2.4.1 函数的奇偶性 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，涵盖定义、图像对称性及判断方法。从生活对称图形（蝴蝶、中心对称图形）导入，通过问题链引导观察函数图像特征，结合表格分析自变量与函数值关系，抽象出符号语言，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过表格推导和符号语言转化发展数学思维，结构化归纳定义与判断步骤强化数学语言表达。例如用蝴蝶图形导入，表格对比f(x)=x与g(x)=1/x的函数值变化，例题强调定义域优先。助力学生直观理解抽象概念，教师可依托清晰结构提升教学效率。

第二章 函数 2.4.1 函数的奇偶性 情境：在我们的生活中存在很多具有对称规律的图形，请同学们试着分析下列图形的对称性. 轴对称图形 中心对称图形 特征：两个函数的图象关于原点成中心对称图形. 问题1：观察函数 f (x) = x 和 g(x) = 的图象有什么共同特征？ x y O 1 -1 1 -1 f (x) = x x y O 1 -1 1 -1 问题2：结合图像，观察表格中自变量与函数值的变化情况，试着用符号语言描述“函数图象关于原点对称”这一特性？ ① 自变量 x 取一对相反数时，相应的 f (x) 也是一对相反数； ② 对于f (x) = x，有 f (-x) = -x = -f (x)； x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... f (x) = x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... 1 1 ... ③ 对于 ，有 ； 综上，即∀x∈R，都有 f (-x) = -f (x). 问题3：观察函数 f (x) = x2 和 g(x) = 2 - |x| 的图象有什么共同特征？ x y O 1 -1 1 -1 f (x) = x2 g(x) = 2-|x| x y O 1 -1 1 -1 特征：两个函数的图象关于y轴对称. 问题4：结合图像，观察表格中自变量与函数值的变化情况，试着用符号语言描述“函数图象关于 y 轴对称”这一特性？ ① 自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等的； ② 对于f (x) = x2，有 f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x)； ③ 对于g(x) = 2 - |x|，有 g(-x) = 2 - |-x| = 2 - |x| = g(x)； 综上，即∀x∈R，都有 f (-x) = f (x). x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... f (x) = x2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ... g(x) = 2 - |x| ... -1 0 1 2 1 0 -1 ... 奇函数和偶函数 一般地，设函数 f (x) 定义域为A，如果对任意的 x∈A，都有– x∈A，且 f (– x) = – f (x)，那么就称函数 f (x)为奇函数； 奇函数的图象关于原点对称，反之亦然. 同样，设函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意的 x∈A，都有– x∈A，且 f (– x) = f (x)，那么就称函数 f (x)为偶函数； 奇函数的图象关于 y 轴对称，反之亦然. 当函数 f (x) 是奇函数或偶函数时，称 f (x) 具有奇偶性；奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称. 奇偶性 图象对称性 定义域 A 函数值 f (x) 奇函数 关于原点对称 关于原点对称，即 x∈A，– x∈A f (– x) = – f (x) 偶函数 关于 y 轴对称 f (– x) = f (x) 归纳总结：奇函数和偶函数的特点 解：(1) 函数 f (x) = x4 的定义域为 R， 因为∀x∈R，都有-x∈R，且 f (-x) = (-x)4 = x4 = f (x)， 所以函数 f (x) = x4 为偶函数； (2) 函数 f (x) = x5 的定义域为 R， 因为∀x∈R，都有-x∈R，且 f (-x) = (-x)5 = -x5 = - f (x)， 所以函数 f (x) = x5为奇函数. 注意：奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应优先明确它的定义域. 例1：判断下列函数的奇偶性： (1) f (x) = x4； (2) f (x) = x5； (3) f (x) = ； (4) f (x) = . (3) 函数 的定义域为{x|x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x| x≠0}， 且 所以函数 为奇函数. (4)函数 的定义域为{x| x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}， 且 所以函数 为偶函数. (3) f (x) = ； (4) f (x) = . 根据定义判断函数的奇偶性的步骤： 1. 先看定义域，看是否关于原点对称；2. 再判断 f (-x) = -f (x) 或 f (-x) = f (x) 是否恒成立； 3. 根据定义下结论. 练一练1：判断下列函数的奇偶性： (1) f (x) = |x - 1| + |x + 1|； (2) . 解：(1) 函数 f (x) = |x - 1| + |x + 1| 的定义域为 R， 因为∀x∈R，都有-x∈R，且 f (-x) = |-x + 1| + |-x -1| = |x - 1| + |x + 1| = f (x)， 所以函数 f (x) = |x - 1| + |x + 1| 为偶函数. 函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，0)∪(0，+∞)，定义域不关于原点对称， (2) 因为 ，所以 x2(x + 1) ≠ 0，即 x ≠ 0 或 x ≠ -1， 所以，函数 为非奇非偶函数. 练一练2：已知 f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，试将下图补充完整. 注意：若已知函数的奇偶性，可直接利用对称性画出另一半函数图象. 根据今天所学，回答下列问题： (1)奇函数和偶函数的定义是什么？ (2)怎么判断函数的奇偶性？ $