第11讲 电势差与电场强度 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦电势差与电场强度核心考点，以U=Ed关系为桥梁，串联匀强/非匀强电场分析、等分法计算等高考高频题型，通过考情梳理、知识要点整合、解题策略提炼、题型归纳分层的教学流程，帮助学生构建从概念理解到实际应用的完整知识体系。 讲义突出科学思维与模型建构，如通过“找等势点-画等势线-定电场方向-算距离d”四步策略突破匀强电场多点电势问题，结合直角坐标系、三角形等几何模型训练空间分析能力。设置典型例题与变式训练分层练习，助力学生高效掌握高考解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第11讲 电势差与电场强度 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：匀强电场中电势差与电场强度的关系 5 题型02：非匀强电场中U＝Ed的定性应用 9 题型03：等分法计算匀强电场的电场强度 17 （一）已知直角坐标系空间位置模型 17 （二）已知三角形空间位置模型 19 （三）已知四边形空间位置模型 21 （四）已知多边形空间位置模型 23 题型04：匀强电场中求电势、电势能的问题 24 题型05：等差等势面问题 25 题型06：运动轨迹问题 26 题型07：联系实际问题 28 巩固提升 29 1. 考查地位：电场模块重要定量考点，高考中档高频考点。是联系场强与电势的桥梁，选择题、计算题均会出现。 2. 题型特点 ①选择题：匀强电场结合等势点、等势线做电势、场强大小方向的定性+简单计算； ②计算题：常嵌入带电粒子在匀强电场运动，利用 U=Ed 完成电势差、场强、电场力做功之间换算。 注意：公式 U=Ed 只适用于匀强电场，非匀强电场只做定性估算。 3. 命题角度 ①公式 U=Ed 的物理意义，d 的含义（沿电场方向的距离）； ②匀强电场中利用几何关系找 d，计算电势差、场强； ③匀强电场中“平行等长线段电势差相等”，结合中点电势公式求解未知点电势； ④非匀强电场定性：等势面越密，场强越大； ⑤结合等势线找电场方向，求场强大小。 4. 高频失分点 把两点直线距离直接当作 d，忽略必须沿电场线方向；直接把 U=Ed 套用于非匀强电场；分不清U、E、d三者正反比关系。 1. 概念理解 ①理解匀强电场中电势差和场强的关系，记住公式 U=Ed；明确 d 是两点沿电场强度方向的距离。 ②知道场强另一个单位：V/m与 N/C 等价。 ③清楚：U=Ed 仅适用于匀强电场；非匀强电场只能做定性判断。 2. 规律掌握 掌握匀强电场推论： ①一条线段中点电势等于两端电势平均值； ②匀强电场中，相互平行且长度相等的线段，电势差相等。 3. 分析能力 ①给出匀强电场几个点的电势，会找等势点、画出等势线；作垂线得到电场线方向。 ②能区分：场强大≠电势高；场强为零≠电势为零。 4. 计算应用 会结合几何关系求有效距离d，完成U、E互相求解；会联立 W=qU 综合解题 电势差与电场强度的关系 1.关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积：＝Ed或E＝(注：公式中d是两点沿电场方向距离) 【注意】电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向，电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢。 2.在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论” 3.等分法及其应用 (1)等分法：如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 (2)“等分法”的应用思路： 补充：E＝在非匀强电场中的定性分析 ①公式中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度。 ②电势差一定时，场强越大，则沿场强方向的距离越小，此时等差等势面越密。 ③距离相等的两点间的电势差：场强越大，电势差越大；场强越小，电势差越小。可以用来判断电势的高低。 ④利用－x图像的斜率判断电场强度：曲线斜率，斜率表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。 1. 公式使用要点 ＝Ed匀强电场专用；d 必须是沿电场方向投影距离，不是两点直线间距。 变形：E＝，反映匀强电场场强大小。 2. 匀强电场多点电势题解题步骤 ①观察坐标/几何点，优先用中点电势公式，寻找等势点； ②连接等势点画出等势线； ③过等势线作垂线，即为电场线方向（由高电势指向低电势）； ④再找出两点沿电场方向距离d，代入 U=Ed 求场强。 3. 两条核心推论速用 ①匀强电场，平行且相等线段，电势差相等； ②线段中点电势 φC＝。 4. 非匀强电场只能定性 等势面越密集处，电场强度越大，不能用U=Ed计算。 （1）判断电场强度大小：结合等差等势面的疏密判断电场强度大小，根据E＝，当电势差U一定时，等差等势面越密，则沿电场方向的距离d越小，电场强度E＝越大；反之，则E越小。等差等势面越密，电场强度越大。 （2）判断电势差的大小：结合电场线的疏密定性判断非匀强电场中两点间电势差的大小，根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。 如图甲所示，AB＝BC，则有UAB＞UBC；平均场强E越小，则电势差U越小，如图乙所示，AB＝BC，则有UAB ＜UBC 5. 避坑提醒 ①E与U没有正比反比关系：E由电场本身决定，不随U、d变化； ②电场方向一定垂直等势面，由高电势指向低电势； ③计算 U=Ed 一般代入绝对值，电势高低另外判断。 6. 逻辑链条 已知多点电势 →找等势点→画等势线→定电场方向→找沿电场距离d→用 U=Ed 完成计算。 题型01：匀强电场中电势差与电场强度的关系 【典型例题】如图所示为匀强电场中水平方向的等势面，每两个相邻等势面间的距离均为，由此可确定电场强度的方向和大小是（　　） A．竖直向下， B．水平向左， C．竖直向上， D．水平向右， 【典型例题2】如图所示为一水平向右的匀强电场的电场线，其中A、B、C、D为一条电场线上的四个点，已知，，，匀强电场的电场强度大小为。则下列说法正确的是（　　） A．两点之间的电势差 B．如果A点的电势为零，则D点的电势为 C．如果B点的电势为零，则D点的电势为 D．一试探电荷由C直接到D与该试探电荷由C经O再到D的过程，电场力做功不同 【典型例题3】如图，已知某匀强电场方向平行于正大边形ABCDEF所在平面。已知A、B、C、D点的电势分别为4V、3V、1V、0V。现有一电荷量大小为2e的带电粒子（不计重力）从A点以初动能6eV沿AC方向射入电场，恰好经过AB的中点G。下列说法中正确的是（　　） A．该粒子一定带正电 B．该匀强电场的场强方向是从A沿直线指向D C．该粒子达到G点时的动能为1eV D．若只改变该粒子在A点时的初速度方向，该粒子可能经过C点 【典型例题4】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势，，（），保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为（　　） A． B．2 C． D．（1＋） 【典型例题5】空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是（　　） A．E = 3 V/m，方向沿x轴正方向 B．E = 5 V/m，方向指向第一象限 C．E = 400 V/m 方向沿y轴负方向 D．E = 500 V/m，方向指间第三象限 【典型例题6】如图，边长为L的正四面体ABCD处于匀强电场之中。仅在电场力作用下，一电子自A点运动到D点，其动能增加W；一质子自A点移到B点或C点，其电势能均增加W；A点电势为0，质子电荷量为e，则（　　） A．B点电势为 B．D点电势为 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【变式训练1-1】如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点，恰好处于以AB为直径的圆周上，圆周所在平面与电场方向平行。已知A、B、C三点的电势分别为2 V、0、0，AC的长度为m，与AB夹角为30°。则下列说法正确的是（　　） A．O点的电势应该低于V B．圆周上A点电势最高 C．圆周上电势最高点的电势为（＋2）V，而电势最低点为BC弧的中点 D．该电场的电场强度为2 V/m 【变式训练1-2】如图所示，匀强电场与圆O平面平行，AB为圆直径，长度为20cm，C为圆周上一点，其中∠BAC=60°。已知A、B的电势分别为2V、6V，C点电势低于A点电势，圆上最低电势为0，最高电势为8V，下列说法正确的是（　　） A．该电场的电场强度大小为40V/m B．把电子自A移动到C点，电子电势能增加2eV C．把质子自C移动到B点，质子电势能增加4eV D．把电子自C移动到O点，电子电势能减少3eV 【变式训练1-3】如图所示，、、、是圆上的四点，，，，一匀强电场的方向与圆所在平面平行，已知、、三点电势分别为、、，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小为 B．点电势比点电势高 C．电子在点的电势能比在点的低 D．电子从点运动到点，克服电场力做功 【变式训练1-4】匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角，半径，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知，，，以下说法正确的是（　　） A． B． C．电场方向沿AO连线方向 D．场强大小为3V/m 【变式训练1-5】如图所示，空间中存在着匀强电场，长方体中是边长为1m的正方形，棱长2m，为棱的中点，为棱的中点。已知电势，，，，。则下列说法正确的是（　　） A．电场强度方向与连线平行 B．电场强度大小为 C．两点的电势差与两点的电势差相同 D．把0.1C正电荷从点移到点，电场力做功0.2J 【变式训练1-6】空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系，M、N、P为电场中的三个点，点的坐标为，N点的坐标为，点的坐标为。已知电场方向平行于直线，点电势为0，点电势为，则点的电势为（　　） A． B． C． D． 题型02：非匀强电场中U＝Ed的定性应用 【典型例题1】某电场中等势面分布如图所示，图中虚线表示等势面，过a、b两点的等势面电势分别为40 V和10 V，则a、b连线的中点c处的电势应为(　　 ) A．一定等于25 V　　 B．大于25 V C．小于25 V D．可能等于25 V 【典型例题2】如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　 A．a是直流高压电源的正极 B．电场中P点的场强小于M点的场强 C．电场中M点的电势低于N点的电势 D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN 【典型例题3】(多选)某种静电除尘器中的电场线如图中虚线所示．K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d.B点是AK连线的中点．在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速．不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是(　　) A．A、K之间电场强度的大小为 B．电子到达A时动能等于eU C．由K到A电子电势能增大了eU D．B、K之间的电势差小于A、B之间的电势差 【典型例题4】如图甲所示，点电荷q1固定在A点，点电荷q2固定在B点，A、B之间的距离为r1，现把点电荷q2，从B点移到C点，A、C之间的距离为r2，图乙是点电荷q1、q2之间的库仑力F随距离r的变化图像，已知图像下面阴影部分曲边梯形的面积为S，则B、C之间电势差为UBC为（　　） A． B． C． D． 【典型例题5】某平行板电容器内外的电场线分布如图甲所示，上极板所带电荷量为+Q，两极板内正中心位置A点固定着一小试探电荷+q。现在上极板正中心施加压力F，使电容器的上极板弯曲成如图乙所示。已知极板内部的电场强度大小为（σ为电荷面密度，ɛ0为电容器中电介质的介电常数），下列分析正确的是（　　） A．施加力F前后，两极板中间都是匀强电场 B．A点的场强保持不变 C．A点的电势增大 D．试探电荷q的电势能保持不变 【典型例题6】多个点电荷产生的电场中，某点的电势等于各个点电荷单独在该点产生的电势的代数和。已知，在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势，其中k为静电力常量。若真空中有两个点电荷Q1和Q2，分别固定在x轴的坐标为﹣4cm和1cm的位置上。两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示。下列说法正确的是（　　） A．Q1为正电荷，Q2为负电荷，且Q2＝﹣4Q1 B．x轴上x＝6cm处的电场强度为0 C．若仅将Q2的电荷量变为原来的2倍，x轴上x＝﹣1.5cm处的电势将变为0 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，M、N两点间的电势差仍为0.4V 【典型例题7】如图所示为一针状电极与平板电极间形成的电场。现有一微小带电颗粒（重力可忽略），沿虚线轨迹运动，并最终被吸附在平板电极上。图中a、b两点距离与c、d两点距离相等，下列说法不正确的是（　　） A．该微小颗粒带负电 B．a、b两点电场强度不相同 C．a、b两点间电势差一定等于c、d两点间电势差 D．该微小颗粒在a点的电势能比在d点的电势能大 【变式训练2-1】如图，在竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有、、三点，其中为中点。粒子从点以某一初速度沿轴向运动，到点时速度为零，则（　　） A．粒子从到的过程中加速度一定一直增大 B．粒子从到的过程中电势能一定一直增大 C．点的电场强度一定等于点的电场强度 D．两点间的电势差一定等于两点间的电势差 【变式训练2-2】在工业生产中，静电场喷雾技术可用于汽车、家电、仪表等外壳的喷涂。如图所示的是一个静电场喷雾装置，该电场中a、c两点分别处于两个等势面中，点b处于两个等势面正中央。从喷口喷出的都是带负电液滴，其中有一滴刚好经过a、b、c三个点。下列说法正确的是（　　） A．a点的电势高于c点的电势 B．a、b两点的电势差一定等于b、c两点电势差 C．液滴一定沿直线做匀加速直线运动 D．从a到c的过程中液滴的电势能减小 【变式训练2-3】如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，a和b均可视为点电荷，一个点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点转动，在位置MN和位置EF时系统总电势能刚好相等。则（　　） A．a、b两球带异种电荷 B．a、b两球带电量相等 C．a球由E转动到M过程中，O点电场强度可能变小 D．b球在N点的电势能一定小于F点的电势能 【变式训练2-4】地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电容器，其间的电场，称为大气电场。设大地电势为零，晴天的大气电场中，不同高度h处的电势φ的变化规律如图所示，其中①线为曲线的切线，不考虑水平方向的电场。则高度h＝5km处的电场（　　） A．电场强度比h＝0处大 B．电场强度方向向上 C．电场强度约为40V/m D．电场强度约为20V/m 【变式训练2-5】如图1，、、是某电场中一条电场线上的三点，且。一个负电荷从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点经过点运动到点，其运动的图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．三点的电场强度大小 B．三点的电势 C．相邻两点间的电势差 D．该负电荷在三点的电势能 【变式训练2-6】如图所示，空间中有正方体，点是中点，点处固定一正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．两点处的电场强度相同 B．若点处的电势为，点处的电势为，则点处的电势为 C．平面为等势面 D．将带负电的试探电荷从点沿直线移动到点，静电力先做正功后做负功 【变式训练2-7】如图所示，一簇电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则（   ） A．M点的电势比P点的电势高 B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差 C．一正电荷在O点时的电势能小于在Q点时的电势能 D．将一负电荷由P点移到M点，电场力做正功 【变式训练2-8】图为某建筑物上的避雷针和带电云层之间的电场线分布示意图，是同一电场线上的点，且点的电势点的电势点的电势记为。下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-9】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线c点时的动能为80eV 【变式训练2-10】如图所示，两个点电荷固定在水平直线上的、两点，竖直虚线为线段的中垂线，交于点，曲线为一电子的运动轨迹，轨迹及、两点均关于点中心对称。除电场力外其他力均不计。下列说法正确的是（　　） A．、两点的点电荷均带正电 B．的带电量可能大于的带电量 C．电子一定是从运动到 D．点电势一定高于点电势 【变式训练2-11】如图所示，电荷量为+Q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为θ的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。只考虑+Q在空间各处产生的电场，取离+Q无限远处的电势为0。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k。仅利用以上条件不能求出的是（　　） A．B点的场强EB B．OB之间的距离xOB C．A点的电势φA D．AC两点间的电势差UAC 【变式训练2-12】沿静电场中某直线建立x轴，该直线上的电场方向沿x轴，坐标轴正半轴上有A、B两点，A距坐标原点的距离为，B距坐标原点的距离为。规定沿x轴正方向为电场正方向，x轴上各点的电场强度E随x的变化关系如图所示。将一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由O点静止释放，粒子在运动过程中只受静电力的作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子从O到B先做加速运动，后做减速运动 B．OA两点间的电势差与AB两点间的电势差相等 C．粒子不可能到达B点 D．粒子到达A点时的速度大小为 【变式训练2-13】防疫口罩中使用的熔喷布经驻极处理后，可增加静电吸附功能。驻极处理如图所示，针状电极与平板金属电极分别接高压直流电源的正、负极，针尖附近的空气被电离后，带电粒子在电场力作用下运动，熔喷布捕获带电粒子带上静电，熔喷布带电后对电场的影响忽略不计。下列说法正确的是（　　）    A．熔喷布上表面因捕获带电粒子而带负电 B．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电势能不断增加 C．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，加速度逐渐减小 D．图中虚线上的a、b、c三点，电势分别为、、，目，则 【变式训练2-14】在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，底面圆周上有三点a、b、c，是底面圆心，与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的电场中，下列判断正确的是（　　） A．a、b、c三点的电场强度相同 B．O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为 C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至过程中受到的电场力逐渐增大，电势能也逐渐增大 D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变 【变式训练2-15】雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫做“跨步电压”。如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点，若O点附近地质结构分布均匀，则在地面以O为圆心的同心圆为一系列的等势线。图中O、A、B、C在同一直线上，是过B点圆的切线，，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是（　　） A．图中A、B、C三点中，C点电势最高 B．地面上电子由O向C定向移动 C．为了安全，人应该沿方向迈大步快速脱离 D．A、B、C、D四点间电势差大小关系为 【变式训练2-16】（多选）如图所示，直线为点电荷电场中的一条电场线（方向未标出），A、B、C为电场线上等间距的三点，一个带负电粒子从电场中P点（图中未标出）分三次以不同的方向射出，仅在电场力作用下分别经过A、B、C三点，粒子经过这三点时，在A点速度变化最快，则A、B、C三点中（　　）    A．A点场强最大 B．场强方向从A指向C C．A点电势最高 D．A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值 【变式训练2-17】（多选）复印机的核心原理是静电吸附，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示。一带负电墨粉颗粒（忽略重力）沿直线从a点运动到b点，以a为原点、ab连线向下为正方向建立x轴。设电场强度大小为E、颗粒加速度大小为a、速度大小为v、电势能为Ep，则下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-18】多选）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于轴，其电势随的分布如图所示。一质量，电荷量的带负电的粒子从点由静止开始，仅在电场力作用下在轴上往返运动。则() A.轴左侧电场强度和右侧电场强度的大小之比 B.粒子在区间运动过程中的电势能减小 C.该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为 D.该粒子运动的周期 题型03：等分法计算匀强电场的电场强度 （一）已知直角坐标系空间位置模型 【典型例题1】如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2 V，a点的坐标为(0 cm，4 cm)，电势为8 V，b点的坐标为(3 cm，0 cm)，电势为8 V，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则电场强度的大小为(　　) A.250 V/m 　　　　 B.200 V/m C.150 V/m 　　　　 D.120 V/m 【典型例题2】(多选)如图，平面直角坐标系内有a、b、c三点，位置如图所示，匀强电场平行于坐标平面。将电子从a点分别移到坐标原点和b点的过程中，电场力做功均为2 eV，知a点电势为2 V，以下说法正确的是(　　) A．b点电势为零 B．电场强度大小为200 V/m C．电子在c点电势能为－8 eV D．将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功相同 【典型例题3】如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m　 B．200 V/m C．100 V/m　 D．100 V/m 【变式训练3-1-1】空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示．关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是(　　) A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向 B．E＝5 V/m，方向指向第一象限 C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向 D．E＝500 V/m，方向指向第三象限 【变式训练3-1-2】（多选）有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　 ) A．坐标原点O的电势为6 V B．电场强度的大小为 V/m C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10－5 J 【变式训练3-1-3】（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　 　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV （二）已知三角形空间位置模型 【典型例题1】如图所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV.电场强度大小为(　　) A．200 V/m B．300 V/m C．200 V/m D．400 V/m 【典型例题2】如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行．已知AB＝25 cm，BC＝20 cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1 V、26 V、10 V，则该匀强电场的场强大小为(　　) A．60 V/m B．75 V/m C．80 V/m D．100 V/m 【变式训练3-2-1】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　) A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ 【变式训练3-2-2】匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，如图所示，场强方向平行于纸面．具有初速度的电子在电场力作用下从B到A动能减少E0，质子在电场力作用下从C到A动能增加E0，不计重力。求匀强电场的场强． 【变式训练3-2-3】(多选)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是(　　) A．C点电势为3 V B．C点电势为0 C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m 【变式训练3-2-4】(多选)如图所示，匀强电场中等腰直角三角形ABC，＝＝2 cm，D为 AB边中点，电场方向与△ABC所在平面平行，规定B点的电势为0。将电荷量q＝－6×10－6 C的点电荷从A点移到B点，电场力做了－2.4×10－5 J的功，再将电荷从B点移到C点，电场力又做了1.2×10－5 J的功，则(　　) A.点电荷q在D点具有的电势能为1.0×10－5 J B.A点的电势为4 V C.该匀强电场的场强大小为100 V/m，方向垂直于CD连线指向B点 D.将△ABC绕B点顺时针旋转，无论转过多大的角度，A、C两点电势都不会相等 （三）已知四边形空间位置模型 【典型例题1】(多选)如图所示，abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与场强方向平行。已知ab＝ad＝2 cm，∠adc＝60°，a、b、d三点的电势分别为0 V、4 V、4 V，则(　　) A．c点的电势为10 V B．匀强电场的场强大小为400 V/m C．若将电子从a点移到b点，需克服电场力做功4 eV D．电子和质子分别放在d点时，具有相同的电势能 【典型例题2】(多选)如图，正方形abcd处于匀强电场中，电场方向与此平面平行．一质子由a点运动到b点，电场力做功为W，该质子由a点运动到d点，克服电场力做功为W.已知W＞0，则(　　) A．电场强度的方向沿着ab方向 B．线ac是一条等势线 C．c点的电势高于b点的电势 D．电子在d点的电势能大于在b点的电势能 【变式训练3-3-1】(多选)如图所示，匀强电场内有一矩形ABCD区域，电荷量为e的某带电粒子从B点沿BD方向以8 eV的动能射入该区域，恰好从A点射出该区域，已知矩形区域的边长AB＝8 cm，BC＝6 cm，A、B、C三点的电势分别为6 V、12 V、18 V，不计粒子重力，下列判断正确的是(　　) A．粒子带负电 B．电场强度的大小为125 V/m C．仅改变粒子在B点初速度的方向，该粒子可能经过C点 D．粒子到达A点时的动能为12 eV 【变式训练3-3-2】如图所示，匀强电场中有一梯形ABCD，其中AB＝2 cm、CD＝4 cm，A、B、C三点电势分别为φA＝12 V、φB＝6 V、φC＝3 V，则下列说法正确的是(　　) A．若一电子从A点移动到D点，它将克服电场力做功3 eV B．将一电子从A点移动到D点，电场力做功5 eV C．匀强电场场强的最小值为3×102 V/m D．匀强电场场强的最小值为2×102 V/m 【变式训练3-3-3】(多选)如图所示，匀强电场中的A、B、C、D点构成一位于纸面内的平行四边形，电场强度的方向与纸面平行。已知A、B两点的电势分别为φA＝12 V、φB＝6 V，则C、D两点的电势可能分别为(　　) A．9 V、15 V　　　　　　 B．9 V、18 V C．0 V、6 V D．6 V、0 V 【变式训练3-3-4】如图在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为(　 　) A．120 V/m，沿AB方向 B．200 V/m，沿AC方向 C．160 V/m，沿AD方向 D．300 V/m，沿BD方向 （四）已知多边形空间位置模型 【典型例题】如图，正六边形ABCDEF区域内有平行于纸面方向的匀强电场(图中未标出)，A、B、C三点电势分别为3 V、6 V、9 V，现有一个电子从E点以初速度v0沿EB方向射入．下列说法正确的是(　　) A．F点电势为0 V B．DF的连线是电场中一条等势线 C．电子射出六边形区域时速度大小可能仍是v0 D．电子离开此区域动能增量的最大值是3 eV 【变式训练3-4-1】（多选）如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是(　 　) A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线 B．匀强电场的场强大小为10 V/m C．匀强电场的场强方向为由C指向A D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J 【变式训练3-4-2】如图，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相垂直的直径．将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向(　 　) A．平行直径ab指向a B．平行直径ab指向b C．垂直直径ab指向pm弧 D．垂直直径ab指向nq弧 【变式训练3-4-3】(多选)如图所示，水平面内有A、B、C、D、E、F六个点，它们均匀分布在圆心为O、半径为R＝2 cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。已知A、C、E三点的电势分别为φA＝(2－) V、φC＝2 V、φE＝(2＋) V，下列判断正确的是(　　) A.电场强度的方向由A指向D B.电场强度的大小为100 V/m C.该圆周上的点电势最高为4 V D.将电子沿圆弧从D点移到F点，电场力始终做负功 【变式训练3-4-4】如图，边长为1 cm的立方体abdc－fgih处于匀强电场中，d、c两点间电势差Udc＝3 V，d、b两点间电势差Udb＝3 V。若一电子从b到g电场力做功为零，则(　　 ) A．b、g两点间的电势差为零 B．匀强电场的方向从d指向c C．a、b两点间的电势差Uab＝3 V D．匀强电场的电场强度E＝300 V/m 题型04：匀强电场中求电势、电势能的问题 【典型例题1】(多选)如图，平面直角坐标系内有a、b、c三点，位置如图所示，匀强电场平行于坐标平面。将电子从a点分别移到坐标原点和b点的过程中，电场力做功均为2 eV，知a点电势为2 V，以下说法正确的是(　 ) A．b点电势为零 B．电场强度大小为200 V/m C．电子在c点电势能为－8 eV D．将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功相同 【典型例题2】如图所示，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2 m。若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10 eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为11 eV和7 eV。不考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为(　 ) A．1 N/C B．2 N/C C．3 N/C D．4 N/C 【变式训练4-1】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（　　） A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【变式训练4-2】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　) A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ 题型05：等差等势面问题 【典型例题】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是(　 ) A．两点电荷可能是异种点电荷 B．A点的电场强度比B点的大 C．A点的电势高于B点的电势 D．电子运动到P点时动能最小 【变式训练5-1】(多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　 ) A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 【变式训练5-2】如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　 ) A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpN C．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN 【变式训练5-3】如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹，a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作用，以下说法正确的是(　　) A．a点的电场强度大于b点的电场强度 B．粒子在a点的动能比在b点的动能小 C．粒子在a点和c点的速度相同 D．粒子在b点的电势能比在c点的电势能大 题型06：运动轨迹问题 【典型例题】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　) A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电 B．MN两点电势差大小|UMN|等于NQ两点电势差大小|UNQ| C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小 D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小 【变式训练6-1】如图所示，椭圆(虚线)的中心和圆(实线)的圆心重合，A、B两点是两几何图形的交点。在圆心处固定一点电荷Q，现用外力使一正的试探电荷q(图中未画出)沿椭圆从A点运动到B点，则电荷q在从A点运动到B点的过程中，下列说法一定正确的是(　　) A．库仑力先变大后变小 B．加速度先变大后变小 C．动能先变小后变大 D．电势能先变小后变大 【变式训练6-2】(多选)如图所示，实线为三个电荷量相同的带正电的点电荷Q1、Q2、Q3的电场线分布，虚线为某试探电荷从a点运动到b点的轨迹，则下列说法正确的是(　 ) A．该试探电荷为负电荷 B．b点的电场强度比a点的电场强度大 C．该试探电荷从a点到b点的过程中电势能先增加后减少 D．该试探电荷从a点到b点的过程中动能先增加后减少 【变式训练6-3】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，c的电势最高 B．带电质点通过P点的电势能比Q点大 C．带电质点通过P点的动能比Q点大 D．带电质点通过P点时的加速度比Q点小 题型07：联系实际问题 【典型例题】如图1,某棵大树被雷电击中,此时以大树为中心的地面上形成了电场,该电场的等势面分布及电场中M、P两点的位置如图2所示,则(　　)。 A.M点电势较低 B.电场线由P点指向M点 C.越靠近大树的地方电场强度越小 D.M、P两点间的电势差约为200 kV 【变式训练7-2】我国的特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电，若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　 ) A．电势的大小为φC＞φB＝φD＞φA B．电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC C．人从B沿着圆弧走到D会发生触电 D．AB间距离等于BC间距离的2倍 【变式训练7-2】(多选)在研究心脏电性质时,兴奋在心肌传播,在人体的体表可以测出与之对应的电势变化,可等效为两等量电荷产生的电场。人体表面的瞬时电势分布图如图所示,图中实线为等差等势面,标在等势面上的数值表示该等势面的电势,a、b、c、d为等势面上的点,a、b为两电荷连线上对称的两点,c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点,则(　　)。 A.a、b两点的电场强度相同 B.c、d两点的电场强度不相同 C.a、b两点的电势差Uab=-3 mV D.从c到d的直线上,电场强度先变大后变小 【变式训练7-3】医生用心电图检查仪为一位身高1.8 m的运动员体检，她把电极吸在身体5个不同的位置，如图所示。如果人体从头往脚的方向构成匀强电场，其中有两个点的电势差最大，约为500 μV，则电场强度约为(　 ) A．278 μV/m B．500 μV/m C．1 000 μV/m D．1 250 μV/m 1．某电子束焊接机的工作原理示意图如图所示，在直流高压作用下，阴极（接地）与阳极之间形成辐向电场，虚线为电场线，在同一电场线上有三点，。一电子以某一初速度从点沿直线运动到点。不计电子所受的重力。下列说法正确的是（　　）    A．两点间的电势差等于两点间的电势差 B．点的电势 C．电子在点时的电势能小于在点时的电势能 D．电子从点到点做加速度逐渐减小的加速运动 2．如图所示，A、B、C、D四个点构成矩形ABCD，它们处于匀强电场中，电场线与平面ABCD平行，AB=3m、，A、B、C三点的电势分别为-1V、1V、3V，则电场强度大小为（　　）    A．V/m B．V/m C．V/m D．V/m 3．如图是某电场的部分电场线分布图。M、N、Q是以电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN。以下说法正确的是（　　）    A．点电势与点电势相等 B．将一正电荷由点移到点，电荷的电势能减少 C．间的电势差等于间的电势差 D．将一正电荷放在点，正电荷所受电场力沿与垂直的方向竖直向上 4．空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示，下列叙述正确的是（　　） A．x1、x2两处电势相同 B．电子在x1处电势能小于在x2处的电势能 C．x=0处与x1处两点之间的电势差为U=E0x1 D．电子沿x轴从x1处运动到x2处，电场力先做负功再做正功 5．下面是某同学对电场中的一些概念及公式的理解，其中正确的是（　　） A．由，电场中某点的电场强度与检验电荷所带的电荷量成反比 B．由公式知，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小 C．由知，电场中某点的电场强度与场源电荷所带的电荷量有关 D．由知，带电荷量为1C的正电荷，从A点移动到B点克服电场力做功为1J，则A、B两点间的电势差为1V 6．高压电线落地可能导致行人跨步电压触电。如图所示，若高压输电线掉落在水平地面上的点，将在地面形成以O为圆心的一系列同心圆等势线，则（　　） A．掉落电线的地面附近形成的是匀强电场 B．图中A点的电场强度大于B点的电场强度 C．行人无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大跨步电压越大 D．行人可通过双脚并拢跳跃或用单脚跳跃的方式远离危险区 7．如题图所示，在匀强电场中有半径为R=1cm的圆形区域，O为圆心，圆形区域所在平面与匀强电场的电场线平行，AC、BD为直径且夹角θ=60º。已知φA=2V，φB=4V，φO=3V。则（  ） A．电场方向由B指向D B．质子在该圆形区域电势能最大值为4eV C．电场强度等于200V/m D．电子从A到C的过程与从B到D的过程电场力做功相同 8．如图所示，A、B、C三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径之差相等。A、C两个等势面电势分别为和，则中间B等势面的电势（　　） A．一定等于4V B．一定低于4V C．一定高于4V D．无法确定 9．如图，匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H为立方体的8个顶点，已知G、F、D点的电势分别为7V、3V、4V，则A点的电势为（　　） A．0V B．1V C．2V D．3V 10．如图所示的匀强电场中，已知场强大小等于，AB的间距为6cm，则以下说法正确的是（　　） A．A点电势低于B点电势，A、B、C三点的场强相同 B．A、B两点间的电势差为3V C．现有一个电荷量为＋q的电荷，第一次该电荷从A点移到B点，电场力做功为W1；第二次该电荷从A点移到C点，然后再移到B点，在这个过程中电场力做功为W2，则 D．若A点电势为零，则B点电势为3V 11.静电喷涂是利用高压静电电场使带负电的涂料微粒沿着电场相反的方向定向运动，并将涂料微粒吸附在工件表面上的一种喷涂方法，其工作原理如图所示。忽略运动中涂料微粒间的相互作用和涂料微粒的重力。下列说法中正确的是(　 ) A．当静电喷涂机与被喷涂工件之间的距离增大时，在运动中的涂料微粒所受电场力增大 B．涂料微粒的运动轨迹仅由被喷涂工件与静电喷涂机之间所接的高压电源决定 C．在静电喷涂机水平向左移动的过程中，有两个带有相同电荷量的微粒先后经过被喷涂工件右侧P点(相对工件的距离不变)处，先经过的微粒电势能较大 D．涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，在直线轨迹上电势升高最快 12.如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势(　 ) A．φC＝10 V B．φC>10 V C．φC<10 V D．上述选项都不正确 13.电子束焊机是一种高精密的焊接设备，它利用高速运动的电子束流轰击工件使动能转化为热能进行焊接加工。在曲面K与A之间加上高压U后，K与A之间的电场线如图所示，A到曲面各点的距离均为d，电子由静止被加速后轰击工件，电子的电量大小为e，不考虑电子重力，则下列说法正确的是(　 ) A．待焊接的工件应放置在K极 B．A、K之间的电场强度大小为 C．电子在加速运动过程中加速度逐渐增大 D．电子经高压U加速后电势能增大了eU 14.如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　) A．a是直流高压电源的正极 B．电场中P点的场强小于M点的场强 C．电场中M点的电势低于N点的电势 D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 电势差与电场强度 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：匀强电场中电势差与电场强度的关系 5 题型02：非匀强电场中U＝Ed的定性应用 12 题型03：等分法计算匀强电场的电场强度 26 （一）已知直角坐标系空间位置模型 26 （二）已知三角形空间位置模型 29 （三）已知四边形空间位置模型 33 （四）已知多边形空间位置模型 36 题型04：匀强电场中求电势、电势能的问题 39 题型05：等差等势面问题 41 题型06：运动轨迹问题 43 题型07：联系实际问题 44 巩固提升 46 1. 考查地位：电场模块重要定量考点，高考中档高频考点。是联系场强与电势的桥梁，选择题、计算题均会出现。 2. 题型特点 ①选择题：匀强电场结合等势点、等势线做电势、场强大小方向的定性+简单计算； ②计算题：常嵌入带电粒子在匀强电场运动，利用 U=Ed 完成电势差、场强、电场力做功之间换算。 注意：公式 U=Ed 只适用于匀强电场，非匀强电场只做定性估算。 3. 命题角度 ①公式 U=Ed 的物理意义，d 的含义（沿电场方向的距离）； ②匀强电场中利用几何关系找 d，计算电势差、场强； ③匀强电场中“平行等长线段电势差相等”，结合中点电势公式求解未知点电势； ④非匀强电场定性：等势面越密，场强越大； ⑤结合等势线找电场方向，求场强大小。 4. 高频失分点 把两点直线距离直接当作 d，忽略必须沿电场线方向；直接把 U=Ed 套用于非匀强电场；分不清U、E、d三者正反比关系。 1. 概念理解 ①理解匀强电场中电势差和场强的关系，记住公式 U=Ed；明确 d 是两点沿电场强度方向的距离。 ②知道场强另一个单位：V/m与 N/C 等价。 ③清楚：U=Ed 仅适用于匀强电场；非匀强电场只能做定性判断。 2. 规律掌握 掌握匀强电场推论： ①一条线段中点电势等于两端电势平均值； ②匀强电场中，相互平行且长度相等的线段，电势差相等。 3. 分析能力 ①给出匀强电场几个点的电势，会找等势点、画出等势线；作垂线得到电场线方向。 ②能区分：场强大≠电势高；场强为零≠电势为零。 4. 计算应用 会结合几何关系求有效距离d，完成U、E互相求解；会联立 W=qU 综合解题 电势差与电场强度的关系 1.关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积：＝Ed或E＝(注：公式中d是两点沿电场方向距离) 【注意】电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向，电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢。 2.在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论” 3.等分法及其应用 (1)等分法：如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 (2)“等分法”的应用思路： 补充：E＝在非匀强电场中的定性分析 ①公式中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度。 ②电势差一定时，场强越大，则沿场强方向的距离越小，此时等差等势面越密。 ③距离相等的两点间的电势差：场强越大，电势差越大；场强越小，电势差越小。可以用来判断电势的高低。 ④利用－x图像的斜率判断电场强度：曲线斜率，斜率表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。 1. 公式使用要点 ＝Ed匀强电场专用；d 必须是沿电场方向投影距离，不是两点直线间距。 变形：E＝，反映匀强电场场强大小。 2. 匀强电场多点电势题解题步骤 ①观察坐标/几何点，优先用中点电势公式，寻找等势点； ②连接等势点画出等势线； ③过等势线作垂线，即为电场线方向（由高电势指向低电势）； ④再找出两点沿电场方向距离d，代入 U=Ed 求场强。 3. 两条核心推论速用 ①匀强电场，平行且相等线段，电势差相等； ②线段中点电势 φC＝。 4. 非匀强电场只能定性 等势面越密集处，电场强度越大，不能用U=Ed计算。 （1）判断电场强度大小：结合等差等势面的疏密判断电场强度大小，根据E＝，当电势差U一定时，等差等势面越密，则沿电场方向的距离d越小，电场强度E＝越大；反之，则E越小。等差等势面越密，电场强度越大。 （2）判断电势差的大小：结合电场线的疏密定性判断非匀强电场中两点间电势差的大小，根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。 如图甲所示，AB＝BC，则有UAB＞UBC；平均场强E越小，则电势差U越小，如图乙所示，AB＝BC，则有UAB ＜UBC 5. 避坑提醒 ①E与U没有正比反比关系：E由电场本身决定，不随U、d变化； ②电场方向一定垂直等势面，由高电势指向低电势； ③计算 U=Ed 一般代入绝对值，电势高低另外判断。 6. 逻辑链条 已知多点电势 →找等势点→画等势线→定电场方向→找沿电场距离d→用 U=Ed 完成计算。 题型01：匀强电场中电势差与电场强度的关系 【典型例题】如图所示为匀强电场中水平方向的等势面，每两个相邻等势面间的距离均为，由此可确定电场强度的方向和大小是（　　） A．竖直向下， B．水平向左， C．竖直向上， D．水平向右， 【答案】A 【详解】根据电场线与等势面的关系和沿电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向为竖直向下，由匀强电场中，电场强度与电势差的关系可知，电场强度的大小为故选A。 【典型例题2】如图所示为一水平向右的匀强电场的电场线，其中A、B、C、D为一条电场线上的四个点，已知，，，匀强电场的电场强度大小为。则下列说法正确的是（　　） A．两点之间的电势差 B．如果A点的电势为零，则D点的电势为 C．如果B点的电势为零，则D点的电势为 D．一试探电荷由C直接到D与该试探电荷由C经O再到D的过程，电场力做功不同 【答案】B 【详解】A．两点之间的电势差为故A错误； B．两点之间的电势差为故故B正确； C．两点之间的电势差为故故C错误； D．电场力做功只有电荷起始位置与终止位置有关，与电荷运动的路径无关，故D错误。故选B。 【典型例题3】如图，已知某匀强电场方向平行于正大边形ABCDEF所在平面。已知A、B、C、D点的电势分别为4V、3V、1V、0V。现有一电荷量大小为2e的带电粒子（不计重力）从A点以初动能6eV沿AC方向射入电场，恰好经过AB的中点G。下列说法中正确的是（　　） A．该粒子一定带正电 B．该匀强电场的场强方向是从A沿直线指向D C．该粒子达到G点时的动能为1eV D．若只改变该粒子在A点时的初速度方向，该粒子可能经过C点 【答案】B 【解析】AB．A、B、C、D点的电势分别为4V、3V、1V、0V，可知AD的中点电势等于BC中点的电势，均为2V，则EC和FB都是等势面，则场强方向沿AD方向；粒子仅在电场力作用下运动，根据物体做曲线运动时受到的合力指向轨迹内侧，所以可知粒子受到的电场力方向和电场方向相反，电场强度方向如图E电所示，电场力方向如图F电所示，这样才有可能经过G点，所以粒子应为负电，A错误，B正确； C．到达G点过程中，电场力做功为所以G点的动能为5eV，C错误； D．因为粒子受到的电场力方向恒定，故初速度方向不同，粒子轨迹不同，电场力做功不同，根据能量计算，粒子在A点时的总能量为6eV+3V×(-2e)=0，则减速到C点，速度恰为零，但另一方面，速度要减到零，初速度与电场力必须同一直线，那么必到不了C点，D错误。故选B。 【典型例题4】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势，，（），保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为（　　） A． B．2 C． D．（1＋） 【答案】D 【解析】利用等分法确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则由几何知识得，沿电场线方向的距离为由电势差与电场强度的关系 解得故D正确，ABC错误。故选D。 【典型例题5】空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是（　　） A．E = 3 V/m，方向沿x轴正方向 B．E = 5 V/m，方向指向第一象限 C．E = 400 V/m 方向沿y轴负方向 D．E = 500 V/m，方向指间第三象限 【答案】D 【解析】在沿y轴方向，电场强度为在沿x轴方向，电场强度为则电场的电场强度E大小为方向与x轴负方向成53°，方向指向第三象限，故ABC错误，D正确。故选D。 【典型例题6】如图，边长为L的正四面体ABCD处于匀强电场之中。仅在电场力作用下，一电子自A点运动到D点，其动能增加W；一质子自A点移到B点或C点，其电势能均增加W；A点电势为0，质子电荷量为e，则（　　） A．B点电势为 B．D点电势为 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】C 【解析】AB．一电子自A点运动到D点，其动能增加W，则其电势能减少W，如若是质子自A点移到D点，则其电势能均增加W，故B、C、D三点为等势点，平面BCD为等势面，B点和D点电势均为，故AB错误； CD．由几何关系知，正四面体的高为，即A点到平面BCD的距离为，由U=Ed，可求电场强度大小为故C正确，D错误。故选C。 【变式训练1-1】如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点，恰好处于以AB为直径的圆周上，圆周所在平面与电场方向平行。已知A、B、C三点的电势分别为2 V、0、0，AC的长度为m，与AB夹角为30°。则下列说法正确的是（　　） A．O点的电势应该低于V B．圆周上A点电势最高 C．圆周上电势最高点的电势为（＋2）V，而电势最低点为BC弧的中点 D．该电场的电场强度为2 V/m 【答案】CD 【解析】A．在匀强电场中，B、C两点电势相同，说明BC是等势线，AC与BC垂直。所以AC方向就是电场线的方向。因为匀强电场中沿任何一条电场线，电势都是均匀降低的，所以UAO=UOB显然O点电势为V，选项A错误； B．过O点作AC的平行线，如图所示，交圆周于D、P两点，P为圆周上电势最高点，选项B错误； C．过O点作辅助线OF平行于BC，与AC的交点F为AC中点，其电势也为V。据 计算得UOD=2 V所以D点电势为（-2） V，该点在圆周上电势最低，同理得P点电势为（＋2） V，选项C正确； D．该电场的电场强度为选项D正确；故选CD。 【变式训练1-2】如图所示，匀强电场与圆O平面平行，AB为圆直径，长度为20cm，C为圆周上一点，其中∠BAC=60°。已知A、B的电势分别为2V、6V，C点电势低于A点电势，圆上最低电势为0，最高电势为8V，下列说法正确的是（　　） A．该电场的电场强度大小为40V/m B．把电子自A移动到C点，电子电势能增加2eV C．把质子自C移动到B点，质子电势能增加4eV D．把电子自C移动到O点，电子电势能减少3eV 【答案】AB 【解析】A．作过C点的直径，如图 根据几何关系可以确定C点即为电势最低点，电势为0，另一端为8V，过C点直径方向即为电场线方向，电场强度， A正确； B．把电子自A移动到C点，电场力做2eV的负功，电子电势能增加2eV， B正确； CD．因为把质子自C移动到B点，质子电势能增加6eV把电子自C移动到O点，电子电势能增加4eV， CD错误。故选AB。 【变式训练1-3】如图所示，、、、是圆上的四点，，，，一匀强电场的方向与圆所在平面平行，已知、、三点电势分别为、、，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小为 B．点电势比点电势高 C．电子在点的电势能比在点的低 D．电子从点运动到点，克服电场力做功 【答案】CD 【解析】 A．由圆的性质可知，，，故根据几何关系可得 设场强E与ad夹角为，与ab夹角为，，则有 ；代入数据可得；故可知，电场沿方向，即 ，A错误； B．根据电势与电势差和场强的关系可得，B错误； C．根据电势之间的关系可得所以即可知，电势能之差为 ，C正确； D．根据电场力的公式，可得电子从点运动到点，克服电场力做功为，D正确。故选CD。 【变式训练1-4】匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角，半径，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知，，，以下说法正确的是（　　） A． B． C．电场方向沿AO连线方向 D．场强大小为3V/m 【答案】ABC 【解析】AB．连接AB、OC、OD、OE，交点分别为I、H、G，为等边三角形，、为等腰三角形，如图所示 由几何关系可得AI=IG=GB 即I、G为AB的三等分点，由于匀强电场电势均匀变化，可得，故OF为电势3V的等势面，由几何关系可得DI连线垂直于OA，与OF平行，为电势6V的等势面，即，，AB正确； C．电场方向垂直于等势面指向电势较低一侧，故沿AO连线方向，C正确； D．场强大小为，D错误。故选ABC。 【变式训练1-5】如图所示，空间中存在着匀强电场，长方体中是边长为1m的正方形，棱长2m，为棱的中点，为棱的中点。已知电势，，，，。则下列说法正确的是（　　） A．电场强度方向与连线平行 B．电场强度大小为 C．两点的电势差与两点的电势差相同 D．把0.1C正电荷从点移到点，电场力做功0.2J 【答案】B 【解析】A．根据匀强电场的特点，平行等间距的两线段电势差相等，则，解得φF=6V，φD=4V同理可得φB1=φF1=4V；EDF1B1平面为等势面如图所示 则电场强度的方向应该是过点F作EDF1B1平面的垂线，故A错误； B．场强沿DF方向的分量 同理场强沿EE1、EF方向的分量均为2V/m，故电场强度的大小为V/m故B正确； C．B、F1两点的电势差为UBF1为2V，A、E两点的电势差UAE=-2V，故C错误； D．把0.1C正电荷从D点移到B点，电场力做功为故D错误；故选B。 【变式训练1-6】空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系，M、N、P为电场中的三个点，点的坐标为，N点的坐标为，点的坐标为。已知电场方向平行于直线，点电势为0，点电势为，则点的电势为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据场强公式电场线与等势面垂直，由几何关系可得 ；点与Q点H点在同一等势面上，则有 ；解得所以A正确；BCD错误；故选A。 题型02：非匀强电场中U＝Ed的定性应用 【典型例题1】某电场中等势面分布如图所示，图中虚线表示等势面，过a、b两点的等势面电势分别为40 V和10 V，则a、b连线的中点c处的电势应为(　　 ) A．一定等于25 V　　 B．大于25 V C．小于25 V D．可能等于25 V 【答案】C 【解析】因为电场线与等势面垂直，根据等势面的形状可知，电场线从左向右由密变疏，即从a到c，电场强度逐渐减弱，而且电场线方向从a→b。ac段电场线比bc段电场线密，ac段场强较大，根据公式U＝Ed可知，a、c间电势差Uac大于c、b间电势差Ucb，即φa－φc>φc－φb，得到：φc<＝V＝25 V。 【典型例题2】如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　) A．a是直流高压电源的正极 B．电场中P点的场强小于M点的场强 C．电场中M点的电势低于N点的电势 D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN 【答案】C 【解析】带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，故P、M间的电势差UPM不等于M、N间的电势差UMN，选项D错误． 【典型例题3】(多选)某种静电除尘器中的电场线如图中虚线所示．K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d.B点是AK连线的中点．在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速．不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是(　　) A．A、K之间电场强度的大小为 B．电子到达A时动能等于eU C．由K到A电子电势能增大了eU D．B、K之间的电势差小于A、B之间的电势差 【答案】BD 【解析】A、K之间建立的是非匀强电场，公式U＝Ed不适用，故A错误；根据动能定理得：Ek－0＝eU，得电子到达A极板时的动能Ek＝eU，故B正确；电场力做正功，动能增大，电势能减小eU，故C错误；B、K之间的场强小于A、B之间的场强，根据U＝d可知，B、K之间的电势差小于A、B之间的电势差，故D正确． 【典型例题4】如图甲所示，点电荷q1固定在A点，点电荷q2固定在B点，A、B之间的距离为r1，现把点电荷q2，从B点移到C点，A、C之间的距离为r2，图乙是点电荷q1、q2之间的库仑力F随距离r的变化图像，已知图像下面阴影部分曲边梯形的面积为S，则B、C之间电势差为UBC为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像下面阴影部分曲边梯形的面积的物理意义代表点电荷从到运动过程中库仑力所做的功，电荷从到克服电场力做功，即电场力做负功，可得因为所以故选D。 【典型例题5】某平行板电容器内外的电场线分布如图甲所示，上极板所带电荷量为+Q，两极板内正中心位置A点固定着一小试探电荷+q。现在上极板正中心施加压力F，使电容器的上极板弯曲成如图乙所示。已知极板内部的电场强度大小为（σ为电荷面密度，ɛ0为电容器中电介质的介电常数），下列分析正确的是（　　） A．施加力F前后，两极板中间都是匀强电场 B．A点的场强保持不变 C．A点的电势增大 D．试探电荷q的电势能保持不变 【答案】C 【解答】解：A、平行板电容器两极板平行时，内部电场为匀强电场。当上极板弯曲后，两极板不再平行，电场线分布不再均匀，因此两极板中间不再是匀强电场，故A错误； B、由题目给出的电场强度公式可知，电场强度E与极板面积S成反比。上极板弯曲后，极板面积S减小，而电荷量Q不变，因此电场强度E增大，故B错误；C、电势差U＝Ed，其中d为极板间距。上极板弯曲后，极板间距d减小，由B知E增大，因此电势差U增大。由于下极板接地（电势为0），A点电势等于上极板与下极板间的电势差，故A点电势增大，故C正确；D、电势能EP＝qφ，其中φ为A点电势。由C知A点电势φ增大，试探电荷q为正电荷，因此试探电荷q的电势能增大，故D错误。 故选：C。 【典型例题6】多个点电荷产生的电场中，某点的电势等于各个点电荷单独在该点产生的电势的代数和。已知，在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势，其中k为静电力常量。若真空中有两个点电荷Q1和Q2，分别固定在x轴的坐标为﹣4cm和1cm的位置上。两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示。下列说法正确的是（　　） A．Q1为正电荷，Q2为负电荷，且Q2＝﹣4Q1 B．x轴上x＝6cm处的电场强度为0 C．若仅将Q2的电荷量变为原来的2倍，x轴上x＝﹣1.5cm处的电势将变为0 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，M、N两点间的电势差仍为0.4V 【答案】B 【解答】解：根据等势线分布及电势叠加原理进行分析。共性分析：由图可知，点电荷Q1位于x＝﹣4cm，其周围等势线为正值（1.2V，0.8V），故Q1为正电荷； 点电荷Q2位于x＝1cm，其周围等势线为负值（﹣0.4V），故Q2为负电荷。零电势线（标有0的曲线）绕过Q2且经过原点O（0，0），根据点电荷电势公式，在原点处，代入数据解得φ＝0，解得Q1＝﹣4Q2，即Q1＝4|Q2|。 A、由上述分析可知，Q1为正电荷，Q2为负电荷，且|Q1|＝4|Q2|，则Q1＝﹣4Q2，故A错误； B、在x轴上，Q1和Q2产生的电场强度方向相反。设场强为0的点坐标为x，由于|Q1|＞|Q2|，该点应在Q2右侧，根据，代入数据解得E＝0可得，即x﹣（﹣4）＝2（x﹣1），解得x＝6cm，故B正确； C、在x＝﹣1.5cm处，Q1的距离r1＝2.5cm，Q2的距离r2＝2.5cm。初始电势。若仅将Q2的电荷量变为原来的2倍，则Q2'＝2Q2，由于Q1＝﹣4Q2，此时电势，故C错误； D、若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，根据，空间中各点的电势均变为原来的2倍。M点电势变为2.4V，N点电势变为1.6V，两点间的电势差变为0.8V，故D错误。 故选：B。 【典型例题7】如图所示为一针状电极与平板电极间形成的电场。现有一微小带电颗粒（重力可忽略），沿虚线轨迹运动，并最终被吸附在平板电极上。图中a、b两点距离与c、d两点距离相等，下列说法不正确的是（　　） A．该微小颗粒带负电 B．a、b两点电场强度不相同 C．a、b两点间电势差一定等于c、d两点间电势差 D．该微小颗粒在a点的电势能比在d点的电势能大 【答案】C 【详解】A．根据微粒的运动轨迹可知，该微小颗粒受电场力大致向下，可知微粒带负电，故A正确，不符合题意； B．因a点电场线较b点密集，可知a、b两点电场强度不相同，故B正确，不符合题意； C．由图可知a、b两点间与c、d两点间场强不相等，又a、b两点距离与c、d两点距离相等，根据U=Ed可知，a、b两点间电势差不等于c、d两点间电势差，故C错误，符合题意； D．沿电场线电势逐渐降低，可知a点电势低于d点，负电荷在低电势点的电势能较大，可知该微小颗粒在a点的电势能比在d点的电势能大，故D正确，不符合题意。 故选C 【变式训练2-1】如图，在竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有、、三点，其中为中点。粒子从点以某一初速度沿轴向运动，到点时速度为零，则（　　） A．粒子从到的过程中加速度一定一直增大 B．粒子从到的过程中电势能一定一直增大 C．点的电场强度一定等于点的电场强度 D．两点间的电势差一定等于两点间的电势差 【答案】B 【详解】A．圆心处电场强度为零，轴线上距离圆心无限远处电场强度为零，轴线上从圆心到无限远任意一点电场强度不为零，故轴线上存在电场强度最大的点，因其位置与、、三点位置关系不确定，故粒子从到的过程中加速度可能一直增大，可能一直减小，也可能先增大后减小，故A错误； B．粒子带正电，从到的过程中克服静电力做功，故电势能一定一直增大，故B正确； C．由A项分析可知轴线上存在电场强度最大的点，若该点在、两点之间，点的电场强度可能等于点的电场强度；其他情况点的电场强度一定不等于点的电场强度，故C错误； D．因两点电场线分布和两点间电场强度分布情况不一定对称，故两点间的电势差不一定等于两点间的电势差，故D错误。 故选B。 【变式训练2-2】在工业生产中，静电场喷雾技术可用于汽车、家电、仪表等外壳的喷涂。如图所示的是一个静电场喷雾装置，该电场中a、c两点分别处于两个等势面中，点b处于两个等势面正中央。从喷口喷出的都是带负电液滴，其中有一滴刚好经过a、b、c三个点。下列说法正确的是（　　） A．a点的电势高于c点的电势 B．a、b两点的电势差一定等于b、c两点电势差 C．液滴一定沿直线做匀加速直线运动 D．从a到c的过程中液滴的电势能减小 【答案】D 【解析】A．题图可知电场方向从工件指向喷口，电势随着电场线方向降低，c点的电势高于a点的电势，故A错误； B．题意知ab与bc距离相等，但这是一个非匀强电场，根据 可知a、b两点的电势差一定不等于b、c两点电势差，故B错误； C．液滴在非匀强电场不同位置所受的电场力大小不同，且电场力方向沿电场线向下指向工件，且液滴还受到重力，平行四边形定则可知液滴合力一定不沿初速度方向，且合力大小时刻在变，故液滴做变加速曲线运动，故C错误； D．由于液滴受到的电场力方向沿电场线向下指向工件，可知a到c的过程电场力做正功，故从a到c的过程中液滴的电势能减小，故D正确。故选D。 【变式训练2-3】如图所示，绝缘轻杆两端固定带电小球a和b，a和b均可视为点电荷，一个点电荷放在轻杆的左侧。现将轻杆绕中点转动，在位置MN和位置EF时系统总电势能刚好相等。则（　　） A．a、b两球带异种电荷 B．a、b两球带电量相等 C．a球由E转动到M过程中，O点电场强度可能变小 D．b球在N点的电势能一定小于F点的电势能 【答案】C 【分析】利用电势能变化与电场力做功的关系，结合轻杆转动前后总电势能相等，分析a、b的电性、电量关系，以及转动过程中电场强度的变化和电势能的比较。注意考虑左侧固定点电荷的电场分布，O点为杆的中点，转动时a、b的位置关于O对称变化，距离左侧电荷的距离改变方向相反。 【解答】解：A、根据题意分析可知，a、b两球电势能总量刚好相等，说明点电荷对a、b两球所做的总功的代数和为零，a、b两球电性一定相同，故A错误； B、根据选项A分析可得|qa||UME|＝|qb||UNF|， 显然|UME|＞|UNF| 则|qa|＜|qb|，故B错误； C、根据题意分析可知，若开始在EF位置带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场反向，则转动过程中，带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场夹角越来越小一直到垂直，由矢量合成规律可得O点电场强度会变大；若开始在EF位置带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场同向，则转动过程中，带电小球a和b形成的合电场与点电荷形成的电场夹角越来越大一直到垂直，由矢量合成规律可得O点电场强度会变小，故C正确； D、根据题意分析可知，小球a和b距离不变，小球a对b不做功，若b球与点电荷带异种电荷，则相互吸引，从N点到F点，电场力做负功，根据电场力做功与电势能的关系可知，电势能增加，则N点的电势能小于F点的电势能；若b球与点电荷带同种电荷，则相互排斥，从N点到F点，电场力做正功，电势能减少，则N点的电势能大于F点的电势能，故D错误。 故选：C。 【变式训练2-4】地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电容器，其间的电场，称为大气电场。设大地电势为零，晴天的大气电场中，不同高度h处的电势φ的变化规律如图所示，其中①线为曲线的切线，不考虑水平方向的电场。则高度h＝5km处的电场（　　） A．电场强度比h＝0处大 B．电场强度方向向上 C．电场强度约为40V/m D．电场强度约为20V/m 【答案】D 【分析】利用电势与高度图像的切线斜率表示电势梯度，结合电场强度与电势梯度的关系，分析h＝5km处电场强度的大小、方向，并与h＝0处对比判断选项。 【解答】解：A、h﹣φ图像的斜率的倒数代表电场强度，结合图像，随高度增大，斜率越来越大，则电场强度逐渐减小，即高度h＝5km处的电场比h＝0处小，故A错误； B、随高度增大，电势逐渐增大，沿电场线方向电势降低，电场强度方向向下，故B错误； CD、结合图像，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练2-5】如图1，、、是某电场中一条电场线上的三点，且。一个负电荷从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点经过点运动到点，其运动的图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．三点的电场强度大小 B．三点的电势 C．相邻两点间的电势差 D．该负电荷在三点的电势能 【答案】C 【详解】B．一个负电荷从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点经过点运动到点，可知负电荷所受电场力向右，则电场线方向向左，根据沿着电场线方向电势降低可知，故B错误； A．根据图2可知，负电荷向右运动过程中，加速度逐渐减小，根据牛顿第二定律 可知三点的电场强度大小关系为，故A错误； C．根据结合A选项定性分析可知相邻两点间的电势差，故C正确； D．电场力做正功，电势能减小，则该负电荷在三点的电势能，故D错误。故选C。 【变式训练2-6】如图所示，空间中有正方体，点是中点，点处固定一正点电荷，下列说法正确的是（　　） A．两点处的电场强度相同 B．若点处的电势为，点处的电势为，则点处的电势为 C．平面为等势面 D．将带负电的试探电荷从点沿直线移动到点，静电力先做正功后做负功 【答案】D 【详解】A．根据点电荷周围电场分布特点，可知A、C两点处的电场强度大小相等，方向不同，故A错误； B．沿BD方向，电场强度逐渐减小，由题知，，根据可知 根据，可知点O处的电势为，故B错误； C．根据点电荷周围电势的分布特点，可知点电荷周围等势面为以B点为球心的球面，故C错误； D．越靠近正电荷，电势越高，带负电的试探电荷从D点沿直线移动到点，电势先增加后减少，根据可知负电荷的电势能先减少后增加，故静电力先对负电荷做正功，后做负功，故D正确。故选D。 【变式训练2-7】如图所示，一簇电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则（   ） A．M点的电势比P点的电势高 B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差 C．一正电荷在O点时的电势能小于在Q点时的电势能 D．将一负电荷由P点移到M点，电场力做正功 【答案】B 【详解】A．根据等势线与电场线垂直，可作出P点的等势线，如下图 随着电场线方向电势降低，可得P点的电势高于M点，故A错误； B．根据电场分布可知，OM间的平均电场强度比NO之间的平均电场强度小，故由公式 因为OM与ON距离相等，故OM间的电势差小于NO间的电势差，故B正确； C．作出Q点的等势线，如上图，可知O点电势高于Q点，根据 可知，正电荷在O点时的电势能大于在Q点时的电势能，故C错误； D．负电荷在低电势点电势能高，故M点的电势能大于P点的电势能，根据功能关系可知，负电荷由P点移到M点，电场力做负功，故D错误。 故选 B。 【变式训练2-8】图为某建筑物上的避雷针和带电云层之间的电场线分布示意图，是同一电场线上的点，且点的电势点的电势点的电势记为。下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】电场线越密，电场强度越大，可知根据， 可知间与间电势差不相等，即，即 代入题中数据，解得 故选D。 【变式训练2-9】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过a点时动能为60eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．a、d两点的电场强度相同 B．电子从a到b运动时，电场力做负功 C．电子从c到d运动时，电势能逐渐减小 D．电子在经过等势线c点时的动能为80eV 【答案】D 【详解】A．电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，根据对称性可知，a、d两点的电场强度大小相等，但方向不同，故a、d两点的电场强度不同，故A错误； BC．电子带负电，且从a到b电势升高，根据可知，电子从a到b运动时电势能减小，电场力做正功，同理，从c到d电势降低，故电子从c到d运动时，电势能逐渐增大，故BC错误； D．电子在经过a点时动能为60eV，电势能为，动能和电势能总和为，因只有电场力对电子做功，故电子动能和电势能的总和保持不变，电子在经过等势线c点时的电势能为，故动能为，故D正确。 故选D。 【变式训练2-10】如图所示，两个点电荷固定在水平直线上的、两点，竖直虚线为线段的中垂线，交于点，曲线为一电子的运动轨迹，轨迹及、两点均关于点中心对称。除电场力外其他力均不计。下列说法正确的是（　　） A．、两点的点电荷均带正电 B．的带电量可能大于的带电量 C．电子一定是从运动到 D．点电势一定高于点电势 【答案】A 【详解】A．曲线为电子只在电场力作用下的运动轨迹，根据电子所受电场力一定指向轨迹的凹侧，结合电子所受电场力与电场强度方向相反可知两点的点电荷一定都带正电，正确； B．电子运动轨迹关于点中心对称，则、一定带等量同种电荷，错误； C．电子的初速度不确定，有可能是从运动到，也有可能从运动到，错误； D．根据等量同种电荷的等势线分布可知，点电势与点电势高低无法比较，错误。 故选A。 【变式训练2-11】如图所示，电荷量为+Q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为θ的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。只考虑+Q在空间各处产生的电场，取离+Q无限远处的电势为0。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k。仅利用以上条件不能求出的是（　　） A．B点的场强EB B．OB之间的距离xOB C．A点的电势φA D．AC两点间的电势差UAC 【答案】C 【详解】AB．由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析，沿斜面方向有 解得 所以可以求出B点的场强EB，根据点电荷场强公式 联立解得OB之间的距离 所以可以求出OB之间的距离xOB，故AB不符合题意； D．因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有 解得AC之间的电势差为 所以可以求出AC两点间的电势差，故D不符合题意。 C．因为条件不足所以无法求出A点的电势，故C符合题意。 故选C。 【变式训练2-12】沿静电场中某直线建立x轴，该直线上的电场方向沿x轴，坐标轴正半轴上有A、B两点，A距坐标原点的距离为，B距坐标原点的距离为。规定沿x轴正方向为电场正方向，x轴上各点的电场强度E随x的变化关系如图所示。将一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由O点静止释放，粒子在运动过程中只受静电力的作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子从O到B先做加速运动，后做减速运动 B．OA两点间的电势差与AB两点间的电势差相等 C．粒子不可能到达B点 D．粒子到达A点时的速度大小为 【答案】D 【详解】AC．从O到B，由题图可知电场方向一直沿x轴正方向，则粒子从O到B，粒子受到的电场力方向一直与运动方向相同，粒子一直做加速运动，故AC错误； B．根据图像和横坐标所围面积表示电势差，可知OA两点间的电势差大于AB两点间的电势差，故B错误； D．从O到A，根据动能定理可得 解得粒子到达A点时的速度大小为 故D正确。 故选D。 【变式训练2-13】防疫口罩中使用的熔喷布经驻极处理后，可增加静电吸附功能。驻极处理如图所示，针状电极与平板金属电极分别接高压直流电源的正、负极，针尖附近的空气被电离后，带电粒子在电场力作用下运动，熔喷布捕获带电粒子带上静电，熔喷布带电后对电场的影响忽略不计。下列说法正确的是（　　）    A．熔喷布上表面因捕获带电粒子而带负电 B．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电势能不断增加 C．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，加速度逐渐减小 D．图中虚线上的a、b、c三点，电势分别为、、，目，则 【答案】C 【详解】A．针状电极与平行板之间的电场线分布如图所示，带正电粒子所受电场力向下，熔喷布上表面因捕获带电粒子而带正电，故A错误；    B．由图知，沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电场力做正功，电势能减小，故B错误； C．沿图中虚线向熔喷布运动的带电粒子，电场线变疏，电场强度越来越小，根据 加速度逐渐减小，故C正确； D．由图可知， ，由可得则解得故D错误。故选C。 【变式训练2-14】在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，底面圆周上有三点a、b、c，是底面圆心，与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的电场中，下列判断正确的是（　　） A．a、b、c三点的电场强度相同 B．O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为 C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至过程中受到的电场力逐渐增大，电势能也逐渐增大 D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变 【答案】C 【详解】A．由于a、b、c三点到点电荷的距离相等，根据可知三点的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误； B．根据点电荷的电场分布规律可知，O点与d点之间的任意位置的电场强度均大于d点与c点之间的任意位置的电场强度，由于d点为Oc的中点，根据可知，O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为故B错误； C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至过程中，到O点的距离逐渐减小，根据库仑定律可知，试探电荷受到的电场力逐渐增大，正电荷受到斥力作用，电荷克服电场力做功，其电势能增大，故C正确； D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中，其到O点的距离先减小后增大，根据库仑定律可知，试探电荷受到的电场力先增大后减小，负电荷受到引力作用，电场力对负电荷先做正功，后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。故选C。 【变式训练2-15】雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫做“跨步电压”。如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点，若O点附近地质结构分布均匀，则在地面以O为圆心的同心圆为一系列的等势线。图中O、A、B、C在同一直线上，是过B点圆的切线，，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是（　　） A．图中A、B、C三点中，C点电势最高 B．地面上电子由O向C定向移动 C．为了安全，人应该沿方向迈大步快速脱离 D．A、B、C、D四点间电势差大小关系为 【答案】D 【详解】A．电线掉落的O点电势最高，沿着电场线电势逐渐降低，故有则C点电势最低，故A错误； B．电子受电场力从低电势向高电势移动形成电流，则地面上电子由C向O定向移动，故B错误； C．为了安全，人应该单脚跳，就不会在人体形成电势差，而不能迈步走动，故C错误； D．等势线的密度能够表示场强的大小，而，则AB段的场强大于BC段的场强，由，有 而，则有故D正确。故选D。 【变式训练2-16】（多选）如图所示，直线为点电荷电场中的一条电场线（方向未标出），A、B、C为电场线上等间距的三点，一个带负电粒子从电场中P点（图中未标出）分三次以不同的方向射出，仅在电场力作用下分别经过A、B、C三点，粒子经过这三点时，在A点速度变化最快，则A、B、C三点中（　　）    A．A点场强最大 B．场强方向从A指向C C．A点电势最高 D．A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值 【答案】AD 【解析】A．粒子在A点速度变化最快，说明粒子在A点加速度最大，三点中A点离场源电荷最近，A点场强最大，A项正确； BC．不能确定场源电荷的电性，因此不能确定场强方向，也不能确定电势高低，BC项错误； D．离场源电荷越远，场强越小，由可知，A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值，D项正确。 故选AD。 【变式训练2-17】（多选）复印机的核心原理是静电吸附，电晕丝与感光鼓间的强电场的电场线分布如图所示。一带负电墨粉颗粒（忽略重力）沿直线从a点运动到b点，以a为原点、ab连线向下为正方向建立x轴。设电场强度大小为E、颗粒加速度大小为a、速度大小为v、电势能为Ep，则下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据电场线疏密判断a到b电场强度变化，再结合牛顿第二定律分析加速度变化，由粒子受力方向判断运动性质，结合运动学规律分析速度变化，根据电场力做功与电势能的关系分析电势能变化，判断各图像是否正确。 【解答】解：A.电场线的疏密表示电场强度大小，x＝0对应a点，离负电晕丝更近，电场线更密，E更大，从a到b过程中，电场线越来越疏，说明电场强度E逐渐减小，且减小的速率越来越慢，因此E﹣x曲线是逐渐下降、越来越平缓，和A图一致，故A正确； B.根据牛顿第二定律，颗粒加速度大小 加速度和E成正比，变化规律与E一致应该是逐渐下降、越来越平缓。但B图中加速度下降越来越快，斜率绝对值逐渐增大，故B错误； C.根据运动学关系v2＝2ax 由于a随x增大逐渐减小，因此v2﹣x的斜率逐渐减小，曲线上升越来越平缓，和C图一致，故C正确； D.从a到b电场力做正功，电势能逐渐减小；斜率的绝对值，E随x增大减小，因此斜率绝对值应该逐渐减小，Ep下降越来越平缓，故D错误。 故选：AC。 【变式训练2-18】多选）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于轴，其电势随的分布如图所示。一质量，电荷量的带负电的粒子从点由静止开始，仅在电场力作用下在轴上往返运动。则() A.轴左侧电场强度和右侧电场强度的大小之比 B.粒子在区间运动过程中的电势能减小 C.该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为 D.该粒子运动的周期 【答案】ACD 【解析】A.由图可知：根据可知： 左侧电场强度： 右侧电场强度： 所以，故A正确； B.负电荷在电势低的地方电势能大，从区间电势在降低，则电势能在增加，故B错误； C.电荷只受电场力，电场力做功等于电势能的变化量，根据，故电势变化量的最大值为，故C正确； D.设粒子在原点左右两侧运动的时间分别为、，在原点时的速度为，根据动能定理： 由运动学公式有 同理可知： 而周期： 联立解得：，故D正确。 故选ACD。 题型03：等分法计算匀强电场的电场强度 （一）已知直角坐标系空间位置模型 【典型例题1】如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2 V，a点的坐标为(0 cm，4 cm)，电势为8 V，b点的坐标为(3 cm，0 cm)，电势为8 V，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则电场强度的大小为(　　) A.250 V/m 　　　　 B.200 V/m C.150 V/m 　　　　 D.120 V/m 【答案】A　 【解析】由题意知a、b两点的电势相等，则ab为一条等势线，则知匀强电场的场强方向垂直于ab指向左下方。过O点作ab的垂线交ab于c点，由几何关系得tan ∠b＝，得∠b＝53°，Oc＝Ob·sin ∠b＝0.03 m×sin 53°＝2.4×10－2 m，又O点电势为2 V，c、O间的电势差U＝8 V－2 V＝6 V，则电场强度大小E＝＝250 V/m，故选项A正确。 【典型例题2】(多选)如图，平面直角坐标系内有a、b、c三点，位置如图所示，匀强电场平行于坐标平面。将电子从a点分别移到坐标原点和b点的过程中，电场力做功均为2 eV，知a点电势为2 V，以下说法正确的是(　　) A．b点电势为零 B．电场强度大小为200 V/m C．电子在c点电势能为－8 eV D．将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功相同 【答案】BC 【解析】由题意可知：Uab＝Uao＝＝－2 V，因a点电势为2 V，则b、O两点的电势均为4 V，选项A错误；场强大小为：E＝＝ V/m＝200 V/m，选项B正确；bc连线与场强E方向平行，则Ucb＝E·＝200×2×10－2V＝4 V，则c点的电势为8 V，电子在c点电势能为－8 eV，选项C正确；由于ab和bc的电势差不相等，则将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功不相同，选项D错误。 【典型例题3】如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m　 B．200 V/m C．100 V/m　 D．100 V/m 【答案】A 【解析】在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C为等势面．O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2m.根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确，选项B、C、D错误． 【变式训练3-1-1】空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示．关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是(　　) A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向 B．E＝5 V/m，方向指向第一象限 C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向 D．E＝500 V/m，方向指向第三象限 【答案】D 【解析】在沿y轴方向，电场强度为Ey＝－ V/m＝－400 V/m，在沿x轴方向，电场强度为Ex＝－ V/m＝－300 V/m，则电场的电场强度E大小为E＝＝500 V/m，由三角函数知方向与x轴负方向成53°，方向指向第三象限，故A、B、C错误，D正确． 【变式训练3-1-2】（多选）有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　 ) A．坐标原点O的电势为6 V B．电场强度的大小为 V/m C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10－5 J 【答案】AD 【解析】由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的变化量相等，所以φc－φb＝φO－φa，代入数据解得：φO＝6 V，故A正确；ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势面，如图所示。由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度为：E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为：Epc＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；由题意结合几何知识可知b、d在同一等势面上，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝qUad＝qUab＝(4－8)×(－2×10－5) J＝8×10－5 J，故D正确。 【变式训练3-1-3】（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　 　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 【答案】ABD 【解析】如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，ce的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确。 （二）已知三角形空间位置模型 【典型例题1】如图所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV.电场强度大小为(　　) A．200 V/m B．300 V/m C．200 V/m D．400 V/m 【答案】D 【解析】电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV，则UAB＝＝＝－4 V；电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV，UAC＝＝＝－2 V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，CD为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝＝ V/m＝400 V/m，选项D正确． 【典型例题2】如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行．已知AB＝25 cm，BC＝20 cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1 V、26 V、10 V，则该匀强电场的场强大小为(　　) A．60 V/m B．75 V/m C．80 V/m D．100 V/m 【答案】D 【解析】依题意，有sin ∠A＝＝0.8，解得∠A＝53°，在AB之间找到电势为10 V的D点，C、D位于同一等势面上，根据几何关系可知＝＝，在三角形ACD中，根据余弦定理，有2＝2＋2－2××cos 53°，解得＝12 cm，根据正弦定理，有＝，解得∠ACD＝37°，故AD⊥CD，则有＝sin 37°＝9 cm，根据匀强电场电势差与场强的关系式，有E＝＝ V/m＝100 V/m.故选D. 【变式训练3-2-1】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　) A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ 【答案】D 【解析】利用等分法可确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则E＝，由几何知识得，C′A沿电场线方向的距离为dC′A＝Lcos 30°＝L，由电势差与电场强度的关系UC′A＝φC′－φA＝EdC′A＝·，解得φC′＝(1＋)φ，故D正确，A、B、C错误． 【变式训练3-2-2】匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，如图所示，场强方向平行于纸面．具有初速度的电子在电场力作用下从B到A动能减少E0，质子在电场力作用下从C到A动能增加E0，不计重力。求匀强电场的场强． 【答案】 ，方向垂直BC指向A 【解析】根据动能定理得电子从B到A过程中－eUBA＝－E0，UBA＝，质子从C到A过程中eUCA＝E0，UCA＝，可知B、C两点电势相等且大于A点电势，即φB＝φC＞φA， 因为电场为匀强电场，所以BC连线为等势面(如图中虚线)，与BC垂直为电场线(如图中实线)，所以E＝＝＝，方向垂直BC指向A. 【变式训练3-2-3】(多选)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是(　　) A．C点电势为3 V B．C点电势为0 C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m 【答案】BD 【解析】找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示。由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3 V，φC＝0，故A错误，B正确；由于φA＝φD，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φO＞φB，故电场强度方向由O指向B，E＝＝ V/m＝100 V/m，故C错误，D正确。 【变式训练3-2-4】(多选)如图所示，匀强电场中等腰直角三角形ABC，＝＝2 cm，D为 AB边中点，电场方向与△ABC所在平面平行，规定B点的电势为0。将电荷量q＝－6×10－6 C的点电荷从A点移到B点，电场力做了－2.4×10－5 J的功，再将电荷从B点移到C点，电场力又做了1.2×10－5 J的功，则(　　) A.点电荷q在D点具有的电势能为1.0×10－5 J B.A点的电势为4 V C.该匀强电场的场强大小为100 V/m，方向垂直于CD连线指向B点 D.将△ABC绕B点顺时针旋转，无论转过多大的角度，A、C两点电势都不会相等 【答案】BC 【解析】根据公式U＝，则有 UAB＝＝ V＝4 V① UBC＝＝ V＝－2 V② 规定B点的电势为0，则φA＝UAB＝4 V，在匀强电场中沿着同一方向距离相等的任何两点间电势差相等，则φD＝＝2 V，故点电荷q在D点具有的电势能为EpD＝qφD＝(－6×10－6)×2 J＝－1.2×10－5 J，故A错误，B正确；因φB＝0，则φC＝－UBC＝2 V，故连接CD则为一条等势面，过B做CD垂线则为一条电场线，如图所示， 由几何关系得，sin ∠BCD＝＝，则E＝＝ V/m ＝100 V/m，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向为垂直于CD连线指向B点，故C正确；将△ABC绕B点顺时针旋转，当转到AC与电场线垂直时，A、C两点电势相等，故D错误。 （三）已知四边形空间位置模型 【典型例题1】(多选)如图所示，abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与场强方向平行。已知ab＝ad＝2 cm，∠adc＝60°，a、b、d三点的电势分别为0 V、4 V、4 V，则(　　) A．c点的电势为10 V B．匀强电场的场强大小为400 V/m C．若将电子从a点移到b点，需克服电场力做功4 eV D．电子和质子分别放在d点时，具有相同的电势能 【答案】AB 【解析】由几何关系可知dc＝1.5ab，则Udc＝1.5Uab，即φd－φc＝1.5(φa－φb)，可得φc＝10 V，选项A正确；因bd连线是等势线，则电场强度方向沿着从a点垂直bd连线方向，则电场强度大小E＝＝ V/m＝400 V/m，选项B正确；若将电子从a点移到b点，电场力做正功4 eV，选项C错误；电子和质子分别带等量异号电荷，则放在d点时，具有的电势能大小相等，符号相反，选项D错误。 【典型例题2】(多选)如图，正方形abcd处于匀强电场中，电场方向与此平面平行．一质子由a点运动到b点，电场力做功为W，该质子由a点运动到d点，克服电场力做功为W.已知W＞0，则(　　) A．电场强度的方向沿着ab方向 B．线ac是一条等势线 C．c点的电势高于b点的电势 D．电子在d点的电势能大于在b点的电势能 【答案】BC 【解析】由题意可知，一质子由a点运动到b点，电场力做功为W；该质子由a点运动到d点，电场力做功为－W；根据公式W＝qU可知Uda＝－Uba，又根据几何关系可知，b、d两点关于ac连线对称，所以ac是此匀强电场中的等势线，B正确；由于质子由a点运动到b点，电场力做正功，所以φc＝φa>φb，所以电场强度的方向为垂直于ac线，指向b点，A错误，C正确；根据Ep＝qφ，又电子带负电，所以电势低的地方电势能高，即电子在d点的电势能小于在b点的电势能，D错误． 【变式训练3-3-1】(多选)如图所示，匀强电场内有一矩形ABCD区域，电荷量为e的某带电粒子从B点沿BD方向以8 eV的动能射入该区域，恰好从A点射出该区域，已知矩形区域的边长AB＝8 cm，BC＝6 cm，A、B、C三点的电势分别为6 V、12 V、18 V，不计粒子重力，下列判断正确的是(　　) A．粒子带负电 B．电场强度的大小为125 V/m C．仅改变粒子在B点初速度的方向，该粒子可能经过C点 D．粒子到达A点时的动能为12 eV 【答案】BC 【解析】根据匀强电场中电势等分法，可知几何中心点P点的电势为12 V，则BPD为等势线，过C点作垂直于BPD的电场线，如图所示，方向斜向左下方，因带电粒子能从A点射出，则粒子带正电，A错误；由几何关系可知∠CDB＝37°，根据场强公式有E＝＝＝ V/m＝125 V/m，B正确；设粒子经过C点，根据动能定理可得eUBC＝EkC－EkB，解得EkC＝2 eV，所以仅改变粒子在B点初速度的方向，该粒子可能经过C点，C正确；根据动能定理可得，粒子到达A点时的动能为eUBA＝EkA－EkB，解得EkA＝14 eV，D错误。 【变式训练3-3-2】如图所示，匀强电场中有一梯形ABCD，其中AB＝2 cm、CD＝4 cm，A、B、C三点电势分别为φA＝12 V、φB＝6 V、φC＝3 V，则下列说法正确的是(　　) A．若一电子从A点移动到D点，它将克服电场力做功3 eV B．将一电子从A点移动到D点，电场力做功5 eV C．匀强电场场强的最小值为3×102 V/m D．匀强电场场强的最小值为2×102 V/m 【答案】C　 【解析】根据题意可得AB＝2 cm，CD＝4 cm＝2AB，匀强电场中，沿着相同的方向，每前进相同的距离，电势的变化相同，故：2(φA－φB)＝φD－φC，代入数据可得：φD＝15 V，电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关，故电子从A点移到D点，电场力做的功为：WAD＝qUAD＝－e(φA－φD)＝－e×(12－15) V＝3 eV，电场力做正功．故A、B错误；根据匀强电场的特点可知，沿电场线的方向电势降落最快，根据等分法作图可知，电场线的方向沿AB的方向时电场强度最小，最小为Emin＝＝3×102 V/m.故C正确，D错误． 【变式训练3-3-3】(多选)如图所示，匀强电场中的A、B、C、D点构成一位于纸面内的平行四边形，电场强度的方向与纸面平行。已知A、B两点的电势分别为φA＝12 V、φB＝6 V，则C、D两点的电势可能分别为(　　) A．9 V、15 V　　　　　　 B．9 V、18 V C．0 V、6 V D．6 V、0 V 【答案】AC　 【解析】已知ABCD为平行四边形，则AB与CD平行且等长，因为匀强电场的电场强度的方向与纸面平行，所以UAB＝UDC＝6 V，分析各选项中数据可知，A、C正确，B、D错误。 【变式训练3-3-4】如图在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为(　 　) A．120 V/m，沿AB方向 B．200 V/m，沿AC方向 C．160 V/m，沿AD方向 D．300 V/m，沿BD方向 【答案】B 【解析】连接AC，过B点作BB′⊥AC，由几何关系知，AB′＝0.18 m，B′C＝0.32 m，AC＝0.5 m，据题知UAC＝100 V，因为AC线上电势均匀降落，由比例关系可知φB′＝19 V，所以B′与B电势相等，BB′为等势线；利用等势线与场强垂直确定场强方向，可知匀强电场的电场强度方向沿AC方向，UAB′＝φA－φB′＝36 V，匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝200 V/m，故B正确． （四）已知多边形空间位置模型 【典型例题】如图，正六边形ABCDEF区域内有平行于纸面方向的匀强电场(图中未标出)，A、B、C三点电势分别为3 V、6 V、9 V，现有一个电子从E点以初速度v0沿EB方向射入．下列说法正确的是(　　) A．F点电势为0 V B．DF的连线是电场中一条等势线 C．电子射出六边形区域时速度大小可能仍是v0 D．电子离开此区域动能增量的最大值是3 eV 【答案】D 【解析】连接AC，根据匀强电场电势随距离均匀变化(除等势面)的特点，则知AC中点的电势为6 V，连接EB，EB即为一条等势线，CA连线即为一条电场线，DF与CA平行，所以DF也是一条电场线，故B错误；由上可知AF为等势面，所以F点电势为3 V，故A错误；电子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的知识和等势面与电场线的关系可知电子不可能再回到同一等势面上，故C错误；由题图可知电子从DC间离开时动能最大，即动能增量为：ΔEk＝eU＝3 eV，故D正确． 【变式训练3-4-1】（多选）如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是(　 　) A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线 B．匀强电场的场强大小为10 V/m C．匀强电场的场强方向为由C指向A D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J 【答案】ACD 　 【解析】A、B、C三点的电势分别为1 V、2 V、3 V，由于匀强电场中任一直线上的电势分布都是均匀的，连接AC，则AC中点G的电势为2 V，因此BE连线为一条等势线，因此平行于BE的CD、AF为等势线，A项中说法正确；正六边形边长为10 cm，则由几何关系知CG＝5 cm，由E＝求得E＝ V/m，B项中说法错误；电场线垂直于等势线且由高电势指向低电势，C项中说法正确；将一个电子从E点移到D点，电场力做功W＝－eUED＝1.6×10－19 J，根据电场力做功与电势能变化的关系知，电势能减少1.6×10－19 J，D项中说法正确． 【变式训练3-4-2】如图，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相垂直的直径．将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向(　 　) A．平行直径ab指向a B．平行直径ab指向b C．垂直直径ab指向pm弧 D．垂直直径ab指向nq弧 【答案】D 【解析】由于带正电的粒子从直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，根据W＝q(φa－φm)可知，静电力做负功，且φa<φm，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，根据W＝q(φm－φb)可知，静电力做正功，且φb<φm，由于电势能变化量相同，则可知a点与b点电势相等，故直径ab是一条等势线，且m点电势高于a、b点电势，所以电场强度的方向垂直直径ab指向nq弧． 【变式训练3-4-3】(多选)如图所示，水平面内有A、B、C、D、E、F六个点，它们均匀分布在圆心为O、半径为R＝2 cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。已知A、C、E三点的电势分别为φA＝(2－) V、φC＝2 V、φE＝(2＋) V，下列判断正确的是(　　) A.电场强度的方向由A指向D B.电场强度的大小为100 V/m C.该圆周上的点电势最高为4 V D.将电子沿圆弧从D点移到F点，电场力始终做负功 【答案】BC 【解析】由于圆周处于匀强电场中，且φA＝(2－) V、φE＝(2＋) V，则线段AE的中点电势为2 V，等于C点电势，故过C点和O点的直线与F点在同一等势线上，AE和等势线垂直，故场强方向由E指向A，故选项A错误；dEA＝2Rsin 60°＝2 cm，则电场强度的大小为E＝＝100 V/m，选项B正确；ED中点位置的电势最高，大小为φmax＝4 V，选项C正确；电子从D点沿圆周顺时针移到F点，电势先升高后降低，电子的电势能先减少后增加，故电场力先做正功后做负功，电子从D点沿圆周逆时针移到F点，电势先降低后升高，电子的电势能先增加后减少，故电场力先做负功后做正功，选项D错误。 【变式训练3-4-4】如图，边长为1 cm的立方体abdc－fgih处于匀强电场中，d、c两点间电势差Udc＝3 V，d、b两点间电势差Udb＝3 V。若一电子从b到g电场力做功为零，则(　　 ) A．b、g两点间的电势差为零 B．匀强电场的方向从d指向c C．a、b两点间的电势差Uab＝3 V D．匀强电场的电场强度E＝300 V/m 【答案】A 【解析】由于电子从b到g电场力做功为零，因此b、g两点间的电势差一定为零，A正确；由题可知，c、b、g处于同一个势面上，因此这三点确定的平面为等势面，电场线与等势面垂直，因此电场强度的方向为从d到a，B错误；d、b两点间电势差Udb＝3 V，c、b、g三点确定的平面为等势面，根据对称性，a、b两点间的电势差Uab＝－3 V，C错误；根据E＝，匀强电场的电场强度E＝ V/m＝300 V/m，D错误。 题型04：匀强电场中求电势、电势能的问题 【典型例题1】(多选)如图，平面直角坐标系内有a、b、c三点，位置如图所示，匀强电场平行于坐标平面。将电子从a点分别移到坐标原点和b点的过程中，电场力做功均为2 eV，知a点电势为2 V，以下说法正确的是(　 ) A．b点电势为零 B．电场强度大小为200 V/m C．电子在c点电势能为－8 eV D．将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功相同 【答案】BC　由题意可知：Uab＝UaO＝＝－2 V，因a点电势为2 V，则b、O两点的电势均为4 V，A错误；匀强电场的电场线如图所示，电场强度大小为E＝＝200 V/m，B正确；由几何关系知，bc连线与电场强度E方向平行，则Ucb＝E·＝4 V，则c点的电势为8 V，电子在c点电势能为－8 eV，C正确；由于ab和bc的电势差不相等，则将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功不相同，D错误。 【典型例题2】如图所示，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2 m。若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10 eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为11 eV和7 eV。不考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为(　 ) A．1 N/C B．2 N/C C．3 N/C D．4 N/C 【答案】A解析：选A　根据W＝Uq和动能定理可得：UBA＝＝＝－1 V，UBC＝＝＝3 V；沿CB方向延长CB至D，根据匀强电场等分线段等分电势差得UBD＝－1 V，故A、D两点电势相等，连接AD则为等势线，过B作AD垂线则为电场线，如图所示。由几何关系得：BD＝BC＝ABtan 60°＝ m，tan ∠ADB＝＝，∠ADB＝60°，则电场强度为：E＝＝1 V/m＝1 N/C，故A正确，B、C、D错误。 【变式训练4-1】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（　　） A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【答案】AB A．虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV，动能减小了6eV，电势能增加了6eV，因此a、b、c、d、f相邻两个等势面间的电势差为2V，因平面b上的电势为2V，由于电子的电势能增加，等势面电势由a到f是降低的，因此平面c上的电势为零，故A正确； B．由上分析可知，当电子由a向f方向运动，则电子到达平面f的动能为2eV，由于题目中没有说明电子如何运动，因此也可能电子在匀强电场中做抛体运动，则可能不会到达平面f，故B正确； C．在平面b上电势为2V，则电子的电势能为-2eV，动能为8eV，电势能与动能之和为6eV，当电子经过平面d时，动能为4eV，其电势能为2eV，故C错误； D、电子经过平面b时的动能是平面d的动能2倍，电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，故D错误。 故选AB。 【变式训练4-2】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　) A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ 【答案】D 【解析】 利用等分法可确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则E＝，由几何知识得，C′A沿电场线方向的距离为dC′A＝Lcos 30°＝L，由电势差与电场强度的关系UC′A＝φC′－φA＝EdC′A＝·，解得φC′＝(1＋)φ，故D正确，A、B、C错误． 题型05：等差等势面问题 【典型例题】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是(　 ) A．两点电荷可能是异种点电荷 B．A点的电场强度比B点的大 C．A点的电势高于B点的电势 D．电子运动到P点时动能最小 【答案】CD　根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为同种负电荷，A错误；根据等差等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，B错误；因为两点电荷是同种负电荷，电场线指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，C正确；根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知电子由M到P电场力做负功，由P到N电场力做正功；电子由M到P动能减少，由P到N动能增加，故电子运动到P点时动能最小，D正确。 【变式训练5-1】(多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　 ) A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 【答案】BD　【解析】由题图可知φb＝φe，则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误；由题图可知φa＝3 V，φd＝7 V，根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad＝Epa－Epd＝(φa－φd)·(－e)＝4 eV，B正确；沿电场线方向电势逐渐降低，则b点处的电场强度方向向左，C错误；由于电场线与等势面处处垂直，则可画出电场线大体分布如图所示，由图可知b点电场线最密集，则b点处的电场强度最大，D正确。 【变式训练5-2】如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　 ) A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpN C．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN 【答案】A　【解析】等差等势面的疏密反映电场强度的大小，故N点的电场强度大于M点的电场强度，同一正的试探电荷在N点受到的电场力大，即FM＜FN；在负的点电荷形成的电场中，离负点电荷越近，电势越低，正的试探电荷的电势能越小，故φM＞φN，EpM＞EpN，A正确。 【变式训练5-3】如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹，a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作用，以下说法正确的是(　　) A．a点的电场强度大于b点的电场强度 B．粒子在a点的动能比在b点的动能小 C．粒子在a点和c点的速度相同 D．粒子在b点的电势能比在c点的电势能大 【答案】D 【解析】根据等差等势线越密，场强越强的特点，则a点的电场强度小于b点的电场强度，所以A错误；由曲线运动的特点知合外力指向轨迹弯曲的一面，所以粒子从a到b过程中，静电力做负功，则粒子在a点的动能比在b点的动能大，所以B错误；a点与c点处于同一等势线上，粒子在a点和c点的速度大小相等，但是方向不同，所以C错误；粒子从b到c，静电力做正功，粒子在b点的电势能比在c点的电势能大，所以D正确． 题型06：运动轨迹问题 【典型例题】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　) A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电 B．MN两点电势差大小|UMN|等于NQ两点电势差大小|UNQ| C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小 D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小 答案　D 解析　由题图可知，a粒子的轨迹方向向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段场强大于NQ段场强，所以MN两点电势差大小|UMN|大于NQ两点电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝Uq，|UMN|>|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确． 【变式训练6-1】如图所示，椭圆(虚线)的中心和圆(实线)的圆心重合，A、B两点是两几何图形的交点。在圆心处固定一点电荷Q，现用外力使一正的试探电荷q(图中未画出)沿椭圆从A点运动到B点，则电荷q在从A点运动到B点的过程中，下列说法一定正确的是(　　) A．库仑力先变大后变小 B．加速度先变大后变小 C．动能先变小后变大 D．电势能先变小后变大 答案　A 解析　从A到B，试探电荷离Q的距离先减小再增大，库仑力先增大后减小，A正确；由于Q电性不知、外力情况不明，所以，试探电荷的加速度、动能、电势能的变化不能确定，B、C、D错误。 【变式训练6-2】(多选)如图所示，实线为三个电荷量相同的带正电的点电荷Q1、Q2、Q3的电场线分布，虚线为某试探电荷从a点运动到b点的轨迹，则下列说法正确的是(　 ) A．该试探电荷为负电荷 B．b点的电场强度比a点的电场强度大 C．该试探电荷从a点到b点的过程中电势能先增加后减少 D．该试探电荷从a点到b点的过程中动能先增加后减少 解析：选BC　电场力方向指向轨迹曲线凹侧，由题意及图像可知，该试探电荷为正电荷，A错误；根据电场线的疏密可知，b点的电场强度比a点的电场强度大，B正确；该试探电荷从a点到b点的过程中，电场力与速度方向的夹角先是钝角后变成锐角，即电场力先做负功后做正功，试探电荷的电势能先増加后减少，动能先减少后增加，C正确，D错误。 【变式训练6-3】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，c的电势最高 B．带电质点通过P点的电势能比Q点大 C．带电质点通过P点的动能比Q点大 D．带电质点通过P点时的加速度比Q点小 答案　B 解析　电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带负电，因此电场线指向左上方，沿电场线方向电势降低，故c等势面的电势最低，a等势面的电势最高，故A错误；P点电势小于Q点电势，粒子带负电，则带电质点通过P点的电势能比Q点的电势能大，根据能量守恒可知，带电质点通过P点的动能比Q点的动能小，故B正确，C错误；等势线密的地方电场强度大，加速度大，故质点通过P点时的加速度较大，故D错误。 题型07：联系实际问题 【典型例题】如图1,某棵大树被雷电击中,此时以大树为中心的地面上形成了电场,该电场的等势面分布及电场中M、P两点的位置如图2所示,则(　　)。 A.M点电势较低 B.电场线由P点指向M点 C.越靠近大树的地方电场强度越小 D.M、P两点间的电势差约为200 kV 答案　D 解析　由图2可知,φM=-200 kV,φP=-400 kV。则φM>φP,根据电场线由高电势指向低电势,可知电场线由大树(即表示等势面的同心圆的圆心)指向P点。根据等差等势面的疏密程度可以表示电场的强弱,易知越靠近大树的地方电场强度越大。A、B、C三项错误。根据电势差的定义,可得UMP=φM-φP=200 kV,D项正确。 【变式训练7-2】我国的特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电，若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　 ) A．电势的大小为φC＞φB＝φD＞φA B．电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC C．人从B沿着圆弧走到D会发生触电 D．AB间距离等于BC间距离的2倍 解析：选B　根据题意，圆心处的电势最高，向外越来越低，电势的大小为φA＞φB＝φD＞φC，A错误；电场强度看等势线的疏密，由题图可知电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC，B正确；B和D在同一条等势线上，人从B沿着圆弧走到D不会发生触电，C错误；AB的平均场强大于BC的平均场强，AB的电势差等于BC电势差的二倍，根据E＝可以定性判断出AB间距离小于BC间距离的2倍，D错误。 【变式训练7-2】(多选)在研究心脏电性质时,兴奋在心肌传播,在人体的体表可以测出与之对应的电势变化,可等效为两等量电荷产生的电场。人体表面的瞬时电势分布图如图所示,图中实线为等差等势面,标在等势面上的数值表示该等势面的电势,a、b、c、d为等势面上的点,a、b为两电荷连线上对称的两点,c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点,则(　　)。 A.a、b两点的电场强度相同 B.c、d两点的电场强度不相同 C.a、b两点的电势差Uab=-3 mV D.从c到d的直线上,电场强度先变大后变小 答案　AD 解析　该瞬时电势分布图等效为等量异种电荷产生的,a、b为两电荷连线上对称的两点,所以 a、b两点的电场强度大小相等、方向相同,A项正确;c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点, c、d两点的电场强度大小与方向也相同,B项错误; a、b两点的电势差Uab=φa-φb=3 mV,C项错误;根据等势线的疏密程度可判断出从c到d的直线上电场强度先变大后变小,D项正确。 【变式训练7-3】医生用心电图检查仪为一位身高1.8 m的运动员体检，她把电极吸在身体5个不同的位置，如图所示。如果人体从头往脚的方向构成匀强电场，其中有两个点的电势差最大，约为500 μV，则电场强度约为(　 ) A．278 μV/m B．500 μV/m C．1 000 μV/m D．1 250 μV/m 解析：选B　沿着电场的方向最远的两点是A、E，大约为d＝1.0 m，而电势差U＝500 μV，则E＝＝500 μV/m。B正确。 1．某电子束焊接机的工作原理示意图如图所示，在直流高压作用下，阴极（接地）与阳极之间形成辐向电场，虚线为电场线，在同一电场线上有三点，。一电子以某一初速度从点沿直线运动到点。不计电子所受的重力。下列说法正确的是（　　）    A．两点间的电势差等于两点间的电势差 B．点的电势 C．电子在点时的电势能小于在点时的电势能 D．电子从点到点做加速度逐渐减小的加速运动 【答案】C 【详解】AB．电场线越密的地方场强越大，所以B、C两点间的电场强度大于C、D两点间的电场强度，由 U=Ed可得B、C两点间电势差大于C、D两点间电势差，即变形得 故AB错误； C．电子带负电，把电子从B点移到D点，电场力做负功，电子的电势能增大，所以电子在B点时的电势能小于在D点时的电势能，故C正确； D．电场线越密的地方场强越大，所以从B点到D点电场强度逐渐减小，电子从B到D加速度逐渐减小，又因电场力做负功，所以电子做加速度减小的减速运动，故D错误。故选C。 2．如图所示，A、B、C、D四个点构成矩形ABCD，它们处于匀强电场中，电场线与平面ABCD平行，AB=3m、，A、B、C三点的电势分别为-1V、1V、3V，则电场强度大小为（　　）    A．V/m B．V/m C．V/m D．V/m 【答案】A 【详解】由于3V-1V=1V-（-1V）=2V即有若令AC连线中点为F，由于可知 则连线BF为一条等势线，根据几何关系可以解得，可知，三角形BCF为等边三角形，由于电场线与等势线垂直，则故选A。 3．如图是某电场的部分电场线分布图。M、N、Q是以电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN。以下说法正确的是（　　）    A．点电势与点电势相等 B．将一正电荷由点移到点，电荷的电势能减少 C．间的电势差等于间的电势差 D．将一正电荷放在点，正电荷所受电场力沿与垂直的方向竖直向上 【答案】B 【详解】A．根据电场线与等势线垂直特点，在MN上找到Q点的等势点，应在O点上方，根据沿电场线电势降低可知，O点的电势比Q点的电势高，故A错误； B．根据沿电场线电势降低可知，Q点的电势比M点的电势低，正电荷在电势高的地方电势能大，在电势低的地方电势能小，则电荷在Q点的电势能比在M点的电势能小，故从M到Q电荷电势能减少，故B正确； C．根据电场线密的地方等差等势线也密，MO与ON长度相同，则MO间等差等势线密，则MO电势差变化比ON变化的多，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误； D．Q点的电场强度方向为该点电场线切线方向（斜向右上方），则正电荷在Q点所受电场力方向斜向右上方，故D错误。故选B。 4．空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示，下列叙述正确的是（　　） A．x1、x2两处电势相同 B．电子在x1处电势能小于在x2处的电势能 C．x=0处与x1处两点之间的电势差为U=E0x1 D．电子沿x轴从x1处运动到x2处，电场力先做负功再做正功 【答案】B 【详解】A、从到，电场强度的方向不变，一直沿x轴正方向，电势不断降低，所以处电势比处电势高，故A错误； BD、因为电场方向沿x轴正方向,电子所受的电场力沿x轴负方向，若电子沿x轴从处运动到处，电场力一直做负功，电势能增大，则电子在处电势能小于在处的电势能，故B正确，D错误； C、x=0处与处两点之间的电势差为，故C错误；故选B． 5．下面是某同学对电场中的一些概念及公式的理解，其中正确的是（　　） A．由，电场中某点的电场强度与检验电荷所带的电荷量成反比 B．由公式知，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小 C．由知，电场中某点的电场强度与场源电荷所带的电荷量有关 D．由知，带电荷量为1C的正电荷，从A点移动到B点克服电场力做功为1J，则A、B两点间的电势差为1V 【答案】C 【详解】A．电场强度取决于电场本身，与有无试探电荷无关，所以不能理解成电场中某点的电场强度与检验电荷所带的电荷量成反比，A错误； B．公式是电场强度的计算式，式中是两点沿电场线方向的距离，而电场强度是由电场本身决定的，所以在匀强电场中两点间沿电场线方向的距离越大时，电场强度保持不变，B错误； C．由真空中点电荷的电场强度公式可知，真空中点电荷的电场中某点的电场强度与场源电荷所带电荷量成正比，所以电场中某点的电场强度与场源电荷所带的电荷量有关，C正确； D．由电势差的定义式可知，带电荷量为1C的正电荷，从A点移动到B点克服电场力做功为1J，则A、B两点间的电势差为，D错误。故选C。 6．高压电线落地可能导致行人跨步电压触电。如图所示，若高压输电线掉落在水平地面上的点，将在地面形成以O为圆心的一系列同心圆等势线，则（　　） A．掉落电线的地面附近形成的是匀强电场 B．图中A点的电场强度大于B点的电场强度 C．行人无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大跨步电压越大 D．行人可通过双脚并拢跳跃或用单脚跳跃的方式远离危险区 【答案】D 【详解】A．电场中等势线与电场线垂直，分析可知各点场强方向不相同，因此掉落电线的地面附近形成的不是匀强电场，故A错误； B．距离O点越远的位置场强越小，则图中A点的电场强度小于B点的电场强度，故B错误； C．行人若沿等势线跨步，则两脚间跨步电压为零，与距离无关，故C错误； D．行人双脚并拢跳跃或单脚跳跃时，根据可知，由于距离较近双脚间或单脚的电势差较小，可避免触电，故D正确。故选D。 7．如题图所示，在匀强电场中有半径为R=1cm的圆形区域，O为圆心，圆形区域所在平面与匀强电场的电场线平行，AC、BD为直径且夹角θ=60º。已知φA=2V，φB=4V，φO=3V。则（  ） A．电场方向由B指向D B．质子在该圆形区域电势能最大值为4eV C．电场强度等于200V/m D．电子从A到C的过程与从B到D的过程电场力做功相同 【答案】C 【详解】 AC．A、B中点O1电势与O点电势相等，所以OO1连线为一等势线，电场方向垂直于OO1连线由B指向A，电场强度故A错误，C正确； B．圆周上电势最大为，则得=5V质子在该圆形区域电势能最大值为5eV，故B错误； D．电子从A到C的过程电场力做正功，从B到D的过程电场力做负功，故D错误。故选C。 8．如图所示，A、B、C三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径之差相等。A、C两个等势面电势分别为和，则中间B等势面的电势（　　） A．一定等于4V B．一定低于4V C．一定高于4V D．无法确定 【答案】B 【详解】电场线与等势面互相垂直，由图看出，AB段电场线比BC段电场线密，AB段场强较大，根据公式 可知，A、B间电势差UAB大于B、C间电势差UBC，即得到 故选B。 9．如图，匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H为立方体的8个顶点，已知G、F、D点的电势分别为7V、3V、4V，则A点的电势为（　　） A．0V B．1V C．2V D．3V 【答案】A 【详解】由于电场为匀强电场，边与边平行且相等，则有即有 解得故选A。 10．如图所示的匀强电场中，已知场强大小等于，AB的间距为6cm，则以下说法正确的是（　　） A．A点电势低于B点电势，A、B、C三点的场强相同 B．A、B两点间的电势差为3V C．现有一个电荷量为＋q的电荷，第一次该电荷从A点移到B点，电场力做功为W1；第二次该电荷从A点移到C点，然后再移到B点，在这个过程中电场力做功为W2，则 D．若A点电势为零，则B点电势为3V 【答案】BC 【详解】A．由于AC与电场线垂直，则图中A、C两点在同一等势面上，电势相等，根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知点的电势高于点的电势，所以A点的电势高于点的电势，因三点均处于匀强电场中，A、B、C三点的场强相同，A错误； B．A、B两点间的电势差为，B正确； C．电场力做功只与初、末位置有关，与路径无关，则电荷从A点移到点与从A点移到点再移到点电场力做功相等，即有，C正确； D．根据若，解得，D错误。 故选BC。 11.静电喷涂是利用高压静电电场使带负电的涂料微粒沿着电场相反的方向定向运动，并将涂料微粒吸附在工件表面上的一种喷涂方法，其工作原理如图所示。忽略运动中涂料微粒间的相互作用和涂料微粒的重力。下列说法中正确的是(　 ) A．当静电喷涂机与被喷涂工件之间的距离增大时，在运动中的涂料微粒所受电场力增大 B．涂料微粒的运动轨迹仅由被喷涂工件与静电喷涂机之间所接的高压电源决定 C．在静电喷涂机水平向左移动的过程中，有两个带有相同电荷量的微粒先后经过被喷涂工件右侧P点(相对工件的距离不变)处，先经过的微粒电势能较大 D．涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，在直线轨迹上电势升高最快 解析：选D　当静电喷涂机与被喷涂工件之间的距离增大时，由于静电喷涂机与被喷涂工件之间电压恒定，电场强度减小，故涂料微粒所受电场力减小，A错误；涂料微粒的运动轨迹与初速度和受力情况均有关，B错误；工件接地，电势为零，P处电势为负值，喷涂机左移会使空间场强变大，P点电势变低，因微粒带负电，先经过的微粒电势能小，C错误；涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，直线的距离最小，结合公式U＝Ed，在直线轨迹上电势升高最快，D正确。 12.如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势(　 ) A．φC＝10 V B．φC>10 V C．φC<10 V D．上述选项都不正确 解析：选C　由于AC之间的电场线比CB之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<，即φC<10 V，C正确。 13.电子束焊机是一种高精密的焊接设备，它利用高速运动的电子束流轰击工件使动能转化为热能进行焊接加工。在曲面K与A之间加上高压U后，K与A之间的电场线如图所示，A到曲面各点的距离均为d，电子由静止被加速后轰击工件，电子的电量大小为e，不考虑电子重力，则下列说法正确的是(　 ) A．待焊接的工件应放置在K极 B．A、K之间的电场强度大小为 C．电子在加速运动过程中加速度逐渐增大 D．电子经高压U加速后电势能增大了eU 解析：选C　电子受电场力沿电场线的反方向运动，则待焊接的工件应放置在A极，A错误；A、K之间不是匀强电场，则电场强度大小不等于，B错误；电子在加速运动过程中向A极运动，则由于电场线越来越密集，则电场力变大，加速度逐渐增大，C正确；电子经高压U加速后，电场力做正功，则电势能减小了eU，D错误。 14.如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　) A．a是直流高压电源的正极 B．电场中P点的场强小于M点的场强 C．电场中M点的电势低于N点的电势 D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN 答案　C 解析　带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，故P、M间的电势差UPM不等于M、N间的电势差UMN，选项D错误． 1 学科网（北京）股份有限公司 $