江苏南京市2027届高三年级上学期9月学情调研数学试卷

**基本信息** 南京市2027届高三开学学情调研数学卷，全面检测集合、向量、三角函数等基础知识点，通过概率统计、导数应用等情境题，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，适配高三起点复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、向量平行条件、三角函数图象变换|第7题结合社交软件使用与性别关联的独立性检验，体现数据观念| |填空题|3题15分|二项式定理、函数零点与极值、符号函数与不等式|第14题融合符号函数与导数，考查逻辑推理能力| |解答题|5题77分|三角函数性质、函数奇偶性与最值、立体几何证明与二面角、概率分布、导数综合应用|第18题以投篮练习为背景设计概率分布问题，第19题导数与函数单调性结合，梯度提升创新应用能力|

南京市2027届高三年级学情调研 数 学 2026.09 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x||x|＝x}，则A∩B＝ A．{0，1} B．{－1，0} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 2．设向量a＝(x－1，4)，b＝(1，2)，则“x＝3”是“a∥b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象 A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．已知点P(3，4)在角α的终边上，将α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，则cosβ＝ A．－ B．－ C． D． 5．甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球．先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 A． B． C． D． 6．已知直线y＝2x＋b是函数f(x)＝2lnx图象的一条切线，则b＝ A．－2 B．－1 C．1 D．2 7．某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为．若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有 参考公式：χ2＝ P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．12人 B．18人 C．24人 D．30人 8．已知函数f(x)的定义域为R，f(x)－f(x－1)＋f(x－2)＝0，且f(10)＞f(20)，f(20)＜f(30)，则下列结论中一定正确的是 A．f(100)＞0 B．f(100)＜0 C．f(101)＞0 D．f(101)＜0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某果园收获苹果的果实横径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≤70)＝，P(X≤90)＝．从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间(70，80]的个数为ξ，则 A．P(70＜X≤80)＝ B．P(70＜X≤80)＝ C．E(ξ)＝60 D．D(ξ)＝24 10．已知a，b，c∈R，满足ea＝lnb＝，则a，b，c的大小关系可能是 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，λ，μ是正实数，点E，F，P分别满足＝λ，＝μ，＝＋，则 A．当λ＝μ时，AP⊥B1C B．当λ＋μ＝1时，AP与平面B1BCC1所成角为定值 C．当λ－μ＝时，平面AD1P将正方体分成体积比为7：17的两部分 D．当＋＝1时，点B到平面DEF距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在(x2＋)6的展开式中，含x3的项的系数为． 13．已知函数f(x)＝tanx－4sinx，x∈(0，)的零点为α，极值点为β，则sinα＝， tan(α－β)＝． 14．已知符号函数sgn(x)＝及函数f(x)＝kex－x，g(x)＝sinx－k＋2．若对任意的x∈R，sgn(f(x))·sgn(g(x))∈{0，1}，则实数k的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题13分) 已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1． (1)求f(x)在区间[0，π]上的单调递减区间； (2)若f(－)＝－4sinα，求sin2α的值． 16．(本小题15分) 已知函数fn(x)＝xn＋ (n∈N*，a∈R)，且f1(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)记函数g(x)＝f2(x)－2mf1(x)＋6．若g(x)在区间(0，＋∞)的最小值为2，求实数m的值． 17．(本小题15分) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，D是BC的中点，C1D＝CD． (1)证明：A1B∥平面ADC1； (2)已知A1B到平面ADC1的距离为1，P为线段C1A1上一点．D C1 B1 A1 C B A (第17题) 若二面角P－BC－A的余弦值为，求C1P的长． 18．(本小题17分) 某同学进行连续投篮练习，累计投中3次后结束练习．设该同学每次投中的概率均为p (0＜p＜1)，记结束练习时投篮的总次数为X． (1)求P(X＝4)； (2)已知k＞3，k∈N*． ①若p＝，求当k为何值时，P(X＝k)最大； ②若k为常数，记函数f(p)＝P(X＝k)，求f(p)的极大值点． 19．(本小题17分) 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1． (1)若a＝0，b＝1，证明：f(x)≥0； (2)若a＝，且对任意x≥0，f(x)≥0，求b的取值范围； (3)若f(x)在R上单调递增，求a＋b的最大值． 南京市2027届高三年级学情调研 数 学 答 案 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．B 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BD 10．ABC 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．160 13．； 14．[，1] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1)方法1：f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x ＝2(sin2x＋cos2x)＝2sin(2x＋)． 4分 求单调区间法①： 因为x∈[0，π]，所以2x＋∈[，]． 令≤2x＋≤，解得≤x≤，所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为[，]． 7分 求单调区间法②： 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 又x∈[0，π]，所以≤x≤，即f(x)在区间[0，π]上的单调递减区间为[，]． 7分 方法2：f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x ＝2(cos2x＋sin2x)＝2cos(2x－)． 4分 求单调区间法①： 因为x∈[0，π]，所以2x－∈[－，]． 令0≤2x－≤π，解得≤x≤，即f(x)在[0，π]上的单调递减区间为[，]． 7分 求单调区间法②： 令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 又x∈[0，π]，所以≤x≤，即f(x)在区间[0，π]上的单调递减区间为[，]． 7分 (2)因为f(－)＝2sin(α－)＝－2cosα，又f(－)＝－4sinα，所以cosα＝2sinα． 方法1：若cosα＝0则sinα＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，所以cosα≠0，故tanα＝＝． 所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝＝． 6分 方法2：将cosα＝2sinα代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝． 所以sin2α＝2sinαcosα＝4sin2α＝． 6分 方法3：由解得或 当sinα＝，cosα＝时，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝； 当sinα＝－，cosα＝－时，sin2α＝2sinαcosα＝2×(－)×(－)＝． 综上，sin2α＝． 6分 16．(1)方法1：函数f1(x)＝x＋的定义域为{x|x≠－a}，因为f1(x)是奇函数， 所以定义域关于0对称，所以－a＝0，即a＝0． 此时f1(x)＝x＋，定义域I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)． 检验：对于x∈I，都有f1(－x)＝－x＋＝－f1(x)，满足f1(x)是奇函数． 所以a＝0． 6分 方法2：因为为奇函数，取一组特殊值，例如f1(－1)＝－f1(1)，即a＝0． 此时f1(x)＝x＋， 检验：f1(x)＝x＋，定义域I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称 对于x∈I，都有f1(－x)＝－x＋＝－f1(x)，满足f1(x)是奇函数． 所以a＝0． 6分 方法3：对于x∈I(I为定义域)，都有f1(－x)＝－x＋＝－(x＋)， 从而－x＋a＝－x－a，所以a＝0． 此时，函数f1(x)的定义域I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足题意． 6分 (2)g(x)＝x2＋－2m(x＋)＋6＝(x＋)2－2m(x＋)＋4． 令t＝x＋，因为x＞0，所以t≥2． 所以原问题转化为：函数h(t)＝t2－2mt＋4，t≥2的最小值为2． 4分 方法1：当m≥2时，h(t)在区间[2，m]单调递减，在区间[m，＋∞)单调递增， 所以h(t)min＝h(m)＝m2－2m2＋4＝2，解得m＝±(舍去)． 6分 当m＜2时，h(t)在区间[2，＋∞)上单调递增， 所以h(t)min＝h(2)＝4－4m＋4＝2，解得m＝． 综上，实数m的值为． 9分 方法2：问题可转化为t2－2mt＋4≥2对t≥2恒成立且等号可以取到， 即2m≤t＋对t≥2恒成立且等号可以取到，所以2m＝(t＋)min． 6分 易知函数y＝t＋在[2，＋∞)上递增，所以(t＋)min＝2＋＝3． 所以2m＝3，m＝． 9分 17．(1)证明： 方法1：线线平行 如图1－1，连结A1C，交AC1于点E，连结DE． 三棱柱ABC－A1B1C1中，面AA1C1C是平行四边形， 则E是A1C的中点． 又D是BC的中点，所以DE∥A1B．…………………………3分D C1 B1 A1 C B A E 图1-1 因为DE平面ADC1，A1B平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1．…………………………………………5分 方法2：面面平行 如图1－2，取B1C1中点D1，连结A1D1，BD1，DD1． 三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形， 因为D，D1分别为BC，B1C1的中点，所以BDC1D1， 因此四边形BDC1D1是平行四边形，所以D1B∥C1D．D C1 B1 A1 C B A 图1-2 D1 又D1B面ADC1，C1D面ADC1，所以D1B∥平面ADC1．…2分 同理可得，四边形CDD1C1为平行四边形，所以CC1DD1． 三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1AA1，所以AA1DD1， 所以四边形ADD1A1是平行四边形，所以A1D1∥AD． 又A1D1面ADC1，AD面ADC1，所以A1D1∥面ADC1． …4分 又A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1D1B∥平面ADC1． 又A1B面A1D1B，所以A1B∥平面ADC1． …………………5分 (2)方法1：建系 由题干得△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC． 因为三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均相等，设棱长为2a， 则CD＝BD＝a，C1D＝CD＝a，CC1＝2a，此时CC12＝CD2＋C1D2，所以C1D⊥BC． 又AD∩C1D＝D，所以BC⊥平面ADC1． 所以BD即为A1B到平面ADC1的距离，所以BD＝1，因此三棱柱的棱长均为2．……3分 因为平面BB1C1C⊥平面ABC，C1D平面BB1C1C，C1D⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC， 所以C1D⊥平面ABC． 又AD⊥BC，故以D为原点，DA，DB，DC1分别为x，y，z轴，建立如图2-1所示的空间直角坐标系．D C1 B1 A1 C B A 图2-1 z y x P 则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，C1(0，0，)，所以＝(0，1，0)，＝(0，0，)，＝(，1，0)． 易得平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)．…………5分 设＝λ(0≤λ≤1)， 所以＝＋＝(0，0，)＋λ(，1，0)＝(λ，λ，)． 设平面PCB的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则即 取x0＝－1，可得n＝(－1，0，λ)． 7分 设二面角P－BC－A的大小为θ，则|cosθ|＝＝＝， 又0≤λ≤1，解得λ＝(舍去－)，所以C1P＝1． 10分 方法2：综合法 由题干得△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC． 因为三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均相等，设棱长为2a， 则CD＝BD＝a，C1D＝CD＝a，CC1＝2a，此时CC12＝CD2＋C1D2，所以C1D⊥BC． 又AD∩C1D＝D，所以BC⊥平面ADC1． 所以BD即为A1B到平面ADC1的距离，所以BD＝1，因此三棱柱的棱长均为2． 3分 如图2-2，连结PC，交C1A于点E，连结ED，作EF⊥AD于F． 因为BC⊥平面ADC1，AD平面ADC1，DE平面ADC1，D C1 B1 A1 C B A 图2-2 P E F 所以BC⊥AD，BC⊥DE， 因此∠EDA即为二面角P－BC－A的平面角． 于是cos∠EDA＝，所以tan∠EDF＝＝2． 因为平面BB1C1C⊥平面ABC，C1D平面BB1C1C，C1D⊥BC， 平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，所以C1D⊥平面ABC． 因为AD平面ABC，所以AD⊥C1D． 在△ADC1中，因为EF⊥AD，AD＝C1D，所以EF∥C1D，且EF＝AF． 又AC∥C1P，所以2＝＝＝＝＝，因此C1P＝1． 10分 18．(1)X＝4表示结束练习时投篮的总次数为4，表明第4次投中且前3次中有2次投中， 所以P(X＝4)＝Cp2(1－p)×p＝3p3(1－p)． 3分 (2)①P(X＝k)＝C()2(1－)×＝C()． 所以＝＝·． 4分 令·＝1，解得k＝6；令·＞1，解得3＜k＜6；令·＜1，解得k＞6． 所以P(X＝4)＜P(X＝5)＜P(X＝6)＝P(X＝7)＞P(X＝8)＞P(X＝9)＞… 所以，当k＝6或7时，P(X＝k)最大． 7分 ②P(X＝k)＝Cp2(1－p)×p＝C·(1－p)·p3， 则f(p)＝C(1－p)·p3，0＜p＜1． 设g(p)＝(1－p)·p3，0＜p＜1， 则g '(p)＝(k－3)·(1－p)·(－1)·p3＋(1－p)·3p2＝(1－p)·p2·[－(k－3)p＋3(1－p)] ＝(1－p)·p2·(3－pk)， 4分 令g '(p)＞0，得0＜p＜；令g'(p)＜0，得＜p＜1． 所以g(p)在(0，)上递增，在(，1)上递减． 所以，f(p)的极大值点为． 7分 19．(1)当a＝0，b＝1时，f(x)＝ex－x－1，f '(x)＝ex－1． 令f '(x)＝0，得x＝0． 当x∈(－∞，0)上，f '(x)＜0，f(x)递减；当x∈(0，＋∞)上，f '(x)＞0，f(x)递增． 所以f(x)min＝f(0)＝0，因此f(x)≥0． 4分 (2)方法1：当a＝时，f(x)＝ex－x2－bx－1，易得f(0)＝0， f '(x)＝ex－x－b，f '(0)＝1－b． 当b≤1时，结合(1)易得f '(x)＝ex－x－b≥ex－x－1≥0，所以f(x)递增， 所以f(x)≥f(0)＝0，符合题意． 3分 当b＞1时，令g(x)＝f '(x)＝ex－x－b，x∈[0，＋∞)．因为g'(x)＝ex－1≥0，所以g(x)递增． 又g(0)＝1－b＜0，由(1)得ex≥x＋1，将x换作x－1可得ex≥ex， 所以g()＝e－－b≥e·－－b＝0， 所以存在唯一的x0∈(0，]，使得g(x0)＝f '(x0)＝0． 当x∈(0，x0)时，f '(x)＜0，f(x)递减，所以f(x)＜f(0)＝0，不合题意． 6分 综上，实数b的取值范围为(－∞，1]． (3)方法1：若f(x)递增，则f '(x)＝ex－2ax－b≥0恒成立． 令g(x)＝f '(x)，则g'(x)＝ex－2a． 当a＜0时，g'(x)＞0，故g(x)＝f '(x)递增． 取m＜min{0，}，则f '(m)＝em－2am－b＜1－2a×－b＝0，不合题意． 当a＝0时，b≤ex恒成立，所以b≤0，此时a＋b的最大值为0． 当a＞0时，由g'(x)＝0，得x＝ln(2a)． 当x∈(－∞，ln(2a))时，g'(x)＜0，g(x)＝f '(x)递减； 当x∈(ln(2a)，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)＝f '(x)递增． 所以f '(x)min＝f '(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b≥0，得b≤2a－2aln(2a)，此处不等号可以取等． 所以a＋b≤3a－2aln(2a)． 5分 求最值法①：令h(a)＝3a－2aln(2a)，a＞0，则h'(a)＝1－2ln2a． 令h'(a)＝0，得a＝． 当a∈(0，)时，h'(a)＞0，h(a)递增；当a∈(，＋∞)时，h'(a)＜0，h(a)递减． 所以h(a)max＝h()＝3×－2××ln(2×)＝． 综上，当且仅当a＝b＝时，a＋b取得最大值，为． 7分 求最值法②：令2a＝t，则a＋b≤t－tlnt．令h(t)＝t－tlnt，t＞0，则h'(t)＝－lnt． 令h'(t)＝0，得t＝． 当t∈(0，)时，h'(t)＞0，h(t)递增；当t∈(，＋∞)时，h'(t)＜0，h(t)递减． 所以h(t)max＝h()＝－×ln＝． 综上，当且仅当a＝b＝时，a＋b取得最大值，为． 7分 方法2：若f(x)递增，则f '(x)＝ex－2ax－b≥0恒成立． 当a＜0时，令g(x)＝f '(x)，因为g'(x)＝ex－2a＞0，所以g(x)＝f '(x)递增． 取m＜min{0，}，则f '(m)＝em－2am－b＜1－2a×－b＝0，不合题意． 当a＝0时，b≤ex恒成立，所以b≤0，此时a＋b的最大值为0． 当a＞0时，由b≤ex－2ax恒成立，得a＋b≤ex－2ax＋a对x∈R恒成立． 令φ(x)＝ex－2ax＋a，由φ'(x)＝ex－2a＝0，得x＝ln(2a)． 当x∈(－∞，ln(2a))时，φ'(x)＜0，φ(x)递减；当x∈(ln(2a)，＋∞)时，φ'(x)＞0，φ(x)递增． 所以φ(x)min＝φ(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＋a＝3a－2aln(2a)． 所以a＋b≤3a－2aln(2a)，当且仅当x＝ln(2a)时等号可能成立． 5分 再令h(a)＝3a－2aln(2a)，a＞0，然后求解最大值的过程同法1中的法①、法②． 综上，当且仅当a＝b＝时，a＋b取得最大值，为． 7分 方法3：若f(x)递增，则f '(x)＝ex－2ax－b≥0恒成立． 当x＝时，可得－a－b≥0，所以a＋b≤． 下面证明：当a＋b＝时，存在a和b，可使f '(x)≥0恒成立． 当a＋b＝时，f '(x)＝ex－2ax＋a－，令g(x)＝f '(x)，则g'(x)＝ex－2a． 当a≤0时，g'(x)≥0，故g(x)＝f '(x)递增． 因为f '(0)＝1＋a－＜0，所以不合题意． 当a＞0时，由g'(x)＝0，得x＝ln(2a)． 当x∈(－∞，ln(2a))时，g'(x)＜0，g(x)＝f '(x)递减； 当x∈(ln(2a)，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)＝f '(x)递增． 所以f '(x)min＝f '(ln(2a))＝3a－2aln(2a)－≥0． 5分 令2a＝t(＞0)，则t－tlnt－≥0． 令h(t)＝t－tlnt－，t＞0，则h'(t)＝－lnt，令h'(t)＝0，得t＝． 当t∈(0，)时，h'(t)＞0，h(t)递增；当t∈(，＋∞)时，h'(t)＜0，h(t)递减． 所以h(t)max＝h()＝－×ln－＝0． 所以不等式t－tlnt－≥0的解为t＝，因此3a－2aln(2a)－≥0的解为a＝． 所以a＋b＝时，存在a＝b＝，可使f '(x)≥0恒成立， 所以a＋b的最大值为． 7分 学科网（北京）股份有限公司 $