精品解析：广东汕头市潮阳区中寨中学2025-2026学年九年级上学期选拔考试卷 数 学

2025~2026学年度第一学期选拔考试卷 数 学 （本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. “翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是随机事件， 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过配方法将抛物线方程化为顶点形式，即可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵， 配方法：， ∴顶点坐标为， 故选B 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得到且二次项系数，继而可求得的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为零且当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 5. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ． 6. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道，甲从通道进入体育比赛馆的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：体育比赛馆开设了，，三个安检通道， 甲从通道进入体育比赛馆的概率为． 故选：B． 7. 如图，在中，，将绕顶点A顺时针旋转，得到．若点D恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形旋转．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，是解题的关键． 先由旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，则由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：由旋转可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为． 故选：B． 8. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得，． 故选：B． 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 10. 如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧的点B′处，点C的对应点为点，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过A作于F，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可． 【详解】解：连接，过A作于F，则，如图， 将半径为2，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点， 扇形和扇形的面积相等，， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得： ， 阴影部分的面积 ＝ 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r,那么扇形的面积． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 12. 已知点，关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 从，0，，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算得出答案． 【详解】解：从，0，，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，这2种可能， ∴抽到的无理数的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键． 14. 如图，二次函数的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴A、B关于y轴对称， ∵四边形AOBC是正方形， ∴，AB与OC相互平分， 令x=0时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点A代入得：，解得：， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键． 15. 如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 __． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的上，在y轴负半轴取点D，使，连接，则是的中位线，进而可得当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值，计算即可求出结果． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为2， 在y轴负半轴取点D，使，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， 当最大时，即最大， 而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形以及三角形的中位线，定点定长构造辅助圆，解题关键是确定点C的运动轨迹． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 17. 在下列三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为个单位．格点的位置如图所示． （1）线段的长是　 　； （2）将向右平移单位长度得到，再将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出和； （3）求线段在整个运动过程中扫过的面积． 【答案】（1） （2） 将向右平移单位长度得到，再将绕点顺时针旋转得到，如图所示， ，即为所求图形． （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）根据图形平移的规律，图像旋转的定义作出图形即可； （3）利用平行四边形的面积公式，扇形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为个单位， ∴如图所示，是等边三角形，，，过点作于点， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：向右平移单位长度得到，线段扫过的面积为，过点作的延长线于点， 绕点顺时针旋转得到，线段扫过的面积为，且扇形的圆心角为，半径为的扇形，如图所示， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴线段在整个运动过程中扫过的面积为． 【点睛】本题考查作图—旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，平分，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）证明：连接 ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵为⊙O半径 ∴与⊙O相切 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明、三角函数的应用以及弧长的求解等知识点，掌握圆中相关结论是解题关键． （1）连接，证明即可求解； （2）根据=可得，进而可求出⊙O的半径，即可求解的长；在直角三角形中求出，即可求解的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是⊙O的直径 ∴ ∴= 即 ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴长为： 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． （1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； （2）m的值为 ，请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】（1）500， （2）40； （3）解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【解析】 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：， ∴； 图略． 【小问3详解】 略 20. 利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份． 素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】[任务]，；[任务]该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；[任务]售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务]根据题意列出代数式即可； [任务]由题意得，设涨价元份，，然后解方程即可； [任务]根据题意采取降价销售，每天的利润为，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份）， 若设降价元份，则平均每天的销售量为（份）， 故答案为：，； [任务]由题意得，设涨价元份， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元； [任务]∵尽快减少库存， ∴采取降价销售， ∴每天的利润为， ∵， ∴当时，每天的利润有最大值为元， 答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 21. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG＝CG； （2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点， ∴CG＝FD， 同理，在Rt△DEF中， EG＝FD， ∴CG＝EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG． 证法：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点， 在△DAG与△DCG中， ∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG， ∴△DAG≌△DCG（SAS）， ∴AG＝CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG， ∴△DMG≌△FNG（ASA）， ∴MG＝NG； ∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°， ∴四边形AENM是矩形， 在矩形AENM中，AM＝EN， 在△AMG与△ENG中， ∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG， ∴△AMG≌△ENG（SAS）， ∴AG＝EG， ∴EG＝CG． （3）依然成立，EG⊥CG 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG； （2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG； （3）结论依然成立，证明方法类似（2）． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N， ∵G为FD中点， ∴FG=GD， ∵MF∥CD， ∴∠FMG=∠DCG，∠GDC=∠GFM， ∴△CDG≌△MFG， ∴CD＝FM， ∵NF∥BC， ∴∠NFH+∠NHF=∠EHB+∠EBH， 又∵∠NHF=∠EBH， ∴∠NFH=∠EBH， ∴∠EFM＝∠EBC， 又∵BE=EF， 则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC ∵∠FEC+∠BEC＝90°， ∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°， ∴△MEC是等腰直角三角形， ∵G为CM中点， ∴EG＝CG，EG⊥CG． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关性质． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______． （2）在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由．若此时，，求的长． 【答案】（1） （2） 如图①，点P即为求作的点； 作线段的垂直平分线，与线段交于点P，则点P为线段的中点． 证明：由作图得点P为中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上； （3） 四边形为正方形，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵四边形为损矩形， ∴由（2）可知A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形为正方形； 过点D作交延长线于M，于N， ∴四边形是矩形， 又∵平分， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， 解得，（负值舍去）． 【解析】 【分析】（1）根据损矩形的直径的定义进行求解即可； （2）尺规作图线段的垂直平分线，得到线段的中点P，则点P为线段的中点．根据直角三角形性质证明，即可证明点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上； （3）先由角平分线的定义得到，由（2）可知A、B、C、D四点共圆，则，根据菱形对角线平分一组对角得到，即可证明菱形为正方形；过点D作交延长线于M，于N，证明四边形是正方形，求出，则，，，，根据建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此是该损矩形的直径， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，关键在于熟练掌握基础知识，合理利用辅助线得出条件计算． 23. 如图，抛物线经过三点． （1）求此拋物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； （3）抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2）， （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【小问1详解】 解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； 【小问2详解】 设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期选拔考试卷 数 学 （本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 5. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道，甲从通道进入体育比赛馆的概率是（　　） A. B. C. D. 1 7. 如图，在中，，将绕顶点A顺时针旋转，得到．若点D恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧的点B′处，点C的对应点为点，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根是________． 12. 已知点，关于原点对称，则的值为______． 13. 从，0，，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_______． 14. 如图，二次函数的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______． 15. 如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 __． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 在下列三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为个单位．格点的位置如图所示． （1）线段的长是　 　； （2）将向右平移单位长度得到，再将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出和； （3）求线段在整个运动过程中扫过的面积． 18. 如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，平分，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求和的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． （1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； （2）m的值为 ，请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 20. 利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份． 素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 21. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG＝CG； （2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______． （2）在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由．若此时，，求的长． 23. 如图，抛物线经过三点． （1）求此拋物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； （3）抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $