2.4.2 简单幂函数的图象和性质课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦简单幂函数的概念、图象及性质，通过买橘子、瓷砖面积等5个现实情境引入函数表达式，统一变量后抽象出幂函数定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念的前期学习。 其亮点在于以情境引入培养“用数学的眼光观察现实世界”，通过列表对比五个幂函数性质归纳一般规律体现“用数学的思维思考现实世界”，练一练2比较大小应用知识展现“用数学的语言表达现实世界”。采用问题驱动和列表归纳法，帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可借助结构化资源实施探究式教学。

第二章 函数 2.4.2 简单幂函数的图象和性质 情境：结合下列情境，列出相应的函数表达式. （1）小明以 1 元/kg 的价格买了 w kg 橘子，支付 p 元，这里 p 是 w 的函数； 函数表达式：p = w . （2）小王家中装修，购买了一批边长为 a 正方形瓷砖，那么单块瓷砖的面积该如何表示，这里 S 是 a 的函数； 函数表达式： S = a2. （3）小李在打包快递过程中发现，某种正方体快递箱的棱长为 b，那么该快递箱的体积 V 是多少？（这里 V 是 b 的函数） 函数表达式：V = b3 . （4）某公园规划建设一块面积为 S 的正方形草坪，则该草坪的边长 c 为多少？这里 c 是 S 的函数； 函数表达式：c = . （5）某人 t s 内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 v = km/s，即 v = t -1，这里 v 是 t 的函数. 函数表达式：v = t -1 . 问题1：若把上述自变量全部用 x 来表示，函数值用 y 来表示，则它们的函数关系式是： 观察上述函数，说说他们有什么共同特征. 共同特征：上述函数，都是形如 y = x α 的函数. y = x y = x2 y = x3 y = x -1 y = 一般地，形如 y = x α ( α 是常数) 的函数，即底数为自变量 x ，指数为常数 α 的函数称为幂函数. 幂函数的特征： ① xα 的底数为自变量 x ； ② xα 的系数为 1； ③ xα 指数为常数； 注意：只有同时满足上述三个条件的，才是幂函数. 练一练1： 下列函数中，是幂函数的有___________. ① ； ② y = 3x3； ③ y = 2x + 1； ④ ； ⑤ y = x3； ⑥ . ① ⑤ ⑥ 思考：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究这五个函数？ 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象； 再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题． y = x y = x2 y = x3 y = x -1 y = 问题 2：试在同一坐标系中画出这五个函数的图象，并观察图象，完成下列填空. y = x y = x2 y = x3 y = x -1 y = y = x y = x2 y = x3 y = x –1 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 思考：根据上述五个简单幂函数的性质，你能总结幂函数的一般性质吗？ R R R R [0，+∞) R [0，+∞) [0，+∞) { x | x ≠ 0 } { y | y ≠ 0 } 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 增函数 (– ∞，0] 递减 [0，+∞) 递增 增函数 增函数 (– ∞，0) 递减 (0，+∞) 递增 ( 1，1 ) （1）所有的幂函数在 (0，+ ∞) 都有定义，并且图象都过点 (1，1)； （2）α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0，+ ∞) 上是增函数； （当 α > 1 时，幂函数的图象下凸；当 0 < α < 1 时，幂函数的图象上凸） α < 0 时，幂函数的图象不过原点，在区间 (0，+ ∞) 上是减函数； （3）图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限. 幂函数的一般性质 练一练2：利用幂函数的性质，比较 (– 1.2)3 与 (– 1.1)3 的大小. 方法小结：（1）α 相同时，先判断函数的单调性； （2）然后根据自变量的大小，直接比较函数值的大小. 解：由 y = x3 的定义域为 R，且在 R 上单调递增， 因为 –1.2 < – 1.1，所以 (– 1.2)3 < (– 1.1)3 . 根据今天所学，回答下列问题： 1. 回顾幂函数的概念，说说什么是幂函数； 2. 结合图象说说幂函数有哪些基本性质. $