第二章一元二次函数、方程和不等式章末测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章同步练，聚焦不等式性质、解不等式及函数最值，通过基础到综合的三阶分层设计，强化概念理解与应用能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式性质、简单不等式求解|如选择题1（比较大小）、填空题7（解一元二次不等式），强化抽象能力与运算能力| |中档|含参数不等式、函数最值综合|如选择题6（恒成立问题）、填空题12（条件最值），培养推理意识与逻辑思维| |提升|实际情境应用与分类讨论|如解答题14（公园面积优化），体现数学模型观念与应用意识，衔接阶段测评需求|

第二章章末测试限时练 一、选择题 1. （2025-2026学年河北冀州中学高一考试）若 a ＞ b ＞ 0，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ＞ B. a² ＞ b² C. a³ ＜ b³ D. |a| ＜ |b| 【答案】B 【解析】因为 a ＞ b ＞ 0，根据不等式的乘法性质，两边同乘正数 a 得 a² ＞ ab，两边同乘正数 b 得 ab ＞ b²，由传递性可知 a² ＞ b²，故B正确。对于A，倒数性质应为 ＜ ；对于C，立方函数在正数区间单调递增，应为 a³ ＞ b³；对于D，正数的绝对值为其本身，应为 |a| ＞ |b|。 2. （2025-2026学年北京海淀区高一考试）不等式 x² － 3x ＋ 2 ＜ 0 的解集为（ ） A. {x | x ＜ 1 或 x ＞ 2} B. {x | 1 ＜ x ＜ 2} C. {x | x ≤ 1 或 x ≥ 2} D. {x | 1 ≤ x ≤ 2} 【答案】B 【解析】将一元二次不等式左边因式分解得 (x － 1)(x － 2) ＜ 0。对应方程 x² － 3x ＋ 2 ＝ 0 的两根为 1 和 2，故解集为 {x | 1 ＜ x ＜ 2}。 3. （2025-2026学年四川彭州中学高一考试）函数 y ＝ x ＋ （x ＞ 0）的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】因为 x ＞ 0，所以＞ 0。根据基本不等式 a ＋ b ≥ 2，可得 x ＋ ≥ 2 ＝ 4。当且仅当 x ＝ ，即 x ＝ 2 时等号成立，故最小值为 4。 4. （2025-2026学年广东揭阳高一考试）若关于 x 的不等式 ax² ＋ bx ＋ 2 ＞ 0 的解集是 {x | ＜ x ＜ }，则 a ＋ b 的值为（ ） A. －14 B. －12 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】由解集可知对应方程 ax² ＋ bx ＋ 2 ＝ 0 的两根为和 ，且 a ＜ 0。由韦达定理，两根之积 ()×＝ 2/a，解得 a ＝ －12。两根之和 ＋ ＝ ＝ ，代入 a ＝ －12 解得 b ＝ －2。所以 a ＋ b ＝ －14。 5. （2025-2026学年云南玉溪一中高一考试）不等式 ≥ 0 的解集为（ ） A. {x | x ≤ －2 或 x ≥ 1} B. {x | x ＜ －2 或 x ≥ 1} C. {x | －2 ≤ x ≤ 1} D. {x | －2 ＜ x ≤ 1} 【答案】B 【解析】分式不等式 ≥ 0 等价于 (x － 1)(x ＋ 2) ≥ 0 且 x ＋ 2 ≠ 0。解 (x － 1)(x ＋ 2) ≥ 0 得 x ≤ －2 或 x ≥ 1，结合 x ≠ －2，得解集 {x | x ＜ －2 或 x ≥ 1}。 6. （2025-2026学年四川彭州中学高一考试）若不等式 x² － 2ax ＋ a ＞ 0 对 任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. {a | 0 ＜ a ＜ 1} B. {a | 0 ≤ a ≤ 1} C. {a | a ＜ 0 或 a ＞ 1} D. {a | a ≤ 0 或 a ≥ 1} 【答案】A 【解析】二次函数 f(x) ＝ x² － 2ax ＋ a 开口向上。要使 f(x) ＞ 0 恒成立，需判别式 Δ ＜ 0。Δ ＝ 4a² － 4a ＜ 0，即 4a(a － 1) ＜ 0，解得 0 ＜ a ＜ 1。 二、填空题 7. （2025-2026学年四川彭州中学高一考试）不等式 －x² ＋ 4x － 3 ＞ 0 的解集为________。 【答案】{x | 1 ＜ x ＜ 3} 【解析】不等式两边同乘 －1 并变号，得 x² － 4x ＋ 3 ＜ 0。因式分解为 (x － 1)(x － 3) ＜ 0，根据"小于取中间"得解集 {x | 1 ＜ x ＜ 3}。 8. （2025-2026学年广东揭阳高一考试）若正数 a，b 满足 a ＋ b ＝ 4，则 的最大值为________。 【答案】2 【解析】由基本不等式 ≤ ，代入 a ＋ b ＝ 4 得 ≤ 2。当且仅当 a ＝ b ＝ 2 时等号成立，故最大值为 2。 9. （2025-2026学年河北冀州中学高一考试）已知关于 x 的不等式 ax² ＋ 5x ＋ c ＜ 0 的解集为 {x | －1 ＜ x ＜ 3}，则 a ＝________，c ＝________。 【答案】 【解析】由解集知 a ＜ 0，且 －1、3 是方程 ax² ＋ 5x ＋ c ＝ 0 的两根。由韦达定理：(－1) ＋ 3 ＝ ⇒ a ＝ ；(－1) × 3 ＝ ⇒ c ＝ 。 10. （2025-2026学年北京海淀区高一考试）函数 y ＝ x² － 2x ＋ 3 在区间 [0，3] 上的最小值为________。 【答案】2 【解析】y ＝ (x － 1)² ＋ 2，对称轴 x ＝ 1 ∈ [0，3]，开口向上，故在 x ＝ 1 处取最小值 2。 11. （2025-2026学年广东揭阳高一考试）不等式 ≤ 1 的解集为________。 【答案】{x | －3 ＜ x ≤ 4} 【解析】移项通分得 － 1 ≤ 0，即 ≤ 0。等价于 (x － 4)(x ＋ 3) ≤ 0 且 x ≠ －3，解得 －3 ＜ x ≤ 4。 12. （2025-2026学年河北正定中学高一考试）已知正实数 x，y 满足 ＝ 1，则 x ＋ y 的最小值为________。 【答案】16 【解析】x ＋ y ＝ (x ＋ y)() ＝ 10 ＋ 。由基本不等式, ≥ 2 6，所以 x ＋ y ≥ 16。当且仅当 x ＝ 3y 时等号成立，代入解得 x ＝ 4，y ＝ 12。 三、解答题 13. （2025-2026学年河北冀州中学高一考试）解关于 x 的不等式：x² － (a ＋ 1)x ＋ a ＜ 0（a ∈ R）。 【答案】当 a ＜ 1 时，解集为 {x | a ＜ x ＜ 1}；当 a ＝ 1 时，解集为空集；当 a ＞ 1 时，解集为 {x | 1 ＜ x ＜ a} 【解析】原不等式左边因式分解为 (x － 1)(x － a) ＜ 0。对应方程的两根为 1 和 a。 （1） 当 a ＜ 1 时，解集为 {x | a ＜ x ＜ 1}； （2） 当 a ＝ 1 时，不等式为 (x － 1)² ＜ 0，无解； （3） 当 a ＞ 1 时，解集为 {x | 1 ＜ x ＜ a}。 综上当 a ＜ 1 时，解集为 {x | a ＜ x ＜ 1}； 当 a ＝ 1 时，不等式为 (x － 1)² ＜ 0，无解； 当 a ＞ 1 时，解集为 {x | 1 ＜ x ＜ a}。 14.（2025-2026学年四川彭州中学高一考试）某房地产 开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 【答案】(1)S＝80＋4 160(x>1) (2)所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米 【解析】(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米， 由a2x＝4 000，得a＝. 则S＝(a＋8)(ax＋20) ＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80＋4 160(x>1)． (2)80＋4 160 ≥80×2＋4 160 ＝1 600＋4 160＝5 760. 当且仅当2＝， 即x＝2.5时，等号成立， 此时a＝40，ax＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章章末测试限时练 一、选择题 1. （2025-2026学年河北冀州中学高一考试）若 a ＞ b ＞ 0，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ＞ B. a² ＞ b² C. a³ ＜ b³ D. |a| ＜ |b| 2. （2025-2026学年北京海淀区高一考试）不等式 x² － 3x ＋ 2 ＜ 0 的解集为（ ） A. {x | x ＜ 1 或 x ＞ 2} B. {x | 1 ＜ x ＜ 2} C. {x | x ≤ 1 或 x ≥ 2} D. {x | 1 ≤ x ≤ 2} 3. （2025-2026学年四川彭州中学高一考试）函数 y ＝ x ＋ （x ＞ 0）的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 4. （2025-2026学年广东揭阳高一考试）若关于 x 的不等式 ax² ＋ bx ＋ 2 ＞ 0 的解集是 {x | ＜ x ＜ }，则 a ＋ b 的值为（ ） A. －14 B. －12 C. 12 D. 14 5. （2025-2026学年云南玉溪一中高一考试）不等式 ≥ 0 的解集为（ ） A. {x | x ≤ －2 或 x ≥ 1} B. {x | x ＜ －2 或 x ≥ 1} C. {x | －2 ≤ x ≤ 1} D. {x | －2 ＜ x ≤ 1} 6. （2025-2026学年四川彭州中学高一考试）若不等式 x² － 2ax ＋ a ＞ 0 对 任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. {a | 0 ＜ a ＜ 1} B. {a | 0 ≤ a ≤ 1} C. {a | a ＜ 0 或 a ＞ 1} D. {a | a ≤ 0 或 a ≥ 1} 二、填空题 7. （2025-2026学年四川彭州中学高一考试）不等式 －x² ＋ 4x － 3 ＞ 0 的解集为________。 8. （2025-2026学年广东揭阳高一考试）若正数 a，b 满足 a ＋ b ＝ 4，则 的最大值为________。 9. （2025-2026学年河北冀州中学高一考试）已知关于 x 的不等式 ax² ＋ 5x ＋ c ＜ 0 的解集为 {x | －1 ＜ x ＜ 3}，则 a ＝________，c ＝________。 10. （2025-2026学年北京海淀区高一考试）函数 y ＝ x² － 2x ＋ 3 在区间 [0，3] 上的最小值为________。 11. （2025-2026学年广东揭阳高一考试）不等式 ≤ 1 的解集为________。 12. （2025-2026学年河北正定中学高一考试）已知正实数 x，y 满足 ＝ 1，则 x ＋ y 的最小值为________。 三、解答题 13. （2025-2026学年河北冀州中学高一考试）解关于 x 的不等式：x² － (a ＋ 1)x ＋ a ＜ 0（a ∈ R）。 14.（2025-2026学年四川彭州中学高一考试）某房地产 开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 学科网（北京）股份有限公司 $