2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考重难点检测卷（提高卷）（考试范围：第25-26章）-

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数重难点，融合芯片研发、世运会吉祥物销售等真实情境，适配九年级月考，含中考真题及创新应用题，强化模型观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|增长率问题（第2题）、二次函数最值（第4题）|结合科技前沿情境，如芯片研发投入| |填空题|6/18|抛物线平移（第12题）、利润问题（第13题）|注重基础技能与实际应用结合| |解答题|9/72|新能源充电站抛物线模型（第22题）、函数与几何综合（第25题）|分层设计，含中考真题改编，强化综合应用与创新思维|

九年级上册第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程+二次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 15．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 16．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 18．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 21．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若，则的值为___________． 22．（26-27九年级上·北京·单元测试）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 23．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 24．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 25．（2025·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程+二次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 3．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 5．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 8．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 9．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 10．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 15．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 16．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 18．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【答案】(1) 解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： (2)或 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，当时，或． 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 21．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得，解得，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． （3）结合，以及，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴ 解得， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； （3）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（26-27九年级上·北京·单元测试）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 23．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 24．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 25．（2025·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $