精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院2026-2027学年八年级上学期入学考试数学试题

八年级开学卷 一、选择题 大题有10小题，每小题3分． 1. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为和， ∴，即， 各选项中只有符合取值范围． 2. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 3. 如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及代数方程的解法。 根据题意建立方程，结合三角形内角和为求解. 【详解】∵在△ABC中，，整理得：. 又∵三角形内角和为，即：. 将代入上式，得：， 即，解得. 故选：B. 5. 如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质得，进而根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 7. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 8. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】根据题意得， ∴当时，， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 综上所述，的值为3或． 故选：D． 9. 如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，设，可得，，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点是角平分线的交点，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 10. 如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE=DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB=∠DBE-∠BAD=（∠CBE-∠BAC）=∠ACB． 【详解】如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DF=DE， 又∵∠ACD=136°，∠BCD=44°， ∴∠ACB=92°，∠DCF=44°， ∴CD平分∠BCF， 又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∴DF=DG， ∴DE=DG， ∴BD平分∠CBE， ∴∠DBE=∠CBE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC， ∴∠ADB=∠DBE-∠BAD=（∠CBE-∠BAC）=∠ACB=×92°=46°， 故选D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，解题关键在于掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 12. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质得出 ，，结合平角定义和三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义及三角形内角和定理求出的度数. 【详解】解：由折叠可知， ， ，  ，  ，  ，  ，  ， ，   ， ，   ， 分别平分 ， ，   ，  ，  ，  ， ，  ． 13. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 14. 已知一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，则这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】74 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求出底角的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形内角和为180°即可求出顶角的度数． 【详解】解：如图所示，AB=AC，BD⊥AC，∠CBD=37°， ∴∠ABC=∠C=90°-37°=53°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-53°-53°=74°； 故答案为：74． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；需要注意本题等腰三角形是钝角三角形时不成立． 15. 如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用“角边角”判定，得到，从而可证明，即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴ ． 16. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格的特点证明三角形全等是解题的关键．取格点E、F，连接，根据网格的特点，利用易证，得到，结合，即可解答． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 17. 如图，在等腰三角形中，．现将一含角的三角板的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当时，的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答本题的关键，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，利用平行线的性质得，再根据三角形内角和得出，进而计算即可得到答案． 【详解】解：延长交于点F，如图： ，， ， ， ， ， ， ， ． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：或． 18. 如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】解法一：在上截取，连接，先证明，得出，设，则，，，得出，即可求出； 解法二：在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解法一：解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 解法二：解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是和的外角， ， ． 20. 如图，，，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）16 【解析】 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． 21. 如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，的面积是30，则的面积为___________． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由为的高，可得，再由可得，再由平分，可以求出，最后由是三角形的外角便可求出； （2）由中线的性质可得，再根据可得，进一步可求出三角形的面积． 【小问1详解】 解：是的高， ， ， ， 平分， ， 是外角， ． 【小问2详解】 解：是的中线， ， ， ， ， ， ． 22. 在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． （1）如图1，若，，则______，______°． （2）如图2，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【小问1详解】 解：垂直平分， ． ． 同理， ． ， ． 故答案为：112；44； 【小问2详解】 解：垂直平分， ． ． 同理， ． ． 【小问3详解】 解：由（1）知当时， ． 由（2）知时， ， 综上，或． 23. 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 【答案】 （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）①， ②； （3） 【解析】 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ，负值舍去， 即的长为8． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级开学卷 一、选择题 大题有10小题，每小题3分． 1. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 9. 如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 12. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，________． 13. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 14. 已知一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，则这个等腰三角形的顶角等于______度． 15. 如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 16. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 17. 如图，在等腰三角形中，．现将一含角的三角板的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当时，的度数为___________． 18. 如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，，，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 21. 如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，的面积是30，则的面积为___________． 22. 在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． （1）如图1，若，，则______，______°． （2）如图2，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 23. 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $