2.4.2 简单幂函数的图象和性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象及性质，通过引导学生动手绘制五种常见幂函数图象，观察比较其定义域、值域、单调性等，衔接函数奇偶性知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以直观想象为基础，结合数学抽象与逻辑推理，通过图象辨析、幂值比较、参数求解等题型探究，辅以归纳提升和误区警示。例如利用函数单调性比较大小，培养学生理性思维，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2　简单幂函数的图象和性质 【素养目标】 1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象) 2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象) 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理) 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一般幂函数的图象和性质． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　幂函数的概念 一般地，形如____________________的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数． y＝xα(α为常数)　 知识点1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　常见幂函数的图象与性质 知识点2 {x|x≠0}　 [0，＋∞)　 [0，＋∞)　 [0，＋∞)　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 奇　 偶　 奇　 奇　 非奇非偶　 R　 [0，＋∞)　 R　 [0，＋∞)　 (－∞，0)　 (－∞，0)，(0，＋∞)　 (1，1)　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性？ 提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于 (　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） －1　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 幂函数的概念  　　　　已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 例 1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） ④⑤⑥　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 幂函数的图象  例 2 C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） B　 二、四　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 幂函数简单性质的应用  例 3 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 角度2　已知单调性求参数 　　　　(2022·湖南省长沙市联考)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． [分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验． 例 4 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数， ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3． 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． [归纳提升]　本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，求出m的值后，一定要根据题目要求对m的值进行检验． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　(1)比较下列各组数的大小： ①1.10.1，1.20.1；②0.24－0.2，0.25－0.2． (2)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝ (　　) A．1　 B．2 C．1或2　 D．3 A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)①由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增， 又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1． ②由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2． (2)因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 [错解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3． ∵m∈N*，∴m＝1，2． 例 5 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [错因分析]　该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [正解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3． ∵m∈N*，∴m＝1，2． 又∵函数图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 新定义题 新定义问题都要按照定义要求，变形为普通的运算表达的函数形式，再使用相关方法获得结论．考查逻辑推理及直观想象素养． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值． [分析]　按定义用分段函数表示f(x)，使用图象求解． [解析]　因为f(x)＝max{x2，x－2}， x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值． 令x2＞x－2，得x2＞1，所以x＞1或x＜－1． 例 6 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过 (　　) A．第四象限　 B．第三象限 C．第二象限　 D．第一象限 [解析]　∵α∈R，x＞0，∴y＝xα＞0， ∴图象不可能经过第四象限，故选A． A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图象 定义域 R R R __________ ________ 值域 R __________ R {y|y≠0} ________ 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 奇偶性 ____函数 _____函数 ____函数 _____函数 _________函数 增区间 ______ _______ ______ 无 _________ 减区间 无 ________ 无 _________ ________ 无 定点 __________ 1．下列函数为幂函数的是 (　　) A．y＝2x4　 B．y＝2x3－1 C．y＝　 D．y＝x2 [解析]　y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数． 2．(2021·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，则f(4)的值为 (　　) A．4　 B．8 C．2　 D． [解析]　设f(x)＝xα， ∴2＝2α，∴α＝． ∴f(x)＝x．∴f(4)＝4＝(22)＝23＝8． [解析]　由题意，得∴ ∴m＋n＝3． 4．已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝_______． [解析]　∵α∈， 且函数f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，1，3， 又∵f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1． [分析]　本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一 起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题． [解析]　(1)若f(x)为正比例函数， 则∴m＝1． (2)若f(x)为反比例函数，则 ∴m＝－1． (3)若f(x)为二次函数，则 ∴m＝． (4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±． 【对点练习】❶　有下列函数： ①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝；⑤y＝x；⑥y＝x3． 其中，是幂函数的有__________(只填序号)． [解析]　①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－＝－x－1，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝＝x－1是幂函数；⑤中，y＝x是幂函数；⑥中，y＝x3是幂函数． 　　　　函数y＝xα与y＝αx的图象只可能是下面中的哪一个 (　　) [解析]　A中直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1，1≠－1，故A错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，当x＝2时，22＝2×2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3．故D错． 【对点练习】❷　(1)函数y＝x的图象大致是 (　　) (2)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限． [解析]　(1)函数y＝x＝是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C．另外，因为y＝＝×()＜，y＝1＝1，y＝2＝2×2＞2，所以当x∈(0，1)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的上方．故选B． (2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x的图象分布在第一象限． 所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第二、四象限． 角度1　比较幂的大小 　　　　比较下列各题中两个数的大小： (1)2.3，2.4； (2)()－，()－； (3)(－0.32)，0.35． [分析]　→— [解析]　(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3＜2.4，∴2.3＜2.4． (2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且＜， ∴()－＞()－． (3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31． 又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.31＜0.35， ∴0.31＜0.35，即(－0.31)＜0.35． 用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论 　　　　已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围． 又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数． 又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1． 又 ∵y＝x－是减函数，由(a＋1)－＜(3－2a)－，得a＋1＞3－2a．解得＜a． 又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1．又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由(a＋1)－＜(3－2a)－，得a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a．解得a＜－1或＜a＜． 令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0， 所以f(x)＝ 函数f(x)的图象如图所示： 由图可知f(x)在x＝－1与x＝1时取最小值1． 所以函数f(x)的最小值为1． 1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为 (　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 [解析]　显然，根据幂函数定义可知，只有y＝＝x－2是幂函数． 3．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，则函数f(x)的值域为 (　　) A．(－∞，0)　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞)　 D．(－∞，＋∞) [解析]　由题意得＝2α，∴α＝－1． ∴f(x)＝x－1＝≠0， ∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是_____． [解析]　设f(x)＝xα，∴＝2α，∴2＝2α， ∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3． 5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)，． [解析]　(1)设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数． ∵－1.5＜－1.4，∴(－1.5)3＜(－1.4)3． (2)设g(x)＝，则g(x)在(－∞，0)上为减函数． ∵－1.5＜－1.4＜0，∴＞． $