第 7 讲 三招破解向量问题讲义-2026年高中数学竞赛

第7讲三招破解向量问题 向量的定义决定了向量既有几何意义，又有代数运算，更有数形结合及坐 标表示，因此分析向量问题时可从以下三个方面把握： ①向量的基本运算和常用结论一公式法： ②先转化至基底再求解（常用的是建立坐标系）—基底法： ③从几何意义入手一几何法 常用的结论有以下几个 1.奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，PA·SA+PB.Sg+P元·Sc=0, 其中S4SBSc分别是△BPC,△APC,△APB的面积，有以下类似结论： (1)当点P在区域①或④时，有PA(-SA)+P.S+P元.Sc=0; (2)当点P在区域③或⑥时，有PA·Sa+PB·(-Sg)+P元·Sc=0; (3)当点P在区域②或⑤时，有PAS4+PB· Sg+P元(-Sc)=0. 2.三角形“五心”的向量表示(“奔驰定理”的特殊情况) (1)点P是△ABC的重心台PA+PB+P元=0： (2)点P是△ABC的内心，=aPA+bPB+cP元=0； (3)点 P 是 △ABC 的外 心 台sin2A·PA+in2B.PB+sn2C.PC=0; (4)点 P 是非 Rt△ABC 的垂心 台tanA.PA+tanB.PB+tanC.P元=0； (5)点P是△ABC的旁心IA台(-a)PA+bPB+cP元=0， 相应地，旁心 Ig Ic 分别对应 aPA+(-b)PB+cP元=0，aPA+bPB+(-c)P元=0· 3.极化恒等式 ab=(抄)-（号），此公式常用于处理向量数量积问题 热点课堂 【例1】已知lal=b=1,ab=,(c-a)·(c-b)=0,若 d-c=1,求d的最大值 【分析】本题是关于向量模长的问题，可从几何、基底、向量运算三个角度 入手，分别得到以下解法 【解答】解法一：如图，作OA=aOB=b,O元=cOD=d, 则∠A0B=60°，CA.CB=0, 所以向量c的终点C的轨迹是以AB中点M为圆心，以亨为半径的 圆， 向量d的终点D的轨迹是以点C为圆心（点C是圆M上的动点），以 1为半径的圆， 所以1dn-号++1= 解法二：基底法（坐标） 设a=(10),b=(3,9),c=(xy),d=(y), 由(c-a)(c-b)=0可得(x-是)2+(y-)=生 由1d-d-1及结合图形可得dm-型 解法三：（三角不等式） 因为d-d≤a-d=1而由上图可得1cnn=呼型 2 ,所以 Idlmag 2 【例2】(1)已知0为△ABC内一点，且OA+20+20元=0， △ABC和△OBC的面积分别是S△ABc和SaOC,则= (2)已知0为△ABC的外心，且OA+V3OB+20C=0,则 ∠AOC的大小为() A.30° B.60°C.120 D.150 【分析】)根据奔驰定理，==专， (3)解法一：如图，O=-2O元，0B=V5O，连结BD,AD. 不妨设圆0的半径为1，则0B=V5,BD=OA=1OD=2, 于是四边形OBDA是矩形，且∠D0A=60°， 于是A0C=120°. 解法二：因为可A+V3O+20元=0，不妨设圆0的半径为1， 所以0A+20元=-V30市， 两边平方可得1+40A.0元+4=3，所以0A.0元=-专， 所以0sA0C=☏0=-支，所以∠A0C=120, 可ōi1 【解答】(1)寺(2)C 评注：结合三角形外心在向量中的表示，可以通过数形结合解决问题，亦可 通过代数方法解决.第(2)题也可用sm2A.OA+sin2B.Oi+sim2C.O元=0 来解决。 【例3】已知向量ab,c满足a-bl=4，且 (a-c)·(b-c)=-3,则c·(a+b)的最小值为 【分析】如图，记OA=a,OB=b,O元=C,D为AB的中点， 则(a-c)·(b-c)=cA.cB=-3. 而由极化恒等式得C.c2-()2-(@2)}-cD-2, 所以CD=-3+4=1,即得点C的轨迹是以D为圆心，1为半径的圆. 所以c.(a+b)=20元.oD 解法一：利用极化恒等式可得， o元.0ò=()-(@)'-02-()2≥-年其中E为 CD中点)， 所以c(a+b)的最小值为-专 解法二：（向量投影） 因 为 o心.oò=|o.(ocoò方向上的投影)≥|o·(oò-1)=(1oò-)2-全≥ 所以c·(a+b)的最小值为-专： 解法三：（三向量平方和配凑） 因为（a+b)·c-b+29a-ba-c0e=atto兰≥-生，所以 8 c·(a+b)的最小值为-号， 【解答】-支 【例4】过△ABC的重心G作直线1将△ABC分成两部分，则这两 部分的面积之比有() A.最小值圣 B.最小值寺C.最大值等 D.最大值 【分析】这是一个平面几何问题，除了平面几何方法还可以用解析法与向量 法，但本题若用解析法则计算量较大，若用向量法，由于这两部分面积是由P,Q 两点决定的，这里有多个三点共线，且是面积比问题，故可考虑用基底法， 如图，由对称性不妨设直线1与边AB以及AC相交，交点分别为P,Q· 设A=2AB,A0=AC, 则△APQ的面积与△ABC的面积之比为入μ. 由于AG=号AB+号AC, 因此，AG=贵A亚+A0, 从而+是=3，入，E(0,1, 所以ue[,], 因此△APQ的面积与△ABC的面积之比的取值范围是[告，专]， 所以将△ABC分成的两部分的面积之比的取值范围是[青】 【解答】BD 评注：向量方法也是解决平面几何比值问题的利器之一，另外，当直角坐标 系计算不方便求解时，可用一般的基底进行处理. 【例5】已知0为△ABC的外心，∠ABC=60°，B0=BA+BC, 则0 A.入+μ的最小值为专，此时△ABC为直角三角形 B.入+μ的最大值为号，此时△ABC为直角三角形 C.入+u的最小值为号，此时△ABC为等边三角形 D.入+4的最大值为号，此时△ABC为等边三角形 【分析】从选项看出主要研究入+μ，所以可以考虑从三点共线入手 解法一：（几何作法） 如图，延长BO,交直线AC于点D, 根据等和线得B0=(入+)BD，记Bò=1， 则当B0与BD同向时，B∈[多，+∞)，此时入+μ的取值范围是 (0,]: 当Bò与B反向时，B∈(0，+∞)，此时入+4的取值范围是 (-∞，0)， 综合得+μ的取值范围是(-∞，0)U(0,号]；当△ABC为等边三 角形时，入+μ取得最大值号， 解法二：因为BO=BA+B元， 所以(1-入-)B0=1OA+u0元，不妨设外接圆半径为R, 两边平方可得1+3μ=2(1+) 又因为≤（些），解得入+u≤号或1+≥2（舍去 经检验，当△ABC为等边三角形时，入+μ取得最大值号· 【解答】D 【例6】设0为△ABC的外心，若A0=AB+2A元，则sinBAC= 【分析】利用向量加法的定义. 作AD=2AC,则Aò=AD+AB,则四边形0DAB为平行四边形， 不妨设圆0的半径为R=1,则AD=1AC=,OC=OA=0B=1· 因为OB//AC,所以COSLC0B=-COSLOCA=-幸· 在 △OBC 中 ,由余弦定理可得 BC=V1+12-2×1X1×cos2C0B= 2 BC 在△ABC中，由正弦定理可得an28Ac=2R=2, 所以s∠BAC=四 4 【解答】 y 4 评注：本题也可通过移项平方，使用外心公式来求解.