精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷

初二数学暑假检测卷 一、单选题 1. 如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A. 50° B. 55° C. 63° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由光线的反射角等于入射角得出，，由平角的定义和三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得 ，， ∴． 故选：C． 2. 如图，在中，，M是的中点，E是延长线上的动点，作交的延长线于点F．记，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. xy D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题， 连接，设，交于点O．由平行四边形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，由角的和差关系得出，由三角形内角和定理得出，证明，推出可得结果． 【详解】解：连接，设，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴的值不变 故选：B 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4. 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 5. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 6. 如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 7. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，证明，可得，从而得到第一个阴影部分的面积为，再由两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可求解． 【详解】解：如图，设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则， ∵点是正方形的中心， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一个阴影部分的面积为， 同理其它的阴影部分的面积为， 根据题意得：两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和， ∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：C． 8. 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 9. 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， 又∵ ， ∴， 故选：A． 10. 在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．证明是等腰直角三角形，且，证明是等腰直角三角形，作的垂直平分线l交于点H，则，则，由点E在的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵是三边垂直平分线的交点． ∴，是的外心． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 作的垂直平分线l交于点H，则 ∴， ∵， ∴点E在的垂直平分线上运动， 当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小， 此时． 故选：D． 二、填空题 11. 如图，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 13. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是证明，利用三角形外角性质和内角和定理求解． 先证明，得到，再结合三角形外角性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是_______． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，解题的关键是证明，得出且，再利用三角形面积公式求解．先证明，得到且，再结合的长度，利用三角形面积公式（为底，为高）求出的面积． 【详解】解：∵于， 在和中， ∴的面积是500． 故答案为：500． 15. 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长交于E，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，设的面积为m，于是得到结论． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P，， 又知，， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∴和等底同高， ∴， 设的面积为m， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 18. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点E， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵的周长是，， ∴． 故答案：18． 三、解答题 19. 如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 【答案】21 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点．如答图，作关于AE的对称图形，连接，证明出，得到，，，然后得到． 【详解】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则， ，， 所以． 由题意，得， 所以． 在和中， 所以， 所以，，， 所以，即是直角三角形， 所以， 所以， 即与的面积之和为21． 20. 已知，均为等腰直角三角形， （1）如图1，求证：； （2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长； （3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得出； （2）连接，作于点N，由（1）知，，证明，得，，，证出，证明四边形为正方形，得，同理，得，设，则，列方程则可得出答案； （3）在上取点M，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，均为等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：连接，作于点N， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：在上取点M，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学暑假检测卷 一、单选题 1. 如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A. 50° B. 55° C. 63° D. 65° 2. 如图，在中，，M是的中点，E是延长线上的动点，作交的延长线于点F．记，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. xy D. 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 5. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 6. 如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 18 D. 20 7. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ） A. 8 B. C. D. 6 9. 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 10. 在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题 11. 如图，，，则___________． 12. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 13. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数_______． 14. 如图，中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是_______． 15. 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为____． 16. 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 17. 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______． 18. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为______． 三、解答题 19. 如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 20. 已知，均为等腰直角三角形， （1）如图1，求证：； （2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长； （3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $