29.1.2 过三点的圆（第2课时 反证法）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“反证法”核心知识点，以“路边苦李”故事导入，衔接上一课时“不在同一直线上的三点确定一个圆”，引导学生用反证法逻辑证明“共线三点不能作圆”，构建完整知识体系。 特色在于以“正难则反”思维策略培养逻辑推理能力，通过规范四步骤（假设→推理→矛盾→结论）及“共线三点不能作圆”等实例，强化数学语言表达。助力学生发展理性思维，为教师提供结构化教学支架和丰富例题，提升教学效率。

29.1.2 过三点的圆(第2课时 反证法) （教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版九年级上册第二十九章第29.1.2节“过三点的圆”第2课时反证法.主要内容包括：反证法的概念：通过否定结论推出矛盾，从而证明结论成立的间接证明方法.反证法的步骤：①假设结论不成立；②从假设出发，结合已知条件进行推理，推出矛盾；③由矛盾判定假设不成立；④肯定结论成立.反证法的应用：用反证法证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”.反证法的思想价值：体会正难则反的思维策略，感受数学证明的严谨性. 2.内容解析 本节是“圆”章节中从“概念探究”走向“逻辑证明”的重要节点，是学生首次系统学习间接证明方法.本课承接上一课时“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的探究结论.上一课时通过尺规作图直观说明了“共线三点不能作圆”，本课时则要解决“如何从逻辑上严格证明这一结论”的问题.学生需综合运用圆的定义、垂直平分线的性质、平行线的判定等知识.反证法是初中几何中重要的证明方法之一，在后续学习圆内接四边形、直线与圆的位置关系、四点共圆判定等内容的证明中均有广泛应用.此外，反证法也是高中阶段数学证明的重要工具，具有重要的思维训练价值.本节的核心不在于定理本身，而在于通过定理的证明，让学生经历反证法的完整过程，体会“正难则反”的思维策略.这是培养学生逻辑推理核心素养的重要载体. 基于以上分析，本节课的教学重点是反证法的基本步骤及其在“共线三点不能作圆”证明中的运用. 1.教学目标 （1）能用自己的语言描述反证法的基本思想，知道反证法是一种间接证明方法.能准确说出反证法的四个基本步骤，并能在具体证明中按步骤规范书写. （2)能用反证法证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”，并能解释每一步的逻辑依据. (3)在证明过程中，体会“正难则反”的思维策略，感受数学证明的严谨性和逻辑力量，发展理性思维. 2.目标解析 目标1是学生需要理解“反证法”与以往学习的“直接证明”的本质区别——不是直接证明结论成立，而是通过否定结论引出矛盾来间接确认结论成立.反证法的四步骤——“假设→推理→矛盾→结论”是一个完整的逻辑链条，学生需通过模仿和练习逐步内化. 目标2是选择“共线三点不能作圆”作为证明对象，既是对上一课时结论的逻辑确认，又是反证法应用的典型范例，具有双重教学价值. 目标3是理解“正难则反”不仅是一种证明方法，更是一种重要的思维策略，对培养学生的批判性思维和创造性思维具有重要意义. 学生已掌握圆的定义、垂直平分线的性质与判定、平行线的判定等知识；在本节第1课时已通过尺规作图知道“共线三点不能作圆”这一结论.学生已有丰富的直接证明经验（如用全等三角形证明线段相等、用勾股定理计算长度等），但尚未系统接触间接证明方法.学生学习障碍：学生习惯于从已知条件出发直接推导结论，对“先否定结论，再找矛盾”的逆向思维感到陌生，甚至觉得“绕圈子”.在书写过程中，容易将“要证明的结论”与“假设”混为一谈，逻辑线索不清.学生可能能完成推理过程，但难以清晰地指出“矛盾是什么”，导致证明缺少最后的“致命一击”. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是 对“推出矛盾”中“矛盾”的理解——矛盾可以是与已知条件矛盾、与定义矛盾、与公理定理矛盾，也可以是与假设自身矛盾.在证明“共线三点不能作圆”时，如何从“假设能作圆”出发，通过垂直平分线的性质和平行线的判定推出矛盾.从直观理解到逻辑表达的转化——能用规范的几何语言书写反证法证明过程. 创设情景，引入新课 情境创设：“路边苦李”的故事：王戎七岁时，和小朋友看到路边李树上结满了果子，小朋友们争先恐后去摘，王戎却一动不动.有人问他为什么不去摘，王戎说：“树在路边，却结了这么多果子，这李子一定是苦的.”摘来一尝，果然苦涩难咽. 追问：王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？ 假设：李子是甜的. 推论：如果李子是甜的，那么早就被人摘光了，树上不会有这么多李子. 矛盾：树上结满了李子，与“早被人摘光”矛盾. 结论：李子不是甜的，是苦的. 揭示课题：这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明结论成立”的方法，叫做反证法.今天我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的一个重要结论. （设计意图：用历史故事引入，生动形象地展现了“正难则反”的思维策略，降低学生对间接证明的陌生感.从故事中的推理逻辑，自然过渡到反证法的概念，学生易于理解和接受.“为什么要用反证法？”——直接证明有困难时，反证法提供了另一种思路.） 探究点1：过共线三点能否作圆 活动：在学案上画三个在同一直线上的点A、B、C。尝试过这三点作圆，能作出来吗？ 学生尝试后发现：作不出来. 追问1：为什么作不出来？用刚才的思路分析： 过A、B的圆心在AB的垂直平分线l₁上；过B、C的圆心在BC的垂直平分线l₂上；因为A、B、C在同一直线上，l₁和l₂是什么关系？（l₁⊥AB，l₂⊥BC，因为AB和BC在同一直线上，所以l₁∥l₂） 追问2：平行线有没有交点？（没有） 没有交点意味着什么？（找不到同时满足条件的圆心） 追问3：既然找不到圆心，能作出圆吗？（不能） 怎样用本开始的思路证明上面的结论呢？ 已知：A、B、C是直线l上的三个点.求证：经过A、B、C三点不能作圆. 分析：第1步——假设：假设经过A、B、C三点可以作圆，设圆心为O。 第2步——推理： ∵ 点O到圆上各点的距离相等（圆的定义）， ∴ OA = OB（在⊙O上），OB = OC（在⊙O上）。 又 ∵ 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴ 点O在线段AB的垂直平分线上（∵ OA = OB）， 且点O在线段BC的垂直平分线上（∵ OB = OC）. 第3步——矛盾： ∵ A、B、C三点在同一直线上， ∴ AB和BC在同一条直线上。 过同一直线上的两条线段AB和BC的垂直平分线互相平行（垂直于同一直线的两条直线互相平行），因此它们没有交点. 但点O既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，即点O是两条垂直平分线的交点——这与“平行线没有交点”矛盾. 第4步——结论：假设不成立，即经过同一直线上的三个点不能作圆. 证明：假设经过A、B、C三点可以作圆，设其圆心为O. ∵ A、B在⊙O上， ∴ OA = OB. ∴ 点O在线段AB的垂直平分线上. 同理，∵ B、C在⊙O上，∴ OB = OC. ∴ 点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 点O是线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点. 又 ∵ A、B、C三点在同一直线上， ∴ 线段AB与BC在同一条直线上. ∴ 线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线互相平行. ∴ 它们没有交点. 这与“点O是两条垂直平分线的交点”相矛盾. ∴ 假设不成立. ∴ 经过同一直线上的三个点不能作圆. 追问：这个结论与上一节课的定理有什么关系？（上一节课说“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，隐含了“共线三个点不能作圆”这一反面情况,两者合在一起，才构成对三点与圆的完整认识.） (设计意图：用反证法将直观结论上升为严格的逻辑证明，体现数学的严密性.证明过程综合运用了圆的定义、垂直平分线性质、平行线判定等多个知识点，是一次重要的综合训练.强调此结论与上一课时定理的内在联系，帮助学生构建完整的知识体系.通过详细的分析和规范的证明书写，让学生完整经历反证法的四步骤，突破书写规范难点.) 探究点2：反证法的概念与步骤 追问1：上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆” 的方法与我们以前学过的证明有什么不同？ 它不是直接去证明它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 归纳反证法概念：先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法. 追问2：基本步骤（以“路边苦李”为例对应说明）： 1. 假设：假设命题的结论不成立（假设李子是甜的）. 2. 推理：从假设出发，结合已知条件进行推理（如果甜→早被人摘光）. 3. 矛盾：推出矛盾（与“树上结满”矛盾）. 4. 结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论成立（李子是苦的）. 反证法四步：假设 → 推理 → 矛盾 → 结论. 追问3：反证法与我们以前学过的证明方法有什么不同？ 以前：从已知条件直接推出结论.（直接证明） 反证法：先假设结论不成立，推出矛盾，从而间接确认结论成立（间接证明） （设计意图：结构化呈现：将反证法四步骤以“假设→推理→矛盾→结论”结构化呈现，便于学生记忆和运用.对比辨析：通过与直接证明的对比，帮助学生准确把握反证法的本质特征.生活联结：用学生熟悉的故事对应抽象的方法步骤，降低认知门槛.） 探究点3：反证法的适用情境 讨论交流：什么情况下适合用反证法？ 师生共同归纳： 1. 结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 2. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一反驳，较为繁琐. 3. 直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等。直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一反驳，较为繁琐.直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论不成立时推理方向明确. 举例说明：“共线三点不能作圆”——结论是“不能”，适合反证法.“平行线不相交”——结论是否定形式，适合反证法.“在一个三角形中，至少有一个角大于等于60°”——结论的否定是“三个角都小于60°”，反面情况单一，也适合反证法. 应用举例：“两直线平行，同位角相等”由“两直线平行”直接推导较困难，可以采用反证法. 如图，我们要证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2.假设∠1+∠2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD.这样，过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2. （设计意图：策略提炼：不仅教方法，更教“什么时候用方法”，培养学生的策略性思维. 归纳提升：将反证法的适用情境归纳为“否定式结论”“反面情况少”“直接证明难”三种情形，帮助学生建立选择依据.） 典型例题 例题1.利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 【分析】假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设，∠B＞90°，与三角形内角和为相矛盾，由此即可证明． 【详解】证明：假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°， ∴，这与三角形内角和为相矛盾， ∴，∠B＞90°不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是钝角． （设计意图：简单入手：选择学生熟悉的平行线传递性作为反证法的第一个练习，降低方法本身的认知负担，让学生集中精力体会反证法的步骤.规范示范：通过例题板演，展示反证法证明的标准书写格式，为学生后续独立运用提供模仿样本.） 课本课堂P119. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，已知中，，    (1)用尺规作的外接圆O； (2)若的半径为4，求扇形的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴．    1．（2026.经开校考）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 2.（2026.聊城统考）已知：a∥b，b∥c.求证：a∥c. 【详解】证明：假设a与c不平行，则a与c相交，设交点为P. ∵ a∥b，∴ 过点P有一条直线a与b平行。 又 ∵ c∥b，∴ 过点P还有一条直线c与b平行。 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾. ∴ 假设不成立，即a∥c. （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：反证法——先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立的间接证明方法.四个步骤：假设 → 推理 → 矛盾 → 结论（缺一不可）.用反证法证明了“经过同一直线上的三个点不能作圆”. 思想方法：正难则反：当直接证明困难时，转向证明结论的反面不成立，从而间接肯定结论.转化思想：将“证明结论成立”转化为“证明结论不成立会导致矛盾”.逻辑推理：反证法的核心是逻辑的严谨性——每一步推理都必须有依据. 易错提醒：假设错误：假设必须是“结论的反面”，不能把结论的某种特殊情况作为假设.矛盾不明确：推理的最后一定要明确指出“与XX矛盾”，不能含糊带过.推理跳步：从假设到矛盾，每一步推理都要有依据，不能凭空想象.适用范围：并非所有命题都适合用反证法，直接证明简便时应优先使用直接证明. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题29.1.第7、9题. 探究性作业：P121探索发明. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 29.1.2 过三点的圆（第2课时） 一、反证法概念 二、思想与步骤 三、适用情境 四、易错提醒 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $