第十三章 三角形 章末提升试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册三角形单元复习卷，以折叠椅、起重机等生活情境和“2倍角三角形”创新定义为载体，覆盖三边关系、内角和、中线等核心知识，注重推理能力与几何直观的考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三边关系（1题）、内角和（4题）、折叠旋转（5题）|结合生活情境（如起重机工作原理），考查空间观念| |填空题|6|中线性质（12题）、等腰三角形周长（13题）|基础与应用结合，如16题动点最值问题培养创新意识| |解答题|9|新定义探究（23题）、四边形外角平分线（25题）|综合考查推理能力，如24题结合高与角平分线判断三角形形状|

第十三章 三角形 章末提升试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（   ） A．1 B．2 C．12 D．7 2．下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 3．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 4．在中，平分于E，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 7．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 8．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 9．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 12．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 13．若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 14．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 15．如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 16．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题 17．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 18．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 19．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 20．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 21．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 22．如图，平分的外角交的延长线于点D． (1)若，，求的度数是 ； (2)若，求的度数(用含的式子表示)． 23．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，且为锐角三角形，为“倍角”，求的取值范围． 24．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 25．结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_________． (2)已知：如图2，与分别是的两个外角，且．则_________． (3)如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数．（用含，的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A C D D D B 1．D 本题利用三角形三边关系定理，根据三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，再判断符合范围的选项即可． 解：设第三边的边长为， ∵三角形已知两边长为5和7， ∴，即， 观察选项，只有选项D的7满足，故选D． 2．D 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最长边，逐项判断即可． 解：选项A：，较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项B：较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项C：三边均为，较小两边和为，，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合题意． 选项D：设三条线段长分别为，较小两边和为，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意． 3．C 作，根据即可求出点到边的距离． 解：作，如图， ， ， ． 4．D 先求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角的定义求出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 5．A 利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6．C 根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 7．D 计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 8．D 先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 9．D 由三角形内角和定理可得，即，再说明，进而完成解答． 解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 10．B 设，根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义表示出，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出，结合选项，即可求解． 解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 11．/ 解：根据三角形三边关系，可得，即． 12．20 根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 13． 7 解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 14．36 先根据中点定义得出为中线，再根据中线的性质计算即可． 解：如图，连接并延长，交于点， ∵分别为边上中点， ∴为的中线， ∴，，，为的中线， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 15．/度 首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16． 过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 17．(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． （1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 18．(1)27 (2) （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． （1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． （1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 20．(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) （1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． （1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1) (2) 根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． （1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 22．(1) (2) （1）根据，，得到，，根据三角形外角性质，求解即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； （1）解：，， ， ， 平分的外角， ， ； （2）解：平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．(1)是“2倍角三角形” (2) （1）根据定义计算即可； （2）设（为另一个内角），则第三个内角为，根据定义，结合三角形内角和定理计算即可． （1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， ∴， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：设（为另一个内角），则第三个内角为， ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 24．(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． （1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 25．(1) (2) (3) （1）在中，根据三角形内角和定理可求得 ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （3）解：延长，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $