2.4.1 第1课时 奇偶性的概念(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性概念及几何意义，通过日常生活对称现象导入，衔接函数图象对称性与性质，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解奇偶性定义及定义域特征。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，通过定义法、图象法判断奇偶性等典例，结合自我诊断与跟踪训练，培养逻辑推理能力。提供分层课时作业，助力学生巩固知识，教师可高效开展教学。

4.1　函数的奇偶性 第一课时　奇偶性的概念 第二章　函数 1 课标要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义（数学抽象）. 2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用（直观想象、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如雪花晶体、建筑 物和它在水中的倒影…… 【问题】　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对 称性反映了函数的什么性质呢？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点一　函数奇偶性的定义 1. 奇函数：设函数f（x）的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－ x∈D，且 ，那么称函数f（x）为奇函数. 2. 偶函数：设函数f（x）的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－ x∈D，且 ，那么称函数f（x）为偶函数. f（－x）＝－f（x）　 f（－x）＝f（x）　 知识点二　函数奇偶性的几何特征 偶函数的图象关于 对称，奇函数的图象关于 对称. y轴　 原点　 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点三　奇（偶）函数的定义域特征 奇函数和偶函数的定义域均关于 对称. 原点　 提醒：（1）函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的 “整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f（－x）＝－f（x） （或f（－x）＝f（x）），才能说f（x）是奇（偶）函数；（2）函数y ＝f（x）是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对 称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具 有奇偶性；（3）若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0；（4）若f （－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是 偶函数，既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f（x）＝0， x∈D，D是关于原点对称的实数集. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）是定义在R上的函数，若f（－1）＝f（1），则f（x）一定 是偶函数. （　×　） （2）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y ＝f（x）一定是奇函数. （　×　） （3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. （　×　） （4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数. （　×　） × × × × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 下列函数是偶函数的是（　　） A. y＝x B. y＝3x2 C. y＝x－1 D. y＝｜x｜（x∈[0，1]） 解析：选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 若函数y＝f（x），x∈[－4，a]是偶函数，则a的值为 ⁠. 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－4＋a＝0，所以a＝4. 4. 若f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝2，则f（－3）＝ ⁠， f（0）＝ ⁠. 解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－ 2，f（0）＝0. 4　 －2　 0　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝－｜x｜； 解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，因为∀x∈R，都有－ x∈R，且f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶 函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）f（x）＝x2＋｜x｜； 解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称.因为∀x∈R，都有－ x∈R. 且f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＝x2＋｜x｜＝f（x）， 因此函数f（x）是偶函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）f（x）＝x－ ； 解：函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称， 因为∀x∈{x｜x≠0}，都有－x∈{x｜x≠0}， 且f（－x）＝－x－ ＝－ ＝－f（x）， 所以f（x）是奇函数. （4）f（x）＝ . 解：函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），因为定义域 不关于原点对称， 所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 判断函数奇偶性的两种方法 （1）定义法 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）图象法 提醒：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取 相应的函数解析式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝ ； 解： f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称.∵f（－x） ＝ ＝－f（x），∴f（x）为奇函数. （2）f（x）＝ ＋ ； 解：∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0， 又∵f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x）， ∴f（x）既是奇函数又是偶函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）f（x）＝ ； 解：∵函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称， ∴f（x）是非奇非偶函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （4）f（x）＝ 解：f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x ＞0时，－x＜0， f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）； 当x＜0时，－x＞0， f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）. 综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f （x），f（x）为偶函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　奇、偶函数图象的应用 已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如 图所示. （1）画出在区间[－5，0]上的图象； 解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（x）在[－ 5，5]上的图象关于原点对称. 由f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象如图所示. （2）写出使f（x）＜0的x的取值集合. 解：由图象知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变条件）将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题. 解：（1）图象如图所示. （2）由（1）可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2， 5）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小 及解不等式问题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示. （1）画出f（x）的图象； 解：先描出（1，1），（2，0）关于原点的对称点 （－1，－1），（－2，0），连线可得f（x）的图 象如图. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）解不等式xf（x）＞0. 解：xf（x）＞0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf（x）＞ 0的解集是（－2，0）∪（0，2）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　利用函数奇偶性求参数 （1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1， 2a]，则a＝ ，b＝ ⁠； 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝ .易知函数f（x）＝ x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特 点，易得b＝0. 　 0　 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知函数f（x）＝ 为奇函数，则a＝ ⁠. 解析：因为f（x）是奇函数，f（－1）＝0，所以f（－1）＝－f（1）＝ 0，所以f（1）＝0，即 ＝0，解得a＝－1.经检验，a＝－1符 合题意. －1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用奇偶性求参数的常见类型 （1）定义域含参数：奇偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关 于原点对称，利用a＋b＝0求参数； （2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列 式，比较系数利用待定系数法求解. 数学·必修第一册（BSD） 目录 〔一题多解〕若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a ＝ ⁠. 解析：法一　f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，f （－x）＝（－x＋a）（－x－4）＝x2－（a－4）x－4a，两式恒相 等，则a－4＝0，即a＝4. 4　 法二　f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，要使函数为 偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 法三　由函数f（x）＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f（x）是偶函数，所以 4－a＝0，所以a＝4. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型四　抽象函数的奇偶性 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f （x）都满足f（xy）＝yf（x）＋xf（y）. （1）求f（1），f（－1）的值； 解：因为f（x）对任意x，y都满足f（xy）＝yf（x）＋xf（y）， 令x＝y＝1，有f（1×1）＝1×f（1）＋1×f（1）， 所以f（1）＝0； 令x＝y＝－1，有f（（－1）×（－1））＝（－1）×f（－1）＋（－ 1）×f（－1）， 所以f（－1）＝0. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）判断函数f（x）的奇偶性. 解：因为f（x）对任意x，y都满足f（xy）＝yf（x）＋xf（y），令y ＝－1，有f（－x）＝－f（x）＋xf（－1）， 将f（－1）＝0代入，得f（－x）＝－f（x）， 所以函数f（x）是定义在R上的奇函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　赋值法是求解抽象函数的基本方法，令x＝1，－1，0，y，－x，－y 等，是常见的赋值内容，具体用什么值，要结合所求内容而定. 数学·必修第一册（BSD） 目录 已知函数f（x），x∈R，若对于任意实数a，b都有f（a＋b）＝f （a）＋f（b）.求证：f（x）为奇函数. 证明：令a＝0，则f（b）＝f（0）＋f（b），所以f（0）＝0. 又令a＝－x，b＝x，代入f（a＋b）＝f（a）＋f（b），得f（－x＋ x）＝f（－x）＋f（x）， 即f（－x）＋f（x）＝0，所以f（－x）＝－f（x）， 所以f（x）为奇函数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 解析：因为一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（　　） √ 解析：　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D 中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B. 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 若函数f（x）＝2x2－｜3x＋a｜为偶函数，则a＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析：　∵f（x）＝2x2－｜3x＋a｜为偶函数，∴f（－x）＝f（x） 对于任意x∈R都成立.∴f（－1）＝f（1），即2－｜a－3｜＝2－｜a＋ 3｜，解得a＝0.故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 〔多选〕（2025·安庆质检）下列函数是奇函数的有（　　） A. y＝ B. y＝－3 C. y＝x－ D. y＝πx3－ x 解析：选项A中函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，所以排除A；选项B、D中函数定义域均为R，且f（－x）＝－f（x），故为奇函数；选项C中函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且f（－x）＝－f（x），也是奇函数. √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的单调 递增区间为 ⁠. 解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的单调递增区间为 （－∞，－1]，[1，＋∞）. （－∞，－1]，[1，＋∞）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 38 1. 奇函数y＝f（x）（x∈R）的图象必定经过点（　　） A. （a，f（－a）） B. （－a，f（a）） C. （－a，－f（a）） D. （a，f（ ）） 解析：　因为y＝f（x）是奇函数，所以f（－a）＝－f（a）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若f（x）＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a＝（　　） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 解析：　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0得a＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知f（x）＝3ax2＋bx－5a＋5b是偶函数，且定义域为[3a－1， a]，则a＋b＝（　　） A. B. C. D. 7 解析： 　因为f（x）＝3ax2＋bx－5a＋5b是偶函数，所以b＝0，又函 数f（x）的定义域[3a－1，a]关于原点对称，所以3a－1＋a＝4a－1＝ 0，解得a＝ ，所以a＋b＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，则f（－2）＋f（－1）＝ （　　） A. －2 B. 2 C. 1 D. 0 解析：　f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－ － ＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B. 图象关于y轴对称的函数是偶函数 C. 奇函数的图象一定过坐标原点 D. 偶函数的图象一定与y轴相交 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于C，如f（x）＝ ，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如f（x）＝ ，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕若f（x）为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是（　　） A. f（x）＋f（－x）＝0 B. f（x）－f（－x）＝2f（x） C. f（x）·f（－x）＜0 D. ＝－1 解析：∵f（x）在R上为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＋f（－x）＝f（x）－f（x）＝0，故A正确；f（x）－f（－x）＝f（x）＋f（x）＝2f（x），故B正确；当x＝0时，f（x）·f（－x）＝0，故C不正确；当x＝0时， 的分母为0，无意义，故D不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f （x）＝0的所有实根之和是 ⁠. 解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也 关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 已知函数f（x）＝ 则f（x）是 函数.（填 “奇”或“偶”） 解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞ 0时，－x＜0，f（－x）＝－ （－x）2－1＝－（ x2＋1）＝－f（x）； 当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝ （－x）2＋1＝ x2＋1＝－（－ x2－ 1）＝－f（x）.综上可知，函数f（x）是奇函数. 奇　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2＋2x，则f（1） ＝ ⁠. 解析：∵当x＜0时，f（x）＝x2＋2x，∴f（－1）＝－1，又f（x）是奇 函数，故f（1）＝－f（－1）＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x5； 解：函数的定义域为R. ∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数. （2）f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－1｜； 解：f（x）的定义域是R. ∵f（－x）＝｜－x＋1｜＋｜－x－1｜＝｜x－1｜＋｜x＋1｜＝f（x），∴f（x）是偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）f（x）＝ . 解：函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x） －g（x）＝x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝（　　） A. －3 B. －1 C. 0 D. 3 解析：因为f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，所以f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1.又由题意可知f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝－3，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数 的是（　　） A. g（x）＝x＋f（x） B. g（x）＝xf（x） C. g（x）＝x2＋f（x） D. g（x）＝x2f（x） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.对于A，g（－x）＝－x＋f（－x）＝－x－f（x）＝－g（x），所以g（x）＝x＋f（x）是奇函数；对于B，g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），所以g（x）＝xf（x）是偶函数；对于C，g（－x）＝（－x）2＋f（－x）＝x2－f（x），所以g（x）＝x2＋f（x）为非奇非偶函数；对于D，g（－x）＝（－x）2·f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），所以g（x）＝x2f（x）是奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a， 则a＝ ，f（－3）＝ ⁠. 解析：由定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x ＋a，可得f（0）＝a＝0.所以当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（－3） ＝－f（3）＝－（32－2×3）＝－3. 0　 －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 如图所示为偶函数f（x）在第一象限及坐标轴上的图象，请将图象补 充完整，并回答下列问题. （1）请写出f（1）和f（－2）的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：根据题意，f（x）为偶函数，其图象如图所示. （1）由函数的图象可知，f（1）＝1，f（－2）＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）请写出函数f（x）的定义域和值域； 解：由函数的图象可知，f（x）的定义域为[－3，3]，值域为[0，2]. （3）若f（ ）＜1，求实数a的取值范围. 解：若f（ ）＜1，即f（ ）＜f（1）， 结合函数的图象可得－1＜ ＜1， 解得a＜－2或a＞0.故实数a的取值范围为{a｜a＜－2或a＞0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $