第02讲 库仑定律 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）- 2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦库仑定律专题，涵盖点电荷、库仑定律理解、电量分配、平衡问题等核心考点，按“概念-规律-应用”逻辑构建知识体系，通过考情分析、知识梳理、解题策略指导及11类题型专项训练，帮助学生系统突破高考重点难点。 讲义以科学思维和模型建构为核心，创新设计“四步平衡法”“电量分配口诀”等解题策略，如通过几何三角形与力的矢量三角形相似法突破带电小球平衡问题。设置分层训练题和真题变式，助力学生高效掌握库仑力与平衡、运动结合的解题技巧，为教师把控复习节奏和提升学生应考能力提供实用指导。

第02讲 库仑定律 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：点电荷 5 题型02：对库仑定律的理解 7 题型03：库仑定律与电量分配 15 题型04：库仑定律与静态平衡 17 题型05：库仑定律与动态平衡 31 题型06：库仑定律与牛顿定律 39 题型07：库仑定律与功能关系 50 题型08：库仑力的合成问题 51 题型09：库仑定律联系实际问题 56 题型10：解答题 59 题型11：弹簧参与的平衡 63 1. 题型：选择、电场基础计算题，2-4分；常结合平衡、矢量合成考查。 2. 考点：公式适用条件、库仑力大小计算、多电荷合力叠加、接触后电量重分配。 3. 易错点：混淆点电荷与普通带电体、忽略矢量方向、忘记适用真空/点电荷条件。 1. 熟记公式、适用条件，分清库仑力引力/斥力。 2. 会单个、多个点电荷库仑力合成。 3. 结合受力平衡列式计算。 知识点一：库仑定律 1.点电荷 点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 注意：一个带电体能否看成点电荷，是相对具体问题而言的，不能单凭它的大小和形状来确定．如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略不计，此时带电体就可以视为点电荷，带电体能否看成点电荷，有时还要考虑带电体的电荷分布情况。 2. 库仑定律 (1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 (2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。 (3)适用条件：真空中的点电荷。 ①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式； ②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷． (4)库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引． 注意：库仑定律适用条件的三点理解 (1)对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离． (2)对于两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布． (3)不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞.其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看成点电荷了． 3.对库仑力的理解： 库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此受力分析时不能漏掉。库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。 注意：不能根据F＝k推出当r→0时，F→∞的结论，原因是当r→0时，两带电体已不能看成点电荷，该公式已经不再适用，况且实际电荷还有一定的线度。 对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。 ①同种电荷：F＜k； ②异种电荷：F＞k。 注意：应用库仑定律的三条提醒 (1)在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电量的绝对值计算库仑力的大小． (2)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反． (3)库仑力存在极大值，由公式F＝k可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大． 4.库仑定律与万有引力定律 定律 库仑定律 万有引力定律 公式 F＝k F＝G 影响因素 q1、q2、r m1、m2、r 区别 与两物体电荷量有关，有引力、斥力 与两个物体质量有关，只有引力 适用条件 真空中点电荷的相互作用 质点的相互作用 共同点 都与距离平方成反比；都有一个常量，该常量都可用扭秤实验得出。 知识点二：库仑力作用下的平衡问题 1.四步解决库仑力作用下的平衡问题： 2.三个自由点电荷的平衡问题： ①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。 ②平衡规律： 3.利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题： 常见模型 几何三角形和力的矢量三角形 比例关系 1. 适用判断：只有真空、点电荷才能用F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}。 2. 正负只判引力斥力，计算大小直接代电量绝对值。 3. 多电荷问题：分别求每个库仑力，正交分解矢量叠加。 4. 两相同金属球接触：先中和，剩余电量平分。 5. 比例题：距离变倍，力按距离平方反比快速口算。 题型01：点电荷 【典型例题】关于点电荷的下列说法中正确的是（　　） A．体积较大的带电体一定不能看成点电荷 B．点电荷是一种理想化模型 C．点电荷的带电量一定很小 D．足够小（例如体积小于）的电荷，一定可以看作点电荷 【答案】 B 【解析】带电体看作点电荷的条件是：r＞＞R，由研究问题的性质决定，与自身大小、形状和电荷量多少无具体关系。点电荷实际不存在，是一个理想化的模型。 【变式训练1-1】关于元电荷、点电荷，以下表述正确的是（　　） A．点电荷就是电荷量很小的带电体 B．元电荷是点电荷 C．元电荷就是形状是圆的带电体 D．点电荷就是没有大小和形状而且不考虑电荷分布的带电体 【答案】D 【解析】 如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它看作是一个几何点，由于实际物体总是有大小的，故点电荷是一种理想化的模型，故A错误，D正确；点电荷是一种理想模型，没有大小的带电体。当电荷间距离大到可认为电荷大小、形状不起什么作用时，可把电荷看成点电荷，也就是说点电荷可以很大，这样的电荷就做不了试探电荷，试探电荷需要的是体积小，电荷量小。所以点电荷不一定能做试探电荷，故B错误；元电荷是指电子或质子所带的电荷量。故C错误。 【变式训练1-2】关于点电荷，下列说法正确的是(    ) A. 电荷量很小的带电体就是点电荷 B. 一个电子，不论在何种情况下，都可以看成点电荷 C. 当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷 D. 一切带电体都可以看成点电荷 【答案】C  【解析】考查了带电体看作点电荷的条件及其特点。 带电体看作点电荷的条件，当一个带电体的形状及大小对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，是由研究问题的性质决定，与自身大小形状无具体关系。 【解答】由带电体看作点电荷的条件，当带电体的形状对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，带电体能否看作点电荷是由研究问题的性质决定，与自身大小形状无具体关系，故ABD错误；C.当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成是点电荷，故C正确。   【变式训练1-3】下列说法正确的是(    ) A. 点电荷就是体积很小的带电体 B. 点电荷就是带电荷量很小的点 C. 根据可知，当时，库仑定律的公式就不适用了 D. 静电力常量的数值是由实验得出的 【答案】D  【解析】解：、不论带电体体积的大小如何，只要带电体的体积、形状、电量排布情况对所研究问题的影响可以忽略，该带电体就可以看成点电荷，故AB错误； C、当两点电荷距离趋近无穷大时，带电体的体积、形状、电量排布情况仍可忽略，仍可看成点电荷，库仑定律仍然适用，故C错误； D、静电力常量的数值是由库仑通过扭秤实验得出的，故D正确； 故选：。 点电荷是可以忽略带电体的大小和形状的一种理想化模型，库伦定律的适用条件为真空的点电荷。 本题考查点电荷即库仑定律的适用条件，注意距离趋近无穷大时库伦定律适用，但距离趋近零时库伦定律不适用。 题型02：对库仑定律的理解 【典型例题1】关于库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体 B．根据，当两个带电体间的距离趋近于零时，库仑力将趋向无穷大 C．带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍 D．库仑定律适用于在真空中两个静止点电荷之间静电力的计算 【答案】D 【详解】A．库仑定律的适用条件是真空中静止的点电荷，如果带电体的形状、大小以及电荷分布对研究的问题可以忽略不计时，则可将它看作点电荷，与带电体的体积无关，故A错误； B．当两个带电体间的距离趋近于零时，带电体不能看做点电荷，此时库仑定律不再适用，选项B错误； C．两个电荷间的库仑力是相互作用力，即带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力与A受到的静电力等大反向，选项C错误； D．库仑定律适用于在真空中两个静止点电荷之间静电力的计算，选项D正确。 故选D。 【典型例题2】两个等大导体球壳分别带+q，-q的等量异种电荷，设两个导体球壳之间的静电力大小为F，静电力常量为k，两球壳球心距离r，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】根据库仑定律有 表达式中的为电荷分布密集中心之间的间距。导体球壳分别带+q，-q的等量异种电荷，由于两个导体球上的正负电荷相互吸引，导致导体球壳电荷分布的密集中心之间的距离小于球心距离，可知，静电力大于，即有 故选B。 【典型例题3】接触后再分开放到相距为2r处，则此时库仑力的大小为（ ） A．F B．F C．F D．F 【答案】 A 【解析】若其中一个小球带的电荷量为Q，则另一个小球带的电荷量为3Q，根据库仑定律有F = k，两小球接触后再分开，则二者带的电荷量分别为2Q，根据库仑定律有F′ = k则可得出F′ = F 【典型例题4】两个分别带有电荷量+Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷）固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，则两球间库仑力的大小变为（　　） A． B． C．F D． 【答案】B 【详解】根据库仑定律可得 接触后再分开，两球的电荷量均变为+2Q，所以 故选B。 【变式训练2-1】 关于库仑定律，下列说法正确的是(    ) A. 库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体 B. 根据，当两个带电体间的距离趋近于零时，库仑力将趋向于无穷大 C. 所带电荷量分别为和的点电荷、相互作用时，、受到的静电力大小相等 D. 库仑定律也适用于计算电荷分布不均匀的球体间的库仑力 【答案】C  【解析】库仑定律只适用于真空中两静止的点电荷之间的作用力，当带电体的形状、大小及电荷的分布状况对它们之间的作用力影响可以忽略时，可以看成点电荷；两个带电体间的距离趋近于零时，带电体已经不能看成点电荷了；两电荷之间的相互作用力大小相等，与点电荷电量的大小无关。 解决本题的关键掌握库仑定律的适用范围，以及能看成点电荷的条件，当带电体的形状、大小及电荷的分布状况对它们之间的作用力影响可以忽略时，可以看成点电荷。 【解答】 A.库仑定律适用于真空中静止的点电荷，点电荷并不是体积最小的带电体，故A错误；  B.当两个点电荷距离趋于时，两带电体已不能看出点电荷了，该公式不适用了，故库仑力并不是趋于无穷大，故B错误； C.两点电荷之间的作用力是相互的，根据牛顿第三定律，无论两个点电荷的电荷量大小如何，、受到的静电力大小相等，故C正确； D.库仑定律的适用范围是真空中两个静止的点电荷间的相互作用，不适用于计算电荷分布不均匀的球体间的库仑力，故D错误。   【变式训练2-2】下列说法正确的是(　 ) A．库仑定律适用于任何电场的计算 B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零 C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为 D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力 解析：选B　库仑定律的适用范围是真空中两个点电荷间的相互作用，故A错误；带电空心金属球的电荷均匀分布在金属球的外表面，球内各点的电场强度均为零，所以置于带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零，故B正确；当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，两者不能看作点电荷，库仑定律不再适用，故C错误；两点电荷间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，故D错误。 【变式训练2-3】下列说法正确的是(　 ) A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷 B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷 C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量 D．根据F＝k，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 解析：选A　点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，检验电荷的体积和电荷量要足够小，故A正确；元电荷是一个数值，而电子是一个实物，故B错误；密立根用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量，故C错误；公式F＝k适用于真空中的静止的点电荷，当两个点电荷距离趋于0时，两带电体已不能看成点电荷了，库仑定律不适用，故电场力并不是趋于无穷大，故D错误。 【变式训练2-4】光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是(　　) 答案　C 解析　根据库仑定律可知，两球之间的库仑力满足F＝k，即随r增加，F非线性减小．故选C. 【变式训练2-5】在真空中放置两个静止的点电荷，下列有关两点电荷的说法正确的是（　　） A．若只是间距变为原来的两倍，则库仑力变为原来的四倍 B．若只是电荷量均增加为原来的三倍，则库仑力增加为原来的三倍 C．若间距趋近于零时，则库仑力趋近于无穷大 D．若电荷量均加倍、间距也加倍时，则库仑力大小不变 【答案】D 【解析】根据库仑定律有若只是间距变为原来的两倍，则库仑力变为原来的四分之一，所以A错误；若只是电荷量均增加为原来的三倍，则库仑力增加为原来的九倍，所以B错误；若电荷量均加倍、间距也加倍时，则库仑力大小不变，所以D正确；若间距趋近于零时，库仑定律条件不适合使用，所以库仑力趋近于无穷大是错误的，则C错误；故选D。 【变式训练2-6】如图所示，有一个带正电的小球A，在绝缘水平桌面上沿方向做直线运动，若另一个带正电的小球B，固定在小球A运动方向的侧面，则小球A的运动轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】根据同种电荷相互排斥可知，A球受力沿AB两球连线斜向左上，故A球轨迹的凹侧指向左上方向。 【变式训练2-7】真空中保持一定距离的两个点电荷，若其中一个点电荷的电荷量减少了，但仍然保持它们之间的相互作用力不变，则另一点电荷的电荷量一定增加了（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一个点电荷的电荷量减少了，则，根据库仑定律的公式知，若库仑力不变，则，则另一点电荷的电荷量一定增加了，故D正确ABC错误。 【变式训练2-8】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间库仑斥力的大小为F。现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间库仑斥力的大小仍为F。由此可知（　　） A．n=4 B．n=5 C．n=6 D．n=7 【答案】 C 【解析】开始时球1、2之间库仑斥力的大小为F有由于球1、2之间为斥力，则带同种电荷，现使球3先与球2接触，再与球1接触，根据接触起电性质可得球2带电量为 ，球1带电量为，此时1、2之间库仑斥力的大小仍为F则联立解得n=6 【变式训练2-9】真空中两个静止的点电荷，电量均为，距离为，则它们间的静电力为(    ) A. 吸引力，大小为 B. 吸引力，大小为 C. 排斥力，大小为 D. 排斥力，大小为 【答案】D  【解析】本题主要考查库仑定律，同种电荷表现为斥力，熟知库伦定理公式是解决本题的关键。 【解答】解：点电荷都带正电，故表现为排斥力，由库仑定律可知： 。故ABC错误，D正确。 故选D。   【变式训练2-10】两个点电荷的质量分别为m1、m2，带异种电荷，电荷量分别为q1、q2，相距为d，仅在相互之间库仑力作用下各自绕它们连线上的某一定点，在同一水平面内做周期相同的匀速圆周运动，它们的总动能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于质量为m1的电荷，它们的库仑力提供其向心力，即 同理，对于质量为m2的电荷，有 两个点电荷做周期相同的匀速圆周运动，则有 则它们总的动能为 故选C。 【变式训练2-11】如图两个均匀带电小球之间的静电力为，将其中一球的带电量减半，并将两者之间距离也减半，此时两球之间的静电力为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查库仑定律的应用，基础题目。根据库仑定律结合题设分析即可判断。 【解答】 由库仑定律：知，其中一球的带电量减半，并将两者之间距离也减半，此时两球之间的静电力为原来的倍，即库仑力变为，故C正确，ABD错误。   【变式训练2-12】如图所示，完全相同的两个金属球、带有相等的电荷量，相隔一定距离，两球之间斥力大小是。今让第三个完全相同的不带电的金属小球先后与、两球接触后移开。这时，、两球之间的相互作用力的大小是 A. 　　　 B. C. D. 【答案】C  【解析】理解库仑定律的内容，知道带电体相互接触后移开，同种电荷电量平分，然后根据库仑定律列方程，然后两式比较即可正确求解。 要清楚带电体相互接触后移开，同种电荷电量平分，根据库仑定律的内容，找出变化量和不变量熟练应用库仑定律即可求题。 【解答】两球带等量同种电荷，设带电量均为， 两球之间的相互吸引力的大小是： 第三个不带电的金属小球与接触后，和的电量都为： 与接触分开后电量均为： 这时，、两球之间的相互作用力的大小：，故C正确，ABD错误。 故选C。   ①F＝k，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球心间距。 ②当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。 【变式训练2-13】真空中有两个相同的带等量异号电荷的金属小球A和B（均可看作点电荷）相距为r，带电量绝对值均为Q，它们之间静电力的大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离减小为原来的倍，则A、B间的静电力大小为（　　） A． B． C．2F D．4F 【答案】C 【详解】设小球A所带电荷量为，B所带电荷量为，根据库仑定律可得 用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，则接触后A、C所带电荷量均为 再与B接触，接触后B、C所带电荷量均为 再将A、B间距离减小为原来的倍，则A、B间的静电力大小为 故选C。 【变式训练2-14】十七、十八世纪相继发现的两大物理规律：万有引力定律和库仑定律，两个定律均表达简洁内容深邃，以惊人相似的表述形式呈现。天文学家发现银河系中普遍存在着双星系统，于是猜想在电荷之间可能存在着类双星系统。已知两个正负电荷在库仑力作用下，围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为，两电荷之间的距离为，质量分别为和，求这个类双星系统两个正负电荷的电量乘积。（设静电力常量为，忽略电荷间的万有引力） 【答案】 【详解】设这个类双星系统两个正负电荷做圆周运动的半径分别为，彼此间库仑力提供各自所需向心力故 可知 其中 解得、 即这个类双星系统两个正负电荷的电量乘积 【变式训练2-15】如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】AD 【详解】C先跟A接触后，两者电荷量均变为，C再跟B接触后，两则电荷量均变为，此时AB之间静电力大小仍为，则有 解得或； 则的绝对值可能是1或者5。 故选AD。 【变式训练2-16】（多选）关于库仑定律的公式F＝k，，下列说法中正确的是( ) A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0 B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞ C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了 D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了 答案：AD 【变式训练2-17】（多选）关于库仑定律的理解，下列说法正确的是（　　） A．对任何带电体之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式 B．只要是点电荷之间的静电力计算，就可以使用库仑定律公式 C．两个点电荷之间的静电力，无论是在真空中还是在介质中，一定是大小相等、方向相反的 D．用皮毛摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑，说明碎纸屑带正电或不带电 【答案】CD 【解析】库仑定律只适用于真空中的点电荷之间的作用力，故AB错误；依据牛顿第三定律可知，无论是在真空中还是在介质中，作用力与反作用力一定是大小相等、方向相反。故C正确；用皮毛摩擦过的橡胶棒带负电，能吸引碎纸屑，说明碎纸屑带正电或不带电，如果带负电相互排斥不能吸引，选项D正确。 【变式训练2-18】库仑定律和万有引力定律有很多相似之处，对于两个点电荷或两个质点系统，关于库仑力和万有引力的相似性，下列说法不正确的是 A．这两种力都是非接触力 B．这两种力的大小都与相互作用的两物体间距离的平方成反比 C．这两种力的方向都沿着相互作用的两物体连线方向 D．这两种力既可以是吸引力又可以是排斥力 【答案】D 【解析】两物体不接触也会存在库仑力和万有引力，所以这两种力都是非接触力，故选项A正确；根据库仑定律与万有引力定律可知，库仑力和万有引力都是与两物体间的距离平方成反比，故选项B正确；根据库仑定律与万有引力定律可知，这两种力的方向都沿着相互作用的两物体连线方向，故选项C正确；库仑力既可以是吸引力又可以是排斥力，而万有引力只能是吸引力，故选项D正确 题型03：库仑定律与电量分配 【典型例题1】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6 答案　D 解析　由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．由库仑定律F＝k知两点电荷间距离不变时，相互间静电力大小与两球所带电荷量的乘积成正比．又由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q×nq＝×，解得n＝6，D正确． 【典型例题2】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则(　 ) A．F1＜F2 B．F1＝4F2 C．若小球a带负电，L增大，则F1增大 D．若小球a带正电，L减小，则F2增大 解析：选D　小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝k＝k，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″，F″＝k＝k，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，F′减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，F″增大，则F2增大，D正确。 【变式训练3-1】两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为( ) A. B. C. D. 答案：D 【变式训练3-2】（多选）两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，带电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D． 答案：CD 【变式训练3-3】两个圆心相距5cm的半径均为1cm的金属圆球，它们所带电荷量的绝对值恒定不变，但电性可以改变，那么，下列说法正确的是（　　） A．都带正电荷时相互作用力较大 B．都带负电荷时相互作用力较大 C．带异种电荷时相互作用力较人 D．不管带何种电荷作用力都一样大 【答案】 C 【解析】此时两金属球不能视为点电荷，带异种电荷时，因相互吸引，电荷分布在相互靠近的区域，故作用力较大，故ABD错误，C正确。 【变式训练3-4】如图所示，真空中两个半径为a的金属球固定在绝缘支架上，两球心之间的距离r=4a，将它们分别带上电荷量为q的异种电荷，静电力常量为k。则关于两球之间库仑力大小的说法，正确的是（　　） A．等于 B．等于 C．大于 D．介于和之间 【答案】 D 【解析】如果电荷均匀分布，则两球之间库仑力大小；电荷集中在两球心连线的球面上，则两球之间库仑力大小；由于异种电荷相互吸引，故电荷不会再球面上均匀分布，而是会靠近但又不会全部集中在两球心连线的球面上，故两球之间库仑力介于和之间。故ABC错误，D正确。 题型04： 库仑定律与静态平衡 解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤 库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了电场力．具体步骤如下： 【典型例题1】光滑绝缘水平面上相距为的点电荷、带电荷量分别为和，如图所示，今引入第三个点电荷，使三个点电荷都处于平衡状态，则的电荷量和放置的位置是  (    ) A. ，在左侧距为处 B. ，在左侧距为处 C. ，在右侧距为处 D. ，在右侧距为处 【答案】C  【解析】本题考查三个点电荷共线平衡的问题，外侧两个点电荷相互排斥，中间的点电荷吸引外侧两个点电荷，所以外侧两个电荷电性相同，中间电荷与它们电性相反；要平衡中间电荷的吸引力，必须外侧点电荷的电荷量大，中间点电荷的电荷量小，且中间电荷靠近外侧电荷较小的电荷即两同夹异，两大夹小，近小远大。 【解答】、、三个点电荷要平衡，三个点电荷必须在一条直线上，外侧两个点电荷相互排斥，中间的点电荷吸引外侧两个点电荷，所以外侧两个电荷电性相同，中间电荷与它们电性相反；要平衡中间电荷的吸引力，必须外侧点电荷的电荷量大，中间点电荷的电荷量小，所以必须带正电，在的右侧，设所在位置与的距离为，则所在位置与的距离为，设的电荷量为，对由平衡条件得，，解得，对点电荷由平衡条件得，，解得，即带正电，电荷量为，在的右侧距为处，故C正确，ABD错误。   【典型例题2】一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球相连接，在小球下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球，在图中，小球能处于静止状态的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】对小球受力分析，小球受重力、绳的拉力和库仑力，这三个力组成封闭三角形时合力为零。 正确对小球进行受力分析，知道三个力平衡时，能组成封闭三角形。 【解答】设小球受到的重力为，细线的拉力为，静电力为，如果小球能处于静止状态，则，，三个力的合力必须为零，其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，对题中的粒子受力分析如图所示，结合平行四边形定则，满足条件的只有选项B。 故选B。 【典型例题3】如图所示，有三个点电荷、、位于一个等边三角形的三个顶点上，已知，都带正电荷，所受，两个电荷的静电力的合力如图中所示，则下列说法正确的是(    ) A. 带正电，且 B. 带正电，且 C. 带负电，且 D. 带负电，且 【答案】C  【解析】A、都带正电荷，对是库仑斥力，沿的连线向上，只有带负电，对的库仑引力沿连线向下，与对的作用力的合力才偏向右侧。本题可以采用假设法，先假设带正电，判断受到的合力方向向哪儿，再假设带负电，判断受到的合力方向向哪儿，看哪一种情况符合题目要求。 【解答】对电荷受力分析，对的是库仑斥力，沿的连线向上。如果是正电荷，则对的库仑斥力沿连线向上，这两个斥力的合力不可能偏向连线的右方。只有带负电，对的库仑引力沿连线向下，与对的作用力的合力才可能如图中所示，故C一定带负电。 若与电荷带电量相等，则由平行四边形定则和对称可得，受力水平向右，但现在受力向右偏上，所以对的作用力比对的作用力大，故 。故C正确，ABD错误。 故选C。   【典型例题4】如图、两带电小球用绝缘细线悬挂在点，平衡时两小球刚好在同一高度上，。悬线长度不相等，两小球质量为，，电量，，下列说法正确的是(    ) A. 、两带电小球一定带异种电荷 B. 两小球带电量必然有 C. 两小球质量必然有 D. 上述情况下，不改变、的质量及带电量而使两悬线长度变得相等，重新平衡时悬挂、的悬线与竖直方向的夹角分别为、会有 【答案】D  【解析】由球的受力分析可得电性；由二者间的库仑力判断电荷量的大小关系；由球的受力分析，由共点力的平衡列式判断可得二者质量关系；当两悬线长度变得相等时，由共点力的平衡结合数学知识得解。 本题主要考查库仑力作用下共点力的平衡，熟悉受力分析是解题的关键，难度一般。 【解答】受力分析如图： A.由图及题意可知，两小球分开且各自平衡，一定是带同种电荷，电性相同，故A错误； B.无论两球的电荷量大小怎样，二者间的库仑力都相同，故不能判断二者电荷量的大小关系，故B错误； C.对受力分析可知，其受重力、库仑斥力及绳的拉力而平衡，由于两球在同一水平面上，故几何关系可得：，同理对分析可得：，由于，故可得，故C错误； D.上述情况下，不改变、的质量及带电量而使两悬线长度变得相等，重新平衡时悬挂、的悬线与两球之间的连线构成一等腰三角形，此时设底角为：。对两球分别受力分析，对球由正弦定可得：，对球可得：，联立解得：，故D正确。 故选D。 【典型例题5】（多选）如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，小球A的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则（　　） A．小球A与B之间库仑力的大小为 B．当时，细线上的拉力为0 C．当时，细线上的拉力为0 D．无论满足什么条件，斜面对小球A的支持力都不可能为0 A 对小球A由平衡可知解得r=0.1m=10cm；故选A。 【答案】ACD 【解析】根据库仑定律可知小球A与B之间库仑力的大小为；故A正确；当细线上的拉力为0时，根据平衡条件有 ；联立解得；故B错误，C正确；据平衡条件可知斜面对小球A的支持力大小为 可知无论满足什么条件，斜面对小球小球A的支持力都不可能为0，故D正确。 【变式训练4-1】经研究表明取无穷远处为零电势，导体球表面的电势与导体球所带的电荷量成正比，与导体球的半径成反比。金属小球a和金属小球b的半径之比为，所带电荷量大小之比，两小球间距远大于小球半径且间距为L时，它们之间的相互引力大小为F。现将金属小球a与金属小球b相互接触，达到静电平衡后再放回到原来位置，这时a、b两球之间的相互作用力是（不考虑万有引力）（　　） A．库伦斥力 B．库伦斥力 C．库伦引力 D．库伦引力 【答案】A 【详解】a、b两球相互吸引，两球带异种电荷，根据库仑定律公式得，相距L时的相互引力当它们相互接触后，先中和后重新分配。它们相互接触达到静电平衡后，电势相同。 因 a、b两球电量之比为中和后有解得中和后a、b两球电性相同，静电平衡后电场力大小为电场力表现为为库伦斥力，故A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练4-2】如图所示，光滑绝缘的水平面上固定两个带有正电荷的小球，。将另一带正电小球放在、连线的中点处，恰好处于静止状态。小球，，均可视为质点，现将缓慢向右移动，下列说法正确的是 A. 小球，所带电荷量一定相等 B. 小球，，所带电荷量一定相等 C. 小球将向左运动 D. 小球仍保持静止状态 【答案】A  【解析】由题意可知球处于受力平衡状态，则对球进行受力分析，由共点力平衡的条件和库仑定律可以得出、的电荷量关系，根据库仑定律分析对的斥力变化，判断的运动状态。 库仑定律考查一般都是结合共点力平衡进行的，因此解题的关键在于做出受力分析图，明确库仑力的方向和电性；则可利用共点力的平衡条件进行解答。 【解答】 球受重力以及地面的支持力，对的库仑力和对的库仑力而处于受力平衡状态；则对的库仑力与对的库仑力大小相等，方向相反，根据库仑定律知：，可以得到，大小不确定，故A正确，B错误； 带正电，则当缓慢向右移动，会导致之间的距离增大，对的斥力减小，因此合力不再为零，合力方向向右，此时小球将会向右运动，故CD错误。 故选A。   【变式训练4-3】 如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　) A．正电荷，在B的右边0.4 m处 B．正电荷，在B的左边0.2 m处 C．负电荷，在A的左边0.2 m处 D．负电荷，在A的右边0.2 m处 解析：选C.要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”、“两大夹小”的原则，所以C正确． 【变式训练4-4】如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为（　　） A．9∶4∶9 B．4∶9∶4 C．9∶（-4）∶36 D．9∶36∶4 【答案】C 【解析】两同夹异 【变式训练4-5】如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是(　 ) A．A所带电荷量一定为＋4q B．轻质细杆对两球有拉力 C．A与B之间的距离一定为L D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动 解析：选C　设A与B之间的距离为x，A受力平衡，根据平衡条件有＝，解得x＝L，qA不一定为＋4q，故A错误，C正确；对B受力分析，A、C对B的静电力的合力为F＝－，由于不知道A所带电荷量，故无法确定A、C对B的静电力的合力是否为零，故杆对小球可能是拉力、弹力或没有作用力，故B错误；A在原来的位置是平衡的，若将A向右平移一小段距离，B、C对A的静电力均增加，但B对A的静电力增加更快，由于A的电性不确定，故A被释放后可能向左运动，也可能向右运动，故D错误。 【变式训练4-6】 如图所示，一个质量为，带电量为的小球，用一根绝缘细线悬挂在点，为了让小球在图示位置能保持静止，在离球距离为的某点固定一带电量为的球图中未画出，则球所带电量可能的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】以小球为研究对象，分析受力情况，根据矢量三角形法，确定力的最小值，再根据库仑定律求出的最小值．用力的矢量三角形定则分析力的极值问题的实质是数形结合求极值的一种方法．数形结合在数学中是常用的一种方法． 【解答】以小球为研究对象，受重力，绳拉力，库仑力，应有与的合力与等大反向，如图所示， 在合力一定时，方向一定的前提下，另一分力的最小值由三角形定则可知应垂直绳所在的直线， 故F， 由库仑定律：， 得， 因为这是最小库仑力，所以应有． 故选A． 【变式训练4-7】如图所示，两个可视为点电荷带异种电荷的小球、，用绝缘杆固定在的上方，两球相距时恰好平衡，若将向上移动，仍要它平衡，可采用的方法是(    ) A. 使、均减小到原来的 B. 仅使增加到原来的 C. 仅使减小到原来的 D. 使、均增加到原来的 【答案】A  【解析】本题考查库仑定律与平衡条件的应用，注意控制变量法的方法，注意向上移动，则两者间距变为，这是解题的关键。根据库仑定律公式，，即可求解。 【解答】由题意可知，两球相距时恰好平衡，则有：， 若将向上移动仍要它平衡，则有：， 根据上式，可知，和均减小到原来的，或使减小到原来的，或使减小到原来的，故A正确，BCD错误。 故选A．   【变式训练4-8】如图所示，两个完全相同的带电小球，所带电荷量均为，质量为，球用绝缘轻绳悬挂，球靠近的过程中，绝缘轻绳与竖直方向夹角不断增大。最终稳定在某一位置，此时两小球球心连线水平且，则此时两球之间的间距为（　　）（已知） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对小球A由平衡可知解得r=0.1m=10cm；故选A。 【变式训练4-9】(多选) 如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，且均可视为点电荷．A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，则A、B球之间的距离可能为(　　) A．0.5 m　 B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m 解析：选AB.对A受力分析，受重力mg、细线的拉力FT、B对A的吸引力F，由分析知，A平衡时，F的最小值为F＝mgsin 30°＝，解得r＝1 m，所以两球的距离d≤1 m，A、B正确． 【变式训练4-10】两个点电荷Q1与Q2静立于竖直平面上，于P点放置一检验电荷恰好处于静止状态，PQ1与Q1Q2夹角为30°，PQ1⊥PQ2，则Q1与Q2电量之比为 ，在PQ1连线上是否存在其它点能让同一检验电荷维持平衡状态 （存在，不存在）。 【答案】 不存在 【知识点】共线的三个自由电荷的平衡问题 【详解】[1]根据几何关系设，对检验电荷进行受力分析，可得 其中， 联立解得 [2]如图 根据平衡条件可知检验电荷受到的重力和两点电荷对其的库仑力组成一个封闭的三角形，若在PQ1连线上存在其它点能让同一检验电荷维持平衡状态，此时点电荷对检验电荷的库仑力变大，根据三角形法则可知此时点电荷对检验电荷的库仑力必然增大；由于此时检验电荷与点电荷间的距离在增大，库仑力在减小，故矛盾，假设不成立，故在PQ1连线上不存在其它点能让同一检验电荷维持平衡状态。 【变式训练4-11】与“磁悬浮”对应的一种技术叫“电悬浮”。如图所示，竖直平面内有a、b、c三个带电小球，其中a、b固定于绝缘水平面上，三球的连线恰好组成正三角形，“电悬浮”恰好能使小球c静止，则（　　） A．a、b的电荷量必相等 B．a、b、c的电荷量必相等 C．a、b有可能带相反电性的电荷 D．c的重力大小等于a、c间的库仑斥力大小 【答案】A 【解析】根据对称性，a、b对c的斥力必大小相等，a、b的电荷量必相等，A正确；根据库仑定律，c的电荷量不必与a（或b）的电荷量相等，B错误；对c受力分析，可知小球c的重力和a、b对c的库仑斥力平衡，故三者的电性必相同，C错误；根据三力平衡做矢量三角形，可知c的重力大小应为a、c间的库仑斥力的倍， 【变式训练4-12】如图，三个带电小球用等长的绝缘细线悬挂于水平天花板上，当带负电时，三条细绳都恰好与天花板垂直，则(    ) A. 带正电荷 B. 带负电荷 C. 带电量大于所带电量 D. 带电量小于所带电量 【答案】C  【解析】解：根据“两大夹一小，两同夹一异”，带负电荷，带正电荷，和的带电量都大于。ABD错误，C正确。 故选：。 三个小球在库仑力作用下保持平衡，根据同电相斥，异电相吸分析各球所带电性；根据库仑定律和共点力平衡分析所带电荷量大小。 三个小球在库仑力作用下平衡，可以简记口诀：两同夹一异，两大夹一小，结合题干信息分析。 【变式训练4-13】让两个完全相同的金属球各自带电后，用两相同绝缘绳悬挂于O点，两球静止时状态如图所示，下列说法正确的是（　　） A．两球带异种电荷 B．两球所带电荷量一定相同 C．若绝缘绳缩短相同长度，两绳夹角增大 D．若两球相碰后分开，再次静止时夹角减小 【答案】C 【详解】A．两个球相互排斥，带同种电荷，故A错误； B．两球间的库仑力大小 由库仑定律 两球之间的库仑力肯定是相同的，但是两球所带电荷量不一定相同，故B错误； C．假设绝缘绳缩短后，角度不变，那么两个小球之间的距离变短，根据库仑定律可知库仑力变大，角度肯定会变大，所以若绝缘绳缩短相同长度，两绳夹角增大，故C正确； D．若两球相碰前电量不相同，设接触前甲和乙的电荷电量分别为，，接触后甲和乙的电荷电量相等，为，由于 由于两球相碰后各自电荷量相同，库仑力变大，再次静止时夹角变大，故D错误。 故选C。 【变式训练4-14】如图所示，光滑轻环用轻绳悬挂在天花板的点，一根不可伸长的绝缘轻绳穿过轻环，两端连接质量分别为、的、两个带电小球，小球可视为质点，当两球静止时过点的竖直线与的连线交于点。、两点到点距离分别为、，到点绳长分别为、。则以下说法正确的是（　　） A．大于 B． C． D．如果漏电、两个带电小球的距离可能不变 【答案】C 【详解】BC．设绳上张力为，两球间的库仑力为，两球均受力平衡，根据相似三角形关系，分别对、两个带电小球分别分析有 联立解得，，故B错误，C正确； A．分别对、整体，根据平衡关系有 结合 可得，故A错误； D．如果漏电，根据库仑定律知，减小，根据根据平衡关系有， 知与均减小，绳长不变，分析几何关系知，为维持平衡， AB 距离必改变，故D 错误。 故选C。 【变式训练4-15】如图所示，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，则造成α、β不相等的原因是（　　） A．m1<m2 B．m1>m2 C．q1<q2 D．q1>q2 【答案】A 【解析】对两带电小球分别进行受力分析如下图，根据平衡条件有；；两者之间库仑力F大小相等，因α>β，所以m1<m2，故A正确，B错误；电荷量q1、q2无论哪个大，两者之间库仑力F大小都相等，故C、D错误。 【变式训练4-16】 如图所示，质量分别是和、带电荷量分别为和的小球，用长度不等的轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别是和，两小球恰在同一水平线上，那么  (    ) A. 两球一定带同种电荷 B. 一定大于 C. 一定等于 D. 两球所受库仑力一定大小相等 【答案】D  【解析】根据异种电荷相互吸引分析电性关系．由力平衡得到质量与偏角之间的关系，来分析质量大小．由牛顿第三定律，分析库仑力的关系． 库仑力是一种力，有力的共性，它是联系电场知识与力学知识的桥梁． 【解答】 A、由题图可知，两球相互吸引，一定带异种电荷，故A错误； 、两球间的库仑力是一对相互作用力，大小相等，无法判断电荷量的大小关系，故B错误，D正确； C、设两球间的库仑力大小为，对两球分别有 ， ，则  ，因，可得，故C错误．  【变式训练4-17】如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则(　 ) A．P和Q都带正电荷 B．P和Q都带负电荷 C．P带正电荷，Q带负电荷 D．P带负电荷，Q带正电荷 解析：选D　细绳竖直，把P、Q看作整体，则整体在水平方向不受力，对外不显电性，带等量异种电荷，故A、B错误；如果P、Q带不同性质的电荷，受力如图所示，由图知，P带负电荷、Q带正电荷时符合题意，故C错误，D正确。 【变式训练4-18】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则(　 ) A．qC＝q0 B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q0 解析：选A　设小球C带负电，相邻小球间距为L，则对小球C在沿斜面方向受力分析，如图甲所示： 根据库仑定律FBC＝k、FAC＝k，显然小球C无法处于静止，因此小球C应该带正电。因此小球C平衡时，k＝k＋Mgsin α　①， 则＝Mgsin α。对B球做受力分析，如图乙所示： 根据受力平衡关系k＝k＋Mgsin α　②，两式联立解得qC＝q0，A正确。将C的电荷量代入①式，则L＝，D错误。A球所受总的库仑力为FA＝k－k　③，其中＝Mgsin α，可知＝Mgsin α或者＝Mgsin α，代入③式，则A球所受库仑力为FA＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误。对A球受力分析可知，F弹＝Mgsin α＋FA, 将上述结果代入得，F弹＝3Mgsin α，因此弹簧伸长量为Δx＝，B错误。 【变式训练4-19】(多选) 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行．小球A的质量为m、电量为q.小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d.静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷．小球A静止在斜面上，则(　　) A．小球A与B之间库仑力的大小为 B．当＝ 时，细线上的拉力为0 C．当＝ 时，细线上的拉力为0 D．当＝ 时，斜面对小球A的支持力为0 解析：选AC.根据库仑定律可得两小球之间的库仑力大小为F＝，选项A正确；当细线上的拉力为0时，小球A受到库仑力、斜面支持力、重力，由平衡条件得＝mgtan θ，解得＝ ，选项B错误，C正确；由受力分析可知，斜面对小球的支持力不可能为0，选项D错误． 【变式训练4-20】如图所示，绝缘斜面体静止于粗糙的水平面上，，，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在和面上，且连线水平。已知面均足够长且光滑，斜面体和、的质量分别为、、，重力加速度为，，下列判断正确的是（    ） A．P、Q的质量之比是 B．P、Q带异种电荷，且的电荷量大于的电荷量 C．水平面对斜面体的支持力等于 D．若改变P、Q质量和电荷量使得P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑（斜面体保持静止），则在P、Q运动过程中斜面受到的静摩擦力水平向右 【答案】CD 【详解】A．由库仑力、重力和倾角的关系式为 可知，P、Q质量之比为 故A错误； B．P、Q两物体都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的库仑引力，P、Q一定是带异种电荷，电荷量大小关系不能确定，故B错误； C．由斜面和P、Q所构成的整体是二力平衡，水平面对斜面支持力等于总重力，水平面对斜面没有摩擦力，水平面对斜面的支持力为 故C正确； D．若P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑，故此时整体具有向右的加速度，对整体受力分析可知斜面受到的静摩擦力水平向右，故D正确； 故选CD。 【变式训练4-21】如图所示，绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角θ=30°。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，且小球A正好静止在斜面中点。在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B，两球相距为d。已知两球的质量均为m、电荷量均为+q，静电力常量为k，重力加速度为g，两球均可视为点电荷。则下列说法不正确的是（　　） A．两球之间的库仑力F=k B．当时，斜面对小球A的支持力为 C．当时，细线上拉力为0 D．将小球B移到斜面底面左端C点，当时，斜面对小球A的支持力为0 【答案】C 【详解】A．依据库仑定律，则两球之间的库仑力大小为F= k故A正确，不符合题意； BC．当时，则有k=mg对球受力分析，如图所示： 根据矢量的合成法则，依据三角知识，则斜面对小球A的支持力为N= mg；T= mg故B正确，不符合题意，C错误，符合题意； D．当小球B移到斜面底面左端C点，对球受力分析，如图所示： 依据几何关系可知，T与F的夹角为120∘，当时，即有k=mg根据矢量的合成法则，则有电场力沿垂直斜面方向的分力与重力沿垂直斜面方向的分力等值反向，那么斜面对小球A的支持力为N=0，故D正确，不符合题意；故选C。 【变式训练4-22】如图所示，质量为m的小物块P和小球Q均可视为点电荷，电荷量相同。置于粗糙水平面上的斜面体倾角为θ、质量为M，将小物块P放在粗糙的斜面体上。当小球Q放在与P等高（PQ连线水平）时，P静止且受斜面体的摩擦力为0，斜面体保持静止，此时经测量小物块与小球Q的距离为r。设静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）    A．小球Q所带电荷量为 B．P对斜面体的压力为FN=mgcosθ C．斜面体对地面的压力为（M+m）g D．斜面体受到地面的摩擦力为0 【答案】C 【详解】A．以P为研究对象，受到重力mg、斜面体的支持力FN和库仑力F，由平衡条件得F=mgtanθ； FN根据库仑定律得联立解得故A错误； B．由牛顿第三定律得P对斜面体的压力为故B错误； C．以斜面体和P整体为研究对象，由平衡条件得地面对斜面体的摩擦力为Ff=F地面对斜面体的支持力为FN1=(M+m）g根据牛顿第三定律得斜面体受到地面的摩擦力为F，斜面体对地面压力为FN1'=FN1=(M+m）g故C正确，D错误。故选C。 【变式训练4-23】如图所示，两倾角相同、倾斜面均光滑的绝缘斜面体相邻静置于粗糙水平地面上，两带正电的小球A、B（可视为点电荷）在斜面上同一高度处保持静止，下列说法正确的是（    ） A．小球A和小球B的质量不一定相等 B．两斜面对小球A、B的支持力大小不一定相等 C．小球A和小球B的电荷量不一定相等 D．地面对两斜面的摩擦力大小不一定相等 【答案】C 【详解】A．对两带正电小球进行受力分析，如图所示，设斜面倾角为，两小球受到的库仑力大小相等，则即可得小球A和小球B的质量一定相等，故A错误； B．对小球A，根据平衡条件可得对小球B，根据平衡条件可得可得故斜面对两小球的支持力大小一定相等，故B错误； C．无论两电荷电量大小关系如何，它们受到的库仑力大小都相等，无法判断两小球电荷量的大小关系，故C正确； D．由整体法分析两斜面和小球的受力可知，地面对两斜面的摩擦力大小一定相等，均为故D错误。故选C。 【变式训练4-24】如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，壳层的厚度和质量分布均匀，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，为球半径的3倍．若使它们带上等量异种电荷，两球电荷量的绝对值均为Q，那么，a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为(　　) A．F引＝G，F库＝k　　　　 B．F引≠G，F库≠k C．F引≠G，F库＝k D．F引＝G，F库≠k 解析：选D.万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然两球心间的距离l只有半径的3倍，但由于壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看做质量集中于球心的质点．因此，可以应用万有引力定律．对于a、b两带电球壳，由于两球心间的距离l只有半径的3倍，表面的电荷分布并不均匀，不能把两球壳看成相距l的点电荷，故D正确． 题型05：库仑定律与动态平衡 【典型例题1】均视为点电荷。小球静止时悬线与竖直方向的夹角为，由于漏电，、两小球的电荷量逐渐减小。在电荷漏完之前，有关悬线对悬点的拉力和、之间库仑力的大小，下列说法中正确的是(    ) A. 保持不变，逐渐减小 B. 逐渐增大，先变大后变小 C. 逐渐减小，逐渐减小 D. 先变大后变小，逐渐增大 【答案】A  【解析】本题考查电荷间的库仑力的动态平衡问题，分析小球的受力，根据小球各力的受力特点可知，小球各力组成的三角形和图中三角形相似，用“相似三角形”分析可得各力的变化情况。 库仑定律考查一般都是结合共点力平衡进行的，因此解题的关键在于做出受力分析图，明确库仑力的方向；则可利用共点力的平衡条件进行解答． 【解答】以球为研究对象，受到重力、库仑力和悬线的拉力三个力作用，如图所示。 由平衡条件可得 根据可得 可得 ， 在、两小球的电荷量逐渐减小的过程中，、、均不变，则悬线的拉力不变；因电荷量减小，库仑力减小，故A正确，、、D错误。 【典型例题2】如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（　　） A．A球的质量小于B球的质量 B．此过程中A球保持静止状态 C．此过程中点电荷对B球的库仑力逐渐增大 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 【答案】AB 【详解】A．开始时B球受力如图所示 由几何关系知而，则，A正确； BC．假设此过程中A球保持静止状态，由于B球所带的电荷量缓慢减少，B球缓慢下摆，B球受力平衡，根据三角相似有由于、OB、OC均不变，BC逐渐减小，则轻绳拉力T不变，假设成立，库仑力F逐渐减小，B正确，C错误； D．由于轻绳拉力T不变，逐渐减小，轻绳OA、OB的拉力的合力逐渐增大，即滑轮受到轻绳的作用力逐渐增大，D错误。故选AB。 【变式训练5-1】一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是(　　) A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小 B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小 C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变 D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变 答案　B 解析　根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝k＝mgtan θ，若小球A向左平移一小段距离，r减小，小球B受到A的库仑力F增大，丝线与竖直方向夹角θ增大，A错误；根据牛顿第三定律，小球A对小球B的库仑力与小球B对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力，大小总是相等的，B正确；若增加A球带电荷量，根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝k＝mgtan θ，小球B受到A的库仑力F增大，则丝线与竖直方向夹角增大，C错误；若使A球带电荷量变为－Q，则小球B受到向右的库仑引力，向右偏，与A球的距离减小，库仑力将增大，则丝线与竖直方向夹角将增大，D错误． 【变式训练5-2】如图所示，是一个放置在绝缘支架上的带电小球，是用绝缘丝线悬挂的另一带电小球。由于它们之间存在相互作用，静止时悬线与竖直方向成一夹角：现将带电小球向右移动少许，使、间距离减小，当小球再次静止时，与原来状态比较，悬线与竖直方向的夹角(    ) A. 增大 B. 减小 C. 没有变化 D. 如何变化不能确定 【答案】A  【解析】解：保持两个带电体的电荷量、不变，根据库仑定律公式可知，使、间距离减小，库仑力变大； 设偏角为，根据平衡条件可得，变大，则变大，故A正确、BCD错误。 故选：。 根据库仑定律公式判断物体与小球之间的作用力与什么因素有关。根据距离的变化分析作用力的变化、夹角的变化。 本题主要是考查了库仑定律的计算公式和共点力的平衡条件；知道真空中静止的两个点电荷之间的作用力与它们的电荷量乘积成正比、与它们之间的距离平方成反比。  【变式训练5-3】真空中相距为的两点电荷、，电量均为，相互作用力为若要使相互作用力变为，可采用的方法是(    ) A. 、电量同时增大为，距离保持不变 B. 电量增大为，电量不变，距离保持不变 C. 、电量不变，距离变为 D. 、电量不变，距离变为 【答案】B  【解析】在真空中有两个点电荷间的作用力遵守库仑定律，根据库仑定律，运用比例法求解。 【解答】 根据库仑定律，则有：； A.当、电量同时增大为，距离保持不变时，库仑力变为故A错误； B.当电量增大为，电量不变，距离保持不变时，库仑力变为故B正确； C.当、电量不变，距离变为时，则它们之间的作用力变为，故C错误； D.当、电量不变，距离变为时，则它们之间的作用力变为，故D错误。 故选B。   【变式训练5-4】如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 【答案】C 【详解】对小球A进行受力分析如图 可得与相似，故有又由库仑定律，所以代入可得 小球A与三个完全相同的不带电的金属小球依次充分接触后的带电量所以再次平衡后A、B间距离，C正确。故选C。 【变式训练5-5】 如图，、两个带电小球用等长绝缘轻质细线悬挂于点，球固定，与球相连的细线与竖直方向成一定的夹角，若其中一个小球由于漏电，电荷量缓慢减小，则关于、两球的间距和它们之间的库仑力大小的变化，下列说法中正确的是(    ) A. 间距变小，库仑力变大 B. 间距变小，库仑力变小 C. 间距变小，库仑力不变 D. 间距变大，库仑力变小 【答案】B  【解析】以小球为研究对象，由于逐渐漏电的过程中，处于动态平衡状态．分析受力情况：重力，的斥力和线的拉力三个力作用，作出力图，根据∽，得到线的拉力与线长的关系，再进行分析求解。 本题是力学中动态平衡问题，采用的是三角形相似法，得到力的大小与三角形边长的关系，进行分析，也可以应用函数法求解。 【解答】以小球为研究对象，球受到重力，的斥力和线的拉力三个力作用，作出力图，如图。 作出、的合力，则由平衡条件得：， 根据∽得：， 在、两质点带电量逐渐减少的过程中，、、均不变，减小，、间斥力大小变小，故B正确，   【变式训练5-6】如图所示，在一个半球形的绝缘光滑球壳内，有M、N两个半径较小的均匀带电的绝缘小球。N球固定，M球静止时如图所示，球壳球心为O，OC为过圆心的竖直线，交MN的连线于Q点。现M球的电荷量缓慢减小（仍分布均匀），下列说法正确的是（　　） A．两小球间的库仑力将增大 B．M球受到的弹力减小 C．OC和MN的交点Q不会移动 D．OC和MN垂直时，库仑力大小等于M球的重力 【答案】B 【详解】ABC．对两球受力分析，并构建矢量三角形，如图所示 由于三角形相似可得 由于电荷量减小，小球之间的库仑力减小，M球下移，Q点也下移，OQ长度增加，又因为mg、OM不变，所以k值减小，减小，MQ减小，库仑力也减小，故AC错误，B正确； D．OC和NM垂直时，库仑力和重力的合力不一定沿两者角平分线，所以库仑力不一定等于M球的重力，故D错误。 故选B。 【变式训练5-7】如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用10cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板的O点，平衡时O、A间细线竖直且A小球与光滑竖直绝缘墙壁接触，O、B间细线偏离竖直方向60°。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的3倍，两个小球质量均为0.3g，取g=10m/s2，静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．两个小球可能带异种电荷 B．A小球所带的电荷量为 C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为 D．若B小球缓慢漏电，则O、B间细线上的拉力逐渐减小 【答案】C 【详解】A．由题意知B处于静止状态，对B球受力分析，如图所示 可知B受到A的库仑斥力，B才可能处于静止，故A、B带同种电荷，故A错误； B．设A的带电量为，则B的带电量为，对B，根据平衡条件有 解得，故B错误； C．对A球受力分析，设墙壁对A球的弹力为，根据平衡条件有，故C正确； D．对B分析，根据相似三角形原理有 由于，，均不变，故拉力也不变，故D错误。 故选C。 【变式训练5-8】如图所示，水平天花板下方固定一光滑定滑轮O，在定滑轮正下方C处固定一带正电的点电荷。不带电的A球与带正电的B球用绝缘轻绳跨过O连接，A、B均视为质点，初始系统静止且。若B的电荷量缓慢减少，在B到达O正下方前，则（    ）    A．B球的轨迹是一段圆弧 B．A球的质量大于B球的质量 C．此过程中点电荷对B球的库仑力减小 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 【答案】AC 【详解】AB．开始时B球受力如图所示，    由相似三角形可知 因知mBg＞T =mAg 则A球的质量小于B球的质量；由于T不变，OC不变，可知OB不变，则随着B球所带的电荷量缓慢减少，B球的轨迹是一段圆弧，故A正确，B错误； C．根据 则 则随着B的电荷量缓慢减少，BC减小，F减小，即此过程中点电荷对B球的库仑力减小，选项C正确； D．因滑轮两侧绳子拉力不变，当B球下降时，两侧细绳的夹角减小，则合力变大，即此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐变大，选项D错误。 故选AC。 【变式训练5-9】（多选）用细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一也带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示。现将细绳剪断后(　　) A．小球B在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动 B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g C．小球B落地的时间小于 D．小球B落地的速度大于 答案：BCD 【变式训练5-10】（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为,可采用的方法是(　　)。 A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍 B.将小球B的质量增大到原来的8倍 C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半 D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍 答案：BD 【变式训练5-11】（多选）如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为(　　) A．0.5 m B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m 答案：AB 题型06： 库仑定律与牛顿定律 【典型例题1】如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为和的小球、，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为的力作用在上，当、间的距离为时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在上，欲使两小球间的距离保持为并相对静止，则外力的大小应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当方向水平向右、大小为的力作用在上，、间的距离为时，有若改用方向水平向左的力作用在上，两小球间的距离保持为并相对静止时，有联立可得 故B正确，ACD错误。故选B。 【典型例题2】质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．B球的电荷量可能为＋2q B．C球的电荷量为－2q C．三个小球一起运动的加速度大小为 D．恒力F的大小为 【答案】BC 【详解】A．根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误； BC．设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为，C球对A球的库仑引力为由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有FCAsin30°＝FBA； FCAcos30°＝ma解得qC＝2q；a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确； D．以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得F＝3ma＝故D错误。故选BC。 【典型例题3】足够长的固定的光滑绝缘斜面倾角为α，质量相等均带正电的两个小滑块P和Q置于斜面上，重力加速度为g，用沿斜面向上的力F推动P，使两滑块均作匀速运动。某时刻突然撤去该推力，从此刻开始到P的速度刚要减为零的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P的加速度大小的最大值为 B．P的速度大小均不小于同一时刻Q的速度大小 C．Q的动能先减小后增大 D．Q的机械能一直减小 【答案】A 【详解】A．用沿斜面向上的力F推动P，使两滑块均作匀速运动，此时两小滑块间的电场力大小为 撤去推力F时P的加速度大小为撤去推力后，P的加速度大小为Q的加速度大小为则 P、Q都向上做减速运动，由于P的加速度大，P、Q间距离增大，电场力减小，P的加速度减小，当P的速度减为零前，P的加速度小于，故A正确； B．由于P减速的加速度比Q大，所以P的速度大小均小于同一时刻Q的速度大小，故B错误； C．由于P减速的加速度比Q大，P的速度减为零前，Q一直做减速运动，Q的动能一直减小，故C错误； D．P的速度减为零前，电场力对Q一直做正功，所以Q的机械能一直增大，故D错误。 故选A。 典型例题4】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。 (1)求小球所带的电荷量及电性； (2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小； [思路点拨] (1)先画出小球静止时的受力示意图。 (2)在细线剪断后小球做匀加速直线运动。 [解析]　(1)小球受到重力mg、电场力F和细线的拉力T的作用， 如图所示，由共点力平衡条件有： 、 F＝qE＝mgtan θ 解得：q＝＝1.0×10－6 C 电场力的方向与电场强度的方向相同，故小球所带电荷为正电荷。 (2)剪断细线后，小球做匀加速直线运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：＝ma 解得：a＝＝12.5 m/s2。 【变式训练6-1】如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定着三个带电小球a、b、c，三球在一条直线上，其质量之比为1∶2∶4，设向右为正方向，若仅释放a球，a球的初始加速度为，若仅释放c球，c球初始加速度为，当仅释放b球时，b球的初始加速度为（　　） A．3m/s2 B． C．5m/s2 D． 【答案】B 【详解】设三个小球的质量分别为、、，则若仅释放a球，根据牛顿第二定律若仅释放c球，根据牛顿第二定律根据牛顿第三定律当仅释放b球时，根据牛顿第二定律解得故选B。 【变式训练6-2】 如图所示，光滑绝缘的水平面上的点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧点由静止开始释放一个也带正电的小球可视为质点，以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】点的小球释放后，受到向右的库仑力的作用，根据分析库仑力的变化，根据牛顿第二定律分析加速度，而图像中图线的斜率表示物体运动的加速度，即可得出正确的答案。 本题主要考查了图像、库仑定律和牛顿第二定律的应用，难度一般，基础题。 【解答】点的小球释放后，受到向右的库仑力的作用，开始向右运动，根据库仑定律可得，随着两者之间的距离的增大，点的小球受到的库仑力在减小，根据牛顿第二定律可得，点的小球做加速度减小的加速直线运动，而图像中图线的斜率表示物体运动的加速度，故B正确，ACD错误。 故选B。  【变式训练6-3】在光滑的水平面上固定两个点电荷A和B，它们的质量分别为2m和m，所带电荷量分别为Q和2Q，如图所示。水平外力先作用在A上，解除锁定后，A，B恰能一起相对静止做匀加速直线运动，调整A、B间的距离，后用相同大小的水平外力作用在B上，A、B又恰能一起相对静止做匀加速直线运动。则以下说法正确的是（　　） A．两点电荷的电性一定相反 B．外力作用在上时两点电荷的加速度小于作用在B上时两点电荷的加速度 C．点电荷对点电荷B的库仑力大于点电荷B对点电荷的库仑力 D．外力作用在上时、B的间距与作用在B上时、B的间距之比为 【答案】D 【解析】外力向右作用于A或向左作用于B的情况下，两点电荷间的作用力是斥力，两点电荷的电性相同，外力向左作用于A或向右作用于B的情况下，两点电荷间的作用力是引力，两点电荷的电性相反，故A错误；对整体有；外力作用在A上时两点电荷的加速度等于作用在B上时的加速度，故B错误；点电荷A对点电荷B的库仑力与点电荷B对点电荷A的库仑力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反，故C错误；设当外力作用在A上时A、B的间距为，对B有；设当外力作用在B上时A、B的间距为，对A有；联立解得；故D正确。 【变式训练6-4】如图所示，水平光滑的绝缘细管中有两形状相同的带电金属小球A、B，质量满足，两球相向运动，当它们相距L时，A的加速度大小为a，已知A球带电荷量为，B球带电荷量为。当两球相碰后（不计能量损失）再次相距为L时，则（　　） A．A球、B球加速度大小分别为， B．A球、B球加速度大小分别为， C．A球、B球加速度大小分别为， D．A球、B球加速度大小分别为a， 【答案】B 【解析】开始两球相距L时，两球之间的库仑力大小为；则A球加速度大小；相碰后两球电荷量先中和，后平分，带电荷量均为，两球再次相距为L时，库仑力大小为；则此时A球加速度大小为；B球加速度大小为；故选B。 【变式训练6-5】如图所示，光滑绝缘水平桌面上有、两个带电小球可以看成点电荷，球带电荷量为，球带电荷量为，由静止开始释放后，球的加速度大小为球的两倍，不计空气阻力，下列说法正确的是  (    ) A. 球受到的静电力是球受到静电力的倍 B. 球的质量是球质量的倍 C. 球受到的静电力与球受到的静电力是一对平衡力 D. 、两球相互靠近的过程中加速度都增大，且球的加速度总是球的两倍 【答案】D  【解析】球受到的静电力和球受到静电力是--对作用力与反作用力，根据动能定理分析动能的大小、根据牛顿第二定律分析加速度大小关系。 【解答】球受到的静电力和球受到静电力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，故AC错误； B.由于两者之间的静电力大小相等，且由题意可知 球加速度大小为 球的两倍，故由牛顿第二定律可知球的质量是球质量的一半，故 B错误； D.由于、球相互靠近过程中，二者间的库仑力逐渐增大，则根据可知的质量为的，无论和的电荷量大小如何，二者的电场力总是等大反向，球加速度大小仍为球的倍，故D正确。 故选D。 【变式训练6-6】如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动 B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动 C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动 D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动 答案：D 解析：AB、若A、B带同种电荷，则A对B有斥力作用，且斥力方向和速度方向夹角越来越小，速度增大，AB间距离越来越大，静电力越来越小，则加速度越来越小，故AB错误； CD、若AB带异种电荷，B受到的静电力指向A，力的大小或方向肯定有一个发生变化，不可能做类平抛运动，当静电力可能等于B做匀速圆周运动需要的向心力，则B球可能做匀速圆周运动，故C错误，D正确； 故选：D。 【变式训练6-7】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是(    ) A. 速度变大，加速度变小 B. 速度变小，加速度变小 C. 速度变大，加速度变大 D. 速度变小，加速度变大 【答案】A  【解析】根据库仑定律分析电荷间作用力的变化．根据牛顿第二定律分析加速度的变化，并分析速度变化情况。本题考查库仑力内容，关键是根据力的变化情况以及利用牛顿第二定律的应用分析运动变化情况。 【解答】由于两电荷间距离增大，依据库仑定律，它们之间的静电力越来越小，再由，故加速度越来越小；因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，加速度与速度同向，故电荷将一直做加速运动，故A正确，BCD错误。 故选A。   【变式训练6-8】 如图所示，放在绝缘支架上的小球和悬挂在绝缘丝线下的小球带同种电荷，两小球的带电量，质量，球静止时悬线偏离竖直方向某一角度，、两球所受库仑力的大小分别为和，则(    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B  【解析】解：由库仑定律可知，相互作用的库仑力与两电荷的电量乘积成正比，与两者间距的平方成反比．根据牛顿第三定律可知，它们的大小总是相等，方向总是相反．故B正确，ACD错误； 故选：．根据库仑定律可知，相互作用的库仑力与两电荷的电量乘积成正比，与两者间距的平方成反比．它们的大小总是相等，方向总是相反．考查库仑定律的理解，掌握牛顿第三定律的应用，理解力的作用是相互的，知道库仑力大小与各自电量大小无关． 【变式训练6-9】 如图所示，光滑绝缘水平面上有三个质量均为的带电小球，、球带正电，电荷量均为。有一水平拉力作用在球上，如果三个小球能够保持边长为的正三角形“队形”一起沿拉力方向做匀加速直线运动，已知静电力常量为，则下列说法正确的是(    ) A. A、之间的库仑力大小为 B. A、之间的库仑力大小为 C. 球带负电，且电荷量为 D. 球带正电，用电荷量为 【答案】C  【解析】解：运动中间距不变，则三球加速度相同，水平向右。因为、两球的电量均为，带正电；所以球应该带负电，设其电量为，对球受力分析可知，方向合力为零，则有：，从而解得： 间库仑力大小为： 故C正确，ABD错误。 故选：。 通过对整体的受力分析，可知加速度相同，再对球受力分析，可知球带负电，通过在竖直方向受力平衡求出所点电荷量； 本题主要考查库仑定律，解决本题的关键在于平衡条件的应用。 【变式训练6-10】如图所示，一带电量为+Q的均匀带电圆筒竖直放置，以圆筒中心为坐标原点O在竖直方向上建立x轴，以竖直向上为正方向。从x轴上某高度由静止释放一带电荷量大小为q的小球，小球向下运动，当它经过x=h位置时它的速度为v0，加速度为0。已知重力加速度为g，静电力常量为k，不考虑小球所带电荷对带电圆筒上电荷分布的影响。下列说法中正确的是（　　） A．小球可能带负电 B．小球的质量 C．小球经过O点时的加速度大于g D．小球经过x=−h处时的速度为 【答案】D 【详解】A．由于经过x=h位置时，小球的加速度为0，所以小球和带电圆筒间的静电力为斥力，所以小球必须带正电，故A错误； B．小球经过x=h位置时受到的静电力与重力平衡，所以有 但小球和带电圆筒间的静电力不满足库仑定律，所以，故B错误； C．由于对称性，小球经过O点时受到圆筒的静电力为0，所以小球在O点只受重力，所以它的加速度一定为g，故C错误； D．对小球从x=h运动到x=−h的过程分析有 由于对称性，小球从x=h运动到x=−h的过程中静电力做功为0，所以，故D正确。 故选D。 【变式训练6-11】如图所示，静置于光滑水平面上两带电物体A、B质量为和，相距为。水平恒力作用在上，同时释放A、B，A、B会一起相对静止的向右运动。当恒力大小不变，仅方向改变作用在上，改变A、B的间距，也可使A、B一起相对静止的向左运动。则下列说法正确的是（　　） A．两物体一定带异种电荷 B．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 C．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 D．作用在上时，A、B间的距离为 【答案】ABD 【详解】A．因B随A一起向右运动，可知A、B间的库仑力为引力，A、B一定带异种电荷，故A正确 B．对A、B构成的整体进行分析，由牛顿第二定律有 对进行分析有 解得，故B正确； C．恒力作用在B上，对进行分析有 解得，故C错误； D．由库仑力公式有， 结合上述解得，故D正确。 故选ABD。 【变式训练6-12】如图所示，将质量均为，带电荷量分别为、、的三个带电小球、、放置在光滑水平面上，所构成的三角形边长分别为、、。初态由静止释放后，在库仑力的作用下，之后的运动过程中三个小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，小球半径较小，小球之间库仑力始终遵守库仑定律。下列说法正确的有（    ） A．当三角形面积变为初态的9倍时，A球的加速度变为初态的 B．三个小球的加速度矢量和一直为零 C．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 D．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 【答案】BC 【详解】A．三个小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，当三角形面积变为9倍时，边长均将变为初态的3倍，根据库仑定律可知小球之间的库仑力均将变为初态的，故每个小球的加速度均将变为初态的，故A错误； B．将三个小球组成的系统看作一个整体，库仑力为系统内力，系统所受合力始终为零，由于质量相等，故三个小球的加速度矢量和一直为零，故B正确； CD．对小球A、B分析，如图所示 由于小球所构成的一角形各边一直保持与初态平行，且小球质量相等，所以、在垂直AB方向上的分力必相等，则有 由几何关系得， 可得 同理可得 则有 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练6-13】如图所示，带电小球A、B、C位于光滑绝缘水平面内的一直线上，质量均为m，A、C的电荷量均为q，与B的距离均为r。当B球带电量为Q时，三小球均能处于静止状态；当B球电量变为（电性不变），A、C球能够以相同的角速度（k为静电力常量）绕B球做半径为r的匀速圆周运动，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当B球带电量为Q时，三小球均能处于静止状态，则A、C电性相同，A、B电性相反，此时对A进行分析，根据平衡条件有 当B球电量变为时，对A进行分析有 解得 故选C。 【变式训练6-14】如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为，，重力加速度为g，静电力常量为k。则（    ） A．小球a的线速度为 B．小球b的角速度为 C．小球c的向心加速度大小为 D．外力F竖直向上，大小为 【答案】BC 【详解】A．通过分析，a、b、c一定带同种电荷，d与a、b、c一定带异种电荷，设连线与水平方向的夹角为，则对小球a受力分析有 ， 对a球，根据牛顿第二定律可得 可得A错误； B．对小球b，有 解得 B正确； C．对c，有 解得 C正确； D．对d球受力分析，由平衡条件得： 解得 D错误。 故选BC。 【变式训练6-15】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度大小。 (2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。 解析：(1)由牛顿第二定律可知mgsin α－F＝ma 根据库仑定律有F＝k 又知r＝，得a＝gsin α－。 (2)当A球受到合力为零，即加速度为零时，动能最大。 设此时A球与B点间的距离为d，则mgsin α＝ 解得d＝ 。 答案：(1)gsin α－　(2) 【变式训练6-16】如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求： (1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？ (2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？ 答案　(1)1.0 m/s2　方向水平向左　(2) m　 m 解析　(1)对小球受力分析，受到重力、支持力和电场力，重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律，有：a＝＝＝ m/s2＝1.0 m/s2，方向水平向左． (2)设球到桌面右边的距离为x1，球离开桌面后做平抛运动的水平距离为x2，则：x总＝x1＋x2 由：v2－v02＝2ax1；代入，解得：v＝ 设平抛运动的时间为t，根据平抛运动的分位移公式，有：h＝gt2，代入得：t＝0.5 s. 水平方向，有x2＝vt＝0.5，故 x总＝x1＋0.5 令：y＝；则：x总＝ 故y＝，即：x1＝时，水平距离最大，最大值为 xmax＝ m 【变式训练6-17】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？ 解析：设小球在最高点时的速度为v1，根据牛顿第二定律 mg－＝m① 设小球在最低点时的速度为v2，管壁对小球的作用力为F， 根据牛顿第二定律有F－mg－＝m② 小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒， 则mv＋mg·2R＝mv③ 由①②③式得F＝6mg 由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力F′＝6mg. 答案：6mg 【变式训练6-18】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置一带正电的长直细棒，其周围产生垂直于带电细棒的辐射状电场，场强大小E与距细棒的垂直距离r成反比，即E＝.在带电长直细棒右侧，有一长为l的绝缘细线连接了两个质量均为m的带电小球A和B，小球A、B所带电荷量分别为＋q和＋4q，A球距直棒的距离也为l，两个球在外力F＝2mg的作用下处于静止状态．不计两小球之间的静电力作用． (1)求k的值； (2)若撤去外力F，求在撤去外力瞬时A、B小球的加速度和A、B小球间绝缘细线的拉力． 解析： (1)对小球A、B及细线构成的整体，受力平衡， 有q＋4q＝2mg 解得k＝. (2)若撤去外力瞬时， A、B间细线拉力突然变为零，则 对A球：q·＝maA得aA＝，方向向右． 对B球：4q·＝maB得aB＝，方向向右． 因为aA<aB，所以在撤去外力瞬时A、B将以相同的加速度a一起向右运动，A、B间绝缘细线张紧，有拉力T. 因此，对A、B整体，由牛顿第二定律，有 q·＋4q·＝2ma 解得a＝g 对A：q·＋T＝ma 解得T＝mg 故撤去外力瞬时，A、B的加速度a＝g；A、B小球间绝缘细线的拉力T＝mg. 答案：(1)　(2)aA＝aB＝g　mg 题型07：库仑定律与功能关系 【典型例题】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变小，加速度变大 答案：C 解析：由于同种电荷间存在相互作用的排斥力，两球将相互远离，距离增大，根据库仑定律得知，相互作用力减小。由牛顿第二定律得知它们的加速度变小，随着两球间距离增大，电场力做正功，电势能减少，总动能增加。所以速度增加，故速度变大，加速度变小。 故选C。 【变式训练7-1】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______ 答案: 【变式训练7-2】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球在B点时对轨道的压力． 答案　(1)　(2)3mg＋k，方向竖直向下 解析　(1)带电小球q2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR＝mv 解得vB＝. (2)小球到达B点时，受到重力mg、库仑力F和支持力FN，由圆周运动和牛顿第二定律得FN－mg－k＝m 解得FN＝3mg＋k 根据牛顿第三定律，小球在B点时对轨道的压力为 FN′＝FN＝3mg＋k 方向竖直向下． 题型08：库仑力的合成问题 【典型例题1】如图1所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×10－9 C、QB＝－4×10－9 C、QC＝＋3×10－9 C的A、B、C三个点电荷，则作用在点电荷A上的库仑力的大小为（　　） 图1 A．9.9×10－4 N B．9.9×10－3 N C．1.17×10－4 N D．2.7×10－4 N 【答案】A 【解析】A受到B、C点电荷的库仑力如图所示，根据库仑定律有 FBA＝＝ N＝1.08×10－3 N FCA＝＝ N＝9×10－5 N 规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为FA＝FBA－FCA＝（1.08×10－3－9×10－5） N＝9.9×10－4 N，故选项A正确。 【典型例题2】如图所示，在等腰直角三角形ABC的三个顶点上分别固定三个带电荷量分别为Q1、q、Q2的点电荷，点电荷受到的库仑力的合力垂直于AB斜向右下方，关于点电荷的电性及带电荷量之间的关系，下列说法正确的是（　　） A．电性相反， B．电性相反， C．电性相同， D．电性相同， 【答案】B 【解析】根据题意可判断出，与相互排斥，与相互吸引，、的电性相反，设，则；根据库仑定律得；；由题意画出示意图；可知；代入解得；故选B。 【典型例题3】在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示。如果保持它们的位置不变，则位于A点的点电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】电荷D对电荷A的库仑斥力为；B电荷和C点的电荷给A的库仑斥力大小均为；根据力的合成法则，A点的点电荷所受的电场力大小为；故选D。 【典型例题4】）如图2所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上。a和c带正电，b带负电，a所带的电荷量比b所带的电荷量小．已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条表示，它应是（　　） A．F1 B．F2 C．F3 D．F4 【答案】B 【解析】根据“同电相斥，异电相吸”规律，确定金属小球c受到a和b的静电力的方向，考虑a的带电荷量小于b的带电荷量，根据平行四边形定则求合力如图所示，选项B正确。 【变式训练8-1】 在光滑绝缘水平面上固定一正电荷，以正电荷为圆心，在半径为的圆周上均匀分布三个带电荷量为、均可视为点电荷的负电荷。已知静电力常量为。若这三个负电荷恰好受力平衡，则正电荷对任意一个负电荷的库仑力大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 解：根据题意得到如图所示的情况。  设两个点电荷之间的距离为，根据几何关系可得：  根据库仑定律可得：，故C正确、ABD错误。  故选：。求出两个带负电的点电荷之间的距离，根据库仑定律进行解答。 本题主要是考查了库仑定律的计算公式；知道真空中静止的两个点电荷之间的作用力与它们的电荷量乘积成正比、与它们之间的距离平方成反比。 【变式训练8-2】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则(　　) A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝ C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝ 答案　D 解析　由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝① b对c的库仑力Fb＝② 设合力向左，如图所示，根据相似三角形得＝③ 由①②③得k＝＝＝，若合力向右，结果仍成立，D正确． 【变式训练8-3】如图，、两个点电荷的电量分别为和，放在光滑绝缘水平面上，、之间用绝缘的轻弹簧连接。当系统平衡时，弹簧的伸长量为。若弹簧发生的是弹性形变，保持不变，将变为，平衡时弹簧的形变量(    ) A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 【答案】C  【解析】解：设弹簧的劲度系数为，原长为； 当系统平衡时，弹簧的伸长量为，则有： 保持不变，将变为，设弹簧的压缩量为； 根据平衡条件，当系统平衡时， 联立解得 即平衡时弹簧的缩短量大于，故C正确，ABD错误。 故选：。 根据库仑定律及胡克定律列式分析，对其中的任意一个电荷，根据平衡条件列式；当电荷从变为时，电荷间的相互作用力从库仑斥力变为库仑引力，弹簧由拉伸变为压缩，再根据库仑定律、胡克定律和平衡条件列式，最后联立求解即可。 本题主要考查了库仑定律、胡克定律及共点力的平衡。 【变式训练8-4】如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个静止的带电小球、和分别位于三角形的三个顶点上，已知，，，、带正电，带负电，三个小球可视为质点所带电荷量均为，静电力常量为下列关于小球所受库仑力的大小和方向描述正确的是(    ) A. ，方向平行于向右 B. ，方向平行于向右 C. ，方向平行于向右 D. ，方向平行于向左 【答案】A  【解析】解：由题意，结合几何关系可得： 带电小球受到带点小球小球的库仑力为： ，方向沿指向右上 同理带电小球受到带电小球的库仑力为： ，方向沿指向右下，如下图所示： 所以根据力的平行四边形法则，带电小球受到带电小球、库仑力的合力为： ，方向平行于向右，故A正确，BCD错误。 故选：。 先分别求出带点小球、对的作用力，再利用力的合成求出合力，并根据几何关系判断合力的方向。 本题考查库仑定律的应用和力的合成，突破点在于先分别求出带电小球、对的作用力，然后即可根据力的合成进行求解。 【变式训练8-5】如图，三个带电小球a、b和c固定在某平面上直角ΔABC的相应顶点上，其中，小球a所受库仑力的合力方向平行于BC边。设小球b、c所带电荷量的绝对值之比为k，则（　　） A．b、c带同种电荷， B．b、c带异种电荷， C．b、c带同种电荷， D．b、c带异种电荷， 【答案】D 【解析】设小球a、b、c所带电荷量分别为、、，如图对a受力分析如图所示则b、c带异种电荷，根据库仑定律与平衡条件可得 ，联立解得； 所以D正确；ABC错误； 题型09：联系实际问题 【典型例题】图示的仪器叫做库仑扭秤，是法国科学家库仑精心设计的，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结出库仑定律。下列说法中正确的是(    ) A. 装置中、为带电金属球，为不带电的平衡小球 B. 实验过程中一定要使、球带等量同种电荷 C. 库仑通过该实验计算出静电力常量的值 D. 库仑通过该实验测量出电荷间相互作用力的大小 【答案】A  【解析】课本上库仑扭秤实验装置的设计思路和实验方法要了解，仔细观察课本的插图，了解扭秤的工作原理。本题考查了库仑扭秤实验，是源于课本的实验，要求同学们要研读教材，了解实验的构造和基本的原理。 【解答】 A、根据课本库仑扭秤实验装置：在细金属丝下面悬挂一根玻璃棒，棒的一端有一个金属小球，另一端有一个平衡小球，在离球某一距离的地方放一个同样的金属小球，故A正确。 B、和不一定是同种等量的电荷，故B错误。 、库仑通过扭秤实验研究电荷间相互作用的规律，但并没有测量相互作用力的大小和静电力常量的值，故CD错误。 故选：。   【变式训练9-1】如图是库仑做实验用的库仑扭秤。带电小球与不带电小球等质量，带电金属小球靠近，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮，使小球回到初始位置，此时、间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比。现用一个电荷量是小球的三倍、其他完全一样的小球与完全接触后分开，再次转动旋钮使小球回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：带点球之间的力为库仑力，大小为：，若用一个电荷量是小球的三倍、其他完全一样的小球与完全接触后分开，根据电荷守恒可知，两个小球的带电量都是开始时的倍，则库仑力的大小也变成原来的倍，转动的角度与力的大小成正比，所以转动的角度为原来的倍，故ABD错误，C正确； 故选：。 带点球之间的力是库仑力，根据求出，再结合转动的角度与力的大小成正比分析即可． 本题考查了库仑定律的直接应用，要求同学们能够根据控制变量法去研究库仑力随电荷量以及距离之间的关系，难度适中． 【变式训练9-2】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　C 解析　设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1＝2k1，联立可得＝2. 【变式训练9-2】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．均小于 【答案】 B 【解析】设小球a的电荷量为Q，小球b与小球a充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，再移至小球正上方处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有 此时电子秤的示数为 使小球b再次不带电，后将该不带电的小球b与a球再次充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，重新移至a球正上方L处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有 此时电子秤的示数为 因为 故 故选B。 【变式训练9-3】下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，求： （1）此时B球所受的库仑力的大小； （2）B球所在位置处的场强大小和方向。 【答案】（1）；（2），方向水平向左 【解析】（1）对B球受力分析，根据共点力平衡条件，结合几何关系得到 代入数据解得 （2）根据场强定义式，有 代入数据解得 场强方向与负试探电荷受力方向相反，故场强方向水平向左 题型10：解答题 【典型例题】有个完全一样的金属小球、、，带电荷量为，带电荷量为，球不带电，今将、两球固定起来，间距为。结果用、、字母表示 此时、球间库仑力为多大 让球先接触球再接触球，然后移去球，此时球、间库仑力又为多大 让球反复与、球接触，最后移去球，球、间库仑力最后为多大 【答案】解：根据库仑定律可得、球间库仑力为 带电体相互接触后移开，同种电荷电量平分，异种电荷电量先中和再平分 将、固定起来，球与球接触后二者的电量： 球与球接触后二者的电量： 所以此时球、间库仑力的大小是： 球反复与、球接触后，、、三球电荷量平均分配，均为 A、球间库仑力为  【解析】根据库仑定律求出之间的库仑力大小； 知道带电体相互接触后移开，同种电荷电量平分，异种电荷电量先中和再平分，最后由库仑定律求出作用力。 要清楚带电体相互接触后移开，同种电荷电量平分，异种电荷电量先中和再平分，根据库仑定律的内容求解。 【变式训练10-1】同一直线上的三个点电荷、、，恰好都处于平衡状态。除相互作用的静电力外不受其他外力作用，如图，已知、间的距离是、距离的倍。则 、、的各带什么电，列举出各种可能性； 、、的电量大小之比是多少。 【答案】解：三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足”两同夹异，近小远大“，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，则、电性一定相同，电性与前两者相反，可得正负正或负正负； 由平衡条件： 联立得：：：：。  【解析】本题考查了在库仑力作用下的平衡问题，知道三个自由电荷在同一直线上处于平衡的条件是解题的关键。 根据三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态满足”两同夹异，近小远大“可判断； 对其中两个点电荷，利用平衡条件列方程可求得。 【变式训练10-2】如下图所示，两个可视为质点的金属小球、质量都是、带正电电荷量都是，连接小球的绝缘细线长度都是，静电力常量为，重力加速度为则： 连结、的细线中的张力为多大 连结、的细线中的张力为多大 【答案】解：以组成的整体为研究对象，因为两球之间的库仑力属于内力，所以可以讲看成一个整体，则整体受到重力和绳子的拉力作用处于平衡状态，所以； 以为研究对象，受到竖直向下的重力，以及竖直向下的库仑力，还有绳子竖直向上的拉力，根据平衡条件可得：。  【解析】先运用整体法求绳子的拉力，再运用隔离法求间绳子的拉力． 本题结合库仑定律考查了力的平衡以及对整体法，隔离法的运用，在解答的过程中要注意正确选择研究对象，明确整体法与隔离法的应用． 【变式训练10-3】 如图所示，把一带电荷量为的小球用绝缘细绳悬起，若将带电荷量为的带电小球靠近，当两个带电小球在同一高度相距时，绳与竖直方向成角，取，，且，两小球均可视为点电荷，求： ，两球间的库仑力大小； 球的质量。 【答案】解：间的库仑力大小； 小球受力如图所示： 由平衡条件： 解得球的质量。  【解析】本题考查共点力平衡，库仑定律。解题的关键是知道库仑定律的应用，属于简单基础题目，是一道考查基础知识的好题。 对小球进行正确受力分析，小球受水平向左的库仑力、重力、绳子的拉力，根据平衡条件列方程求解。 【变式训练10-4】 如图所示，在倾角为的足够长的光滑斜面上放置两个质量分别为和的带电小球和均可视为质点，它们相距。两球同时由静止开始释放，释放的瞬间，球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，、的加速度大小之比为：：。静电力常量为。 若球带正电荷且电荷量为，求球所带电荷量及电性。 在的条件下求与的比值。 【答案】解：对球分析有，球带正电荷，初始时球沿斜面方向合力为零，则 ， 又， 解得； 初始时球受力平衡，两球相互排斥运动一段距离后，两球间距离增大，库仑力一定减小，小于。 球加速度方向应沿斜面向下，根据牛顿第二定律，有 ， 球加速度方向应沿斜面向下，根据牛顿第二定律，有 依题意：： 解得 又， 解得：：：。 答：若球带正电荷且电荷量为，球带正电，电荷量为； 在的条件下求与的比值为：。  【解析】根据共点力平衡判断出库仑力，即可判断电性，根据静止释放时共点力平衡即可求的电荷量； 初始时球受力平衡，两球同时由静止开始释放，由于的加速度大于，所以经过一段时间后，两球距离增大，库仑力一定减小。根据牛顿第二定律正确列出等式求解。 解决该题关键正确对物体进行受力分析和运动分析，运用牛顿第二定律求解。 【变式训练10-5】 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为，一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球细线与斜面平行。小球的质量为、电荷量为小球的右侧固定放置带等量异种电荷的小球，两球心的高度相同、间距为静电力常量为，重力加速度为，两带电小球可视为点电荷。小球静止在斜面上。 求：若球带正电且细线对球的拉力刚好为，则球电量大小是多少？ 若球带负电且斜面对球的支持力刚好为，则球电量大小是多少？ 【答案】解：根据库仑定律，小球与之间库仑力的大小为：； 若细线上的拉力为，小球受重力、支持力和库仑斥力而平衡，根据共点力平衡条件，重力的下滑分力与库仑力的上滑分力平衡，即：；联立解得：； 若斜面对球支持力刚好为零，则有：；解得：  【解析】根据库仑定律求解两个球间的库仑斥力大小，然后根据共点力平衡条件分别列式分析求解。本题关键是明确球的受力情况，然后根据共点力平衡条件列方程求解，注意细线拉力为零的临界条件。 【变式训练10-6】如图所示，质量均为、带等量异种电荷的、两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给球施加沿斜面向上、大小为为重力加速度的拉力，结果、两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为，小球大小忽略不计，斜面的倾角，静电力常量为。求： 两球一起向上做加速运动的加速度大小； 球所带的电荷量。 【答案】解：整体法，两球一起向上做加速运动，设加速度为，由于，根据牛顿第二定律： ，解得； 设球的带电量为，对球分析，根据牛顿第二定律有： ，解得  【解析】该题考查库仑定律与力学结合问题。分析好受力，灵活应用整体法和隔离法，结合牛顿第二定律等相关公式是解决本题的关键。 将两球看成整体，对整体研究，应用牛顿第二定律求解两球一起向上做加速运动的加速度大小； 对球分析，根据牛顿第二定律求解球所带的电荷量。 【变式训练10-7】如图所示，把质量为的带电小球用丝线吊起，若将带电荷量为的小球靠近它，当两小球在同一高度且相距时，丝线与竖直方向夹角为。取，则： 此时小球受到的静电力的大小为多少； 小球带何种电荷； 小球所带电荷量大小是多少。 【答案】解：小球受水平向左的库仑力、竖直向下的重力、绳子的拉力而平衡，根据平衡条件有： 根据牛顿第三定律可知，小球受到的静电力的大小也是； 两个电荷相互吸引，由于带正电，故A带负电； 设小球带的电量为，根据库仑定律得： 代入数据解得： 答：此时小球受到的静电力的大小为； 小球带负电荷； 小球所带电荷量大小是。  【解析】对小球进行正确受力分析，小球受水平向左的库仑力、重力、绳子的拉力，根据平衡条件列方程求解库仑力大小； 同时根据同种电荷相斥，异种电荷相吸，即可求解； 再依据库仑定律的公式，即可求解小球电量。 本题结合物体平衡考查了库仑定律的应用，属于简单基础题目，解答的关键是根据共点力的平衡正确求出库仑力的大小。 题型11：弹簧参与的平衡 【典型例题】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q>0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l，已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对第三个小球受力分析，第三个小球受三个力的作用， 它们的关系是 解得 所以弹簧的原长为 故B正确，ACD错误。 故选B。 【变式训练11-1】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q（q>0），C小球带电荷量为Q（Q>0），小球直径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则（　　） A．若，弹簧对小球A为向上的弹力 B．若，弹簧对小球A为向上的弹力 C．若，弹簧对小球B为向上的弹力 D．若，弹簧对小球B为向下的弹力 【答案】A 【解析】 设A、B的质量为m，AB与BC之间的距离为L，假设当弹簧处于压缩状态时，此时A球受到向上的弹力，根据平衡条件对A列出平衡方程： 对A球： 对A、B两球整体分析： 若假设成立则： 联立可以得到： AC．若，此时弹簧对小球A的弹力方向向上，对小球B的弹力方向向下，故A正确，C错误； BD．若，此时弹簧对小球A的弹力方向向下，对小球B的弹力方向向上，故BD错误。 故选A。 【变式训练11-2】如图所示，用劲度系数为的轻弹簧悬挂一个绝缘带有电荷量为的小球A，此时弹簧的长度为。在A的正下方放一个带电球B时，弹簧伸长量增加，此时两球相距。已知静电力常量为，A、B可视为点电荷，则（　　） A．A球受到的库仑力是 B．A球受到的库仑力是 C．B球带负电，电荷量是 D．B球带负电，电荷量是 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 AB．A球受到的库仑力 故AB错误； CD．弹簧伸长，说明A和B相互吸引，带电性不同，故B球带负电，根据库仑定律 则 解得 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练11-3】如图所示，光滑平面上固定金属小球A，用长l0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，则有(　　) A．x2＝x1 B．x2＝x1 C．x2>x1 D．x2<x1 【答案】C 【解析】 电量减小一半，根据库仑定律： F＝ 可知若两个球之间的距离保持不变，库仑力将减小为原来的；库仑力减小，弹簧的弹力减小，弹簧的伸长量减小，两球间的距离减小，所以实际的情况是小球之间的库仑力会大于原来的，此时弹簧的伸长量： x2>x1 ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练11-4】如图所示，真空中A、B两个点电荷的电荷量分别为和，放在光滑绝缘水平面上，A、B之间用绝缘的轻弹簧连接当系统平衡时，弹簧的伸长量为若弹簧发生的均是弹性形变，则　　 A．保持Q不变，将q变为2q，平衡时弹簧的伸长量等于 B．保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于 C．保持Q不变，将q变为，平衡时弹簧的缩短量等于 D．保持q不变，将Q变为，平衡时弹簧的缩短量小于 【答案】B 【解析】 设弹簧的劲度系数为K，原长为x，当系统平衡时，弹簧的伸长量为x0，则有； A、保持Q不变，将q变为2q时，平衡时有，解得，故A错误； B、同理可以得到保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于，故B正确； C、保持Q不变，将q变为−q，如果缩短量等于，则静电力大于弹力，故会进一步吸引，故平衡时弹簧的缩短量大于，故C错误； D、保持q不变，将Q变为−Q，如果缩短量等于，则静电力大于弹力，故会进一步吸引，故平衡时弹簧的缩短量大于，故D错误； 故选B． 【变式训练11-5】如图所示，有大小相同的A、B、C三个金属球，A、B带等量异种电荷，中间连接一个轻质绝缘的弹簧，放在光滑的绝缘水平面上，平衡时弹簧压缩量为x0，现将不带电的C球和A球接触一下，然后拿走，则产生新平衡时弹簧的压缩量x为（　　） A．x=x0 B．x＞x0 C．x＜x0 D．x= x0 【答案】C 【解析】 将不带电的C球和A球接触一下，A球的电量减小到原来的一半，库仑力减小到原来的一半，如果两球间距不变的情况下，弹力减小到原来的一半，由胡克定律可知弹簧压缩量要减小到原来的一半，随着两球间距增大，库仑力再次减小，所以弹力继续减小，x＜x0，C正确。 故选C。 【变式训练11-6】两个完全相同的带有同种电荷的小球M和N（可看成点电荷），用轻质绝缘弹簧相连后放在光滑绝缘水平面上的P，Q两点静止不动，如图所示。若将小球N的带电量突然减小一半后的瞬间，小球M和N的加速度大小分别为a1和a2，下列结论正确的是（　　） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【解析】 由题意可知开始时M、N两球开始静止不动，则弹簧的弹力等于它们之间的库仑力，当小球N的带电量突然减小一半后的瞬间根据库仑定律可知它们之间的库仑力立即减小，而弹簧的弹力在这一瞬间保持不变，故合力不为零，根据牛顿第二定律可知 因为这一瞬间两球所受弹簧弹力和库仑力都是大小相等，方向相反，而两球质量相同，故两球加速度大小相等，方向相反，故D正确，ABC错误。 故选D。          学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 库仑定律 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：点电荷 5 题型02：对库仑定律的理解 6 题型03：库仑定律与电量分配 10 题型04：库仑定律与静态平衡 11 题型05：库仑定律与动态平衡 18 题型06：库仑定律与牛顿定律 22 题型07：库仑定律与功能关系 28 题型08：库仑力的合成问题 28 题型09：库仑定律联系实际问题 31 题型10：解答题 32 题型11：弹簧参与的平衡 34 1. 题型：选择、电场基础计算题，2-4分；常结合平衡、矢量合成考查。 2. 考点：公式适用条件、库仑力大小计算、多电荷合力叠加、接触后电量重分配。 3. 易错点：混淆点电荷与普通带电体、忽略矢量方向、忘记适用真空/点电荷条件。 1. 熟记公式、适用条件，分清库仑力引力/斥力。 2. 会单个、多个点电荷库仑力合成。 3. 结合受力平衡列式计算。 知识点一：库仑定律 1.点电荷 点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。 注意：一个带电体能否看成点电荷，是相对具体问题而言的，不能单凭它的大小和形状来确定．如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略不计，此时带电体就可以视为点电荷，带电体能否看成点电荷，有时还要考虑带电体的电荷分布情况。 2. 库仑定律 (1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 (2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。 (3)适用条件：真空中的点电荷。 ①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式； ②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷． (4)库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引． 注意：库仑定律适用条件的三点理解 (1)对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离． (2)对于两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布． (3)不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞.其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看成点电荷了． 3.对库仑力的理解： 库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此受力分析时不能漏掉。库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。 注意：不能根据F＝k推出当r→0时，F→∞的结论，原因是当r→0时，两带电体已不能看成点电荷，该公式已经不再适用，况且实际电荷还有一定的线度。 对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。 ①同种电荷：F＜k； ②异种电荷：F＞k。 注意：应用库仑定律的三条提醒 (1)在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电量的绝对值计算库仑力的大小． (2)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反． (3)库仑力存在极大值，由公式F＝k可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大． 4.库仑定律与万有引力定律 定律 库仑定律 万有引力定律 公式 F＝k F＝G 影响因素 q1、q2、r m1、m2、r 区别 与两物体电荷量有关，有引力、斥力 与两个物体质量有关，只有引力 适用条件 真空中点电荷的相互作用 质点的相互作用 共同点 都与距离平方成反比；都有一个常量，该常量都可用扭秤实验得出。 知识点二：库仑力作用下的平衡问题 1.四步解决库仑力作用下的平衡问题： 2.三个自由点电荷的平衡问题： ①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。 ②平衡规律： 3.利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题： 常见模型 几何三角形和力的矢量三角形 比例关系 1. 适用判断：只有真空、点电荷才能用F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}。 2. 正负只判引力斥力，计算大小直接代电量绝对值。 3. 多电荷问题：分别求每个库仑力，正交分解矢量叠加。 4. 两相同金属球接触：先中和，剩余电量平分。 5. 比例题：距离变倍，力按距离平方反比快速口算。 题型01：点电荷 【典型例题】关于点电荷的下列说法中正确的是（　　） A．体积较大的带电体一定不能看成点电荷 B．点电荷是一种理想化模型 C．点电荷的带电量一定很小 D．足够小（例如体积小于）的电荷，一定可以看作点电荷 【变式训练1-1】关于元电荷、点电荷，以下表述正确的是（　　） A．点电荷就是电荷量很小的带电体 B．元电荷是点电荷 C．元电荷就是形状是圆的带电体 D．点电荷就是没有大小和形状而且不考虑电荷分布的带电体 【变式训练1-2】关于点电荷，下列说法正确的是(    ) A. 电荷量很小的带电体就是点电荷 B. 一个电子，不论在何种情况下，都可以看成点电荷 C. 当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷 D. 一切带电体都可以看成点电荷 【变式训练1-3】下列说法正确的是(    ) A. 点电荷就是体积很小的带电体 B. 点电荷就是带电荷量很小的点 C. 根据可知，当时，库仑定律的公式就不适用了 D. 静电力常量的数值是由实验得出的 题型02：对库仑定律的理解 【典型例题1】关于库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体 B．根据，当两个带电体间的距离趋近于零时，库仑力将趋向无穷大 C．带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍 D．库仑定律适用于在真空中两个静止点电荷之间静电力的计算 【典型例题2】两个等大导体球壳分别带+q，-q的等量异种电荷，设两个导体球壳之间的静电力大小为F，静电力常量为k，两球壳球心距离r，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【典型例题3】接触后再分开放到相距为2r处，则此时库仑力的大小为（ ） A．F B．F C．F D．F 【典型例题4】两个分别带有电荷量+Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷）固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，则两球间库仑力的大小变为（　　） A． B． C．F D． 【变式训练2-1】 关于库仑定律，下列说法正确的是(    ) A. 库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体 B. 根据，当两个带电体间的距离趋近于零时，库仑力将趋向于无穷大 C. 所带电荷量分别为和的点电荷、相互作用时，、受到的静电力大小相等 D. 库仑定律也适用于计算电荷分布不均匀的球体间的库仑力 【变式训练2-2】下列说法正确的是(　 ) A．库仑定律适用于任何电场的计算 B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零 C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为 D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力 【变式训练2-3】下列说法正确的是(　 ) A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷 B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷 C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量 D．根据F＝k，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 【变式训练2-4】光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是(　　) 【变式训练2-5】在真空中放置两个静止的点电荷，下列有关两点电荷的说法正确的是（　　） A．若只是间距变为原来的两倍，则库仑力变为原来的四倍 B．若只是电荷量均增加为原来的三倍，则库仑力增加为原来的三倍 C．若间距趋近于零时，则库仑力趋近于无穷大 D．若电荷量均加倍、间距也加倍时，则库仑力大小不变 【变式训练2-6】如图所示，有一个带正电的小球A，在绝缘水平桌面上沿方向做直线运动，若另一个带正电的小球B，固定在小球A运动方向的侧面，则小球A的运动轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-7】真空中保持一定距离的两个点电荷，若其中一个点电荷的电荷量减少了，但仍然保持它们之间的相互作用力不变，则另一点电荷的电荷量一定增加了（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-8】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间库仑斥力的大小为F。现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间库仑斥力的大小仍为F。由此可知（　　） A．n=4 B．n=5 C．n=6 D．n=7 【变式训练2-9】真空中两个静止的点电荷，电量均为，距离为，则它们间的静电力为(    ) A. 吸引力，大小为 B. 吸引力，大小为 C. 排斥力，大小为 D. 排斥力，大小为 【变式训练2-10】两个点电荷的质量分别为m1、m2，带异种电荷，电荷量分别为q1、q2，相距为d，仅在相互之间库仑力作用下各自绕它们连线上的某一定点，在同一水平面内做周期相同的匀速圆周运动，它们的总动能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-11】如图两个均匀带电小球之间的静电力为，将其中一球的带电量减半，并将两者之间距离也减半，此时两球之间的静电力为(    ) A. B. C. D. 【变式训练2-12】如图所示，完全相同的两个金属球、带有相等的电荷量，相隔一定距离，两球之间斥力大小是。今让第三个完全相同的不带电的金属小球先后与、两球接触后移开。这时，、两球之间的相互作用力的大小是 A. 　　　 B. C. D. 【变式训练2-13】真空中有两个相同的带等量异号电荷的金属小球A和B（均可看作点电荷）相距为r，带电量绝对值均为Q，它们之间静电力的大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离减小为原来的倍，则A、B间的静电力大小为（　　） A． B． C．2F D．4F 【变式训练2-14】十七、十八世纪相继发现的两大物理规律：万有引力定律和库仑定律，两个定律均表达简洁内容深邃，以惊人相似的表述形式呈现。天文学家发现银河系中普遍存在着双星系统，于是猜想在电荷之间可能存在着类双星系统。已知两个正负电荷在库仑力作用下，围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为，两电荷之间的距离为，质量分别为和，求这个类双星系统两个正负电荷的电量乘积。（设静电力常量为，忽略电荷间的万有引力） 【变式训练2-15】如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练2-16】（多选）关于库仑定律的公式F＝k，，下列说法中正确的是( ) A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0 B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞ C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了 D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了 【变式训练2-17】（多选）关于库仑定律的理解，下列说法正确的是（　　） A．对任何带电体之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式 B．只要是点电荷之间的静电力计算，就可以使用库仑定律公式 C．两个点电荷之间的静电力，无论是在真空中还是在介质中，一定是大小相等、方向相反的 D．用皮毛摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑，说明碎纸屑带正电或不带电 【变式训练2-18】库仑定律和万有引力定律有很多相似之处，对于两个点电荷或两个质点系统，关于库仑力和万有引力的相似性，下列说法不正确的是 A．这两种力都是非接触力 B．这两种力的大小都与相互作用的两物体间距离的平方成反比 C．这两种力的方向都沿着相互作用的两物体连线方向 D．这两种力既可以是吸引力又可以是排斥力 题型03：库仑定律与电量分配 【典型例题1】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6 【典型例题2】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则(　 ) A．F1＜F2 B．F1＝4F2 C．若小球a带负电，L增大，则F1增大 D．若小球a带正电，L减小，则F2增大 【变式训练3-1】两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为( ) A. B. C. D. 【变式训练3-2】（多选）两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，带电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D． 【变式训练3-3】两个圆心相距5cm的半径均为1cm的金属圆球，它们所带电荷量的绝对值恒定不变，但电性可以改变，那么，下列说法正确的是（　　） A．都带正电荷时相互作用力较大 B．都带负电荷时相互作用力较大 C．带异种电荷时相互作用力较人 D．不管带何种电荷作用力都一样大 【变式训练3-4】如图所示，真空中两个半径为a的金属球固定在绝缘支架上，两球心之间的距离r=4a，将它们分别带上电荷量为q的异种电荷，静电力常量为k。则关于两球之间库仑力大小的说法，正确的是（　　） A．等于 B．等于 C．大于 D．介于和之间 题型04： 库仑定律与静态平衡 【典型例题1】光滑绝缘水平面上相距为的点电荷、带电荷量分别为和，如图所示，今引入第三个点电荷，使三个点电荷都处于平衡状态，则的电荷量和放置的位置是  (    ) A. ，在左侧距为处 B. ，在左侧距为处 C. ，在右侧距为处 D. ，在右侧距为处 【典型例题2】一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球相连接，在小球下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球，在图中，小球能处于静止状态的是(    ) A. B. C. D. 【典型例题3】如图所示，有三个点电荷、、位于一个等边三角形的三个顶点上，已知，都带正电荷，所受，两个电荷的静电力的合力如图中所示，则下列说法正确的是(    ) A. 带正电，且 B. 带正电，且 C. 带负电，且 D. 带负电，且 【典型例题4】如图、两带电小球用绝缘细线悬挂在点，平衡时两小球刚好在同一高度上，。悬线长度不相等，两小球质量为，，电量，，下列说法正确的是(    ) A. 、两带电小球一定带异种电荷 B. 两小球带电量必然有 C. 两小球质量必然有 D. 上述情况下，不改变、的质量及带电量而使两悬线长度变得相等，重新平衡时悬挂、的悬线与竖直方向的夹角分别为、会有 【典型例题5】（多选）如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，小球A的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则（　　） A．小球A与B之间库仑力的大小为 B．当时，细线上的拉力为0 C．当时，细线上的拉力为0 D．无论满足什么条件，斜面对小球A的支持力都不可能为0 A 对小球A由平衡可知解得r=0.1m=10cm；故选A。 【变式训练4-1】经研究表明取无穷远处为零电势，导体球表面的电势与导体球所带的电荷量成正比，与导体球的半径成反比。金属小球a和金属小球b的半径之比为，所带电荷量大小之比，两小球间距远大于小球半径且间距为L时，它们之间的相互引力大小为F。现将金属小球a与金属小球b相互接触，达到静电平衡后再放回到原来位置，这时a、b两球之间的相互作用力是（不考虑万有引力）（　　） A．库伦斥力 B．库伦斥力 C．库伦引力 D．库伦引力 【变式训练4-2】如图所示，光滑绝缘的水平面上固定两个带有正电荷的小球，。将另一带正电小球放在、连线的中点处，恰好处于静止状态。小球，，均可视为质点，现将缓慢向右移动，下列说法正确的是 A. 小球，所带电荷量一定相等 B. 小球，，所带电荷量一定相等 C. 小球将向左运动 D. 小球仍保持静止状态 【变式训练4-3】 如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　) A．正电荷，在B的右边0.4 m处 B．正电荷，在B的左边0.2 m处 C．负电荷，在A的左边0.2 m处 D．负电荷，在A的右边0.2 m处 【变式训练4-4】如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为（　　） A．9∶4∶9 B．4∶9∶4 C．9∶（-4）∶36 D．9∶36∶4 【变式训练4-5】如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是(　 ) A．A所带电荷量一定为＋4q B．轻质细杆对两球有拉力 C．A与B之间的距离一定为L D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动 【变式训练4-6】 如图所示，一个质量为，带电量为的小球，用一根绝缘细线悬挂在点，为了让小球在图示位置能保持静止，在离球距离为的某点固定一带电量为的球图中未画出，则球所带电量可能的是(    ) A. B. C. D. 【变式训练4-7】如图所示，两个可视为点电荷带异种电荷的小球、，用绝缘杆固定在的上方，两球相距时恰好平衡，若将向上移动，仍要它平衡，可采用的方法是(    ) A. 使、均减小到原来的 B. 仅使增加到原来的 C. 仅使减小到原来的 D. 使、均增加到原来的 【变式训练4-8】如图所示，两个完全相同的带电小球，所带电荷量均为，质量为，球用绝缘轻绳悬挂，球靠近的过程中，绝缘轻绳与竖直方向夹角不断增大。最终稳定在某一位置，此时两小球球心连线水平且，则此时两球之间的间距为（　　）（已知） A． B． C． D． 【变式训练4-9】(多选) 如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，且均可视为点电荷．A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，则A、B球之间的距离可能为(　　) A．0.5 m　 B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m 【变式训练4-10】两个点电荷Q1与Q2静立于竖直平面上，于P点放置一检验电荷恰好处于静止状态，PQ1与Q1Q2夹角为30°，PQ1⊥PQ2，则Q1与Q2电量之比为 ，在PQ1连线上是否存在其它点能让同一检验电荷维持平衡状态 （存在，不存在）。 【变式训练4-11】与“磁悬浮”对应的一种技术叫“电悬浮”。如图所示，竖直平面内有a、b、c三个带电小球，其中a、b固定于绝缘水平面上，三球的连线恰好组成正三角形，“电悬浮”恰好能使小球c静止，则（　　） A．a、b的电荷量必相等 B．a、b、c的电荷量必相等 C．a、b有可能带相反电性的电荷 D．c的重力大小等于a、c间的库仑斥力大小 【变式训练4-12】如图，三个带电小球用等长的绝缘细线悬挂于水平天花板上，当带负电时，三条细绳都恰好与天花板垂直，则(    ) A. 带正电荷 B. 带负电荷 C. 带电量大于所带电量 D. 带电量小于所带电量 【变式训练4-13】让两个完全相同的金属球各自带电后，用两相同绝缘绳悬挂于O点，两球静止时状态如图所示，下列说法正确的是（　　） A．两球带异种电荷 B．两球所带电荷量一定相同 C．若绝缘绳缩短相同长度，两绳夹角增大 D．若两球相碰后分开，再次静止时夹角减小 【变式训练4-14】如图所示，光滑轻环用轻绳悬挂在天花板的点，一根不可伸长的绝缘轻绳穿过轻环，两端连接质量分别为、的、两个带电小球，小球可视为质点，当两球静止时过点的竖直线与的连线交于点。、两点到点距离分别为、，到点绳长分别为、。则以下说法正确的是（　　） A．大于 B． C． D．如果漏电、两个带电小球的距离可能不变 【变式训练4-15】如图所示，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，则造成α、β不相等的原因是（　　） A．m1<m2 B．m1>m2 C．q1<q2 D．q1>q2 【变式训练4-16】 如图所示，质量分别是和、带电荷量分别为和的小球，用长度不等的轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别是和，两小球恰在同一水平线上，那么  (    ) A. 两球一定带同种电荷 B. 一定大于 C. 一定等于 D. 两球所受库仑力一定大小相等 【变式训练4-17】如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则(　 ) A．P和Q都带正电荷 B．P和Q都带负电荷 C．P带正电荷，Q带负电荷 D．P带负电荷，Q带正电荷 【变式训练4-18】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则(　 ) A．qC＝q0 B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q0 【变式训练4-19】(多选) 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行．小球A的质量为m、电量为q.小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d.静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷．小球A静止在斜面上，则(　　) A．小球A与B之间库仑力的大小为 B．当＝ 时，细线上的拉力为0 C．当＝ 时，细线上的拉力为0 D．当＝ 时，斜面对小球A的支持力为0 【变式训练4-20】如图所示，绝缘斜面体静止于粗糙的水平面上，，，两个可视为质点的带电物体P、Q分别静止在和面上，且连线水平。已知面均足够长且光滑，斜面体和、的质量分别为、、，重力加速度为，，下列判断正确的是（    ） A．P、Q的质量之比是 B．P、Q带异种电荷，且的电荷量大于的电荷量 C．水平面对斜面体的支持力等于 D．若改变P、Q质量和电荷量使得P沿静止斜面加速上滑而Q加速下滑（斜面体保持静止），则在P、Q运动过程中斜面受到的静摩擦力水平向右 【变式训练4-21】如图所示，绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角θ=30°。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，且小球A正好静止在斜面中点。在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B，两球相距为d。已知两球的质量均为m、电荷量均为+q，静电力常量为k，重力加速度为g，两球均可视为点电荷。则下列说法不正确的是（　　） A．两球之间的库仑力F=k B．当时，斜面对小球A的支持力为 C．当时，细线上拉力为0 D．将小球B移到斜面底面左端C点，当时，斜面对小球A的支持力为0 【变式训练4-22】如图所示，质量为m的小物块P和小球Q均可视为点电荷，电荷量相同。置于粗糙水平面上的斜面体倾角为θ、质量为M，将小物块P放在粗糙的斜面体上。当小球Q放在与P等高（PQ连线水平）时，P静止且受斜面体的摩擦力为0，斜面体保持静止，此时经测量小物块与小球Q的距离为r。设静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）    A．小球Q所带电荷量为 B．P对斜面体的压力为FN=mgcosθ C．斜面体对地面的压力为（M+m）g D．斜面体受到地面的摩擦力为0 【变式训练4-23】如图所示，两倾角相同、倾斜面均光滑的绝缘斜面体相邻静置于粗糙水平地面上，两带正电的小球A、B（可视为点电荷）在斜面上同一高度处保持静止，下列说法正确的是（    ） A．小球A和小球B的质量不一定相等 B．两斜面对小球A、B的支持力大小不一定相等 C．小球A和小球B的电荷量不一定相等 D．地面对两斜面的摩擦力大小不一定相等 【变式训练4-24】如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，壳层的厚度和质量分布均匀，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，为球半径的3倍．若使它们带上等量异种电荷，两球电荷量的绝对值均为Q，那么，a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为(　　) A．F引＝G，F库＝k　　　　 B．F引≠G，F库≠k C．F引≠G，F库＝k D．F引＝G，F库≠k 题型05：库仑定律与动态平衡 【典型例题1】均视为点电荷。小球静止时悬线与竖直方向的夹角为，由于漏电，、两小球的电荷量逐渐减小。在电荷漏完之前，有关悬线对悬点的拉力和、之间库仑力的大小，下列说法中正确的是(    ) A. 保持不变，逐渐减小 B. 逐渐增大，先变大后变小 C. 逐渐减小，逐渐减小 D. 先变大后变小，逐渐增大 【典型例题2】如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（　　） A．A球的质量小于B球的质量 B．此过程中A球保持静止状态 C．此过程中点电荷对B球的库仑力逐渐增大 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 【变式训练5-1】一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是(　　) A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小 B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小 C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变 D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变 【变式训练5-2】如图所示，是一个放置在绝缘支架上的带电小球，是用绝缘丝线悬挂的另一带电小球。由于它们之间存在相互作用，静止时悬线与竖直方向成一夹角：现将带电小球向右移动少许，使、间距离减小，当小球再次静止时，与原来状态比较，悬线与竖直方向的夹角(    ) A. 增大 B. 减小 C. 没有变化 D. 如何变化不能确定 【变式训练5-3】真空中相距为的两点电荷、，电量均为，相互作用力为若要使相互作用力变为，可采用的方法是(    ) A. 、电量同时增大为，距离保持不变 B. 电量增大为，电量不变，距离保持不变 C. 、电量不变，距离变为 D. 、电量不变，距离变为 【变式训练5-4】如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 【变式训练5-5】 如图，、两个带电小球用等长绝缘轻质细线悬挂于点，球固定，与球相连的细线与竖直方向成一定的夹角，若其中一个小球由于漏电，电荷量缓慢减小，则关于、两球的间距和它们之间的库仑力大小的变化，下列说法中正确的是(    ) A. 间距变小，库仑力变大 B. 间距变小，库仑力变小 C. 间距变小，库仑力不变 D. 间距变大，库仑力变小 【变式训练5-6】如图所示，在一个半球形的绝缘光滑球壳内，有M、N两个半径较小的均匀带电的绝缘小球。N球固定，M球静止时如图所示，球壳球心为O，OC为过圆心的竖直线，交MN的连线于Q点。现M球的电荷量缓慢减小（仍分布均匀），下列说法正确的是（　　） A．两小球间的库仑力将增大 B．M球受到的弹力减小 C．OC和MN的交点Q不会移动 D．OC和MN垂直时，库仑力大小等于M球的重力 【变式训练5-7】如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用10cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板的O点，平衡时O、A间细线竖直且A小球与光滑竖直绝缘墙壁接触，O、B间细线偏离竖直方向60°。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的3倍，两个小球质量均为0.3g，取g=10m/s2，静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．两个小球可能带异种电荷 B．A小球所带的电荷量为 C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为 D．若B小球缓慢漏电，则O、B间细线上的拉力逐渐减小 【变式训练5-8】如图所示，水平天花板下方固定一光滑定滑轮O，在定滑轮正下方C处固定一带正电的点电荷。不带电的A球与带正电的B球用绝缘轻绳跨过O连接，A、B均视为质点，初始系统静止且。若B的电荷量缓慢减少，在B到达O正下方前，则（    ）    A．B球的轨迹是一段圆弧 B．A球的质量大于B球的质量 C．此过程中点电荷对B球的库仑力减小 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 【变式训练5-9】（多选）用细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一也带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示。现将细绳剪断后(　　) A．小球B在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动 B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g C．小球B落地的时间小于 D．小球B落地的速度大于 【变式训练5-10】（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为,可采用的方法是(　　)。 A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍 B.将小球B的质量增大到原来的8倍 C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半 D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍 【变式训练5-11】（多选）如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为(　　) A．0.5 m B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m 题型06： 库仑定律与牛顿定律 【典型例题1】如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为和的小球、，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为的力作用在上，当、间的距离为时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在上，欲使两小球间的距离保持为并相对静止，则外力的大小应为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A．B球的电荷量可能为＋2q B．C球的电荷量为－2q C．三个小球一起运动的加速度大小为 D．恒力F的大小为 【典型例题3】足够长的固定的光滑绝缘斜面倾角为α，质量相等均带正电的两个小滑块P和Q置于斜面上，重力加速度为g，用沿斜面向上的力F推动P，使两滑块均作匀速运动。某时刻突然撤去该推力，从此刻开始到P的速度刚要减为零的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P的加速度大小的最大值为 B．P的速度大小均不小于同一时刻Q的速度大小 C．Q的动能先减小后增大 D．Q的机械能一直减小 典型例题4】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。 (1)求小球所带的电荷量及电性； (2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小； [思路点拨] (1)先画出小球静止时的受力示意图。 (2)在细线剪断后小球做匀加速直线运动。 【变式训练6-1】如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定着三个带电小球a、b、c，三球在一条直线上，其质量之比为1∶2∶4，设向右为正方向，若仅释放a球，a球的初始加速度为，若仅释放c球，c球初始加速度为，当仅释放b球时，b球的初始加速度为（　　） A．3m/s2 B． C．5m/s2 D． 【变式训练6-2】 如图所示，光滑绝缘的水平面上的点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧点由静止开始释放一个也带正电的小球可视为质点，以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是  (    ) A. B. C. D. 【变式训练6-3】在光滑的水平面上固定两个点电荷A和B，它们的质量分别为2m和m，所带电荷量分别为Q和2Q，如图所示。水平外力先作用在A上，解除锁定后，A，B恰能一起相对静止做匀加速直线运动，调整A、B间的距离，后用相同大小的水平外力作用在B上，A、B又恰能一起相对静止做匀加速直线运动。则以下说法正确的是（　　） A．两点电荷的电性一定相反 B．外力作用在上时两点电荷的加速度小于作用在B上时两点电荷的加速度 C．点电荷对点电荷B的库仑力大于点电荷B对点电荷的库仑力 D．外力作用在上时、B的间距与作用在B上时、B的间距之比为 【变式训练6-4】如图所示，水平光滑的绝缘细管中有两形状相同的带电金属小球A、B，质量满足，两球相向运动，当它们相距L时，A的加速度大小为a，已知A球带电荷量为，B球带电荷量为。当两球相碰后（不计能量损失）再次相距为L时，则（　　） A．A球、B球加速度大小分别为， B．A球、B球加速度大小分别为， C．A球、B球加速度大小分别为， D．A球、B球加速度大小分别为a， 【变式训练6-5】如图所示，光滑绝缘水平桌面上有、两个带电小球可以看成点电荷，球带电荷量为，球带电荷量为，由静止开始释放后，球的加速度大小为球的两倍，不计空气阻力，下列说法正确的是  (    ) A. 球受到的静电力是球受到静电力的倍 B. 球的质量是球质量的倍 C. 球受到的静电力与球受到的静电力是一对平衡力 D. 、两球相互靠近的过程中加速度都增大，且球的加速度总是球的两倍 【变式训练6-6】如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动 B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动 C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动 D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动 【变式训练6-7】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是(    ) A. 速度变大，加速度变小 B. 速度变小，加速度变小 C. 速度变大，加速度变大 D. 速度变小，加速度变大 【变式训练6-8】 如图所示，放在绝缘支架上的小球和悬挂在绝缘丝线下的小球带同种电荷，两小球的带电量，质量，球静止时悬线偏离竖直方向某一角度，、两球所受库仑力的大小分别为和，则(    ) A. B. C. D. 无法确定 【变式训练6-9】 如图所示，光滑绝缘水平面上有三个质量均为的带电小球，、球带正电，电荷量均为。有一水平拉力作用在球上，如果三个小球能够保持边长为的正三角形“队形”一起沿拉力方向做匀加速直线运动，已知静电力常量为，则下列说法正确的是(    ) A. A、之间的库仑力大小为 B. A、之间的库仑力大小为 C. 球带负电，且电荷量为 D. 球带正电，用电荷量为 【变式训练6-10】如图所示，一带电量为+Q的均匀带电圆筒竖直放置，以圆筒中心为坐标原点O在竖直方向上建立x轴，以竖直向上为正方向。从x轴上某高度由静止释放一带电荷量大小为q的小球，小球向下运动，当它经过x=h位置时它的速度为v0，加速度为0。已知重力加速度为g，静电力常量为k，不考虑小球所带电荷对带电圆筒上电荷分布的影响。下列说法中正确的是（　　） A．小球可能带负电 B．小球的质量 C．小球经过O点时的加速度大于g D．小球经过x=−h处时的速度为 【变式训练6-11】如图所示，静置于光滑水平面上两带电物体A、B质量为和，相距为。水平恒力作用在上，同时释放A、B，A、B会一起相对静止的向右运动。当恒力大小不变，仅方向改变作用在上，改变A、B的间距，也可使A、B一起相对静止的向左运动。则下列说法正确的是（　　） A．两物体一定带异种电荷 B．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 C．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 D．作用在上时，A、B间的距离为 【变式训练6-12】如图所示，将质量均为，带电荷量分别为、、的三个带电小球、、放置在光滑水平面上，所构成的三角形边长分别为、、。初态由静止释放后，在库仑力的作用下，之后的运动过程中三个小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，小球半径较小，小球之间库仑力始终遵守库仑定律。下列说法正确的有（    ） A．当三角形面积变为初态的9倍时，A球的加速度变为初态的 B．三个小球的加速度矢量和一直为零 C．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 D．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 【变式训练6-13】如图所示，带电小球A、B、C位于光滑绝缘水平面内的一直线上，质量均为m，A、C的电荷量均为q，与B的距离均为r。当B球带电量为Q时，三小球均能处于静止状态；当B球电量变为（电性不变），A、C球能够以相同的角速度（k为静电力常量）绕B球做半径为r的匀速圆周运动，则等于（　　）    A． B． C． D． 【变式训练6-14】如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为，，重力加速度为g，静电力常量为k。则（    ） A．小球a的线速度为 B．小球b的角速度为 C．小球c的向心加速度大小为 D．外力F竖直向上，大小为 【变式训练6-15】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度大小。 (2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。 【变式训练6-16】如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求： (1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？ (2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？ 【变式训练6-17】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？ 题型07：库仑定律与功能关系 【典型例题】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变小，加速度变大 【变式训练7-1】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______ 【变式训练7-2】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球在B点时对轨道的压力． 题型08：库仑力的合成问题 【典型例题1】如图1所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×10－9 C、QB＝－4×10－9 C、QC＝＋3×10－9 C的A、B、C三个点电荷，则作用在点电荷A上的库仑力的大小为（　　） 图1 A．9.9×10－4 N B．9.9×10－3 N C．1.17×10－4 N D．2.7×10－4 N 【典型例题2】如图所示，在等腰直角三角形ABC的三个顶点上分别固定三个带电荷量分别为Q1、q、Q2的点电荷，点电荷受到的库仑力的合力垂直于AB斜向右下方，关于点电荷的电性及带电荷量之间的关系，下列说法正确的是（　　） A．电性相反， B．电性相反， C．电性相同， D．电性相同， 【典型例题3】在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示。如果保持它们的位置不变，则位于A点的点电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】）如图2所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上。a和c带正电，b带负电，a所带的电荷量比b所带的电荷量小．已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条表示，它应是（　　） A．F1 B．F2 C．F3 D．F4 【变式训练8-1】 在光滑绝缘水平面上固定一正电荷，以正电荷为圆心，在半径为的圆周上均匀分布三个带电荷量为、均可视为点电荷的负电荷。已知静电力常量为。若这三个负电荷恰好受力平衡，则正电荷对任意一个负电荷的库仑力大小为(    ) A. B. C. D. 【变式训练8-2】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则(　　) A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝ C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝ 【变式训练8-3】如图，、两个点电荷的电量分别为和，放在光滑绝缘水平面上，、之间用绝缘的轻弹簧连接。当系统平衡时，弹簧的伸长量为。若弹簧发生的是弹性形变，保持不变，将变为，平衡时弹簧的形变量(    ) A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 【变式训练8-4】如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个静止的带电小球、和分别位于三角形的三个顶点上，已知，，，、带正电，带负电，三个小球可视为质点所带电荷量均为，静电力常量为下列关于小球所受库仑力的大小和方向描述正确的是(    ) A. ，方向平行于向右 B. ，方向平行于向右 C. ，方向平行于向右 D. ，方向平行于向左 【变式训练8-5】如图，三个带电小球a、b和c固定在某平面上直角ΔABC的相应顶点上，其中，小球a所受库仑力的合力方向平行于BC边。设小球b、c所带电荷量的绝对值之比为k，则（　　） A．b、c带同种电荷， B．b、c带异种电荷， C．b、c带同种电荷， D．b、c带异种电荷， 题型09：联系实际问题 【典型例题】图示的仪器叫做库仑扭秤，是法国科学家库仑精心设计的，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结出库仑定律。下列说法中正确的是(    ) A. 装置中、为带电金属球，为不带电的平衡小球 B. 实验过程中一定要使、球带等量同种电荷 C. 库仑通过该实验计算出静电力常量的值 D. 库仑通过该实验测量出电荷间相互作用力的大小 【变式训练9-1】如图是库仑做实验用的库仑扭秤。带电小球与不带电小球等质量，带电金属小球靠近，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮，使小球回到初始位置，此时、间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比。现用一个电荷量是小球的三倍、其他完全一样的小球与完全接触后分开，再次转动旋钮使小球回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为(    ) A. B. C. D. 【变式训练9-2】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为(　　) A．1 B. C．2 D．4 【变式训练9-2】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．均小于 【变式训练9-3】下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，求： （1）此时B球所受的库仑力的大小； （2）B球所在位置处的场强大小和方向。 题型10：解答题 【典型例题】有个完全一样的金属小球、、，带电荷量为，带电荷量为，球不带电，今将、两球固定起来，间距为。结果用、、字母表示 此时、球间库仑力为多大 让球先接触球再接触球，然后移去球，此时球、间库仑力又为多大 让球反复与、球接触，最后移去球，球、间库仑力最后为多大 【变式训练10-1】同一直线上的三个点电荷、、，恰好都处于平衡状态。除相互作用的静电力外不受其他外力作用，如图，已知、间的距离是、距离的倍。则 、、的各带什么电，列举出各种可能性； 、、的电量大小之比是多少。 【变式训练10-2】如下图所示，两个可视为质点的金属小球、质量都是、带正电电荷量都是，连接小球的绝缘细线长度都是，静电力常量为，重力加速度为则： 连结、的细线中的张力为多大 连结、的细线中的张力为多大 【变式训练10-3】 如图所示，把一带电荷量为的小球用绝缘细绳悬起，若将带电荷量为的带电小球靠近，当两个带电小球在同一高度相距时，绳与竖直方向成角，取，，且，两小球均可视为点电荷，求： ，两球间的库仑力大小； 球的质量。 【变式训练10-4】 如图所示，在倾角为的足够长的光滑斜面上放置两个质量分别为和的带电小球和均可视为质点，它们相距。两球同时由静止开始释放，释放的瞬间，球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，、的加速度大小之比为：：。静电力常量为。 若球带正电荷且电荷量为，求球所带电荷量及电性。 在的条件下求与的比值。 【变式训练10-5】 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为，一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球细线与斜面平行。小球的质量为、电荷量为小球的右侧固定放置带等量异种电荷的小球，两球心的高度相同、间距为静电力常量为，重力加速度为，两带电小球可视为点电荷。小球静止在斜面上。 求：若球带正电且细线对球的拉力刚好为，则球电量大小是多少？ 若球带负电且斜面对球的支持力刚好为，则球电量大小是多少？ 【变式训练10-6】如图所示，质量均为、带等量异种电荷的、两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给球施加沿斜面向上、大小为为重力加速度的拉力，结果、两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为，小球大小忽略不计，斜面的倾角，静电力常量为。求： 两球一起向上做加速运动的加速度大小； 球所带的电荷量。 【变式训练10-7】如图所示，把质量为的带电小球用丝线吊起，若将带电荷量为的小球靠近它，当两小球在同一高度且相距时，丝线与竖直方向夹角为。取，则： 此时小球受到的静电力的大小为多少； 小球带何种电荷； 小球所带电荷量大小是多少。 题型11：弹簧参与的平衡 【典型例题】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q>0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l，已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-1】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q（q>0），C小球带电荷量为Q（Q>0），小球直径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则（　　） A．若，弹簧对小球A为向上的弹力 B．若，弹簧对小球A为向上的弹力 C．若，弹簧对小球B为向上的弹力 D．若，弹簧对小球B为向下的弹力 【变式训练11-2】如图所示，用劲度系数为的轻弹簧悬挂一个绝缘带有电荷量为的小球A，此时弹簧的长度为。在A的正下方放一个带电球B时，弹簧伸长量增加，此时两球相距。已知静电力常量为，A、B可视为点电荷，则（　　） A．A球受到的库仑力是 B．A球受到的库仑力是 C．B球带负电，电荷量是 D．B球带负电，电荷量是 【变式训练11-3】如图所示，光滑平面上固定金属小球A，用长l0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，则有(　　) A．x2＝x1 B．x2＝x1 C．x2>x1 D．x2<x1 【变式训练11-4】如图所示，真空中A、B两个点电荷的电荷量分别为和，放在光滑绝缘水平面上，A、B之间用绝缘的轻弹簧连接当系统平衡时，弹簧的伸长量为若弹簧发生的均是弹性形变，则　　 A．保持Q不变，将q变为2q，平衡时弹簧的伸长量等于 B．保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于 C．保持Q不变，将q变为，平衡时弹簧的缩短量等于 D．保持q不变，将Q变为，平衡时弹簧的缩短量小于 【变式训练11-5】如图所示，有大小相同的A、B、C三个金属球，A、B带等量异种电荷，中间连接一个轻质绝缘的弹簧，放在光滑的绝缘水平面上，平衡时弹簧压缩量为x0，现将不带电的C球和A球接触一下，然后拿走，则产生新平衡时弹簧的压缩量x为（　　） A．x=x0 B．x＞x0 C．x＜x0 D．x= x0 【变式训练11-6】两个完全相同的带有同种电荷的小球M和N（可看成点电荷），用轻质绝缘弹簧相连后放在光滑绝缘水平面上的P，Q两点静止不动，如图所示。若将小球N的带电量突然减小一半后的瞬间，小球M和N的加速度大小分别为a1和a2，下列结论正确的是（　　） A． B． C．，且 D．，且    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $