1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2.夹角问题同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量解决夹角问题，分层设计从基础应用到综合挑战，覆盖异面直线、线面、二面角，结合文化情境与动态问题，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一异面直线夹角|结合《九章算术》曲池、青铜豆等文化情境，巩固坐标法基本应用| |进阶层|线面角与二面角综合（含动点/范围）|通过多选题辨析概念，设置动态点与范围问题提升推理能力| |挑战层|复杂几何体与跨情境应用|以阿基米德多面体等模型，融合折叠、最值问题深化综合应用|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2.夹角问题 1.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面ABCD垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2.青铜豆是古代一种青铜礼器与食器，其造型为高足盘状.图（1）为河南出土的战国青铜器——方豆，图（2）是与其主体结构相似的几何体（长方体与正四棱台的组合体），其中，，，点K为BC上一点，且，点Z为PQ的中点，则异面直线KZ与FN所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与平面ACD所成角为，则线段PA长度的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点，M在线段上，则直线与平面MEF夹角的最大值为( ) A. B. C. D. 5.如图，函数图象上两点A，C关于原点对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为，.将图象沿x轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的平面角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 6.如图，在三棱台中，若平面，，，，M为BC的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，.若Q是底面ABCD内（包括边界）一点，且二面角的大小为，则面积的最大值是( ) A. B. C. D. 8.（多选）设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则( ) A.若，则 B.若，则或 C.若，则 D.若，的夹角为，则 9.（多选）已知正三棱柱的底面边长为a，高为h，记异面直线与所成角为，则下列说法中正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 10.如图，在长方形ABCD中，E为BC的中点，.以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别到达的位置，当异面直线CD和所成的角为时，异面直线CD和所成角的余弦值为______. 11.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，M为棱SA上的一点，若BM与平面SBD所成角的正弦值为，则______. 12.如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且，设CE与平面ABE所成角为，.若，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC的夹角的正切值为____________. 13.如图，将一个正方体沿共顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，求该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面所成角的正切值. 答案以及解析 1.答案：A 解析：设上底面扇环所在圆心为，下底面扇环所在圆心为O，连接，以O为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，所以异面直线与所成角的余弦值为. 2.答案：A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，在正四棱台中，，，，则点N到平面EFGH的距离为，则，，，，，，因此，所以异面直线KZ与FN所成角的余弦值为. 3.答案：B 解析：如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设，设，则，，，设平面ACD的法向量，则令，得，所以.因为直线PQ与平面ACD所成角为，所以，所以，因为，所以，所以，又，解得，可得. 4.答案：C 解析：以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为2，则，，，，，，由M在线段上，可设，，则，，.设平面MEF的法向量为，则即令，得，，则平面MEF的一个法向量为. 设直线与平面MEF夹角为， 则， 因为，所以当时，取得最小值， 即取得最大值，由，可得的最大值为. 所以直线与平面MEF夹角的最大值为.故选C. 5.答案：C 解析：，所以，.设二面角的平面角为，因为，所以 ，所以，因为，所以. 6.答案：B 解析：因为平面ABC，且平面ABC，所以，，又，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，且M为BC的中点，所以，，，则，.设平面的法向量为，则取，可得，，所以.易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.故选B. 7.答案：A 解析：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系.由二面角的大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，又Q是底面ABCD内（包括边界）一点，所以Q的轨迹是过点D的一条线段.设Q的轨迹所在直线与y轴的交点为.由题意可知，，，所以，，.由题知平面APD的一个法向量为.设平面PDG的法向量为，则即令，则是平面PDG的一个法向量，则，解得或（舍去），所以Q在DG上运动，故当点Q与点G重合时，面积取得最大值，是. 8.答案：BC 解析：对于A，当时，直线，可能平行也可能重合，故A错误； 对于B，当时，在平面内一定存在与直线平行的直线，则或，故B正确； 对于C，当时，直线与平面的垂线平行或重合，则，故C正确； 对于D，当，的夹角为，其法向量，的夹角为或，则或，故D错误. 故选：BC. 9.答案：ACD 解析：在正三棱柱中，设的中点分别为O，E，连接OE，OB，则平面ABC，，以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，.对于A，当时，，，则，A正确；对于B，由，解得或，B错误；对于C，当时，，，则，故，则，C正确；对于D，结合B知，当时，，解得或（舍去），D正确. 10.答案： 解析：不妨设，则，.由，分析可知为直线CD和所成的角，故，.设异面直线CD和所成的角为，因为，所以，因此异面直线CD和所成角的余弦值为. 11.答案： 解析：过点P作，交BC于点E，又，所以.由，P为AD的中点，得.又四边形ABCD是矩形，所以，则SP，PA，PE两两垂直，以P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由，，P为AD的中点，，得，E为BC的中点，则，，，，所以，，，.令，，则.设平面SBD的一个法向量为，则令，得.由题得，解得，所以. 12.答案： 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，取AB的中点M，则，连接CM，则. 因为平面，平面ABC，所以.又，所以平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为.因为，所以.又，所以，即，解得，所以k的最大值为. 当时，，，设平面BDE的法向量为， 则令，则，，所以.取平面ABC的一个法向量为，设平面BDE和平面ABC的夹角为，则，所以，故. 13.答案： 解析：将该阿基米德多面体放入正方体中，如图，平面EFG和平面GHK为有公共顶点的两个正三角形所在平面.以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，所以，，，.设平面EFG的一个法向量为，则令，则，，所以.设平面GHK的一个法向量为，则令，则，，所以.设平面EFG和平面GHK所成的角为，则，所以，则. 学科网（北京）股份有限公司 $