第4章 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以三角函数定义为核心，通过概念辨析-性质应用-实际建模的逻辑链条，系统训练任意角与弧度制的转化、象限角判断及三角函数值计算，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|12题|终边相同角表示（角度制与弧度制分离）、三角函数定义法（坐标比值）、象限角分类讨论|从角的概念（任意角→弧度制）到三角函数定义（坐标法），再到性质应用（符号判断、终边对称关系）| |能力提升|2题|扇形面积公式结合方程思想、滚动圆的参数坐标法|实际问题抽象为数学模型（月牙泉面积→扇形组合，滚动圆→圆心角与坐标关系）|

第四章　三角函数与解三角形 课时冲关21　任意角和弧度制、三角函数的概念 [基础巩固练] 一、单选题 1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：C　[与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确．] 2．若角α的终边经过点P(1，)，则cos α＋tan α的值为(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：A　[因为角α的终边经过点P(1，)，则x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以cos α＝＝，tan α＝＝，那么cos α＋tan α＝，] 3．已知角α的终边上一点的坐标(a,2)，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是(　　) A．cos αtan α B．sin αcos α C．sin αtan α D．tan α 解析：A　[因为角α的终边上一点的坐标(a,2)且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝， 选项A，cos αtan α＝＞0，故选项A正确；选项B，sin αcos α＝，因为a的正负不知，故选项B错误；选项C，sin αtan α＝，因为a的正负不知，故选项C错误；选项D，tan α＝，因为a的正负不知，故选项D错误．] 4．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，又θ∈[0,2π)，所以θ＝.] 5．中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(　　) A．(3－)π B．(－1)π C．(＋1)π D．(－2)π 解析：A　[设扇形的圆心角的弧度数为θ，其所在圆的半径为r，则＝＝，解得θ＝(3－)π.] 6．若角α和β的终边关于y轴对称，则必有(　　) A．α＋β＝ B．α＋β＝π，k∈Z C．α＋β＝2kπ，k∈Z D．α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z 解析：D　[如图所示， 设0<α′<π，0<β′<π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z.] 二、多选题 7．若角α是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是(　　) A．－α B．π－α C．α－ D．2α 解析：AC　[因为角α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z， 对于A，－π－2kπ＜－α＜－2kπ－，k∈Z，故－α是第三象限角，故A正确； 对于B，－2kπ＜π－α＜－2kπ＋，k∈Z，故π－α是第一象限角，故B不正确； 对于C，－π＋2kπ＜α－＜2kπ－，k∈Z，故α－是第三象限角，故C正确； 对于D，π＋4kπ＜2α＜4kπ＋2π，k∈Z，故2α是第三象限角或y轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确．] 8．下列结论中正确的是(　　) A．若0<α<，则sin α<tan α B．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝ D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 解析：ABD　[选项A，若0<α<，则sin α<tan α，A正确；选项B，若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z，为第一象限或第三象限角，B正确；选项C，若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝＝，不一定等于，C不正确；选项D，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，则圆心角的大小为＝1弧度，D正确．] 三、填空题 9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(4m，－3m)(m＜0)是角α终边上的一点，则＝________. 解析：∵角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(4m，－3m)(m＜0)是角α终边上的一点， ∴r＝＝－5m， ∴2sin α＋cos α＝×2＋＝， sin α－cos α＝－＝， ∴＝. 答案： 10．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0， 即所以θ为第二象限角． 答案：二 四、解答题 11．已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角(正角)为多大时，扇形的周长取得最小值？ 解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r. 由题意知lr＝25，则l＝， 所以y＝＋2r≥2 ＝20， 当且仅当＝2r，即r＝5时， y取得最小值，最小值为20，此时l＝10，圆心角α＝＝2. 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 12．已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值． 解：(1)由＝－，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－， sin α＝＝＝＝－. [能力提升练] 13．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，南北距离AB的长大约60 m，则该月牙泉的面积约为________m2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，≈1.73) 解析：设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝＝＝120，得r＝60， 因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×＝， 所以内弧的弧长l＝60×＝40π， 所以弓形ABC的面积为 S1＝×40π×60－×60×60×sin ＝1 200π－900， 以AB为直径的半圆的面积为π×(30)2＝1 350π，所以该月牙泉的面积为1 350π－(1 200π－900)＝150π＋900≈2 028. 答案：2 028 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________． 解析：如图所示，设滚动后的圆的圆心为C， 过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B. 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2， 即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－， 所以|PB|＝sin＝－cos 2， |CB|＝cos＝sin 2， 所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2， yP＝1＋|PB|＝1－cos 2， 所以＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2) 学科网（北京）股份有限公司 $