第 5 讲 经典不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第 5 讲 经典不等式 1. 绝对值不等式 (1) . (2) . 2. 排序不等式 设有两个有序组 , 则 (反序和) (乱序和) (顺序和), 即反序和 乱序和 顺序和,其中 是 的任一排列, 当且仅当 或 时等号成立. 3. 伯努利不等式 若 ,则 . 4. 当 时, ; 当 时, . 热点课堂 【例 1】设 ,若对任意的 ,总存在 使得 成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【分析】利用绝对值不等式的性质,构造 解决问题. 记 ,则 小于等于 的最小值. 由题意得 因为 , 所以 , 故 ,当 时取等号, 所以 的最小值为 2,故 . 【解答】C 【例 2】已知实数 满足不等式 和 , 则 的最大值 ( ) A. 大于 B. 小于 C. 大于 1 D. 小于 E. 大于 F. 小于 【分析】利用绝对值不等式的性质,先得到 的取值范围. 由 得 由 得 所以 ,当 时取等号. 所以 的最大值为 . 【解答】AE 【例 3】已知对任意 ,方程 在区间 上至少有一个根,则 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 前三个答案都不对 【分析】利用多元绝对值不等式性质, 注意到不等式的个数是偶数, 可以完美配对. 设 , 由题意知 对任意 恒成立, 不妨设 , 一方面, 因此, , 所以 ,即 . 另一方面, 因此 于是有 X 2016, 即 ,所以 ,即 , 综上所述,当 时,方程 在区间 上至少有一个根. 【解答】B 【例 4】证明切比雪夫不等式: 若 ,则 . 【分析】根据不等式两边的结构特征, 左边是两两乘积的和, 右边也可以组成两两乘积的和，利用排序不等式可以构造出 n 个乱序结构，观察其代数关系. 【解答】由题设和排序不等式得, ...... 将以上 个式子相加，再将式子两边同时除以 得, 评注:切比雪夫不等式是非常重要的不等式，它在证明一些和积转化的不等式时有着广泛的应用. 【例 5】已知 是三角形的三边长,且 ,求证: 或 . 【分析】利用单调性和不等式的性质解决问题. 【解答】因为 ,所以 ,所以 且 , 显然 . (1) 若 不是最大边,则 至少有一个大于 1， 因为 且 ，所以 ， ，且 . (2) 若 是最大边,则 ， ，所以 为减函数， 而 ,所以 , 综上可得 或 . 【例 6】已知 是正整数,求证: 当 时, . 【分析】本题可以考虑伯努利不等式, 从而达到优化证明的效果. 【解答】(1) 当 时,不等式 显然成立. (3) 当 时， ，所以由常见不等式得 ， 故 ,所以 , 所以 . 因为 ,由伯努利不等式可得 , 所以 , 综上可得 . 学科网（北京）股份有限公司 $