第六单元 因数和倍数（单元自测练习卷）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

**基本信息** 本单元卷聚焦“因数和倍数”核心知识，通过基础巩固与生活应用结合的题型设计，适配单元复习，有效检测抽象能力、运算能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10题/30分|最小公倍数、分解质因数、完美数等|融入数学文化（毕达哥拉斯完美数）| |解答题|4题/40分|因数应用（装盒）、年龄问题、奇数性质|结合生活情境（月饼装盒、牛奶购买）|

第六单元 因数和倍数 单元测试卷 时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________班级：__________分数：__________ 题号 一 二 三 四 五 评分 一、填空题（共30分） 1．（本题3分）6和9的最小公倍数是( )；18和24的最大公因数是( )。 2．（本题3分）一个数最大因数是48，把这个数分解质因数是( )。 3．（本题3分）有313块月饼，每5块装一盒，还剩( )块；每3块装一盒，至少添( )块才能正好装完。 4．（本题3分）数学家毕达哥拉斯是最早研究完美数的人。完美数是一些特殊的自然数，一个完美数恰好等于除了这个数本身外，它的所有因数之和。例如第一个完美数是6，它有4个因数：1，2，3，6（6本身除外），其余因数之和1＋2＋3＝6。在12，24，28，36中，( )是一个完美数。 5．（本题3分）已知甲数是2×3×7，那么甲数的因数共有( )个。 6．（本题3分）五年级的同学们为学校的鸟制作了一些鸟巢鸟巢个数正好是大于10且小于20的所有合数的和，这些鸟巢有( )个。 7．（本题3分）晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 8．（本题3分）一块长方形菜地的长和宽均为质数，而且这块菜地的周长是36m。这块菜地的面积可能是( )平方米，也可能是( )平方米。 9．（本题3分）在1，2，215，60，97，104这六个数中，____________是质数，__________是偶数，______________是5的倍数。 10．（本题3分）分数的分子和分母的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 二、选择题（共10分） 11．（本题2分）下列说法正确的是（    ）。 A．在48÷6＝8中，48是倍数，6和8是因数 B．1是所有非0自然数的因数 C．最小的自然数是1 D．6的因数的个数是无限的 12．（本题2分）下面说法正确的是（    ）。 A．一个自然数，不是质数就是合数。 B．一个自然数的最大因数是9，最小倍数也是9，这个数一定是9。 C．是2的倍数的所有自然数都是合数。 D．两个质数的积也是质数。 13．（本题2分）学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 14．（本题2分）五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（    ）种不同的分法。 A．7 B．8 C．9 D．10 15．（本题2分）已知，所以48与72的最大公因数是（    ）。 A．4 B．6 C．12 D．24 三、判断题（共10分） 16．（本题2分）最小的质数和最小的合数只有一个公因数。( ) 17．（本题2分）自然数按因数个数可分为质数和合数两类。( ) 18．（本题2分）已知，（b为非0的整数），则和的最大公因数是7。( ) 19．（本题2分）因为6.3÷9＝0.7，所以6.3是9和0.7的倍数，0.7和9是6.3的因数。( ) 20．（本题2分）一个合数至少有2个因数。( ) 四、计算题（共10分） 21．（本题10分）写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）3和5                （2）4和8                （3）6和9 五、解答题（共40分） 22．（本题10分）48支笔放在礼品盒里，每个盒子装得同样多，有哪些装法？每种装法各需要几个盒子？（至少2个盒子） 23． （本题10分）当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 24． （本题10分）一个三角形的三条边长之和是45厘米，这三条边的长是三个连续奇数，它们的长各是多少厘米？ 25．（本题10分）乐乐在商店购买了一些牛奶和可乐（牛奶和可乐都有购买，但数量未知），牛奶和可乐的价格如图。最后乐乐付了100元，售货员阿姨找回16元，售货员阿姨找回的钱数对吗？为什么？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 18 6 【分析】将每个数分解质因数，最小公倍数：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。最大公因数：全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数：2×3×3＝18 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数：2×3＝6 所以6和9的最小公倍数是18；18和24的最大公因数是6。 2．48＝2×2×2×2×3 【分析】一个数最大因数是它本身；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，用短除法分解质因数即可。 【详解】一个数最大因数是48，所以这个数就是48； 48分解质因数是：48＝2×2×2×2×3 3． 3 2 【分析】个位上是0或5的数是5的倍数，比313少且最接近5的倍数的数是310，算出两者差值即为剩下的块数； 各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数，313各位数字和是3＋1＋3＝7，比7大且最小的3的倍数是9，算出两者差值即为至少需要添上的块数。 【详解】比313少且最接近5的倍数的数是310，313－310＝3，还剩3块； 3＋1＋3＝7，比7大且最小的3的倍数是9，9－7＝2，至少添2块才能正好装完。 4．28 【分析】如果a×b＝c（a、b、c均为非零自然数），则a和b是c的因数，一对一对地找出四个数的所有因数；逐个计算这几个数除自身外的所有因数之和，再与它本身作比较即可。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4，12的因数有1、2、3、4、6、12，排除12本身，和为1＋2＋3＋4＋6＝16，16≠12，所以12不是完美数； 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，排除24本身，和为1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＝36，36≠24，所以24不是完美数； 28＝1×28＝2×14＝4×7，28的因数有1、2、4、7、14、28，排除28本身，和为1＋2＋4＋7＋14＝28，恰好等于自身，所以28是完美数； 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，排除36本身，和为1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，55≠36，所以36不是完美数。 5．8 【分析】由题意可知“甲数＝2×3×7”，据此可计算出甲数的数值；用列乘法算式的方法来找甲数的全部因数，然后数出它的因数的个数即可。 【详解】甲数＝2×3×7＝6×7＝42 1×42＝42，2×21＝42，3×14＝42，6×7＝42 所以甲数的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，一共有8个因数。 6．75 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。大于10且小于20的所有合数有12、14、15、16、18。把它们相加即可。 【详解】12＋14＋15＋16＋18 ＝26＋15＋16＋18 ＝41＋16＋18 ＝57＋18 ＝75（个） 这些鸟巢有75个。 7． 开 开 【分析】明确灯的初始状态以及开关次数与灯的状态变化之间的规律。灯的初始状态是开着的，每按一次开关，灯的状态就会改变一次（开变关，关变开）。由此可知：按奇数次开关，灯的状态与初始状态相反；按偶数次开关，灯的状态与初始状态相同。 【详解】灯原来是开着的。按1下开关，灯变为关；按2下开关，灯变为开；按3下开关，灯变为关；……可以发现：按奇数次开关，灯的状态改变（变为关）；按偶数次开关，灯的状态不变（仍为开）。 弟弟按了16下开关。因为16是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 如果再按50下，此时总共按开关的次数为：（下） 因为66是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 所以弟弟按了16下开关，这时灯是开着的。如果再按50下，这时好是开着的。 8． 65 77 【分析】长方形的周长是36米，根据周长公式，可知，长＋宽＝周长÷2＝18米，即长和宽的和为18。已知长和宽都是以米为单位的质数，可以通过列举法，求出长和宽，再根据面积公式求解。 【详解】36÷2＝18（米） 18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17。 满足和是18的有：5和13，7和11。 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 故这块长方形菜地的面积是65平方米或77平方米。 9． 、 、、 、 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的自然数（1除外）；偶数是指个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数是指个位上是0或5的数。逐一判断给定的六个数即可。 【详解】1只有1个因数，既不是质数也不是合数；1在个位上，不符合偶数和5的倍数特征，所以1不是偶数，也不是5的倍数； 2只有因数1和2，是质数；2在个位上，符合偶数的特征，所以2是偶数；不符合5的倍数特征，所以不是5的倍数； 215个位是5，除了1和本身外还有因数5，不是质数；个位上的数字是5，不符合偶数的特征，所以215不是偶数；符合5的倍数特征，所以215是5的倍数； 60是偶数且大于2，除了1和本身外还有因数2，不是质数；个位上的数字是0，符合偶数和5的倍数特征，所以60是偶数，也是5的倍数； 97只有因数1和97，是质数；个位上的数字是7，不符合偶数和5的倍数特征，所以97不是偶数，也不是5的倍数； 104是偶数且大于2，除了1和本身外还有因数2，不是质数；个位上的数字是4，符合偶数的特征，所以104是偶数；不符合5的倍数特征，所以104不是5的倍数； 综上，2、97是质数，2、60、104是偶数，215、60是5的倍数。 10． 6 84 【分析】用分解质因数的方法，把分子和分母分别写成质数相乘的形式，最大公因数取公共质因数相乘，最小公倍数取全部质因数相乘，重复的只乘一次。 【详解】12＝2×2×3 42＝2×3×7 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×2×7＝84 11．B 【分析】A．因数和倍数是相互依存的关系，不能单独描述某个数是倍数或因数。 B．所有非0自然数除以1都得到整数且没有余数。 C．用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，0也是自然数。 D．一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【详解】A．在48÷6＝8中，48是6和8的倍数，6和8是48的因数，题干表达错误。 B．所有非0自然数除以1都得到整数且没有余数，因此1是所有非0自然数的因数，表达正确。 C．最小的自然数是0，不是1，题干表达错误。 D．6的因数有1、2、3、6，共4个，个数是有限的，题干表达错误。 12．B 【分析】自然数里的1既不符合质数的定义（质数要有2个因数），也不符合合数的定义（合数要有3个及以上因数）；一个自然数的最大因数和最小倍数都是它本身；2是2的倍数，但2是只有1和自身两个因数的质数，不是合数；两个质数的积，除了1和它本身，还有这两个质数作为因数。 【详解】A．自然数1既不是质数也不是合数，因此说法错误。 B．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，若一个数的最大因数和最小倍数都是9，这个数就是9，因此说法正确。 C．2是2的倍数，但2是质数不是合数，因此说法错误。 D．两个质数的积的因数除了1和它本身，还有这两个质数，因此是合数，例如，6是合数，因此说法错误。 13．A 【分析】先求出8和12的最小公倍数，再找50以内这两个数的最大公倍数即可。 【详解】 8和12的最小公倍数是 （人） ，，不符合要求。 14．B 【分析】要将48人分成人数相等的小组，本质是找48的因数，再排除不符合每组至少2人、至少分2组的情况即可。 【详解】48的因数： 1×48＝48 2×24＝48 3×16＝48 4×12＝48 6×8＝48 48的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据每组至少2人，至少两组，进行枚举计算， 每组2人时，组数为：48÷2＝24（组） 每组3人时，组数为：48÷3＝16（组） 每组4人时，组数为：48÷4＝12（组） 每组6人时，组数为：48÷6＝8（组） 每组8人时，组数为：48÷8＝6（组） 每组12人时，组数为：48÷12＝4（组） 每组16人时，组数为：48÷16＝3（组） 每组24人时，组数为：48÷24＝2（组） 每组48人时，组数为：48÷48＝1（组）（不符合至少两组，舍去） 综上，每组至少2人，至少分为两组，一共有8种不同的分法。 15．D 【分析】求两个数的最大公因数，可先分解质因数，再将两个数公有的质因数相乘，所得乘积就是最大公因数。再对比各选项选出正确的选项。 【详解】， ，因此48和72的最大公因数是24。 对比各选项应选D。 16． × 【分析】先明确最小的质数、最小的合数分别是多少，再找出二者的公因数判断数量即可。 【详解】最小的质数是2，最小的合数是4。 2的因数：1，2 4的因数：1，2，4 2和4的公因数有1、2，共2个。 故答案为：× 17．× 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫作质数，除了1和它本身还有别的因数的数叫作合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】自然数按因数个数可分为1、质数、合数三类，原题分类错误。 故答案为：× 18．× 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数。 【详解】由a＝7b可知，a是b的7倍，二者为倍数关系，a＞b，则a和b的最大公因数是b。b为任意非0整数，不一定等于7，原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】因数和倍数只在非零自然数的范围内研究，需满足整数除法中商是整数且没有余数的条件，据此解答。 【详解】因数和倍数的研究范围是非零自然数，题中的算式6.3÷9＝0.7中，被除数6.3和商0.7都是小数，不符合因数和倍数的定义要求。故答案为：×。 20．× 【分析】除了和它本身还有其他因数的数叫做合数，因此合数至少有个因数。 【详解】一个合数的因数包含、它本身，以及至少个其他因数，最少有个因数，题干说法错误。 故答案为：× 21．（1）1，15；（2）4，8；（3）3，18 【分析】（1）求两数的最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积； （2）两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数； （3）先把6和9分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】（1）3和5互质，所以3和5的最大公因数是1，最小公倍数是3×5＝15； （2）8÷4＝2，8是4的2倍，所以4和8的最大公因数是4，最小公倍数是8； （3）6＝2×3 9＝3×3 所以6和9的最大公因数是3，最小公倍数是2×3×3＝6×3＝18。 22．9种；①每盒装24支，需要2个盒子；②每盒装16支，需要3个盒子；③每盒装12支，需要4个盒子；④每盒装8支，需要6个盒子；⑤每盒装6支，需要8个盒子；⑥每盒装4支，需要12个盒子；⑦每盒装3支，需要16个盒子；⑧每盒装2支，需要24个盒子；⑨每盒装1支，需要48个盒子 【分析】根据题意可知，每盒支数乘盒子数等于48，且盒子数至少为2，因此先找出48的所有因数，排除盒子数为1的情况，再用笔的总支数除以盒子数，求出每个盒子中装的支数，即可得到所有装法。 【详解】 48÷2＝24 48÷4＝12 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 因为至少需要2个盒子，所以排除盒子数为1的情况，符合条件的盒子数有2、3、4、6、8、12、16、24、48，共9种 （支） （支） （支） （支） （支） （支） （支） （支） （支） 答：共有9种装法：①每盒装24支，需要2个盒子；②每盒装16支，需要3个盒子；③每盒装12支，需要4个盒子；④每盒装8支，需要6个盒子；⑤每盒装6支，需要8个盒子；⑥每盒装4支，需要12个盒子；⑦每盒装3支，需要16个盒子；⑧每盒装2支，需要24个盒子；⑨每盒装1支，需要48个盒子。 23．24岁 【分析】先按爷爷与小明的年龄倍数关系，把年龄和分成4份，求出两人的年龄差。首先明确最小质数是2，即小明2岁时，用不变的年龄差求出爷爷年龄；再根据“爷爷年龄是爸爸年龄的2倍”用除法求出爸爸年龄，最后求父子年龄差。 【详解】3＋1＝4（份） 100÷4＝25（岁） 25×3＝75（岁） 75－25＝50（岁） 2＋50＝52（岁） 52÷2＝26（岁） 26－2＝24（岁） 答：爸爸比小明大24岁。 24．13厘米、15厘米、17厘米 【分析】连续奇数相邻两个差2，三个连续奇数的和＝中间数×3，先用总和除以3求出中间的奇数，再分别加减2得到另外两条边。 【详解】中间边长：45÷3＝15（厘米） 15－2＝13（厘米） 15＋2＝17（厘米） 答：三边长分别是13厘米、15厘米、17厘米。 25．不对；理由：因为牛奶和可乐的价钱都是5的倍数，总花费一定是5的倍数，找回的钱也应是5的倍数，16不是5的倍数，所以找错了。 【分析】可乐单价是10元（5的倍数），牛奶单价是5元（5的倍数）。5的倍数加5的倍数，和仍然是5的倍数，所以花掉的总钱数一定是5的倍数。付了100元（也是5的倍数），找回的钱也应该是5的倍数。 【详解】100－16＝84（元） 84不是5的倍数，说明总价不可能是84元。 答：找的钱不对，理由略。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $