3.2探索三角形相似的条件 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦北师大版九年级上册“探索三角形相似的条件”，核心知识点涵盖黄金分割（含定义、黄金三角形、黄金矩形）和相似三角形性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方），构建从特殊比例到一般相似性质的递进式学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如盆景黄金分割、“安”字书写中正方形对角线黄金分割点）培养数学眼光，通过比例计算与性质推导发展推理意识和运算能力，真题练习与规范解答助力课中教学实施和课后学生查漏补缺。

北师大版（2024）九年级上册3.2探索三角形相似的条件 【知识点1】黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 1.（2024秋•裕安区月考）已知线段AB=2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC=（　　） A． B． C．或 D．或 2.（2024•楚雄市三模）自然常数e,圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值（所有近似值保留到小数点后一位）在（　　） A．2.8～3.0之间 B．2.6～2.8之间 C．2.4～2.6之间 D．2.2～2.4之间 3.（2024秋•府谷县期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为AC的黄金分割点，即AB2=BC•AC．若AC=20cm,则BC的长为 ______cm. 4.（2025•沭阳县校级模拟）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2cm,笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE，则BE的长为______cm.（结果保留根号） 【知识点2】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2025•柳州模拟）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4.5 B．8 C．12 D．13.5 2.（2025•龙马潭区一模）如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 3.（2025秋•崇川区校级月考）若△ABC∽△DEF，AB和DE是对应边，且AB=2，DE=3，则△ABC与△DEF的周长比是______． 4.（2025秋•蒙城县月考）两个相似三角形的一组对应边的边长分别为18cm,24cm,它们的周长之差为18cm,则这两个三角形的周长的和为______cm. 北师大版（2024）九年级上册3.2探索三角形相似的条件 (参考答案) 【知识点1】黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 1.（2024秋•裕安区月考）已知线段AB=2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC=（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，求解即可． 【解答】解：∵线段AB长是2，C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， 或AC=2-（-1）=3-． 故选：D． 2.（2024•楚雄市三模）自然常数e,圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值（所有近似值保留到小数点后一位）在（　　） A．2.8～3.0之间 B．2.6～2.8之间 C．2.4～2.6之间 D．2.2～2.4之间 【答案】B 【分析】求一个数的算术平方根，根据代入运算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴2.6＜e＜2.8， 故选：B． 3.（2024秋•府谷县期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为AC的黄金分割点，即AB2=BC•AC．若AC=20cm,则BC的长为 ______cm. 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：根据黄金分割点的定义可得：，AC=20cm, ∴， ∴， 故答案为：． 4.（2025•沭阳县校级模拟）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2cm,笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE，则BE的长为______cm.（结果保留根号） 【答案】（-）． 【分析】根据勾股定理和正方形的性质求出BD，再根据黄金分割点的定义列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【解答】解：由勾股定理可得， ∵点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE， ∴，即，解得：， 故答案为：（-）． 【知识点2】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2025•柳州模拟）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4.5 B．8 C．12 D．13.5 【答案】B 【分析】由相似三角形的对应边的比相等推出AB：DE=AC：EC，即可求出DE的长． 【解答】解：∵△ABC∽△EDC， ∴AB：DE=AC：EC， ∵AC：EC=3：4，AB=6， ∴DE=8． 故选：B． 2.（2025•龙马潭区一模）如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的相似比等于对应边的比． 【解答】解：∵AD=1，BD=2， ∴AB=AD+BD=3． ∵△ADE∽△ABC， ∴AD：AB=1：3． ∴△ADE与△ABC的相似比是1：3． 故选：B． 3.（2025秋•崇川区校级月考）若△ABC∽△DEF，AB和DE是对应边，且AB=2，DE=3，则△ABC与△DEF的周长比是______． 【答案】2：3． 【分析】利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC与△DEF的周长比=AB：DE=2：3． 故答案为：2：3． 4.（2025秋•蒙城县月考）两个相似三角形的一组对应边的边长分别为18cm,24cm,它们的周长之差为18cm,则这两个三角形的周长的和为______cm. 【答案】126． 【分析】设较小的三角形的周长为x cm,则较大的三角形的周长为（18+x） cm,根据相似三角形周长之比等于相似比即可求出x的值，再求出这两个三角形的周长的和即可． 【解答】解：设较小的三角形的周长为x cm,则较大的三角形的周长为（18+x） cm, ∵两个三角形相似， ∴， ∴x=54， ∴较大的三角形的周长为72cm, ∴这两个三角形的周长的和为54+72=126（cm）， 故答案为：126． 学科网（北京）股份有限公司 $