第六单元 第3课时 公因数和公倍数（分层作业）数学五年级上册苏教版（新教材）

**基本信息** 分层清晰，从概念理解到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识补给站|倍数关系下的公因数与公倍数、实际应用概念|填空形式强化核心概念，奠定认知基础| |固本夯基|倍数关系求最大公因数/最小公倍数、简单实际问题|基础题型巩固运算，发展推理意识| |融会进阶|最大公因数和最小公倍数计算|计算题型提升技能，强化数学思维| |启智拓新|周期性相遇、分组分配等综合问题|生活情境题发展应用意识，培养创新思维|

第六单元 第3课时 公因数和公倍数 分层作业 知识补给站 1.倍数关系下的公因数与公倍数 当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是______，最小公倍数是______。 2.公因数的实际应用 解决“将长方形分割成若干个同样大小的正方形且没有剩余”的问题时，正方形的边长是长方形长和宽的______；要求边长最长，即求长和宽的______。 3.公倍数的实际应用 解决“周期性相遇”问题时，再次相遇所需的最短时间是各自周期的______；解决“分组计数正好分完”的问题时，总人数是各组人数的______。 参考答案： 1.  较小数；较大数 2.  公因数；最大公因数 3.  最小公倍数；公倍数 固本夯基 1．如果a÷b＝2（a，b都是自然数，），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个自然数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。 【详解】a÷b＝2，说明a是b的2倍，两数为倍数关系，b较小，a较大，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 2．如果m÷n＝3（m、n是整数，n≠0），m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 n m 【分析】（）根据已知的除法关系，（、是整数，），和是倍数关系。 （）两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，所以对应确定。 【详解】假设， 和的最大公因数是 和的最小公倍数是 （、是整数，） 较小数是，较大数是， 所以和的最大公因数是，最小公倍数是。 3．参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。如果这些学生的总人数在40人以内，最多是( )人。 【答案】36 【分析】6人一组或9人一组都可以正好分完，说明人数既是6的倍数，又是9的倍数。写出40以内6和9的公倍数，找出最大的那个即可。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数是2×3×3＝18，其余公倍数都是18的倍数，40以内的公倍数还有18×2＝36，所以最多是36人。 4．诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 【答案】 8 12 【分析】要用整块的正方形艺术砖铺满长方形墙面，正方形砖的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最大，即求长和宽的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽各能铺多少块，再相乘得到总块数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24； 32和24的最大公因数是8，所以正方形艺术砖的边长最大8分米。 （块） 所以这些正方形艺术砖的边长最大是8分米，一共需要12块这样的艺术砖。 5．一堆苹果3个3个地分多1个，5个5个地分多3个，7个7个地分少2个，这堆苹果最少有( )个。 【答案】103 【分析】3个3个地分多1个，意味着苹果数量再加2个就能被3整除。5个5个地分多3个，意味着苹果数量再加2个就能被5整除。7个7个地分少 2 个，意味着苹果数量再加2个就能被7整除。求出3、5、7的最小公倍数，减去2即可。三个数两两互质，最小公倍数是这三个数的积。 【详解】3×5×7－2 ＝105－2 ＝103（个） 融会进阶 6．求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 【答案】3；6；17 【分析】将每组的两个数都分解质因数，找出它们公有的质因数并相乘，就是两个数的最大公因数。 【详解】15＝3×5 21＝3×7 15和21的最大公因数是3。 18＝2×3×3 48＝2×2×2×2×3 18和48公有的质因数是2和3，它们的最大公因数是2×3＝6。 17是质数 51＝17×3 17和51的最大公因数是17。 7．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6             8和18               15和30               10和24 【答案】最大公因数是1，最小公倍数为30；最大公因数是2，最小公倍数是72；最大公因数是15，最小公倍数是30；最大公因数是2， 最小公倍数是120 【分析】将每组的2个数分解质因数，这两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【详解】5和6 因为5和6互质，所以最大公因数是1，最小公倍数为5×6＝30； 8＝2×2×2 18＝2×3×3 最大公因数是2，最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72； 因为15×2＝30，所以两数的最大公因数是15，最小公倍数是30； 10＝2×5 24＝2×2×2×3 最大公因数是2， 最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120。 启智拓新 8．五（1）班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五（1）班有多少名同学？ 【答案】 名 【分析】全班人数加后是和的公倍数，找出以内和的公倍数，减即可得到总人数。 【详解】 （名） （名） 答：五（）班有名同学。 9．学校插花社团用96朵紫花和72朵黄花做成几个花束。如果每个花束的紫花朵数相等，黄花的朵数也相等，且没有剩余，最多可做成多少个花束？这样每个花束有几朵花？ 【答案】24个；7朵 【分析】要让花束没有剩余，且每个花束的紫花数量都相等，黄花数量也相等，花束的总数就要能同时整除96和72，我们要找最多的花束数，就是找96和72的最大公因数。再计算每个花束的紫花数和黄花数，相加即可求出有多少朵花。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 因此96和72的最大公因数是24，即最多可做24个花束。 每个花束紫花：（朵），黄花：（朵） 每个花束共：4＋3＝7（朵） 答：最多可做成24个花束，每个花束有7朵花。 10．为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 【答案】 36分钟；3圈 【分析】两人在起点再次相遇时，所用时间是各自走一圈所用时间的公倍数，要求至少多少分钟后相遇，就是求12和18的最小公倍数；再用最小公倍数除以爸爸走一圈的时间，得到爸爸走的圈数。 【详解】 12和18的最小公倍数是 （圈） 答：至少36分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇，此时爸爸走了3圈。 11．有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 【答案】6厘米；12个 【分析】要剪出同样大小且没有剩余的正方形，边长最长即是长方形长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以边长，得到两个方向的正方形数量，相乘得到总个数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数：2×3＝6（厘米） 24÷6＝4（个） 18÷6＝3（个） 4×3＝12（个） 答：剪出的正方形边长最长是6厘米，一共可以剪出12个正方形。 12．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？ 【答案】35只 【分析】先将桃子数量调整为正好能被小猴子平均分的数量，小猴子的最多数量就是这两个调整后数量的最大公因数。 【详解】110－5＝105（个）     240＋5＝245（个） 105＝3×5×7     245＝5×7×7 105和245的最大公因数是：5×7＝35，所以最多有35只小猴子。 答：花果山最多有35只小猴子。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 第3课时 公因数和公倍数 分层作业 知识补给站 1.倍数关系下的公因数与公倍数 当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是______，最小公倍数是______。 2.公因数的实际应用 解决“将长方形分割成若干个同样大小的正方形且没有剩余”的问题时，正方形的边长是长方形长和宽的______；要求边长最长，即求长和宽的______。 3.公倍数的实际应用 解决“周期性相遇”问题时，再次相遇所需的最短时间是各自周期的______；解决“分组计数正好分完”的问题时，总人数是各组人数的______。 参考答案： 1.  较小数；较大数 2.  公因数；最大公因数 3.  最小公倍数；公倍数 固本夯基 1．如果a÷b＝2（a，b都是自然数，），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．如果m÷n＝3（m、n是整数，n≠0），m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。如果这些学生的总人数在40人以内，最多是( )人。 4．诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 5．一堆苹果3个3个地分多1个，5个5个地分多3个，7个7个地分少2个，这堆苹果最少有( )个。 融会进阶 6．求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 7．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6             8和18               15和30               10和24 启智拓新 8．五（1）班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五（1）班有多少名同学？ 9．学校插花社团用96朵紫花和72朵黄花做成几个花束。如果每个花束的紫花朵数相等，黄花的朵数也相等，且没有剩余，最多可做成多少个花束？这样每个花束有几朵花？ 10．为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 11．有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 12．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $