第三讲 一元二次函数、方程和不等式专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，系统整合不等式性质、基本不等式及二次函数与不等式关系，通过题型化训练提炼作差法、图像法等可迁移方法，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等式与不等式性质|多例题+8练习|作差比较法、性质可逆性判断|从不等关系定义到实数比较，推导不等式性质应用规则| |基本不等式|多例题+6练习|“一正二定三相等”求最值、不等式证明构造法|由重要不等式推导基本不等式，结合最值定理实现应用| |二次函数与不等式|多例题+8练习|图像法解不等式、数轴标根法、含参分类讨论|建立二次函数图像与方程、不等式解集的对应关系，形成解证统一思路|

第三讲 一元二次函数、方程和不等式—专题练习 【知识点梳理】 等式的性质与不等式性质 知识点一、不等关系与不等式 1.等式与不等式 （1）等式：用数学符号“=”连接两个数或代数式，以表示它们之间的相等关系，含有等号 的式子叫做等式. （2）不等式：用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式， 以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. （3）不等式组：当问题中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示. 2.实数的大小比较 （1）借助数轴上的点和实数一一对应，可以借用数轴上点的位置来比较大小.数轴上右边 的点表示的数大于左边的点表示的数. （2）基本事实（作差法比较大小） 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3.由基本事实得出一个重要结论 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二、等式性质和不等式性质 1.等式性质 （1）如果a＝b，那么b＝a. （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （4）如果a＝b，那么ac＝bc. （5）如果a＝b，c≠0，那么. 2.不等式的性质 性质名称 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质3的推论 移项法则 a＋b>c⇒a>c-b 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 基本不等式 知识点一、基本不等式 1.重要不等式 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立. 2.基本不等式 （1）如果a>0,b>0，那么，当且仅当a=b时等号成立.文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常用变形：如果a>0,b>0，，，当且仅当a=b时等号成立. 知识点二、最值定理 已知x，y都是正数： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果和x+y等于定值Q，那么当x=y时，积xy有最大值. 口诀“一正、二定、三相等”. 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一、一元二次不等式的有关概念 1.定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.一般形式：或或或.其中a，b，c均为常数，a≠0. 3.一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点二、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数(a>0)的图象 一元二次方程(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点三、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤： （1）把不等式变形为标准形式，使一端为零且二次项系数大于零，即或或或的形式，a>0. （2）计算方程的根的判别式的值，当时，求出方程的根. （3）画出二次函数的图像. （4）结合图像得出原不等式的解集. 知识点四、一元二次不等式恒成立的问题（a≠0） （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 知识点五、不等式恒成立、存在成立问题 （1）恒成立 ①恒成立；②恒成立； ③恒成立；④恒成立. （2）存在成立（有解） ①有解；②有解； ③有解；④有解. 知识点六、简单高次不等式或分式不等式的解法 “数轴标根法（数轴穿根法）”解不等式步骤如下： （1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中x最高次数的项的系数符号化为“﹢”. （2）求出相应方程的根，并在数轴表示出来. （3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇过偶不过”的原则. （4）若不等式为“>0”，则找“线”在数轴上方对应的x的取值范围；若不等式为“<”，则找“线”在数轴下方对应的x的取值范围. 【专题练习】 考点一：等式的性质与不等式的性质 1.用不等式组表示不等关系 例1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 例2.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为 ；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 ． 随堂练习： 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 2.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为( ) A. B. C. D. 3.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 4.下列关于糖水浓度的问题，你能提炼出怎样的不等式呢？ （1）若再添加糖()，则糖水变甜了； （2）若再添加水()，则糖水变淡了； （3）把淡的糖水和浓的糖水混合在一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡. 2.比较两数（式）的大小 例1.已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 例2.已知，试比较与的大小. 随堂练习： 1.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是 ． 2.已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．M≥N 3.若x∈R，则与的大小关系为 ． 4.若x>0，y>0，M＝，N＝，则M，N的大小关系是 . 5.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 6.已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 7.已知，比较的大小. 8.比较和的大小. 3.不等式性质的运用 例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则 C．若a<b<0，则 D．若a>b，，则a>0，b<0 例2.若bc－ad≥0，bd>0，求证：. 例3.已知.分别求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； （4）的取值范围. 随堂练习： 1.（多选题）对于实数，下列命题中的真命题有（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 2.（多选）下列说法正确的是(　　) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3.（1）已知，求证：； （2）已知，求证：. （3）若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 4.若实数a>b，则a2－ab ba－b2.(填“>”或“<”) 5.若8<x<10,2<y<4，则的取值范围为 ． 6.已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是 ． 7.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是 ． 8.（1）若，则的取值范围为 ，的取值范围为 . （2）已知，则的取值范围是 . （3）已知，求的取值范围. 考点二：基本不等式 1.利用基本不等式求最值 例1.（1）已知，求的最小值. （2）若x<0，求＋3x的最大值. （3）已知，求的最大值. （4）已知，求最小值. 随堂练习： 1.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 2.已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A． B．－1 C．2 D．0 3.若正实数满足，则的最大值为( ) A.1 B. C.2 D.4 4.已知，且，则的最大值为( ) A.16 B.25 C.9 D.36 5.已知，则的最小值是 . 6.（1）已知，求的最大值. （2）已知是正实数，且，求的最小值. （3）已知，求最小值. （4）已知，求最大值. （5）已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值． （6）已知,且满足，求的最大值． 2.利用基本不等式证明 例1.已知，求证：. 随堂练习： 1.已知都是正数，求证：. 2.设都是正数，求证：. 3.已知为正数，且满足，求证：. 4.已知均为正实数，且.求证：. 5.已知均为正数，且不全相等.若，求证：. 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 1.解不含参数的一元二次不等式 例1.解下列不等式： （1）－2x2＋x－6<0； （2）－x2＋6x－9≥0； （3）x2－2x－3>0； （4）－3x2＋5x－4>0． 随堂练习： 1.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 2.不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 . 3.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4.解下列不等式 （1）. （2）. （3）x2－5x－6>0. （4）2x2－x－1>0. （5）. 2.数轴标根法（数轴穿根法）解分式不等式或高次不等式 例1.解不等式：. 例2.解不等式：. 例3.解不等式：. 例4.解不等式：. 随堂练习： 1.解不等式：. 2.解不等式：. 3.解不等式：. 4.解不等式：. 5.解不等式：. 6.解不等式：. 7.解不等式：. 8.解不等式：. 3.解含参数的一元二次不等式 例1.解关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＞0. 随堂练习： 1.若，则关于的不等式的解集为 . 2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 3.解关于x的不等式：x2﹣（m﹣3）x﹣3m＞0． 4.解关于的不等式(). 5.解不等式：ax2﹣（a+2）x+2≥0． 6.解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）． 4.已知一元二次不等式的解集求参数 例1.已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．则a= ，b= . 例2.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 随堂练习： 1.如果关于的不等式的解集是，那么等于( ) A. B. C. D. 2.已知关于的不等式的解集是，则的解集为 . 3.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 4.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5.不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论： ①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0. 其中正确结论的序号是 ． 6.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. （1）求a，c的值； （2）解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 7.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 5.不等式恒成立、能成立问题 例1.（1）已知不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 例2.，有解，求实数取值范围. 随堂练习： 1.已知不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2.若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则实数a的取值范围为 ． 3.（1），成立，求实数取值范围. （2）存在实数，使成立，求实数取值范围. 4.若存在，使得成立，求实数的取值范围. 5.当，恒成立，求实数取值范围. 6.已知，对于，恒成立，求实数的取值范围. 7.已知不等式mx2﹣2x+m﹣2＜0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． 8.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 一元二次函数、方程和不等式—专题练习 【知识点梳理】 等式的性质与不等式性质 知识点一、不等关系与不等式 1.等式与不等式 （1）等式：用数学符号“=”连接两个数或代数式，以表示它们之间的相等关系，含有等号 的式子叫做等式. （2）不等式：用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式， 以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. （3）不等式组：当问题中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示. 2.实数的大小比较 （1）借助数轴上的点和实数一一对应，可以借用数轴上点的位置来比较大小.数轴上右边 的点表示的数大于左边的点表示的数. （2）基本事实（作差法比较大小） 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3.由基本事实得出一个重要结论 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二、等式性质和不等式性质 1.等式性质 （1）如果a＝b，那么b＝a. （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （4）如果a＝b，那么ac＝bc. （5）如果a＝b，c≠0，那么. 2.不等式的性质 性质名称 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质3的推论 移项法则 a＋b>c⇒a>c-b 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 基本不等式 知识点一、基本不等式 1.重要不等式 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立. 2.基本不等式 （1）如果a>0,b>0，那么，当且仅当a=b时等号成立.文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常用变形：如果a>0,b>0，，，当且仅当a=b时等号成立. 知识点二、最值定理 已知x，y都是正数： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果和x+y等于定值Q，那么当x=y时，积xy有最大值. 口诀“一正、二定、三相等”. 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一、一元二次不等式的有关概念 1.定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.一般形式：或或或其中a，b，c均为常数，a≠0. 3.一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点二、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数(a>0)的图象 一元二次方程(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点三、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤： （1）把不等式变形为标准形式，使一端为零且二次项系数大于零，即或或或的形式，a>0. （2）计算方程的根的判别式的值，当时，求出方程的根. （3）画出二次函数的图像. （4）结合图像得出原不等式的解集. 知识点四、一元二次不等式恒成立的问题（a≠0） （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 知识点五、不等式恒成立、存在成立问题 （1）恒成立 ①恒成立；②恒成立； ③恒成立；④恒成立. （2）存在成立（有解） ①有解；②有解； ③有解；④有解. 知识点六、简单高次不等式或分式不等式的解法 “数轴标根法（数轴穿根法）”解不等式步骤如下： （1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中x最高次数的项的系数符号化为“﹢”. （2）求出相应方程的根，并在数轴表示出来. （3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇过偶不过”的原则. （4）若不等式为“>0”，则找“线”在数轴上方对应的x的取值范围；若不等式为“<”，则找“线”在数轴下方对应的x的取值范围. 【专题练习】 考点一：等式的性质与不等式的性质 1.用不等式组表示不等关系 例1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；CD正确． 故选：CD. 例2.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为 ；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 ． 解：由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即. 故答案为：8(x＋19)>2 200；. 随堂练习： 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 解：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m. 故选：A. 2.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为( ) A. B. C. D. 解：因为甲班的分数大于乙班的分数，所以，又甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190，所以.故选：D. 3.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 则. 4.下列关于糖水浓度的问题，你能提炼出怎样的不等式呢？ （1）若再添加糖()，则糖水变甜了； （2）若再添加水()，则糖水变淡了； （3）把淡的糖水和浓的糖水混合在一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡. 解：（1）设糖水中有糖()，则糖的质量和糖水的质量比为，再添加糖，则糖的质量和糖水的质量比为，添加糖后，糖水变甜了，提炼出不等式：（趣称为“糖水不等式”）（真分数的分母分子同时加上一个正数时，分数将变大）. （2）设糖水中有糖()，则糖的质量和糖水的质量比为，再添加水，则糖的质量和糖水的质量比为，糖水变淡了，提炼出不等式：（分式分子不变，分母变大，分式的值变小）. （3）设淡的糖水中有糖()，浓的糖水中有糖()，则淡的糖水中糖的质量和糖水的质量比为，浓的糖水中糖的质量和糖水的质量比为，则混合后糖的质量和糖水的质量比为，混合在一起，得到的糖水比淡的浓，比浓的淡，提炼出不等式：（两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间）. 2.比较两数（式）的大小 例1.已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 例2.已知，试比较与的大小. 解：（方法1作差法） . 因为.所以. 所以.所以. (方法2作商法) . 因为.所以.所以. 随堂练习： 1.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是 ． 解：∵m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.∴m≥n.故答案为：m≥n. 2.已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．M≥N 解:∵0<a1<1,0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0， ∴M>N.故选：A. 3.若x∈R，则与的大小关系为 ． 解：∵,∴.故答案为：. 4.若x>0，y>0，M＝，N＝，则M，N的大小关系是 . 解：∵x>0，y>0， ∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<， 故M＝＝＋<＋＝N，即M<N.故答案为M<N. 5.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝. ∵≥0，∴＋≥>0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 6.已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 解：∵, 当x＝0时，＝0，∴＝1－x； 当1＋x<0，即x<－1时，<0，∴<1－x； 当1＋x>0且x≠0， 即－1<x<0或x>0时，>0，∴>1－x. 综上，当x<－1时，<1－x；当x＝0时，＝1－x；当－1<x<0或x>0时，>1－x. 7.已知，比较的大小. 解：分析知均大于1，均小于1. 因为，所以. 因为，所以. 综上，. 8.比较和的大小. 解： ，即，故. 3.不等式性质的运用 例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则 C．若a<b<0，则 D．若a>b，，则a>0，b<0 解：方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒⇒，故B为假命题； ⇒，故C为假命题； a>b⇒b-a<0，⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．故选：D. 例2.若bc－ad≥0，bd>0，求证：. 证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd>0，两边同除以bd得，. 方法二：. ∵bc－ad≥0， ∴ad－bc≤0，又bd>0， ∴，即. 例3.已知.分别求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； （4）的取值范围. 解：（1）因为，所以，所以，故的取值范围为. （2）因为，所以，所以，故的取值范围为. （3）因为，所以，故的取值范围为. （4）因为，所以，所以，故的取值范围为. 随堂练习： 1.（多选题）对于实数，下列命题中的真命题有（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解：对于A，令，则有，故A是假命题.反例法. 对于B，（方法1性质法）由可得， 由可得，所以. 又，所以. （方法2作差法）由，得， 所以，所以，故B是真命题. 对于C，由，知，所以，故C是真命题. 对于D，由可得，由可得，所以，所以，故D是真命题.故选：BCD. 2.（多选）下列说法正确的是(　　) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解：因为，所以，所以，所以，即，A正确； 当时，有，但此时，B错误； 当时，有，但此时，，C错误； 因为，所以，所以，即，所以，D正确.故选：AD. 3.（1）已知，求证：； （2）已知，求证：. （3）若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 证明：(1)因为，所以.① 又因为， 两边同乘正数，得.② 由①②得. （2），因为，所以. 又因为，所以， 所以，所以. （3）∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 两边同乘以，得. 又e<0，∴. 4.若实数a>b，则a2－ab ba－b2.(填“>”或“<”) 解：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.故答案为：>. 5.若8<x<10,2<y<4，则的取值范围为 ． 解:∵2<y<4，∴.又∵8<x<10，∴2<<5.故答案为：2<<5. 6.已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是 ． 解：∵1<α<3，∴，又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴，即. 故答案为：. 7.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是 ． 解：∵z＝，－2≤≤，5≤≤， ∴3≤－≤8，∴3≤z≤8.故答案为：. 8.（1）若，则的取值范围为 ，的取值范围为 . （2）已知，则的取值范围是 . （3）已知，求的取值范围. 解：（1）由，可得. 又，所以. 由，可得. 又，所以. （2）方法1：待定系数法 设， 所以，解得. 所以. 因为，所以. 又，所以， 即. 方法2：换元法 令， 则. 由，解得， 所以. 而， 则，即. （3）方法一（换元法）设，则，所以. 因为，所以，即，所以的取值范围为. 方法二（整体法）令， 则解得， 所以. 因为，所以. ,所以,即,故的取值范围为. 考点二：基本不等式 1.利用基本不等式求最值 例1.（1）已知，求的最小值. 解：∵，由基本不等式得：， 当且仅当：，等号成立. 所以的最小值为12. （2）若x<0，求＋3x的最大值. 解：因为x<0，所以, 当且仅当＝－3x，即x＝－2时，等号成立，所以＋3x的最大值为－12. （3）已知，求的最大值. 解：∵，由基本不等式得：， 当且仅当：，即等号成立.所以的最大值为9. （4）已知，求最小值. 解：由，且， 则， 当且仅当：，联立，均为正，等号成立. 所以最小值为. 随堂练习： 1.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 解：∵(x>0，y>0)，∴.故选：A. 2.已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A． B．－1 C．2 D．0 解：∵x>－2，∴x＋2>0，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＝－1时，等号成立．故选：D. 3.若正实数满足，则的最大值为( ) A.1 B. C.2 D.4 解：由基本不等式，，当且仅当时，等号成立.故选：A. 4.已知，且，则的最大值为( ) A.16 B.25 C.9 D.36 解：，当且仅当，即时，等号成立.故选：B. 5.已知，则的最小值是 . 解：，，当且仅当时，等号成立.故答案为：4. 6.（1）已知，求的最大值. 解：，， ，当且仅当，即时，等号成立， 的最大值为. （2）已知是正实数，且，求的最小值. 解：是正实数，， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. （3）已知，求最小值. 解：∵， 当且仅当时等号成立.所以最小值为. （4）已知，求最大值. 解：∵， ∴， 当且仅当时等号成立.所以最大值为. （5）已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值． 解：因为x>0，y>0，所以. 当且仅当，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以的最小值为18. （6）已知,且满足，求的最大值． 解：由基本不等式可知, 又 解得的最大值为3. 2.利用基本不等式证明 例1.已知，求证：. 证明：因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 故. 随堂练习： 1.已知都是正数，求证：. 证明：都是正数，， ，，， ， 当且仅当时，等号成立. 2.设都是正数，求证：. 解：因为都是正数，所以都是正数. 所以，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 三式相加，得， 即，当且仅当时，等号成立. 3.已知为正数，且满足，求证：. 解：因为，所以. 又， 当且仅当时取等号， 所以，即. 4.已知均为正实数，且.求证：. 证明：因为均为正实数，， 所以， 同理， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得， 当且仅当时，等号成立. 5.已知均为正数，且不全相等.若，求证：. 证明：因为是不全相等的正数，且， 所以. 因为，所以.同理. 又不全相等， 所以以上三个不等式中的等号不能同时成立.将三式叠加，得. 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 1.解不含参数的一元二次不等式 例1.解下列不等式： （1）－2x2＋x－6<0； （2）－x2＋6x－9≥0； （3）x2－2x－3>0； （4）－3x2＋5x－4>0． 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． （4）原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知， 3x2－5x＋4<0的解集为∅. 随堂练习： 1.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以不等式的解集为.故选：D. 2.不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 . 解：的解集不是空集，即不等式有解， ，解得或.故答案为：. 3.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 解：由，得，解得或.故选：D. 4.解下列不等式 （1）. （2）. （3）x2－5x－6>0. （4）2x2－x－1>0. （5）. 解：（1）因式分解：， 对应方程两根：， 二次项系数，抛物线开口向上，大于0取两边， 所以不等式的解集为：. （2）不等式两边同乘，不等号变向：， 因式分解：，方程根，开口向上，小于等于0取中间， 所以不等式的解集为：. （3）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． （4）∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x<－或x>1， ∴不等式的解集为. （5）解：不等式可化为，即，解得.∴不等式的解集为. 2.数轴标根法（数轴穿根法）解分式不等式或高次不等式 例1.解不等式：. 解：由数轴穿根法得：不等式的解集为. 例2.解不等式：. 解：两边同乘，不等号反向：. 由数轴穿根法得：不等式的解集为. 例3.解不等式：. 解：提取公因式：. 由数轴穿根法得：不等式的解集为. 例4.解不等式：. 解：分子十字相乘分解：，原不等式化为. 分式小于0等价分子分母异号：，定义域. 结合数轴标根法可得：不等式的解集为：. 随堂练习： 1.解不等式：. 解：由数轴穿根法得：不等式的解集为. 2.解不等式：. 解：变形提取负号：，两边乘变号：. 由数轴穿根法得：不等式的解集为. 3.解不等式：. 解：由数轴穿根法得：不等式的解集为. 4.解不等式：. 解：试根法：代入多项式值为0，有因式； 多项式除法分解：. 由数轴穿根法得：不等式的解集为. 5.解不等式：. 解：移项统一分母：. 通分计算分子：. 分子常数恒成立，只需分母，、. 解得或. 所以不等式的解集为：. 6.解不等式：. 解：分子提取公因式：；分母平方差：. 原不等式化为，等价整式，定义域. 结合数轴标根法可得：不等式的解集为：. 7.解不等式：. 解：分解因式：分子；分母. 分母、. 在前提下约去，不等式简化为. 等价组：. 所以不等式的解集为：. 8.解不等式：. 解：分子分解：，原不等式可化为：. 分母，在此前提下约去，得. 所以不等式的解集为：. 3.解含参数的一元二次不等式 例1.解关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＞0. 解：令y＝ax2﹣（2a+1）x+2， 由题意得ax2﹣（2a+1）x+2＝（ax﹣1）（x﹣2）， 当a＝0时，﹣x+2＞0解得x＜2； 当a＞0时，（ax﹣1）（x﹣2）是开口向上的抛物线，两根分别为和2， 当，即时，y＞0的解为或x＞2， 当，即时，y＞0的解为x≠2， 当，即时，y＞0的解为x＜2或； 当a＜0时，y＝（ax﹣1）（x﹣2）是开口向下的抛物线，两根分别为和2，且， 此时y＞0的解为； 综上，当a＜0时，不等式的解集为. 当a＝0时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当时，不等式的解集为. 随堂练习： 1.若，则关于的不等式的解集为 . 解：因为，所以原不等式等价于，方程的两根为，，显然，所以原不等式的解集为. 故答案为：. 2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选：B. 3.解关于x的不等式：x2﹣（m﹣3）x﹣3m＞0． 解：不等式x2﹣（m﹣3）x﹣3m＞0，即（x+3）（x﹣m）＞0， 当m＝﹣3时，原不等式即（x+3）2＞0，解得x≠﹣3，即不等式的解集为{x|x≠﹣3}； 当m＞﹣3时，解得x＞m或x＜﹣3，即不等式的解集为{x|x＞m或x＜﹣3}； 当m＜﹣3时，解得x＞﹣3或x＜m，即不等式的解集为{x|x＞﹣3或x＜m}； 综上可得：当m＝﹣3时不等式的解集为{x|x≠﹣3}， 当m＞﹣3时不等式的解集为{x|x＞m或x＜﹣3}， 当m＜﹣3时不等式的解集为{x|x＞﹣3或x＜m}． 4.解关于的不等式(). 解：原不等式可化为，即. ①当时，原不等式化为，解得. ②当时，原不等式化为， 解得或. ③当时，原不等式化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 5.解不等式：ax2﹣（a+2）x+2≥0． 解：由题ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0， 当a＝0时，则﹣2x+2≥0，即x≤1，所以不等式的解集为{x|x≤1}； 当a＞0时，令，解得或x＝1， ①当0＜a＜2时，，不等式的解集为； ②当a＝2时，不等式的解集为R， ③当a＞2时，，不等式的解集为； 当a＜0时，则，不等式的解集为， 综上可得：当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为． 6.解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）． 解：不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax化为ax2+（2a﹣2）x﹣4≥0， ①当a＞0时，原不等式化为，解得或x≤﹣2． ②当a＝0时，原不等式化为2x+4≤0，解得x≤﹣2． ③当a＜0时，原不等式化为． 当，即a＜﹣1时，解得； 当，即a＝﹣1时，解得x＝﹣2满足题意； 当，即﹣1＜a＜0时，解得． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣2}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝﹣1时，不等式的解集为{﹣2}； 当a＜﹣1时，不等式的解集为． 4.已知一元二次不等式的解集求参数 例1.已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．则a= ，b= . 解：依题意知，方程x2+ax+b＝0有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，a＝﹣5，b＝6.故答案为：a＝﹣5，b＝6. 例2.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0， 且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 随堂练习： 1.如果关于的不等式的解集是，那么等于( ) A. B. C. D. 解：不等式可化为，其解集是， 那么，由根与系数关系得解得，所以.故选：B. 2.已知关于的不等式的解集是，则的解集为 . 解：由题意知，，是方程的两个根且，故，解得.所以不等式，即为， 解得，故答案为：. 3.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选：B. 4.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解：由题设条件知是方程的两个实根且. 由一元二次方程根与系数的关系，知，解得. 代入不等式，得，解得或. 故不等式的解集为.故选：A. 5.不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论： ①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0. 其中正确结论的序号是 ． 解：由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0，∵＝×2＝－1<0，∴c>0. 又＝＋2>0，∴b<0. ∵－1∉，∴a＋b＋c≤0，又1∈， ∴a－b＋c>0，故③⑤正确．故答案为：③⑤. 6.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得,解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得，所以不等式的解集为. 7.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解：∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得，得，代入不等式，得2x2－3x＋1>0.解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 5.不等式恒成立、能成立问题 例1.（1）已知不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）分两类讨论： ①当时，原式简化为，该不等式对全体实数恒成立，满足条件； ②当时，式子为二次不等式，要使二次函数全部在轴下方，需同时满足：开口向下、与轴无交点. 展开判别式： 解得.综合①②：.故实数的取值范围为. （2）先移项整理不等式，统一为二次式大于等于0恒成立：. 二次项系数，抛物线开口向上，要全部在轴及上方，只需： ，，解得或. 故实数的取值范围为. 例2.，有解，求实数取值范围. 解：变形：，存在成立，大于右侧函数最小值； 开口向下，顶点最大值； 只需，就能找到使不等式成立.所以实数取值范围为. 随堂练习： 1.已知不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解：由题意知，原不等式可化为在上有解， ，即，.故选：A. 2.若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则实数a的取值范围为 ． 解：因为∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0， ①当a＝0时，不等式1＞0对∀x∈R成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立， 则，解得0＜a＜4，综上，实数a的取值范围[0，4）． 3.（1），成立，求实数取值范围. 解：移项：，存在成立，小于右侧最大值； 开口向下，顶点最大值，故. 所以实数取值范围为. （2）存在实数，使成立，求实数取值范围. 解:分母，去分母：. 令，开口向上，存在最小值； 对任意实数，总能找到足够大的使，因此全体实数都满足条件. 则实数取值范围R. 4.若存在，使得成立，求实数的取值范围. 解：分母恒成立，不等号方向不变，两边同乘分母： ， 整理参数单独放一侧：， 题意为：存在实数满足上式，即大于等于右侧函数最小值； 令，开口向上，顶点在：. ，只需. 故实数的取值范围为. 5.当，恒成立，求实数取值范围. 解：令，一次函数在闭区间恒小于0，只需两端点均小于0： ，， 解得：.故实数的取值范围为. 6.已知，对于，恒成立，求实数的取值范围. 解：重新整理式子，按合并同类项：. 记，视为自变量，为参数. 先判断系数：恒成立， 因此是关于的一次函数且随增大而增大； ，y恒小于0，只需区间最大值：， ， 解得：.故实数的取值范围为. 7.已知不等式mx2﹣2x+m﹣2＜0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． 解：①当m＝0时，原不等式化为﹣2x﹣2＜0，显然不恒成立； ②m≠0时，要使原式恒成立，只需， 解得m＜1，所以m的取值范围为（﹣∞，1）． 8.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 解：①即：原式恒成立，符合条件； ②（二次开口向上）：，解得：； ③开口向下，不可能全体实数恒，舍去； 综上所述：实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $