在a点的电势能比在d点的电势能大，故D正确，不符合题意。 故选C 【变式训练4-2-1】如图，在竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有、、三点，其中为中点。粒子从点以某一初速度沿轴向运动，到点时速度为零，则（　　） A．粒子从到的过程中加速度一定一直增大 B．粒子从到的过程中电势能一定一直增大 C．点的电场强度一定等于点的电场强度 D．两点间的电势差一定等于两点间的电势差 【答案】B 【详解】A．圆心处电场强度为零，轴线上距离圆心无限远处电场强度为零，轴线上从圆心到无限远任意一点电场强度不为零，故轴线上存在电场强度最大的点，因其位置与、、三点位置关系不确定，故粒子从到的过程中加速度可能一直增大，可能一直减小，也可能先增大后减小，故A错误； B．粒子带正电，从到的过程中克服静电力做功，故电势能一定一直增大，故B正确； C．由A项分析可知轴线上存在电场强度最大的点，若该点在、两点之间，点的电场强度可能等于点的电场强度；其他情况点的电场强度一定不等于点的电场强度，故C错误； D．因两点电场线分布和两点间电场强度分布情况不一定对称，故两点间的电势差不一定等于两点间的电势差，故D错误。 故选B。 【变式训练4-2-2】在工业生产中，静电场喷雾技术可用于汽车、家电、仪表等外壳的喷涂。如图所示的是一个静电场喷雾装置，该电场中a、c两点分别处于两个等势面中，点b处于两个等势面正中央。从喷口喷出的都是带负电液滴，其中有一滴刚好经过a、b、c三个点。下列说法正确的是（　　） A．a点的电势高于c点的电势 B．a、b两点的电势差一定等于b、c两点电势差 C．液滴一定沿直线做匀加速直线运动 D．从a到c的过程中液滴的电势能减小 【答案】D 【解析】A．题图可知电场方向从工件指向喷口，电势随着电场线方向降低，c点的电势高于a点的电势，故A错误； B．题意知ab与bc距离相等，但这是一个非匀强电场，根据 可知a、b两点的电势差一定不等于b、c两点电势差，故B错误； C．液滴在非匀强电场不同位置所受的电场力大小不同，且电场力方向沿电场线向下指向工件，且液滴还受到重力，平行四边形定则可知液滴合力一定不沿初速度方向，且合力大小时刻在变，故液滴做变加速曲线运动，故C错误； D．由于液滴受到的电场力方向沿电场线向下指向工件，可知a到c的过程电场力做正功，故从a到c的过程中液滴的电势能减小，故D正确。故选D。 【变式训练4-2-3】如图所示为电子束焊接机，K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高电压U，两极之间形成了辐向分布的电场，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点。有一电子在K极由静止被加速，不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是（　　） A．A、K之间的电场强度均为 B．B点电势大于C点电势 C．电子由K到A的电势能减少了eU D．电子在B点加速度大于C点加速度 【答案】C 【解析】A．图中电场是辐向分布，可知，图中不是匀强电场，则A、K之间的电场强度并不均等于 故A错误； B．等势线与电场线垂直，可以在图中作出经过C点的等势线，由于沿电场线电势降低，根据图中电场线的分布可知，B点电势小于C点电势，故B错误； C．电子由K到A过程，电场力做正功为eU，则电势能减少了eU，故C正确； D．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据图示可知，B点位置的电场线分布比C点位置的电场线分布稀疏一些，则B点的电场强度小于C点的电场强度，则电子在B点加速度小于C点加速度，故D错误。 故选C。 【变式训练4-2-4】如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，a和b均可视为点电荷，一个点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点转动，在位置MN和位置EF时系统总电势能刚好相等。则（　　） A．a、b两球带异种电荷 B．a、b两球带电量相等 C．a球由E转动到M过程中，O点电场强度可能变小 D．b球在N点的电势能一定小于F点的电势能 【答案】C 【分析】利用电势能变化与电场力做功的关系，结合轻杆转动前后总电势能相等，分析a、b的电性、电量关系，以及转动过程中电场强度的变化和电势能的比较。注意考虑左侧固定点电荷的电场分布，O点为杆的中点，转动时a、b的位置关于O对称变化，距离左侧电荷的距离改变方向相反。 【解答】解：A、根据题意分析可知，a、b两球电势能总量刚好相等，说明点电荷对a、b两球所做的总功的代数和为零，a、b两球电性一定相同，故A错误； B、根据选项A分析可得|qa||UME|＝|qb||UNF|， 显然|UME|＞|UNF| 则|qa|＜|qb|，故B错误； C、根据题意分析可知，若开始在EF位置带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场反向，则转动过程中，带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场夹角越来越小一直到垂直，由矢量合成规律可得O点电场强度会变大；若开始在EF位置带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场同向，则转动过程中，带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场夹角越来越大一直到垂直，由矢量合成规律可得O点电场强度会变小，故C正确； D、根据题意分析可知，小球a和b距离不变，小球a对b不做功，若b球与点电荷带异种电荷，则相互吸引，从N点到F点，电场力做负功，根据电场力做功与电势能的关系可知，电势能增加，则N点的电势能小于F点的电势能；若b球与点电荷带同种电荷，则相互排斥，从N点到F点，电场力做正功，电势能减少，则N点的电势能大于F点的电势能，故D错误。 故选：C。 【变式训练4-2-5】地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电容器，其间的电场，称为大气电场。设大地电势为零，晴天的大气电场中，不同高度h处的电势φ的变化规律如图所示，其中①线为曲线的切线，不考虑水平方向的电场。则高度h＝5km处的电场（　　） A．电场强度比h＝0处大 B．电场强度方向向上 C．电场强度约为40V/m D．电场强度约为20V/m 【答案】D 【分析】利用电势与高度图像的切线斜率表示电势梯度，结合电场强度与电势梯度的关系，分析h＝5km处电场强度的大小、方向，并与h＝0处对比判断选项。 【解答】解：A、h﹣φ图像的斜率的倒数代表电场强度，结合图像，随高度增大，斜率越来越大，则电场强度逐渐减小，即高度h＝5km处的电场比h＝0处小，故A错误； B、随高度增大，电势逐渐增大，沿电场线方向电势降低，电场强度方向向下，故B错误； CD、结合图像，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练4-2-6】如图1，、、是某电场中一条电场线上的三点，且。一个负电荷从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点经过点运动到点，其运动的图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．三点的电场强度大小 B．三点的电势 C．相邻两点间的电势差 D．该负电荷在三点的电势能 【答案】C 【详解】B．一个负电荷从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点经过点运动到点，可知负电荷所受电场力向右，则电场线方向向左，根据沿着电场线方向电势降低可知，故B错误； A．根据图2可知，负电荷向右运动过程中，加速度逐渐减小，根据牛顿第二定律 可知三点的电场强度大小关系为，故A错误； C．根据结合A选项定性分析可知相邻两点间的电势差，故C正确； D．电场力做正功，电势能减小，则该负电荷在三点的电势能，故D错误。故选C。 【变式训练4-2-7】如图所示，空间中有正方体，点是中点，点处固定一正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．两点处的电场强度相同 B．若点处的电势为，点处的电势为，则点处的电势为 C．平面为等势面 D．将带负电的试探电荷从点沿直线移动到点，静电力先做正功后做负功 【答案】D 【详解】A．根据点电荷周围电场分布特点，可知A、C两点处的电场强度大小相等，方向不同，故A错误； B．沿BD方向，电场强度逐渐减小，由题知，，根据可知 根据，可知点O处的电势为，故B错误； C．根据点电荷周围电势的分布特点，可知点电荷周围等势面为以B点为球心的球面，故C错误； D．越靠近正电荷，电势越高，带负电的试探电荷从D点沿直线移动到点，电势先增加后减少，根据可知负电荷的电势能先减少后增加，故静电力先对负电荷做正功，后做负功，故D正确。故选D。 【变式训练4-2-8】如图所示，一簇电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则（   ） A．M点的电势比P点的电势高 B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差 C．一正电荷在O点时的电势能小于在Q点时的电势能 D．将一负电荷由P点移到M点，电场力做正功 【答案】B 【详解】A．根据等势线与电场线垂直，可作出P点的等势线，如下图 随着电场线方向电势降低，可得P点的电势高于M点，故A错误； B．根据电场分布可知，OM间的平均电场强度比NO之间的平均电场强度小，故由公式 因为OM与ON距离相等，故OM间的电势差小于NO间的电势差，故B正确； C．作出Q点的等势线，如上图，可知O点电势高于Q点，根据 可知，正电荷在O点时的电势能大于在Q点时的电势能，故C错误； D．负电荷在低电势点电势能高，故M点的电势能大于P点的电势能，根据功能关系可知，负电荷由P点移到M点，电场力做负功，故D错误。 故选 B。 【变式训练4-2-9】图为某建筑物上的避雷针和带电云层之间的电场线分布示意图，是同一电场线上的点，且点的电势点的电势点的电势记为。下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】电场线越密，电场强度越大，可知根据， 可知间与间电势差不相等，即，即 代入题中数据，解得 故选D。 【变式训练4-2-10】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线c点时的动能为80eV 【答案】D 【详解】A．电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，根据对称性可知，a、d两点的电场强度大小相等，但方向不同，故a、d两点的电场强度不同，故A错误； BC．电子带负电，且从a到b电势升高，根据可知，电子从a到b运动时电势能减小，电场力做正功，同理，从c到d电势降低，故电子从c到d运动时，电势能逐渐增大，故BC错误； D．电子在经过a点时动能为60eV，电势能为，动能和电势能总和为，因只有电场力对电子做功，故电子动能和电势能的总和保持不变，电子在经过等势线c点时的电势能为，故动能为，故D正确。 故选D。 【变式训练4-2-11】如图所示为电缆终端周围的电场分布情况，图中虚线为等差等势线，实线为电场线，a、b、c、d四点中b点的电势最高，下列说法正确的是（　　） A．b点的电场强度大于a点的电场强度 B．把一个电子从c点移动到d点电场力不做功 C．Ubd=Uad D．从a点静止释放一个质子，它将沿电场线运动 【答案】B 【详解】A．由于a点的电场线较b点密集，可知电场中b点的场强小于a点的电场强度，故A错误； B．c、d在同一等势线上，电势相等，所以把一个电子从c点移动到d点电场力不做功，故B正确； C．虚线为等差等势线，所以Ubd=Uda=−Uad，故C错误； D．因电场线为曲线，则在a点由静止释放一个质子，质子不可能沿电场线运动，故D错误。 故选B。 【变式训练4-2-12】如图所示，两个点电荷固定在水平直线上的、两点，竖直虚线为线段的中垂线，交于点，曲线为一电子的运动轨迹，轨迹及、两点均关于点中心对称。除电场力外其他力均不计。下列说法正确的是（　　） A．、两点的点电荷均带正电 B．的带电量可能大于的带电量 C．电子一定是从运动到 D．点电势一定高于点电势 【答案】A 【详解】A．曲线为电子只在电场力作用下的运动轨迹，根据电子所受电场力一定指向轨迹的凹侧，结合电子所受电场力与电场强度方向相反可知两点的点电荷一定都带正电，正确； B．电子运动轨迹关于点中心对称，则、一定带等量同种电荷，错误； C．电子的初速度不确定，有可能是从运动到，也有可能从运动到，错误； D．根据等量同种电荷的等势线分布可知，点电势与点电势高低无法比较，错误。 故选A。 【变式训练4-2-13】某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，分别是运动轨迹与等势面的交点，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．点的电场强度比点的大 C．粒子在图示运动阶段的动能最小值为0 D．粒子在点的电势能大于在点的电势能 【答案】D 【详解】A．根据电场线与等势面垂直且由电势高的等势面指向电势低的等势面，且做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹的凹侧，可知粒子所受电场力与场强方向相反，即粒子带负电，故A错误； B．因M点等势面比N点稀疏，故M点电场强度比N点小，故B错误； C．因粒子做曲线运动，故在图示运动阶段的动能最小值不为零，故C错误； D．因粒子带负电且，由可知，粒子在点的电势能大于在点的电势能，故D正确。 故选D。 【变式训练4-2-14】如图所示，电荷量为+Q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为θ的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。只考虑+Q在空间各处产生的电场，取离+Q无限远处的电势为0。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k。仅利用以上条件不能求出的是（　　） A．B点的场强EB B．OB之间的距离xOB C．A点的电势φA D．AC两点间的电势差UAC 【答案】C 【详解】AB．由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析，沿斜面方向有 解得 所以可以求出B点的场强EB，根据点电荷场强公式 联立解得OB之间的距离 所以可以求出OB之间的距离xOB，故AB不符合题意； D．因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有 解得AC之间的电势差为 所以可以求出AC两点间的电势差，故D不符合题意。 C．因为条件不足所以无法求出A点的电势，故C符合题意。 故选C。 【变式训练4-2-15】沿静电场中某直线建立x轴，该直线上的电场方向沿x轴，坐标轴正半轴上有A、B两点，A距坐标原点的距离为，B距坐标原点的距离为。规定沿x轴正方向为电场正方向，x轴上各点的电场强度E随x的变化关系如图所示。将一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由O点静止释放，粒子在运动过程中只受静电力的作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子从O到B先做加速运动，后做减速运动 B．OA两点间的电势差与AB两点间的电势差相等 C．粒子不可能到达B点 D．粒子到达A点时的速度大小为 【答案】D 【详解】AC．从O到B，由题图可知电场方向一直沿x轴正方向，则粒子从O到B，粒子受到的电场力方向一直与运动方向相同，粒子一直做加速运动，故AC错误； B．根据图像和横坐标所围面积表示电势差，可知OA两点间的电势差大于AB两点间的电势差，故B错误； D．从O到A，根据动能定理可得 解得粒子到达A点时的速度大小为 故D正确。 故选D。 【变式训练4-2-16】防疫口罩中使用的熔喷布经驻极处理后，可增加静电吸附功能。驻极处理如图所示，针状电极与平板金属电极分别接高压直流电源的正、负极，针尖附近的空气被电离后，带电粒子在电场力作用下运动，熔喷布捕获带电粒子带上静电，熔喷布带电后对电场的影响忽略不计。下列说法正确的是（　　）    A．熔喷布上表面因捕获带电粒子而带负电 B．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电势能不断增加 C．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，加速度逐渐减小 D．图中虚线上的a、b、c三点，电势分别为、、，目，则 【答案】C 【详解】A．针状电极与平行板之间的电场线分布如图所示，带正电粒子所受电场力向下，熔喷布上表面因捕获带电粒子而带正电，故A错误；    B．由图知，沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电场力做正功，电势能减小，故B错误； C．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电场线变疏，电场强度越来越小，根据 加速度逐渐减小，故C正确； D．由图可知， ，由可得则解得故D错误。故选C。 【变式训练4-2-17】在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，底面圆周上有三点a、b、c，是底面圆心，与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的电场中，下列判断正确的是（　　） A．a、b、c三点的电场强度相同 B．O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为 C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至过程中受到的电场力逐渐增大，电势能也逐渐增大 D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变 【答案】C 【详解】A．由于a、b、c三点到点电荷的距离相等，根据可知三点的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误； B．根据点电荷的电场分布规律可知，O点与d点之间的任意位置的电场强度均大于d点与c点之间的任意位置的电场强度，由于d点为Oc的中点，根据可知，O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为故B错误； C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至过程中，到O点的距离逐渐减小，根据库仑定律可知，试探电荷受到的电场力逐渐增大，正电荷受到斥力作用，电荷克服电场力做功，其电势能增大，故C正确； D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中，其到O点的距离先减小后增大，根据库仑定律可知，试探电荷受到的电场力先增大后减小，负电荷受到引力作用，电场力对负电荷先做正功，后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。故选C。 【变式训练4-2-18】雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫做“跨步电压”。如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点，若O点附近地质结构分布均匀，则在地面以O为圆心的同心圆为一系列的等势线。图中O、A、B、C在同一直线上，是过B点圆的切线，，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是（　　） A．图中A、B、C三点中，C点电势最高 B．地面上电子由O向C定向移动 C．为了安全，人应该沿方向迈大步快速脱离 D．A、B、C、D四点间电势差大小关系为 【答案】D 【详解】A．电线掉落的O点电势最高，沿着电场线电势逐渐降低，故有则C点电势最低，故A错误； B．电子受电场力从低电势向高电势移动形成电流，则地面上电子由C向O定向移动，故B错误； C．为了安全，人应该单脚跳，就不会在人体形成电势差，而不能迈步走动，故C错误； D．等势线的密度能够表示场强的大小，而，则AB段的场强大于BC段的场强，由，有 而，则有故D正确。故选D。 【变式训练4-2-19】（多选）如图所示，直线为点电荷电场中的一条电场线（方向未标出），A、B、C为电场线上等间距的三点，一个带负电粒子从电场中P点（图中未标出）分三次以不同的方向射出，仅在电场力作用下分别经过A、B、C三点，粒子经过这三点时，在A点速度变化最快，则A、B、C三点中（　　）    A．A点场强最大 B．场强方向从A指向C C．A点电势最高 D．A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值 【答案】AD 【解析】A．粒子在A点速度变化最快，说明粒子在A点加速度最大，三点中A点离场源电荷最近，A点场强最大，A项正确； BC．不能确定场源电荷的电性，因此不能确定场强方向，也不能确定电势高低，BC项错误； D．离场源电荷越远，场强越小，由可知，A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值，D项正确。 故选AD。 【变式训练4-2-20】（多选）复印机的核心原理是静电吸附，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示。一带负电墨粉颗粒（忽略重力）沿直线从a点运动到b点，以a为原点、ab连线向下为正方向建立x轴。设电场强度大小为E、颗粒加速度大小为a、速度大小为v、电势能为Ep，则下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据电场线疏密判断a到b电场强度变化，再结合牛顿第二定律分析加速度变化，由粒子受力方向判断运动性质，结合运动学规律分析速度变化，根据电场力做功与电势能的关系分析电势能变化，判断各图像是否正确。 【解答】解：A.电场线的疏密表示电场强度大小，x＝0对应a点，离负电晕丝更近，电场线更密，E更大，从a到b过程中，电场线越来越疏，说明电场强度E逐渐减小，且减小的速率越来越慢，因此E﹣x曲线是逐渐下降、越来越平缓，和A图一致，故A正确； B.根据牛顿第二定律，颗粒加速度大小 加速度和E成正比，变化规律与E一致应该是逐渐下降、越来越平缓。但B图中加速度下降越来越快，斜率绝对值逐渐增大，故B错误； C.根据运动学关系v2＝2ax 由于a随x增大逐渐减小，因此v2﹣x的斜率逐渐减小，曲线上升越来越平缓，和C图一致，故C正确； D.从a到b电场力做正功，电势能逐渐减小；斜率的绝对值，E随x增大减小，因此斜率绝对值应该逐渐减小，Ep下降越来越平缓，故D错误。 故选：AC。 【变式训练4-2-21】（多选）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于轴，其电势随的分布如图所示。一质量，电荷量的带负电的粒子从点由静止开始，仅在电场力作用下在轴上往返运动。则() A.轴左侧电场强度和右侧电场强度的大小之比 B.粒子在区间运动过程中的电势能减小 C.该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为 D.该粒子运动的周期 【答案】ACD 【解析】A.由图可知：根据可知： 左侧电场强度： 右侧电场强度： 所以，故A正确； B.负电荷在电势低的地方电势能大，从区间电势在降低，则电势能在增加，故B错误； C.电荷只受电场力，电场力做功等于电势能的变化量，根据，故电势变化量的最大值为，故C正确； D.设粒子在原点左右两侧运动的时间分别为、，在原点时的速度为，根据动能定理： 由运动学公式有 同理可知： 而周期： 联立解得：，故D正确。 故选ACD。 题型05：等势面 （一）常见等势面特点 【典型例题1】图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（     ） A．平面d上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【答案】B 【详解】电子从到共经过3个相邻间隔，克服电场力做功，即，由（电子电荷量），得，因此相邻等势面电势差为，已知，可推得各等势面电势：，， A．平面的电势为，A错误； C．电子在的电势能，不是，C错误； D．电子在的动能，在的动能由可得，是的倍，D错误； B．只有静电力做功，动能与电势能之和不变，总能量若电子到达，电势能，动能为。若电子速度方向沿电场方向，一定能到达若电子速度方向不沿电场方向，有可能在到达之前，沿电场方向的速度已减为0，从而无法到达，因此电子可能到达不了平面，B正确。故选 B。 【典型例题2】等量异种点电荷的电场线分布如图所示，点为两点电荷连线中点。下列说法正确的是（    ） A．两电荷连线上，点的电场强度最大 B．两电荷连线的中垂线上，点的电场强度最小 C．两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度相同 D．两电荷连线的中垂线上，电势处处不相等 【答案】C 【详解】A．两电荷连线上，点的电场线最稀疏，故点的电场强度最小，故A错误； B．两电荷连线的中垂线上，点的电场线最密集，故点的电场强度最大，故B错误； C．根据对称性可知，两电荷连线上关于中点对称的两点，电场强度相同，故C正确； D．两电荷连线的中垂线上，电场线与中垂线处处垂直，故两电荷连线的中垂线为等势线，电势处处相等，故D错误。 故选C。 【典型例题3】等量正点电荷的电场线（实线带箭头表示）及等差等势面（虚线表示）分布图如图所示。将一带正电的试探电荷从点沿直线经、移动到点，、、、均在等势面上。取无限远处的电势为零，则（　　） A．从点沿直线到点运动过程中电势不变 B．点的电场强度大小比点的大 C．该试探电荷在点的电势能比在点的大 D．、间的电势差比、间的电势差大 【答案】B 【详解】A．沿电场线方向电势降低，且电场线与等势面垂直，离正电荷越近电势越高。从点沿直线到点，电势先升高后降低，并非不变，故A错误； B．电场线的疏密表示电场强度的大小。由图可知，a点处的电场线比点处的电场线密集，所以点的电场强度大小比点的大，故B正确； C．由图可知点和点在同一等势面上，电势相等，根据电势能公式，电势能相等，故C错误； D．图中虚线为等差等势面，b、间与、间均为相邻等势面，所以、间的电势差等于、间的电势差，故D错误。 故选B。 【典型例题4】某房子屋顶造形如图所示，P为顶点，底面四个点a、b、c、d构成正方形，O为正方形中点，一金属球固定于顶点P，由于风的摩擦而成为正场源点电荷，下列说法正确的是（　　） A．四个点a、b、c、d的场强相同 B．试探电荷在O处受到电场力方向竖直向下 C．底面一定是一个等势面 D．点电荷沿移动电势能先减小后增大 【答案】D 【详解】A．四个点a、b、c、d的场强大小相同，方向不同，A错误； B．场源正电荷在O点的电场方向竖直向下，则试探正电荷在O处受到电场力方向竖直向下，试探负电荷在O处受到电场力方向竖直向上，B错误； C．根据，底面上各点到正场源点电荷的距离不相等，所以底面不是一个等势面，C错误； D．根据可知，沿的电势先升高后降低，由可知，点电荷沿移动电势能先减小后增大，D正确。 故选D。 【典型例题5】做心电图时，心脏可视为由两个等量异种点电荷组成的系统。图中显示的是患者体表的瞬时电势分布，实线为等差等势面，数值表示其电势，a、b为两点电荷连线上对称的两点，c、d为连线中垂线上对称的两点，则（　　） A．Uab=2Ubc B．a点与b点的电场强度相同 C．人体内的Cl−在a点的电势能比在b点的电势能大 D．若人体内Na+沿两电荷连线的中垂线从c点运动到d点，电场力先做正功再做负功 【答案】B 【详解】A．由图知 则，故A错误； B．根据等量异号点电荷电场的对称性可知a点与b点的电场强度相同，故B正确； C．根据Ep=qφ，负电荷在电势越高的地方电势能越低，人体内的Cl−在a点的电势能比在b点的电势能小，故C错误； D．等量异号点电荷电场的中垂线电势为0，若人体内Na+沿两电荷连线的中垂线从c点运动到d点，电场力始终不做功，故D错误。 故选B。 【变式训练5-1-1】水平直线上有A、B、C三点，在B、C两点各固定一点电荷，电荷量分别为和，周围的等势面分布示意图如图所示。在A点固定一根竖直光滑绝缘细杆，一带正电的小环（重力不可忽略）套在细杆上从D点无初速度释放到达A点。下列说法正确的是（　　） A．小环在D点与在A点所受电场力的方向相同 B．小环运动到A点时的加速度大于重力加速度 C．小环在D点的电势能小于在A点的电势能 D．小环最终以A点为中心做往复运动 【答案】C 【详解】A．等量异种电荷的电场线分布如图所示 由图可知小环在D点与在A点的电场强度方向不同，则所受电场力的方向不同，故A错误； B．在A点，电场力水平向左，竖直方向只受重力，根据牛顿第二定律可知加速度，故B错误； C．小环带正电，由等势线可知 根据电势能，可知，故C正确； D．小环在运动过程中受重力作用会继续向下加速，不会以A为中心做往复运动，故D错误。 故选C。 【变式训练5-1-2】 关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　) A．两个电势不同的等势面可能相交 B．电场线与等势面处处相互垂直 C．同一等势面上各点电场强度一定相等 D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功 解析：选B.静电场中的电场线不可能相交，等势面也不可能相交，否则的话会出现一个点有两个电场强度和两个电势值的矛盾，A错误；由WAB＝qUAB可知，当电荷在等势面上移动时，电荷的电势能不变，如果电场线不与等势面垂直，那么电荷将受到电场力，在电荷运动时必然会做功并引起电势能变化，这就矛盾了，B正确；同一等势面上各点电势相等，但电场强度不一定相等，C错误；对于负电荷，q<0，从电势高的A点移到电势低的B点，UAB>0，由电场力做功的公式WAB＝qUAB可知WAB<0，电场力做负功，D错误． 【变式训练5-1-3】(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是(　　) A．带正电 B．速度先变大后变小 C．电势能先变大后变小 D．经过b点和d点时的速度大小相等 解析：选CD.做曲线运动的物体受到的合力方向指向曲线的内侧，根据带电粒子受力方向可以判断，粒子带负电，选项A错误；负电荷在电势低的位置电势能大，粒子的电势能先变大后变小，粒子的电势能和动能之和不变，所以粒子的动能先变小后变大，速度先变小后变大，选项B错误，选项C正确；b、d两点电势相同，粒子经过这两点时电势能相等，动能相等，速度大小也相等，选项D正确． 【变式训练5-1-4】如图所示，两个等量负点电荷固定于P、Q两点，正方形abcd为垂直P、Q连线的平面，e、f分别是ad、bc的中点。O点正好是PQ和ef连线的中点，下列说法中正确的是（　　） A．a、b两点场强相同 B．e、f两点电势相等 C．abcd是一个等势面 D．将一正电荷由e点移动到f点，电势能先增加后减小 【答案】B 【详解】A．a、b两点场强大小相等，方向不同，故A错误； B．e、f两点为PQ连线的中垂线对称点，根据等量同种电荷电场线的分布，可确定e、f两点电势相等，故B正确； C．在abcd组成的平面上，电场方向由平面上各点指向O点，根据顺着电场线方向电势降低，可知abcd组成的平面上电势不是处处相等，因此abcd组成的平面不是等势面，故C错误； D．将一正电荷由e点移动到f点，电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。故选B。 【变式训练5-1-5】如图所示，M、N两点分别固定等量的异种点电荷，正方形为垂直连线的平面，正方形中心O是连线的中点，E、F分别是、的中点，，下列说法正确的是（　　）    A．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同 B．A、D两点的电势相等 C．把一个正电荷从A点沿直线移到C点过程中，电场力先做正功后做负功 D．若仅将N处的电荷换成正电荷，F点的场强大小不变 【答案】BD 【详解】A． M、N两点分别固定等量的异种点电荷，A、B关于M、N两点连线的中垂线对称两点，可知A、B两点的电场强度大小相等，方向相同，A错误； B．A、D关于M、N两点连线的中垂线对称两点，可知A、D两点的电势相等，B正确； C．等量异种点电荷中垂线是等势线，A、C是中垂线上的两点，因此把一个正电荷从A点沿直线移到C点过程中，电场力不做功，C错误； D．若仅将N处的电荷换成正电荷，则N处的正电荷在F点产生的电场强度大小与是负电荷时产生的电场强度大小相等，方向相反，由电场强度的叠加原理可知，F点的场强大小不变，D正确。故选BD。 （二）对等势面的理解 【典型例题1】我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】C 【解析】在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大。 故选C。 【典型例题2】如图所示为避雷针周围的等势面分布情况，电场中有M、N、P三点，则(　　) A．P点的电势比M点的高 B．M、N两点的电场强度相同 C．P点的电场强度大小比M点的大 D．电子在P点的电势能大于其在M点的电势能 【答案】D 【解析】由题图知，P点的电势为6 kV，M点的电势为8 kV，所以P点的电势比M点的低，A错误； 电场强度的方向与等势面垂直，所以M、N两点的电场强度方向不同，B错误； 等差等势面密的地方电场强度大，结合题图可知，P点附近的等势面较稀疏， 所以P点的电场强度小于M点的电场强度，C错误； 电势能Ep＝qφ，电子带负电， 所以电势越高，电势能越低， 因为P点的电势比M点的低， 所以电子在P点的电势能大于其在M点的电势能，D正确。 【典型例题3】如图所示为一个带正电荷的小球与一块大金属板之间形成的电场线和等势面，a、b、c、d、e、f为其中六个点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．金属板表面e、f两点的电势相等 C．将一电子从c点移到d点，电子的电势能减小 D．若电子在e点静止释放，仅受静电力作用可沿电场线ae运动 【答案】B 【分析】依托电场线切线、导体静电平衡、电势电势能关系、曲线电场线粒子运动规律，逐项判断选项正误。 【解答】解：A.电场强度为矢量，方向沿电场线切线方向，a、b两处电场线切线方向不同，两点电场强度不同，故A错误； B.静电平衡下的金属板为等势体，金属板表面全部点电势相同，e、f位于金属板表面，两点电势相等，故B正确； C.沿着电场线电势逐渐降低，c点电势高于d点，电子带负电，由电势能公式Ep＝qφ可知，负电荷在高电势处电势能更小，电子从c移到d，电势能增大，故C错误； D.ae是曲线电场线，静止释放的电子仅受电场力时，加速度沿电场线切线方向，初速度为零，运动轨迹会向受力方向偏转，无法沿曲线电场线运动，故D错误。 故选：B。 【典型例题4】如图所示为一带正电导体周围的电场线及等势线分布。A、B、C为电场中的三个点。则（　　） A．电场强度EA>EB>EC B．电势 C．从A到B和从A到C，电场力对电子做功相等 D．在A点静止释放的电子将沿其所在电场线运动到金属表面 【答案】C 【详解】A．根据题图中等势面和电场线的疏密程度可知，A、B、C三点的场强大小关系为，故A错误； B．由于带正电，离导体越近的等势面电势越高，所以A、B、C三点的电势关系为，故B错误； C．根据，由于A到B的电势差等于A到C的电势差，所以从A到B和从A到C，电场力对电子做功相等，故C正确； D．由于A点所在电场线不是直线，所以在A点静止释放的电子不会沿其所在电场线运动到金属表面，故D错误。故选C。 【变式训练5-2-1】某小山坡的等高线如图所示，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则（　　） A．同一小球在A点的加速度比B点的大 B．同一小球在A点的重力势能比在B点的大 C．若把等高线看成某静电场的等势面，则A点电场强度比B点大 D．若把等高线看成某静电场的等势面，则右侧电势比左侧降落得快 【答案】D 【详解】A．等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得（为坡面与水平面夹角），MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误； B．A、B在同一等高线，高度相同，根据，A、B两点的重力势能相等，B错误； C．等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误； D．等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。 故选D。 【变式训练5-2-2】某电场的等势面分布如图所示，相邻等势面之间的电势差均为1V，部分等势面的电势已标明，下列说法正确的是（　　） A．B点的电场强度小于C点的电场强度 B．将电子放在A点，其受到的电场力方向向左 C．电子在A点的电势能大于在D点的电势能 D．将电子沿直线从B点移至C点，电场力一直做负功 【答案】C 【详解】A．图中的等势面为等差等势面，B点处的等势面比C点处的等势面密集，所以B点的电场强度大于C点的电场强度，A错误； B．电场方向由高等势面指向低等势面，由图可知，A点的电场方向向左，电子带负电，负电荷受到的电场力方向与电场方向相反，所以电子受到的电场力方向向右，B错误； C．根据，电子在A点的电势能，电子在D点的 电势能可得电子在A点的电势能大于在D点的电势能，C正确； D．将电子沿直线从B点移至C点，电场力做功 电场力做正功，D错误。故选C。 【变式训练5-2-3】（多选）如图所示，在一固定点电荷产生的电场中，将一带正电的粒子先后以大小相等、方向不同的初速度从M点射入电场，粒子仅在电场力作用下形成了曲线轨迹1和直线轨迹2，P、Q分别为轨迹1和轨迹2上的点，已知粒子经过P、Q两点时的速度大小相等，则（    ） A．粒子在P、Q两点的加速度大小相同 B．粒子沿轨迹2向左运动过程电势能一定增加 C．M点电势比Q点电势高 D．P点电势比Q点电势低 【答案】AB 【详解】AD．粒子从M点射入电场的速度大小相等，经过P、Q两点时的速度大小相等，由动能定理可知，则P、Q两点电势相同，P、Q两点与固定点电荷的距离相等，由可知P、Q两点电场强度大小相等，由 可知粒子在P、Q两点的加速度大小相同，故A正确，D错误； BC．由题图知带正电的粒子q从M点出发抵达P点做曲线运动，所受电场力方向指向轨迹内侧，从M点出发抵达Q点做直线运动，所受电场力方向沿QM，粒子经过P、Q两点时的速度大小相等，故固定的点电荷在Q左侧，粒子沿轨迹2向左运动过程，电场力做负功，电势能一定增加，由沿电场线方向电势越来越低知M点电势低于Q点电势，故B正确，C错误。 故选AB。 【变式训练5-2-4】如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 【答案】B 【详解】A．小球所受库仑力 由于re > rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误； B．点电荷在距其r处的电势为 由于c点到d点r不变，d点到e点r逐渐增大，则根据Ep = φq 可知小球从c点到d点电势能不变，从d点到e点电势能逐渐减小，故B正确； C．由于rf > rd，根据选项B可知，小球的电势能Epd > Epf，根据能量守恒可知，小球过f点的动能大于过d点的动能，故C错误； D．由于ra > rb，根据选项B可知，小球的电势能Epb > Epa，根据能量守恒可知，小球过a点的动能大于过b点的动能，则小球过b点的速度小于过a点的速度，故D错误。 故选B。 （三）等势面特点的综合应用 【典型例题1】雷雨天带电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，a、b、c、d为等差等势面，一个电子只在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是（　　） A．云层带负电 B．A点的电场强度大小比B点的小 C．电子在A点动能比在B点动能小 D．电子在A点电势能比在B点电势能大 【答案】A 【详解】A．由于电场线垂直于等势线，根据电子所受电场力的方向斜向左下方，电子带负电，可知，电场方向斜向右上方法，沿电场线方向电势降低，故A点电势比B点电势高，由此可知云层带负电，故A正确； B．等差等势面分布的疏密程度表示电场强弱，可知，A点场强比B点场强大，故B错误； C．结合上述，若电子从A运动到B，电场力方向与运动方向的夹角为钝角，则电场力做负功，电子在A点动能比在B点动能大，故C错误； D．结合上述，电子从A运动到B，电场力做负功，电势能增大，可知，电子在A点电势能比在B点电势能小，故D错误。 故选A。 【典型例题2】在做心电图体检时，人体表面某一时刻的电势分布如图所示。P、Q是心电图机的两个电极，a、b是人体表面的两点，下列说法正确的是（    ） A．P极是负极，Q极是正极 B．b点的电势比a点的电势低 C．b点的电场强度比a点的电场强度小 D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 【答案】D 【详解】A．题图可知P极附近电势为正，故P为正极，Q为负极，故A错误； B．题图可知，故b点的电势比a点的电势高，故B错误； C．题图可知b点等差等势面比a的密集，故b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误； D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 故D正确。故选D。 【变式训练5-3-1】盘型悬式绝缘子是高压输电线路上常见的设备，其模型如图甲所示，图乙所示是其轴线所在截面上的等差等势线分布，空气中沙粒间的非对称摩擦会使沙粒带上电荷，悬浮沙粒携带电荷是绝缘子沿面电位和电场畸变的重要原因。下列说法正确的是（　　） A．图乙中a、b、c三点的电势关系为 B．图乙中a、b、c三点的电场强度大小关系为 C．带负电的沙粒聚集在绝缘子的低压端 D．某带电沙粒可从a点沿电场线运动到b点 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，从绝缘子低压端到高压端，等势线的电势逐渐升高，则 故A错误； B．等差等势线的疏密表示电场强度的大小，可知 故B正确； C．空间中的电场由绝缘子高压端指向绝缘子低压端，又负电荷所受电场力的方向与电场线的方向相反，故带负电的沙粒聚集在绝缘子高压端，故C错误； D．从a到b的电场线不是直线，沙粒不可能一直沿电场线运动，故D错误。 故选B。 【变式训练5-3-2】如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面，下列说法正确的是（　　） A．云层带正电 B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小 C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4 keV D．电子从b点移动至c点，电势能增加 【答案】C 【详解】A．由图可知，越靠近云层电势越低，所以云层带负电，故A错误； B．由图可知，a点附近比c点附近的电场线更疏，所以a点电场强度大小小于c点电场强度大小，故B错误； C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，电场力做功为 电场力做正功，动能增加4 keV，故C正确； D．由图可知，b、c两点电势相等，电子从b点移动至c点，电势能不变，故D错误。 故选C。 【变式训练5-3-3】竖直面内，一带电小球以一定的速度进入匀强电场中，如图所示，虚线为匀强电场的等差等势面，实线为带电小球的运动轨迹。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的方向一定竖直向上 B．小球从到，其机械能守恒，电势能增大 C．小球从到与从到，其动能的变化量相同 D．小球从到，电场力对其做正功，小球的电势能减小 【答案】C 【详解】A．由题意可知，带电小球所受电场力指向轨迹凹侧，即受到竖直向上的电场力，但由于带电小球的电性未知，则匀强电场的方向未知，故A错误； BD．小球从到的过程中，电场力做负功，故带电小球的机械能减小，电势能增大，故BD错误； C．小球从到与从到，根据可得电场力做的负功相同，电势能增加量相同，根据能量守恒定律可知其动能的变化量相同，故C正确。故选C。 【变式训练5-3-4】如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 【答案】D 【详解】AD．根据题意可知，实线为等差等势线，由图可知 E、F两点在同一条等势线上，电势相等，故A错误，D正确； B．电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动，说明电子所受电场力指向点，结合图像可知，两点电荷为等量的正电荷，故B错误； C．由对称性可知，A、B两点的场强大小相等，方向相反，故C错误。 故选D。 题型06：等势面与轨迹问题 【典型例题1】某电场的等差等势线分布如图中的实线所示。一带正电的试探电荷射入电场中，虚线为其运动轨迹，a、b、c为运动轨迹与等势线的交点。已知试探电荷仅受静电力作用，下列说法正确的是（　　） A．b点的电势低于c点的电势 B．若试探电荷从a点运动到c点，电势能先增大后减小 C．试探电荷在a点时的加速度小于在c点时的加速度 D．试探电荷在a点时的速度小于在c点时的速度 【答案】A 【分析】根据带电粒子的运动轨迹弯曲方向判断电场力方向，结合等势线分布判断电场线方向与电势高低，再根据电场力做功情况分析电势能、动能变化，结合等势线疏密判断电场强度大小与加速度大小。 【解答】解：A、带正电的试探电荷受到的静电力在曲线凹侧，电场线方向也指向曲线凹侧，随着电场线方向电势降低，可知b点的电势低于c点的电势，故A正确； B、试探电荷从a点运动到c点，电势先减小后增大，根据Ep＝qφ可知，电势能先减小后增大，故B错误； C、等差等势线越密，场强越大，图像可知a点处等差等势线比c处密集，故a点场强大于c点场强，则试探电荷在a点受到的静电力F比b大，结合 可知，试探电荷在a点时的加速度比c大，故C错误； D、ac在同一等势面上，其电势差为0，则qU＝0＝ΔEk 动能变化量为0，因此试探电荷在这两点的动能相同，则速度大小也相同，故D错误。 故选：A。 【典型例题2】如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计重力，下列说法错误的是（　　） A.M带负电荷，N带正电荷 B.M在b点的动能小于它在a点的动能 C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能 D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功 【答案】D 【解析】　由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，N带正电荷，故A正确，不符合题意； M从a点到b点，电场力做负功，根据动能定理知，动能减小，则M在b点的动能小于在a点的动能，故B正确，不符合题意； d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于在e点的电势能，故C正确，不符合题意； N从c点运动到d点，电场力做正功，故D错误，符合题意。 【典型例题3】（多选）某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电荷 B．M点的电场强度比N点的小 C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点 D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能 【答案】BCD 【详解】A．根据粒子所受电场力指向曲线轨迹的凹侧可知，带电粒子带正电，故A错误； B．等差等势面越密集的地方场强越大，故M点的电场强度比N点的小，故B正确； CD．粒子带正电，因为M点的电势大于在N点的电势，故粒子在M点的电势能大于在N点的电势能；由于带电粒子仅在电场作用下运动，电势能与动能总和不变，故可知当电势能最大时动能最小，故粒子在运动轨迹上到达最大电势处时动能最小，故CD正确。 故选BCD。 【典型例题4】如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（　　） A．A点的电势大于B点的电势 B．A点的电场强度大于B点的电场强度 C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大 D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小 【答案】D 【详解】A．带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则A点的电势小于B点的电势，故A错误； B．A点的等势面较稀疏，则A点的电场强度小于B点的电场强度，故B错误； CD．将q在A点由静止释放，将向电势低处运动，即向等势面稀疏处运动，其受静电力将减小，电势能将减小，故C错误，D正确。 故选D。 【典型例题5】如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，且方向与等势面平行，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（　　） A．粒子的速度v2一定大于v1 B．等势面b的电势比等势面c的电势低 C．粒子从A点运动到B点所用的时间为 D．匀强电场的电场强度大小为 【答案】AC 【详解】A．该电场为匀强电场，等势面沿水平方向，则电场方向沿竖直方向，粒子的轨迹向下弯曲，所以粒子受到的电场力竖直向下，从A到B的过程中电场力对粒子做正功，粒子的速度增大，所以粒子的速度v2一定大于v1，故A正确； B．粒子带正电，则知电场方向竖直向下，等势面b的电势比等势面c的电势高，故B错误； C．粒子在A点的速度大小为v1，粒子在沿等势面方向做匀速直线运动，所以粒子运动的时间故C正确； D．A、B两点沿电场线方向的距离为由动能定理有联立解得 故D错误；故选AC。 【典型例题6】 (多选)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图6所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球(　　) 图6 A.在运动过程中，电势能先增加后减少 B.在P点的电势能大于在N点的电势能 C.在M点的机械能等于在N点的机械能 D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功 答案　BC 解析　画出O点处点电荷过M、N两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，A错误；距正点电荷越远，电势越低，则φN＞φP，根据电势能计算式Ep＝qφ，结合小球带负电可知EpN＜EpP，B正确；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，M、N两点在正点电荷的同一等势面上，因此小球在M、N两点上的电势能相等，则小球在M、N两点上的机械能相等，C正确；结合小球运动方向与受力方向夹角变化可知，小球从M点运动到N点的过程中电场力先做正功后做负功，D错误。 【典型例题7】图示为电缆终端周围的电场分布情况，图中虚线为等势线，实线为电场线，a、b、c为电场线和等势线的三个交点，下列说法正确的是（　　） A．电场中b点的场强大于a点的电场强度 B．将一电子放在c点，电子的电势能为30eV C．将一电子由a点移至b点，电场力做功20eV D．在a点以一定初速度释放一带正电的粒子，粒子可沿图中轨迹经过c点到达b点 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密程度反映电场强度的大小，由图可知b点的电场强度小于a点的电场强度，故A错误； B．由Ep=qφ可知，一电子放在c点，电子的电势能为−30eV，故B错误； C．根据电场力做功W=qU可知，电子由a点移至b点，电场力做功，故C正确； D．由图中电场线和等势面的分布可知，正电荷受到的电场力沿电场线的切线方向（指向电势较低的等势面），轨迹应向电场线凹侧弯曲，故D错误。 故选C。 【典型例题8】某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 【答案】C 【解析】AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故AB错误； C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV 故C正确； D．一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad = －eUad = 4eV 由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4eV，故D错误。 故选C。 【变式训练6-1】如图所示，为某静电透镜的示意图，图中实线K、G是电【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（　　）    A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心 【答案】B 【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误； B．在同一个等势面上，，又电荷电势能 所以α粒子在处的电势能相等，B正确； C．匀强电场中两等势面间的电势差 由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此 电场力做的功 可知由c到d过程电场力做功较多，C错误； D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。 故选B。 【变式训练6-2】如图为一带电粒子在稳定的电场中运动的示意图，虚线为该粒子的运动轨迹，实线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分别为0V、10V、20V和30V的等势线，其中M、N为该粒子的运动轨迹与Ⅳ等势线和Ⅱ等势线的交点，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带正电 B．该粒子在M点的速度大小大于在N点的速度大小 C．该粒子在M点所受的电场力大小小于在N点所受的电场力大小 D．该粒子在M点的电势能大于在N点的电势能 【答案】B 【分析】根据等势线的电势分布确定电场线方向，结合粒子轨迹弯曲方向判断电场力方向与带电性质，再通过电场力做功分析动能和电势能变化，由等势线疏密判断电场强度及电场力大小。 【解答】解：A、粒子所受的电场力指向运动轨迹的凹侧，电场线垂直等势线且由高电势指向低电势，电场线的方向与该粒子所受的电场力方向相反，该粒子带负电，故A错误。 BD、根据Ep＝qφ 则EPM＝qφM，EPN＝qφN 又q＜0，φM＞φN，则EpM＜EpN 该粒子在 M点的电势能小于在N点的电势能，粒子仅受电场力，结合能量守恒定律EpM+EkM＝EpN+EkN 则EkM＞EkN，即 该粒子在M点的速度大小大于在N点的速度大小，故B正确，D错误。 C、结合等势线的密集程度与电场强度的关系，M点的电场强度大小大于N点的电场强度大小，根据F＝qE 粒子在M点所受的电场力大小大于在N点，故C错误。 故选：B。 【变式训练6-3】如图所示，实线1、2、3、4为电场中的等势线，电势分别为、、、，a、d为电场中的两个点。一带正电的粒子仅在电场力的作用下沿虚线从M点运动到N点，下列说法正确的是（　　） A．电场力对粒子先做正功后做负功 B． C．粒子在N点的加速度大于在M点的加速度 D．电子在d点的电势能大于在a点的电势能 【答案】C 【详解】A．电场力指向轨迹的凹侧，可见带正电的粒子仅在电场力的作用下沿虚线从M点运动到N点的过程中，电场力对粒子先做负功后做正功，故A错误； B．正电荷受电场力方向与电场线方向一致，沿着电场线电势逐渐降低，可知，故B错误； C．等势线越密集的地方，电场线越密集，则电场越大，根据牛顿第二定律可知，粒子在N点的加速度大于在M点的加速度，故C正确； D．根据电势能计算公式可知，电子在d点的电势能小于在a点的电势能，故D错误； 故选C。 【变式训练6-4】如图所示，图中实线b、c、d、e为某静电场中的等差等势线，虚线为一个电子在该静电场中的运动轨迹，电子的电量为，则下列判断正确的是（　　） A．电子在A点速度比在B点大 B．电子在A点加速度比在B点小 C．电子在B点的电势能比在A点大 D．b、c、d、e等势线中e的电势最高 【答案】D 【详解】D． 等势线垂直电场线，电场线沿过左上方点的径向；根据轨迹凹侧指向合力方向，可知电子所受电场力指向向上； 电子带负电，电场力方向与电场方向相反，因此电场方向背离向下；沿电场方向电势降低，因此离越近电势越高；是离最近的等势线，因此电势最高，故D正确； A．若从到，电场力方向与位移同向，电场力做正功，动能增加， 若从到，电场力做负功，动能减小，仍得，因此点速度比点小，故A错误； B．等差等势线越密，电场强度越大，同一电荷所受电场力越大，加速度越大；A点等差等势线更密，所以电子在A点加速度比在B点大，故B错误； C．电势能，，因此，即点电势能比点小，故C错误。 故选D。 【变式训练6-5】如图所示，平行等距的竖直虚线为某电场的一组等差等势面，一带电微粒以一定初速度射入电场后，恰能沿直线从向运动，则由此可知（　　） A．点的电势一定小于点的电势 B．微粒从到点，电势能减小，机械能增大 C．若微粒从点运动到点，合力做正功 D．若初速度方向改变，微粒一定做曲线运动 【答案】C 【详解】A．微粒受到电场力与重力作用才能沿直线从向运动，电场力必定水平向左，合力方向从点指向点，微粒的电性未知，故场强方向未知，故点的电势和点的电势高低无法判断，故A错误； B．微粒从到点，电场力做负功，可知电势能增大，根据功能关系可知微粒的机械能减小，故B错误； C．若微粒从点运动到点，合力从点指向点，可知合力做正功，故C正确； D．重力和电场力都为恒力，故合力为恒力，可知若初速度方向改变，速度方向与合外力可能不在同一条直线上，但是若初速度方向反向，微粒还做直线运动，故D错误。 故选C。 【变式训练6-6】如图所示，虚线、、代表电场中一簇等势线，相邻等势线之间的电势差相等，实线为一带负电的粒子（重力不计）仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，、是这条轨迹上的两点，据此可知（    ） A．该粒子加速度方向水平向左 B．从运动到，电场力做正功，带电粒子的电势能减小 C．、、三条等势线中，的电势最高 D．带电粒子在运动过程中机械能守恒 【答案】B 【详解】AC．根据电场线与等势线垂直，且曲线运动所受合力方向位于轨迹的凹侧，可知电子所受电场力竖直向上，加速度方向竖直向上；由于电子带负电，所以场强方向竖直向下，根据沿电场方向电势逐渐降低，可知、、三条等势线中，的电势最高，故AC错误； B．从运动到，电场力与速度的夹角小于，可知电场力做正功，带电粒子的电势能减小，故B正确； D．电场力做正功，根据功能关系可知，带电粒子在运动过程中机械能增加，故D错误。 故选B。 【变式训练6-7】如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（　　）    A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小 B．负点电荷一定位于M点左侧 C．a点的场强大于b点的场强 D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度 【答案】D 【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误； B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误； CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确； 故选D。 【变式训练6-8】如图7所示的5条虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子只在静电力作用下在电场中运动(轨迹未画出)，已知 电子经过等势面1时动能为5 eV，经过等势面4时动能为20 eV，等势面2的电势为＋3 V，下列说法正确的是(　　) 图7 A.电子从等势面1运动至等势面4过程电势能增加15 eV B.等势面3的电势－6 V C.电子经过等势面4时具有的电势能－13 eV D.等势面3、5间的电势差为8 V 答案　C 解析　电子从等势面1运动至等势面4过程，根据动能定理，有W14＝Ek4－Ek1，又W14＝－ΔEp，联立解得ΔEp＝－15 eV即该过程电势能减少15 eV，故A错误；等势面1、4间的电势差为U14＝＝－15 V，依题意有U23＝φ2－φ3＝U14，解得φ3＝8 V，故B错误；同理可得U24＝φ2－φ4＝U14，解得φ4＝13 V，电子经过等势面4时具有的电势能为Ep4＝－eφ4＝－13 eV，故C正确；相邻等势面间电势差相等，则有U35＝U24＝U14＝－10 V，故D错误。 【变式训练6-9】如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为1、2、3和4，相邻等势面间的电势差相等，一带负电的粒子，重力不计，在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b、c、d是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（　　） A．4等势面上各点场强处处相同 B．四个等势面的电势关系是 C．粒子从a运动到d的过程中静电力一直做负功 D．粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va>vb>vc=vd 【答案】BD 【详解】A．由图可得，等势面的疏密不同，所以等势面上各点场强大小并不相同，故A错误； B．做曲线运动的带负电粒子，受力的方向指向凹侧，因此受力斜向右下，电场线斜向左上，沿着电场线电势降低，所以四个等势面的电势关系是故B正确； C．粒子从a运动到c的过程中，轨迹电势降低，粒子带负电，则电势能增大，静电力一直做负功，电场中由于c、d两点电势相等，从c到d的过程中，电场力先做负功后做正功，故C错误； D．由C项分析可得，根据动能定理，粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是故D正确。 故选BD。 【变式训练6-10】（多选）某电子显微镜使用非匀强电场聚集电子束。该电场的等势面分布如图中虚线所示，相邻两等势面间的电势差均为1V。实线是一电子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b是轨迹上位于不同等势面上的两点。取等势面MN为零势面，则（　　） A．电子在a点的加速度比在b点小 B．a、b两点的电势关系为φa＞φb C．从a到b，电子的电势能增加了2eV D．从a到b，电子的动能增加了2eV 【答案】AD 【分析】A.结合题意，由等差等势面的特点及牛顿第二定律，即可分析判断； B.结合题意，由等势面与电场线的关系、电场力方向的特点、电场力做功与电势能变化的关系、能量守恒，即可分析判断。 【解答】解：A.同一电场中，等差等势面越密集的地方，电场强度越大，则由题图可知，a点的电场强度小于b点的电场强度，则根据F＝qE＝ma可知，电子在a点的加速度比在b点小，故A正确； BCD.因为电场中等势面与电场线相交处互相垂直、电子所受电场力方向与电场强度方向相反、电子做曲线运动所受合力（电场力）指向运动轨迹凹侧， 所以该电子经过的电场线方向，应垂直于等势面斜向左上方，则沿电场线的方向先经过b所在等势面，后经过a所在等势面。 因为沿电场方向电势逐渐降低，所以： φa＜φb， 因为取等势面MN为零势面，两等势面间的电势差均为1V，所以从a到b，电子的电势能的变化量为： ΔEp＝﹣e（φb﹣φa）＝﹣e×[﹣2V﹣（﹣4V）]＝﹣2eV，即电势能减少了2eV，则由能量守恒可知，该过程，从a到b，电子的动能增加了2eV，故D正确，BC错误。 故选：AD。 【变式训练6-11】一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0V，电子从a点运动到b点电势能变化了10eV，则（　　） A．a点电势为 B．电子在b点的电势能为 C．b点的电场强度比c点的大 D．电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合 【答案】B 【详解】A．根据电场线的方向与等势面的垂直，可知图中电场线的方向大体沿左上—右下方向；电子从a到c的过程中向上弯曲，说明电子受到的电场力的方向指向左上方，则电子从a到c的过程中受到的电场力的方向与电场线方向之间的夹角为钝角，电场力做负功，所以电子从a点运动到b点电势能增大10eV，电子带负电，则b点的电势比a点的电势低10V，结合图可知相邻两等势面间的电势差为5V，取c点电势为0V，则a点的电势为 故A错误； B．取c点电势为0V，相邻两等势面间的电势差为5V，可知b处电势为5V，则电子在b点的电势能为 故B正确； C．根据等势面的疏密表示电场的强弱可知b点的电场强度小于c点的电场强度，故C错误； D．电场线的方向与等势面垂直，由图可知电子运动的轨迹与等势面不垂直，则电子的运动轨迹不可能与其中的一条电场线重合，故D错误。 故选B。 【变式训练6-12】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（　　）    A．A点的电势小于D点的电势 B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为 C．电场中C、D两点的电场强度相同 D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大 【答案】A 【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确； B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有 从A到B 解得 B错误； C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误； D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。 故选A。 【变式训练6-13】静电透镜是利用电场来偏转和聚焦电子束的装置，其电场由两个相互靠近的圆筒所带的等量异种电荷产生。圆筒之间形成静电场的等差等势面如图中的虚线所示，当电子束沿中心轴附近有一定的散射角射入该区域时，静电场使平行入射的电子束汇聚于对称轴Z轴上，设某电子的运动轨迹如图中的实线所示，先后经过P、Q、R三点，则下列说法不正确的是（    ） A．该静电透镜中带正电的圆筒位于图中靠左侧的位置 B．电子的运动过程中在P处的电场强度小于在Q处的电场强度 C．电子在由P到R运动过程中的电势能减小，动能增大 D．电子可能仅在电场力作用下在图示电场区域沿垂直于纸面的某平面做圆周运动 【答案】A 【详解】A．由图可知，电子运动过程中受力指向轨迹内侧，所受电场力与场强方向相反，又电场力与等势面垂直，可知该静电透镜中带正电的圆筒位于图中靠右侧的位置，故A错误，符合题意； B．根据等差等势面的密集程度表示电场强度的大小，可知电子的运动过程中在P处的电场强度小于在Q处的电场强度，故B正确，不符合题意； C．电子在由P到R运动过程中电势升高，故电势能减小，根据能量守恒，可知动能增大，故C正确，不符合题意； D．若具有适当初速度的电子位于某个特定的等势面上，且该面上各点电场强度大小相等，方向均背离轴心，则电场力指向轴心，完全可以充当向心力，使电子绕Z轴做匀速圆周运动，此时的等势线应该平行于Z轴，这种情况可能存在，故D正确，不符合题意。本题选不正确的，故选A。 【变式训练6-14】已知一个点电荷与无限大金属板间的电场与等量异种点电荷连线中垂线一侧的电场分布相同。如图所示，无限大接地金属板的垂线上、、三点恰将均分为四段，每段长度均为。在点固定一电荷量为的正点电荷，虚线分别为过、、三点的等势线，实线为某试探电荷仅在电场力作用下运动的轨迹，轨迹与等势线分别交于、、、、点。当该试探电荷运动到点时，其电势能、动能。已知单个点电荷周围某点的电势，为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是（　　） A．该试探电荷分别从到和从到的运动过程中，电场力做的功相等 B．该试探电荷带正电 C．该试探电荷运动到点时的动能为 D．点的场强大小为 【答案】C 【详解】A．根据等量异种点电荷电场分布特点，可知ef平均场强大于fc平均场强，根据 可知ef间电势差大于fc间电势差，根据电场力做功 可知该试探电荷分别从e到f和从f到c的运动过程中，电场力做的功不相等，故A错误； B．根据等量异种点电荷电场分布特点，电场线方向指向MN，做曲线运动的物体合力指向轨迹凹侧，可知c点的电场力向右，故粒子带负电，故B错误； C．设电荷带电量为，根据题意有 在f点有 联立解得 根据能量守恒有 代入数据解得，故C正确； D．根据电场叠加可知b点场强，故D错误。 故选C。 【变式训练6-15】极板，K板电势为120V、带孔的G板电势为30V，虚线为等势线，从K板中心附近沿水平方向向右发射的带电粒子最终都汇聚到B点。不计粒子重力，关于从A点发射的粒子其从A点到B点的过程，下列说法中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在A点时的动能大于在B点时的动能 C．粒子在A点时的电势能大于在B点时的电势能 D．粒子动量的变化率一直不变 【答案】B 【解析】A．粒子出G板后，受电场力指向z轴，沿电场线方向，电势逐渐降低，可知电场力与场强方向相反，则粒子带负电，故A错误； BC．粒子受电场力做负功，则粒子在A点时的动能大于在B点时的动能，由于只有电场力做功，则粒子在A点时的电势能小于在B点时的电势能，故B正确，C错误； D．粒子受电场力变化，由动量定理可知，则粒子动量的变化率一直改变，故D错误； 故选B 【变式训练6-16】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是(　　) A.两点电荷可能是异种点电荷 B.A点的电场强度比B点的大 C.A点的电势高于B点的电势 D.电子运动到P点时动能最小 【答案】CD 【解析】根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为负电荷，故A错误； 根据等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，故B错误； 因为两点电荷是负电荷，电场线由无穷远处指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，故C正确； 根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知由M到P静电力做负功，由P到N静电力做正功， 则由M到P动能减小，由P到N动能增加， 故电子运动到P点时动能最小，故D正确 【变式训练6-17】某静电场的等差等势面分布如图所示，一带正电的粒子仅在电场力作用下运动，轨迹如图中虚线所示，a、b为轨迹上的两点，已知等势面的电势，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的方向垂直等势面由指向 B．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 C．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能 D．粒子在a点的动能大于在b点的动能 【答案】C 【详解】A． 粒子仅受电场力，轨迹的凹侧为电场力方向，由图中轨迹弯曲方向可知，电场力方向竖直向下；粒子带正电，电场强度方向与电场力方向一致，也竖直向下。 电场强度方向由高电势指向低电势，因此电势满足 ，电场方向是由指向，A错误； B．等差等势面的疏密程度反映电场强度大小：等势面越密，场强E越大。由图可见，b点等势面更密集，a点更稀疏，因此​。 根据牛顿第二定律，加速度​，所以 ，B错误； C．粒子带正电，电势能，，电势越高电势能越大。 点所在等势面电势高于点（），因此粒子在点的电势能大于点，C 正确； D．粒子仅受电场力，动能和电势能之和守恒。点电势能更大，因此点动能更小，所以粒子在点的动能小于点动能，D 错误。 故选 C。 题型07：电场线与轨迹问题 【典型例题1】(多选)电子透镜是通过静电场来使电子束聚焦的装置。电子透镜两极间的电场线分布如图中带箭头的实线。现有一电子仅在静电力作用下从M运动到N，运动轨迹如图虚曲线所示。则下列说法正确的是(　　) A.电子在M点的加速度最大 B.P点的电势高于M点的电势 C.从M点到N点电子的动能先增大后减小 D.从M点到N点电子的电势能一直减小 【答案】BD 【解析】电场线的疏密程度反映电场的强弱，由题图可知M点的电场线比P点的稀疏，电场强度比P点的小，电子在M点受静电力比在P点的小，加速度比在P点的小，故A错误； 沿电场线的方向电势降低，则P点的电势高于M点的电势，故B正确； 电场方向沿电场线的切线方向，可知静电力一直做正功，电子的动能一直增加，电势能一直减小，故C错误，D正确。 【典型例题2】如图甲所示，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出生物电，猎取食物。该电鳗头部附近的电场线分布情况如图乙中实线所示，虚线为某一带电粒子的运动轨迹，只考虑电场力的作用，下列说法正确的是（     ） A．该带电粒子带正电 B．该带电粒子在A点的速度小于在B点的速度 C．该带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度 D．该带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能 【答案】C 【详解】A．粒子所受电场力指向轨迹的凹侧，由图可知电场力方向沿电场线向左，图中电场方向沿电场线向右，电场力方向与电场方向相反，因此粒子带负电，故A错误。 B．若粒子从到,则电场力向右，位移向右，电场力做正功，动能增大，故 若粒子从到，则电场力向右，位移向左，电场力做负功，动能减小，，故B错误； C．电场线的疏密表示电场强度大小，A点电场线比B点更密，因此由 可得，即A点加速度大于B点的加速度，故C正确； D．沿电场线方向电势降低，电场向右，因此粒子带负电（），由电势能公式 可得即A点电势能小于B点，故D错误；故选C。 【典型例题3】两个的电荷和一个的电荷附近的电场线分布如图所示，d是两负电荷连线的中点，c、d两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．c点比d点的电势高 B．b点与e点电场强度相同 C．将负试探电荷从a点移到e点电场力做正功 D．负试探电荷的电势能a点比b点大 【答案】A 【详解】A．电场线方向是电势降低的方向，从电场线分布可知，c点所在的等势面电势高于d点，故A正确； B．b、e两点关于连线上下对称，沿电场方向的切线方向为电场的方向，故b、e两点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误； C．从a点移到e点，电势降低，负电荷的电势能增大，故从a点移到e点电场力对该电荷做负功，故C错误； D．a点电势比b点高，故负电荷在a点电势能比b点小，故D错误。 故选A。 【典型例题4】污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有（　　） A．M点的电势比N点的低 B．N点的电场强度比P点的大 C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功 D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大 【答案】AC 【解析】AC．根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故AC正确； B．根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误； D． M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。 故选AC。 【典型例题5】（多选）为避免雷击，高大的建筑物顶端均需安装避雷针。如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图，电场线指向避雷针尖端。M、N、P三点位于同一条电场线上，空间电场分布关于直线MP对称。一带电探测粒子仅在电场力作用下运动，其部分轨迹如图所示。下列说法正确的是（　　） A．粒子在轨迹上某点的加速度方向与电场线切线方向相反 B．粒子从A点运动到B点的过程中，电场力一定做负功 C．M、N、P三点满足电势关系φM＞φN＞φP D．粒子在图中A点的电势能一定大于在B点的电势能 【答案】CD 【分析】C.结合题图，由电场线与电势的关系，即可分析判断； A.结合题意及题图，由曲线运动的特点、电场力方向的特点、合外力与加速度的关系，即可分析判断； BD.结合前面分析及题意，由电场力做功的特点、电场力做功与电势能变化的关系，即可分析判断。 【解答】解：C.因为沿电场方向电势逐渐降低，则由题图可知，M、N、P三点满足电势关系φM＞φN＞φP，故C正确； A.因为带电粒子仅在电场力作用下做曲线运动，其所受合力（电场力）指向运动轨迹的凹侧、带电粒子所受电场力方向与电场强度方向相同或相反，所以由题图可知，该粒子所受合力（电场力）的方向大致向下、与电场强度方向（电场线切线方向）相同，因此该粒子带正电。 因为该粒子带正电，所以其在轨迹上某点所受电场力的方向与电场线切线方向相同， 因此该粒子在轨迹上某点的加速度方向与电场线切线方向相同，故A错误； BD.结合前面分析可知，该粒子所受电场力方向沿电场线的切线方向向下，那么若该粒子由A运动到B点，则其所受合力（电场力）方向与其速度方向的夹角应为锐角，则电场力做正功，电势能减小， 因此粒子在图中A点的电势能一定大于在B点的电势能，故B错误，D正确。 故选：CD。 【典型例题6】如图所示，一带电粒子q以一定的初速度进入某点电荷Q产生的电场中，粒子只受静电力，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成30°角；b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成60°角。下列说法中正确的是（　　） A．点电荷Q带正电 B．粒子q在a点的静电力大于在b点的静电力 C．粒子q在a点的电势能大于在b点的电势能 D．a点的电势低于b点电势 【答案】C 【分析】先根据a、b两点场强方向确定场源电荷位置与电性，再结合场强公式判断静电力大小，接着由轨迹弯曲方向分析静电力做功与电势能变化，最后结合场源电荷电性判断a、b两点电势高低。 【解答】解：A、由图可知，点电荷Q产生的电场中，Ea和Eb指向点电荷，故点电荷Q带负电，故A错误； B、由图中可知，a点到点电荷的距离大于b点到点电荷的距离，根据库仑定律 可知粒子q在a点的静电力小于在b点的静电力，故B错误； CD、a点到点电荷的距离大于b点到点电荷的距离，沿着电场线方向电势降低，结合负点电荷周围等势面的分布情况，a点的电势高于b点电势，结合粒子轨迹的弯曲方向，粒子q与点电荷Q的电性相反，故粒子q带正电，电势能的定义式Ep＝qφ 可知粒子q在a点的电势能大于在b点的电势能，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练7-1】如图所示，为某一电荷所形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线为一圆弧，AB的长度等于BC的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力。则下列说法正确的是（　　） A．a一定是正粒子的运动轨迹，b和c一定是负粒子的运动轨迹 B．AB的长度等于BC的长度，故 C．a虚线对应的粒子的加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子的加速度大小不变 D．b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量 【答案】CD 【详解】A．由图只能确定三个粒子的受力方向，由于电场线的方向未知，则无法确定粒子的电性，A错误； B．根据匀强电场的规律，AB的长度等于BC的长度，而电场线的疏密对应电场强度的大小，方向上电场强度逐渐增大，则有，B错误； C．电场线的疏密对应电场强度的大小，根据牛顿第二定律可得，a虚线对应的粒子的电场强度越来越弱，加速度越来越小，c虚线对应粒子电场强度越来越强，粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子做圆周运动，库仑力提供向心力，粒子与场源电荷的距离保持不变，对应的电场强度大小保持不变，粒子的加速度大小不变，C正确； D．设场源电荷的带电量大小为，粒子带电量大小为，场源电荷与点的距离为，粒子在点的速度大小为，b虚线对应的粒子的质量为，c虚线对应的粒子的质量为，则根据库仑定律可得粒子受到的电场力为，b虚线对应的粒子的做圆周运动，库仑力提供向心力，则有，c虚线对应的粒子的做近心运动，库仑力大于粒子圆周运动所需的向心力即由此可知，b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量，D正确。故选CD。 【变式训练7-2】如图所示为位于MN两点的点电荷周围的电场线示意图，若将不计重力的带电粒子沿垂直MN连线的方向以速度抛出，粒子运动轨迹如图中虚线所示，经过A、B两点，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．M处点电荷的电荷量小于N处点电荷的电荷量 C．粒子在A、B两点之间的运动过程中加速度越来越小 D．粒子从A点到点运动过程中电势能越来越大 【答案】C 【详解】A．粒子受电场力指向轨迹的凹侧，由图可知电场方向与电场力方向相反，则粒子带负电，故A错误； B．电场线越密集的地方，电场强度越大，M处附近的电场比N处附近的电场大，可知M处点电荷的电荷量大于N处点电荷的电荷量，故B错误； C．粒子在A、B两点之间点运动过程中，电场强度越来越小，则根据牛顿第二定律可知，加速度越来越小，故C正确； D．粒子从A点到点运动过程中，电场力做正功，电势能越来越小，故D错误； 故选C。 【变式训练7-3】如图所示，竖直放置的金属板右侧有一带正电的点电荷，电场线分布如图所示，一带电粒子仅受电场力作用沿虚线从运动到，已知、、为直线上的三点，且。不考虑粒子所带电荷对空间中电场分布的影响，下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．粒子在点的电势能大于在点的电势能 C．粒子在点的加速度小于在点的加速度 D．、两点的电势差等于、两点的电势差 【答案】B 【详解】A．粒子由运动到的轨迹为曲线，所受的电场力指向凹侧，粒子在点所受的电场力向右，粒子一定带负电，A错误； B．粒子由运动到，电场力做正功，电势能减少，则粒子在点的电势能大于在点的电势能，B正确； C．电场线的密疏程度表示电场强度的大小，结合题图可知点的电场强度大于点的电场强度，粒子在点所受的电场力大于在点所受的电场力，粒子在点的加速度大于在点的加速度，C错误； D．由图可知段的平均电场强度小于段的平均电场强度，又，由公式 可知、两点的电势差小于、两点的电势差，D错误。 故选B 。 【变式训练7-4】由太阳能板阵列产生的人工可控匀强电场，主要用于偏转太空尘埃和微小碎片。为了测试电场对带电微粒的偏转效果，工程师将一个足够长、倾角为30°的固定斜面置于电场强度大小方向水平向右的匀强电场中，并向该区域发射了一质量为m、电荷量为+q的小球，小球以初速度v0从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°，如图所示。重力加速度为g，不计空气阻力。从抛出到落回斜面的过程中，小球机械能的增加量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将小球在电场中的斜抛运动分解到沿斜面和垂直于斜面，结合牛顿第二定律和运动学公式求出小球从开始运动至落回斜面过程中沿斜面的位移大小，小球机械能的增加量等于静电力在此过程中做的功。 【解答】解：沿斜面向上和垂直斜面建立xOy，如图所示， 根据牛顿第二定律，沿斜面方向有 mg sin 30°﹣qEcos30°＝max，垂直斜面方向有 mgcos30°+qEsin30°＝may， 解得 ax＝ ，方向沿斜面向下，，方向垂直斜面向下， 初速度沿x、y轴的分速度分别为 ， 当小球落回斜面时y＝0，则有 ，解得 t ＝ ， 则小球从开始运动至落回斜面过程中沿斜面的位移大小 ，解得 ， 小球机械能的增加量 ΔE＝qExcos30°，解得：，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练7-5】如图所示，在匀强电场中有半径的圆形区域，O为圆心，圆形区域所在平面与匀强电场的电场线平行，AC、BD为直径且夹角。已知，，。则（　　） A．电场方向由B指向D B．质子在该圆形区域电势能最大值为5eV C．电场强度等于200V/m D．电子从A到C移动的过程，电场力做的功为-2eV 【答案】B 【详解】A．如图所示，A、B中点电势 与O点电势相等，所以连线为一等势线，电场方向垂直于连线由B指向A，故选项A错误； B．圆形区域内电势最大和最小的点分别为垂直于OO1的直径与圆周的交点，由几何关系可知 设最大电势为，则 所以最大电势 质子在该圆形区域电势能最大值为5eV，故选项B正确； C．电场强度 故选项C错误； D．电子从A到C的过程，电场力做的功 故选项D错误。 故选B。 【变式训练7-6】如图所示，在匀强电场中，有边长为10cm的等边三角形，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行，点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为，，，电子电荷量为，下列说法正确的是（   ） A．电场强度的方向由指向 B．匀强电场的电场强度大小为 C．将电子由点移到点，电子所受电场力做功为 D．在三角形外接圆的圆周上，电势最低点的电势为 【答案】D 【详解】AB．取AC中点为D点，结合题意可知 可知BD连线为等势线，根据几何关系以及沿电场线电势降低可知电场强度的方向为由C指向A，电场强度大小为，故AB错误； C．将电子由A点移到C点，电子所受电场力做功为，故C错误； D．根据几何关系，三角形ABC外接圆的半径为 在三角形外接圆的圆周上，电势最低点的电势为 联立解得，故D正确。 故选D。 【变式训练7-7】如图所示，沿纸面方向的匀强电场内有一长方形区域ABCD，A点有一质子源，以相同大小的初速度沿各个方向射入电场，其中到达B、D两处的质子具有相同大小的速度。已知，，质子电荷量为q，质量为m，不计质子重力，下列说法正确的是（　　） A．电场方向由B指向D B．电场方向与AD垂直 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】C 【详解】A．质子在B、D两点具有相同动能，故B、D为等势点，匀强电场的电场线垂直于等势线BD，而质子由A点运动到B、D两点过程中动能增加，电场力做正功，且质子带正电，故电场方向如图所示 故AB错误； C．由A到B，由动能定理得 解得，故C正确D错误； 故选C。 【变式训练7-8】某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【解析】带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有 联立可得 故选A。 【变式训练7-9】如图所示为某静电纺纱工艺中的电场分布示意图，虚线是电场线，实线是某检验电荷只在电场力作用下的运动轨迹，A、B为运动轨迹上的两点，则下列判断正确的是（　　） A．该检验电荷带正电 B．A点的电势高于B点的电势 C．检验电荷在A点的动能小于在B点的动能 D．检验电荷在A点的加速度小于在B点的加速度 【答案】C 【分析】首先根据电源正负极确定电场线由正极指向负极的方向。再依据带电粒子运动轨迹的凹侧为电场力的受力方向，结合电场线方向判断检验电荷的电性。沿着电场线方向电势逐渐降低，以此比较A、B两点的电势高低。根据电场力做功与动能变化的关系，分析检验电荷在两点的动能大小。电场线越密处电场强度越大，电荷受电场力越大、加速度越大，据此比较两点的加速度大小。 【解答】解：A、由图可知，电场线大致向左，根据检验电荷的运动轨迹可知，检验电荷受电场力大致向右，可知该检验电荷带负电，故A错误； B、沿电场线电势逐渐降低，可知A点的电势低于B点的电势，故B错误； D、因A点的电场线较B点密集，可知A点的场强较大，检验电荷在A点受的电场力较大，则检验电荷在A点的加速度大于在B点的加速度，故D错误； C、若检验电荷从A到B运动时，电场力做正功，动能增加，则在A点的动能小于在B点的动能；若检验电荷从B到A运动时，电场力做负功，动能减小，则在A点的动能小于在B点的动能，故C正确。 故选：C。 【变式训练7-10】《自然·生物技术》报道了“高通量基因编辑电转染平台”，该技术通过对称电场设计提高外源DNA导入效率。其原理可简化如图所示，两带电平行金属板在细胞周围形成关于y轴对称的电场，实线为电场线，虚线为带电外源DNA进入细胞膜的运动轨迹。L、M、N为轨迹上三点，P点与N点关于y轴对称，且。下列说法正确的是（　　） A．N、P两点的电场强度相同 B．DNA分子在M点的加速度比在N点大 C．DNA分子在M点的电势能大于在N点的电势能 D．L、N两点间的电势差等于N、P两点间的电势差 【答案】C 【详解】A．电场强度是矢量，包含大小和方向，两点的电场强度大小相等、方向不同（N点电场线斜向右上，P点电场线斜向左上），故电场强度不相同，A错误； B．电场线的疏密表示电场强度的大小，电场线越密，场强越大，由图可知，N点的电场线比M点更密，因此DNA分子在M点的加速度比N点小，B错误； C．DNA的运动轨迹向电场线的内侧弯曲，说明DNA所受电场力方向与电场线方向相反，说明DNA带负电，沿电场线方向电势降低。M点电势小于N点电势，由可得，M点电势能大于N点，C正确； D．公式仅适用于匀强电场，本题为非匀强电场不能直接用该公式，且仅为轨迹长度，不是沿电场方向的距离，由对称性可知，而不为零，D错误。故选C。 【变式训练7-11】静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件（如阴极时线示波管）和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是（　　）    A．O点的电场强度小于P点的电场强度 B．各点电势高低为 C．该电子束从P点到R点过程中动能一直增大 D．该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大 【答案】BC 【详解】A．由题图知，O点附近的等势面比P点附近的等势面密集，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误； B．根据电场线性质，沿电场线方向电势降低，则有故B正确； CD．电子束从P点到R点过程中，电场力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。故选BC。 【变式训练7-12】高压电场干燥中药技术基本原理如图所示，在一个很大的导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电。水分子在静电力的作用下会加速从中药材中分离出去，被鼓风机吹出的水平微风裹挟着飞离电场区域。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始运动的轨迹，不计阻力与水分子的重力。下列说法正确的是(　　) A.水分子的运动轨迹ABCD是一条抛物线 B.水分子运动过程中的加速度保持不变 C.水分子运动过程中轨迹上各点电势逐渐降低 D.水分子运动过程中的电势能不断减小 答案　D 解析　因为电场不是匀强电场，所以水分子受力方向一直在变，所以不是类平抛运动，轨迹不是抛物线，故A错误；根据电场线疏密可以判断电场强度大小，从A到D电场线越来越密，电场强度逐渐增大，所以从A到D水分子所受静电力越来越大，加速度越来越大，故B错误；沿电场线方向电势越来越低，所以A点电势最低，沿着曲线ABCD方向电势越来越高，故C错误；水分子从静止开始运动，静电力做正功，电势能减小，故D正确。 【变式训练7-13】（多选）如图所示，两段半径均为R的圆形玻璃管道AO、OB拼接在一起并固定于竖直面内，管道内壁光滑，M、N为两段管道的中点，两管道在O点相切，以O为原点沿水平方向建立x轴，x轴与AOB连线相垂直，等量正、负点电荷分别固定在x轴上，处。一带正电小球从A点沿管道自由下落，运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．UAM＝UBN B．M、N两点电场强度大小相等，方向相反 C．AOB连线上O点的电场强度最大 D．小球在O点、B点速度之比为 【答案】CD 【分析】根据等量异种点电荷的电场对称性，分析A、M、B、N各点的电势差和电场强度，再结合动能定理分析小球在O、B点的速度比，逐一判断选项。 【解答】解：A.由题意可知中垂线上所有点电势为O，即φA＝φO＝φB＝0，、两点关于原点中心对称 M点电势为，N点电势为，由中心对称关系rN+＝rM﹣，rN﹣＝rM+ 得φN＝﹣φM，又φA＝φB＝0 因此UAM＝φA﹣φM＝﹣φM，UBN＝φB﹣φN＝0﹣（﹣φM）＝φM 即UAM＝﹣UBN，故A错误； B.在等量异种电荷的电场中，关于原点对称的两点，电场强度大小相等、方向相同，因为M、N两点关于原点对称，所以M、N两点的电场强度大小和方向都相同，故B错误； C.在两等量异种电荷连线的中垂线上，中点O处的电场线最密，电场强度最大，向两侧延伸场强逐渐减小，故O点电场强度最大，故C正确； D.小球从A运动到B的过程中，由于A、O、B均在等势面上，电场力不做功，只有重力做功，从A到O根据动能定理可得 解得 从A到B根据动能定理有 解得vB 代入数据可得，故D正确。 故选：CD。 【变式训练7-14】“场离子显微镜”的金属钨针的针尖O和导电膜间的电场线分布如图所示，该电场可视为位于O点处点电荷形成的电场。a、b、c、d四点位于同一平面内，abc是一段以O为圆心的圆弧，d为Ob的中点，下列说法正确的是（　　） A．O、d两点间的电势差的2倍大于O、a两点间的电势差 B．d点的电势小于b点的电势 C．负试探电荷在a点的电势能小于在c点的电势能 D．a点的电场强度与b点的电场强度相同 【答案】A 【分析】根据题目描述，钨针尖和导电膜间形成的电场在玻璃泡上半部分可视为位于O点的点电荷形成的电场。因此，电场强度和电势的分布遵循点电荷电场的规律，电场线越密集的地方，电场强度越大，沿着电场线的方向电势降低。 【解答】解：A．根据题意可设Od＝db＝r，Oa＝Ob＝2r 由图中电场线的疏密程度可知越靠近O场强越大，则Od段的平均场强大于db段的平均场强，由U＝Ed 得UOd＞Udb 则UOa＝UOb＝UOd+Udb＜UOd+UOd＝2UOd，故A正确； B．根据电场线的分布情况，顺着电场线电势逐渐降低，则φd＞φb，故B错误； C．a、c在以O为圆心的同一圆弧上，属于同一等势面，则φa＝φc 由Ep＝﹣qφ可得负电荷在a、c点的电势能相等，故C错误； D．电场强度是矢量，a、b场强大小相等，但方向不同（分别沿Oa、Ob向外），故场强不同，故D错误。 故选：A。 题型08：场强大小、电势高低、电势能大小的综合比较 【典型例题】如图所示，、、、、、是以为球心的球面上的点，平面与平面相互垂直，分别在、两点放上等量异种点电荷，则下列说法正确的是() A.、、、四点电场强度大小相同，但方向不同 B.、、、四点电势不同 C.若电子沿直线运动过程中，电子受到的电场力大小一直不变 D.若电子沿圆弧运动过程中，电势能保持不变 【答案】D 【解析】A.等量异种点电荷中垂面上，关于点对称的点的电场强度大小相等，方向相同，故A错误； B.、、、四点在等量异种点电荷中垂面上，因此四点在零势面上，电势相同，故B错误； C.电子沿直线运动过程中，场强大小变化，电场力大小变化，故C错误； D.电子沿球面曲线运动过程中，电势处处相等，电势能不变，故D正确。 故选：。 【变式训练8-1】如图所示，真空中为边长为的等边三角形三个顶点，在两点分别固定电荷量为的点电荷，在点固定电荷量为的点电荷，点为三角形中心，点为三角形三边中点，设点电荷在某点产生电势为为点电荷电量，为到点电荷的距离，关于四点电场强度大小及电势高低，下列说法正确的是() A.点场强大小，电势为 B.点场强大小为，电势为 C.点和点场强大小相等，电势不同 D.电子由点沿直线移动到点过程中，加速度减小，电势能增大 【答案】B 【解析】A.根据对称性可知、两个点电荷在点产生的电场强度大小相等，均为 处点电荷在点产生的电场强度方向分别如图所示 根据电场强度的叠加法则可得点的电场强度大小为 根据点电荷在某点产生电势 可得点的电势分别为 故A错误； B.两个正点电荷在点的合场强为零，故点的场强即为负电荷在点产生的场强，即 根据点电荷在某点产生电势 可得点的电势分别为 故B正确； C.根据等量同种电荷的电场分布特点以及点电荷的电场分布特点可知，点和点场强大小相等，根据点电荷在某点产生电势 可得点和点的电势分别为， 可知这两点电势相等，故C错误； D.电子由点沿直线移动到点过程中，电场强度减小，电子受到的电场力减小，其加速度减小，电场力一直做正功，电势能减少，故D错误。 故选B。 【变式训练8-2】如图所示，正方体，在和处放置电量分别为、的点电荷，则下列说法正确的是() A.点电势高于点电势 B.B、两点电场强度的比值为 C.A、、、四点处电场方向相同 D.将一正试探电荷沿棱从点移动到点，电势能不变 【答案】B 【解析】A.点和点在等量异种点电荷连线的中垂面上，中垂面为等势面，则、电势相等，故A错误； B.设正方体的边长为，两个点电荷在点产生的电场大小均为：，夹角为，则合场强为，两个点电荷在点产生的电场大小均为：，则合场强为，则，故B正确； C.分别画出两个点电荷在、、、四点电场，进行矢量叠加，可知场强方向不相同；故C错误 D.将一正试探电荷沿棱从点移动到点，，电势为标量，两个点电荷在棱上进行竖直叠加可知，电势变化，则电势能变化，故D错误 【变式训练8-3】如图甲所示，带电的物块固定在光滑绝缘水平面上，时刻将另一带电物块从与物块距离为处由静止释放，物块在时间内的速度随时间变化的图像及时刻和时刻该图像的切线如图乙中所示，图乙中和为已知。若两物块均可视为点电荷，带电量的数值相等，物块的质量为，静电力常量为，两物块带电量始终不变。下列说法正确的是() A.两物块带异号电荷 B.时刻、相距 C.两物块的带电量为 D.时间内、组成的系统减小的电势能为 【答案】C 【解析】A.由图像的斜率表示加速度，则物块的加速度不断减小，所以两物块间为排斥力，因此它们应该带同号电荷，故A错误； B.由乙图可知时刻的加速度为，时刻的加速度为，故 根据牛顿第二定律，可知时的库仑力大小是时库仑力大小的倍 据库仑定律，可知时的距离是时距离的倍，故时刻、相距，故B错误； C.对物块，时刻，根据库仑定律和牛顿第二定律可得 解得两物块的带电量为，故C正确； D.对物块由动能定理可得 根据电场力做功与电势能的关系可知，时间内、组成的系统减少的电势能为，故D错误。 故选C。 题型09：电场中的图像问题 （一）v－t图像 【典型例题1】如图甲所示，、、为同一水平直线上的三点，在点右侧固定着两点电荷、。时，一电荷量为的试探电荷从点以的速度向左运动，时刻到达点，其图像如图乙所示，若带负电，则（　　） A．电荷从点运动到点的过程中，电势能先减小后增大 B．一定带正电，且电荷量大于 C．点和点之间不存在电场强度为零的点 D．点电场强度方向一定水平向右 【答案】BD 【详解】A．图乙可知试探电荷从b到a过程，速度先减小后增大，可知电场力先做负功后做正功，则电势能先增大后减小，故A错误； BC．图乙可知在ab之间存在图像斜率为0的点，说明ab之间存在加速度为0的点，即存在场强为0的点，因带负电，可知一定带正电，因距离场强为零的位置较远，可知带电量一定大于带电量，故B正确，C错误； D．由于在场强为0的右侧+q受到的电场力方向向右，则电场强度方向向右，即c点电场强度方向一定水平向右，故D正确。 故选BD。 【典型例题2】如图，空间中有两个电荷量相等的正点电荷，以连线中点O为原点，在垂直连线方向上建立轴。将一带正电粒子从紧靠O点的上方由静止释放，粒子仅在电场力作用下沿x轴运动。和分别表示该粒子的速度和电势能，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．等量同种点电荷形成的合电场，在点上方沿轴正向电场强度先增大后减小，根据 可知带正电粒子的加速度先增大后减小，而图像的斜率表示加速度，故图像与图像A相符，A正确、B错误； CD．由于电场力对粒子一直做正功，其电势能一直减小，CD错误。 故选A。 【变式训练9-1-1】如图甲所示，、是一条电场线上的两个点，质量为、电荷量为的粒子仅在电场力的作用下沿电场线从向运动，初速度为，刚好能到达点。粒子运动的图像如图乙所示。下列判断正确的是（    ） A．点电势低于点电势 B．、两点间的电势差 C．点电场强度大于点电场强度 D．粒子在点的电势能大于在点的电势能 【答案】B 【详解】A．因为粒子从A向B运动速度减小，所以电场力方向从B指向A，又因为粒子带负电，受力方向与场强方向相反，所以该电场的电场线方向从A指向B。根据沿着电场线方向电势降低，可知A点电势高于B点电势，故A错误； B．对粒子从A到B运动过程列动能定理方程有 解得、两点间的电势差为，故B正确； C．从图像可知，粒子做匀减速直线运动，故加速度恒定，对粒子从A到B运动过程列牛顿第二定律方程有 所以粒子受到的电场力恒定，该电场的电场强度也恒定，即A点电场强度等于B点电场强度，故C错误。 D．根据电场力做功和电势能变化间的关系可知，因为粒子从A到B运动过程电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能小于在B点的电势能，故D错误。 故选B。 【变式训练9-1-2】、是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示，时刻，一个质子从点由静止释放，仅在静电力作用下从点运动到点，该过程中其速度随时间的变化图像如图乙所示。关于该电场，下列说法正确的是（　　） A．可以判断出电场线的方向是由到 B．点的电场强度小于点的电场强度 C．点电势低于点的电势 D．该质子在点的电势能小于在点的电势能 【答案】A 【详解】A．质子带正电，向右做加速运动，说明受电场力向右，场强方向由A到B，故A正确； B．图线的斜率表示加速度，由图乙可知，质子的加速度减小，根据牛顿第二定律可得，即质子受到的电场力减小，根据可知，电场强度减小，即点的电场强度大于点的电场强度，故B错误； C．根据沿着电场线的方向电势降低可知，A点的电势高于B点的电势，故C错误； D．质子速度增大，动能增大，根据动能定理，可知电场力做正功，故质子电势能减小，故该质子在点的电势能大于在点的电势能，故D错误。 故选A。 【变式训练9-1-3】如图所示，在坐标轴上，电荷量为的点电荷固定在坐标处，电荷量为的点电荷固定在处。现有一电荷量为的点电荷，在轴上从靠近处由静止释放，不考虑重力及电荷对原电场的影响，取无穷远处电势能为零，在点电荷的整个运动过程中，其瞬时速度随时间、电势能随位置变化的关系图像如图所示，其中可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设在点右侧距离点处的点场强为零，则 解得 则在范围内，场强沿轴负方向；在范围内，场强沿轴正方向，沿电场线方向电势逐渐降低；取无穷远处电势为零，可知点电势最高且大于零，当电荷量为的点电荷，在轴上从靠近处由静止释放时，先受到沿轴正方向逐渐减小的电场力，即做加速度减小的加速运动，电场力做正功，电势能减小，在处加速度为零，速度最大，电势能最小；在范围内电场力沿轴负方向，因无穷远处的场强也为零，可知点电荷所受电场力先增大后减小，即加速度先增大后减小，则点电荷做加速度先增大后减小的变减速运动，电场力做负功，电势能增加，则场强为零的点电势高于零，电势能最小且小于零，故B正确，ACD错误。 故选B。 （二）电场中的E-X图像 【典型例题1】如图甲所示，真空中固定一个半径为R、带电荷量为+Q的均匀带电小圆环，取中轴线为x轴，圆环圆心为坐标原点，向右为正方向，中轴线上的电场强度分布如图乙所示。x、﹣x是坐标轴上电场强度最大的两点，电场强度最大值为Em。已知点电荷q在距离为r处产生的电势为，k为静电力常量。则下列说法正确的是（　　） A．x处电势为φ＝k B．x处场强大小为 C．O点和x处的电势差为 D．若有带负电粒子沿x轴从O点一直向右运动，则其电势能先增加后减小 【答案】B 【详解】A.圆环带正电，x负半轴电场强度向左，x正半轴电场强度向右，大小都先增加后减小，则圆环上极小部分在x处的电场强度大小为ΔE＝k 沿x轴方向上分量ΔEx 则坐标轴x处场强为Em＝ΔEx，故A错误； B.圆环上极小部分在x处的电势为Δφ 电势为标量，则代数相加得x2处电势为φ，故B正确； C.在E﹣x图像中，E﹣x中图线与坐标轴围成的面积表示电势差，则O点和x处的电势差大于，故C错误； D.对负电荷来说，电势越低电势能越大，则负粒子从O点向右运动，电势减小，根据Ep＝qφ，可知电势能增加，故D错误。 故选：B。 【典型例题2】沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电场强度E随位置x变化的图像如图所示，取x轴正方向为电场强度正方向。现将一正电荷从x轴上N点由静止释放，若该电荷仅受电场力。已知ON＝OP，则（　　） A．N、P两点的电势相等 B．该电荷会在NP两点间往复运动 C．由N到P，该电荷的速度先增大后减小 D．由N到P，该电荷的加速度先增大后减小 【答案】D 【详解】A.从N到O，电场强度方向为正（x轴正方向），从O到P，电场强度方向也为正（x轴正方向），沿电场强度正方向，电势逐渐降低所以φN＞φP，故N、P两点电势不相等，故A错误； BC.正电荷从N点由静止释放，在N到O段，电场力方向沿x轴正方向，电荷做加速运动；在O到P段，电场力方向仍沿x轴正方向（E为正），电荷继续做加速运动，因此从N到P，速度一直增大，故到达P点时，速度不为零，会继续向x轴正方向运动，不会在NP间往复运动，故BC错误； D.加速度，与电场强度E成正比。从N到O，E增大故加速度增大；从O到P，E减小故加速度减小。所以从N到P，加速度先增大后减小，故D正确。 故选：D。 【典型例题3】两个等量异种点电荷关于原点对称放置，以两点电荷的连线为轴，其电场线分布如图所示。下列关于轴上的电场强度或电势随位置变化的规律图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．根据两个等量异号电荷的电场线分布图，结合“沿电场线方向电势降低”的原理，可知从左侧无穷远处向右电势从零逐渐升高，正电荷所在位置处最高；然后电势减小，O点处电势为零，则O点右侧电势为负，同理到达负电荷时电势最小，且电势为负，从负电荷后向右，电势开始升高，直到无穷远处，电势为零，故AB错误； CD．根据电场线的疏密表示场强的大小，可知从左侧无穷远到正电荷，电场强度逐渐增大，方向向左，为负方向；从正电荷到负电荷，电场强度先减小后增大，但O点的电场强度不为零，方向向右，为正方向；从负电荷到右侧无穷远，电场强度逐渐减小到零，方向向左，为负方向，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练9-2-1】（多选）沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，以x轴正方向为电场强度的正方向，坐标点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从x轴上O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则（　　） A．从O点到C点，电势逐渐降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子在AB段电势能变化量大于BC段的电势能变化量 D．粒子运动到C点时动能大于3Ek 【答案】AC 【详解】A、以x轴正方向为电场强度的正方向，从O点到C点，电场强度一直为正值，说明电场强度方向一直沿x轴正方向，根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知从O点到C点，电势逐渐降低，故A正确； B、由图像可知，场强E先增大后减小，根据F＝qE分析可知，粒子受到的电场力先增大后减小，所以粒子的加速度先增大后减小，一直做变加速运动，故B错误； C、E﹣x图线与横轴所围的面积表示电势差，粒子在AB段图像的面积大于BC段图像的面积，则UAB＞UBC 根据电场力做功公式W＝qU可知，粒子在AB段电场力做的正功大于BC段做的正功，则粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，故C正确； D、根据E﹣x图线与横所围的面积表示电势差，有UOC＜3UOA 由动能定理有qUOA＝Ek，qUOC＝EkC 可得EkC＜3Ek，即粒子运动到C点时动能小于3Ek，故D错误。 故选：AC。 【变式训练9-2-2】如图（a）所示，有一电荷均匀分布的固定绝缘细圆环，圆心为O，轴线上的电场强度和电势分布如图（b）（c）所示。现有一带负电的粒子（重力不计）以初速度v0沿轴线由P运动到Q，OP＝OQ＝L。关于粒子由P运动到Q的过程分析，下列说法正确的是（　　） A．粒子一直加速 B．静电力对粒子做功不为0 C．粒子所受静电力先增大后一直减小 D．粒子经Q点后可能在某处返回，也可能一直沿x轴正向运动 【答案】D 【详解】A．由图（c）可知，段电场强度向左，段电场强度向右，因粒子带负电，故粒子在段所受电场力向右，做加速运动，在段所受电场力向左，做减速运动，故A错误； BD．由图（c）可知，、两点电势相等，粒子在、两点电势能相等，故静电力对粒子做功为0，根据动能定理可知，粒子经过Q点时速度向右，大小为，若小于粒子由点到无穷远处克服电场力做的功，粒子经Q点后会在某处返回，若大于或等于粒子由点到无穷远处克服电场力做的功，粒子经Q点后会一直沿x轴正向运动，故B错误，D正确； C．由图（b）可知，由到电场强度先增大后减小，再增大再减小，故粒子所受静电力先增大后减小，再增大再减小，故C错误。 故选D。 【变式训练9-2-3】如图所示为某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系（图像），x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，下列说法正确的是（　　） A．点电荷由a运动到d的过程中加速度先减小后增大 B．点电荷从b运动到a电场力做的功小于从c运动到b电场力做的功 C．点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大再减小 D．b和d两点处电势相等 【答案】B 【详解】A．由 可知、点间的电场强度先增大后减小，所以点电荷的加速度也先增大后减小，A错误； B．电场强度随的变化关系图像与坐标轴所围成的面积与电荷量的乘积等于电场力做功，、两点间的面积小于、两点间的面积，所以点电荷从运动到电场力做的功小于从运动到电场力做的功，B正确； C．、点间的电场强度方向为负方向，一个带正电的点电荷所受电场力的方向也为负方向，点电荷的位移方向为正方向，所以电场力做负功，电势能增大，C错误； D．从到电场线沿负方向，沿电场线方向电势降低，所以点电势小于点，D错误。 故选B。 【变式训练9-2-4】如图所示，空间存在沿x轴方向的电场，x轴正方向为电场强度正方向，原点O到间的图线为直线，x轴上下方图像与x轴围成的面积相等。一个电荷量大小为q的粒子在O点由静止释放，一段时间后运动到处，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．处的电势低于处的电势 C．粒子在处的动能为 D．O点到之间电势差等于到之间电势差 【答案】B 【详解】A．粒子在O点由静止释放，一段时间后运动到处，可知粒子在O点处受到的电场力沿x轴正方向，与电场强度方向相同，故该粒子带正电，故A错误； BD．由题意x轴上下方图像与x轴围成的面积相等，根据可知，O点到之间电势差绝对值等于到之间电势差绝对值；根据沿场强方向电势降低，可知O点到之间电势差为正值，到之间电势差为负值；则O点到之间电势差等于到之间电势差，即O点电势等于处电势，又处的电势低于O点电势，所以处的电势低于处的电势，故B正确，D错误； C．从O点到处，图线与横轴所围的面积表示O点到处电势差，则有 从O点到处，由动能定理得 解得粒子处的动能为 故C错误。 故选B。 【变式训练9-2-5】在轴上关于原点对称的、两点上有两个场源点电荷、，它们在空间中产生电场。以轴正方向为沿轴上的电场强度的正方向，与的关系如图所示。轴上任意关于点对称的两点的相同。、两点关于点对称。以下说法正确的是（　　） A．为负电荷，为正电荷 B．与的电荷量大小不相等 C．两点间电势差大于两点间电势差 D．将一负检验电荷从点移动到点，负检验电荷电势能减少 【答案】C 【详解】A．由于在原点O处，两个场源点电荷、为异种电荷，且为正电荷、为负电荷，故A错误； B．由于图像关于轴对称，所以两个场源点电荷、的电荷量相等，故B错误； C．将同一检验电荷分别从M点移到P点和Q点，由于P、Q两点到M点距离相等，正电荷在两次移动过程中做的功大小相等；MQ段比MP段更靠近N点，在MQ段上负电荷对检验电荷做的功大于在MP段上负电荷对检验电荷做的功，所以电场力对检验电荷做的总功大小 根据 得，故C正确； D．将一负检验电荷从P点移动到Q点，由于P、Q两点到M点距离相等，正电荷对负检验电荷做功为零；负电荷对检验电荷的电场力方向为x轴负方向，负电荷对检验电荷做功为负功，故电场力对该检验电荷做的总功为负，检验电荷电势能增大，故D错误。 故选C。 【变式训练9-2-6】某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，其中是间隔相等的四点，下列说法正确的是（　　） A．和处电场强度方向不同 B．和处电势不相等 C．两点之间的电势差大于两点之间的电势差 D．由静止释放一正点电荷，仅在电场力作用下运动到的过程中，电势能先增大后减小 【答案】B 【详解】A．图像可知和处电场强度等大同向，故两点场强相同，故A错误； B．图像可知右侧场强方向向右，沿电场线方向电势降低，故和处电势不相等，故B正确； C．图像与横轴围成的面积表示电势差，结合图像可知两点之间的电势差小于两点之间的电势差，故C错误； D．由静止释放一正点电荷，其受到的电场力向右，故仅在电场力作用下运动到的过程中，电场力一直做正功，则电势能一直减小，故D错误。 故选B。 【变式训练9-2-7】某材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示。取O点的电势为零，N点到P点的电势随位置x变化的图像可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据 可知，电势φ随位置x变化的图像的斜率表示电场强度。沿着x轴正方向电场强度先增大后减小，电势φ随位置x变化的图像的斜率的绝对值先增大后减小。根据沿着电场线的方向电势降低可知，点的电势大于点的电势。 故选C。 （三）电场中的φ-X图像 【典型例题1】某材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示。取O点的电势为零，N点到P点的电势φ随位置x变化的图像可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知电场强度的大小一直是正，则从N点到P点电场强度的方向不变，一直是沿x轴正方向，沿电场线方向电势降低，所以从N点到P点电势是一直降低的，φ﹣x图像的斜率表示电场强度，从N到P电场强度是先增大后减小，所以图像的斜率也是先增大后减小，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【典型例题2】真空中存在沿x轴方向的静电场，电势φ随位置x变化的图像如图所示。一电荷量为e的负电粒子，仅在电场力作用下以1.5eV的动能沿x轴正方向经过x2点，下列说法正确的是（　　） A．x3点的电场强度大于x2点的电场强度 B．粒子在x3点的电势能为2eV C．粒子在x3点两侧往复运动 D．粒子在x1点两侧往复运动 【答案】C 【详解】A.φp﹣x图像的斜率绝对值表示电场强度大小，x3点为电势峰值，斜率为0，电场强度为0；x2点斜率不为0，电场强度不为0，故A错误； B.根据电势能公式Ep＝qφ粒子带负电，q＝﹣e，x3点电势φ＝2V，则Ep＝﹣e×2V＝﹣2eV，故B错误； C.粒子在x2点的总能量E＝Ek+Ep＝1.5eV+（﹣e×1V）＝0.5eV 因动能非负，电势能需满足Ep≤0.5eV，由Ep＝﹣eφ 得φ≥﹣0.5V，粒子向x负方向运动时，无法到达φ＝﹣1V的x1点（动能为负）；向x正方向运动可通过x3点（φ＝2V，动能为正），最终在φ≥﹣0.5V的区域内往复运动，即x3点两侧，故C正确； D.粒子在x1点两侧往复运动。由上述分析，粒子无法到达x1点（φρ＝﹣1V，电势能为1eV＞0.5eV，动能为负），故D错误。 故选：C。 【典型例题3】电荷量分别为q1、q2的两个点电荷，分别固定在x＝﹣x0和x＝0处，在它们形成的电场中，在x轴正半轴上各点的电势如图中$