第二讲 有限集元素的数目讲义-2026年高中数学竞赛

第二讲 有限集元素的数目

解决一个有限集有多少个元素的问题有时比我们想象的要困难得多, 因为一个有限集可以是概括地给出, 由它的元素所同时满足的性质来确定它的元素的个数常常需要用到较复杂的技巧。本节只讨论一些简单的问题。

1. 有限集的阶

有限集 的元素数目叫做这个集合的阶,记作 (或 )。

例 1 设集合 ,集合 。求 。

解 形如 的数可分为 3 类(即 时三种类型):

其中只有形如 的数是形如 的数。令

1  

得 。所以 。

在这里, 我们采用了列举出集合的全部元素的方法来求其元素的数目。当一个集合的元素较多或者集合元素的性质较复杂时, 这种方法是很难奏效的, 这时必须另辟蹊径。

例 2 设 是 的子集,且满足条件: 当 时, 。求 的最大值。

解 因 ,可知 。又 ,所以 与 这些数彼此不同,且每对 与 不能同时在 中出现。因此

另一方面,设 ,

则 ,且 中没有一个数是另一个数的 15 倍。

事实上,设 ,若 ,则 ; 若 ,则 ,故 。

综上所述, 的最大值为 1870 。

例 3 设 是任意一个 11 元实数集合。令集合 。 求集合 的元素个数的最小值。

解 先证明 。考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时,集合 不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数。下面分类讨论:

情况一: 中没有负数。

设 是 中的全部元素,这里 ,于是

上式从小到大共有 个数,它们均是 的元素,这表明 。

情况二: 中至少有一个负数。

设 是 中的全部非负元素, 是 中的全部负元素。 不妨设

其中 、 为正整数， ，而 ，故 。于是有

它们是 中的 个元素,且非正数; 又有

它们是 中的 7 个元素,且为正数。故 。

由此可知, 。

另一方面,令 ,则

是个 17 元集合。

综上所述， 中元素个数的最小值为 17。

例 4 设 是 的一个子集，且对 中的任意三个不同的元素 ,都有 。求 的最大值。

解 设 。则 。设

其中 ,且 。由题设知

其中 (否则集合 中就有三个元素 ,使得 ,且 为偶数,所以 , 。从而 是 中互不相同的元素。因此 ,即 。所以

又当 时,对 中的任意两个不同的元素 ,都有 ,从而 满足题意。

综上所述, 的最大值为 。