精品解析：江苏南京市四校2026届高三年级8月开学阶段练习数学试题

2025—2026学年度第一学期高三年级8月开学阶段练习 数学试题 2025．8 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则集合（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据交集概念求出答案. 【详解】，解得或4，故， 又，故. 故选：B 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】， 复数在复平面内对应的点坐标为，因此该点位于第三象限. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，解出即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 所以，， 故选：D 4. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知. 【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B. 5. 已知都是锐角，，（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求，再由结合两角差余弦公式求结论. 【详解】因为为锐角， 所以， 又， 所以，， 又， 所以 故选：A. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题可得在上单调递减，在上单调递减，，据此可得答案. 【详解】设， 因在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，. ， 为使在上单调递减，则； 注意到均在上单调递减，则在上单调递减； . 综上可得：. 故选：D 7. 世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ） A. 880 B. 622 C. 311 D. 220 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出. 【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为， 由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为， 则，解得： 又， 则与第四个单音的频率最接近的是311, 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题. 8. 在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分．在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点在同一个部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合及古典概型的概率的知识计算即可. 【详解】由题意得，从这个点中任选2个，共有种选法， 在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同， 所以八个部分中的点的个数分别为，，，，2，2，2，1， 故所求的概率为． 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 抽样调查得到10个样本数据， 记作， 计算得平均数， 方差 现去掉一个最大值10，和一个最小值4后，对新数据下列说法正确的是 （ ） A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 方差变大 D. 平均数不变 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误. 【详解】由于10个数据已经确定， 故不妨设，由题意不妨取， A项， 原极差为， 去掉最高与最低分后，极差为， 所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误； B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确； D项，由题意原平均数， 则，则去掉最高与最低分后， 平均数变为，平均数不变，故D正确； C项， 去掉最高和最低分后，又平均数不变，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小， 故方差会变小，故C项错误. 故选：BD. 10. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：证明为矩形即可判断； 对于B：利用渐近线的性质结合离心率的公式即可判断； 对于C：计算出，将转化成再结合渐近线的性质即可判断； 对于D：根据双曲线的定义即三角形边的关系即可判断. 【详解】设双曲线的右焦点为，因为直线过原点，所以为平行四边形， 对于A：因为，所以为矩形，所以，故A正确； 对于B：若，由渐近线的性质可知：，所以，故B正确； 对于C：，由渐近线的性质可知，在中，，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 11. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，则下列选项正确的是（ ） A. 2（a2+b2）＝c2 B. tanA＝3tanB C. D. tanC存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边，可判断A；然后由正弦定理化边为角，利用二倍角公式、和差化积公式、诱导公式、两角和的正弦公式变形可得的关系，判断B；由锐角三角形及B中关系可判断C（可结合正切的诱导公式与两角和的正切公式变形判断），根据C中得出的表达式，设，可引入函数后利用导数确定函数的最值，判断D． 【详解】解：∵a2+2abcosC＝3b2， ∴由余弦定理可得：2a2＝2b2+c2，可得2（a2﹣b2）＝c2，故A错误， ∴2sin2A＝2sin2B+sin2C， ∴1﹣cos2A＝1﹣cos2B+sin2C， ∴﹣2sin（B+A）sin（B﹣A）＝sin2C， ∴2sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B）， ∴2sinAcosB﹣2cosAsinB＝sinAcosB+cosAsinB， ∴sinAcosB＝3cosAsinB，锐角△ABC中． 可得：tanA＝3tanB，故B正确， 则必有tanB＞．否则C为钝角． ﹣tanC＝． tanAtanBtanC＝，tanB＞，故C正确， 令tanB＝x，则tanA＝3x，则tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣， 令f(x)＝，x∈(，+∞）， f′(x)＝， 可知f′(x)在x∈(，+∞)恒小于0， 所以f(x)在x∈(，+∞)单调递减， ∴f(x)没有最大值，即tanC不存在最大值，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的极大值点为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，利用导数与函数极值的关系，可得答案. 【详解】由，得. 当时，0，当时，， 即函数在上均单调递增，在上单调递减， 从而的极大值点为，极小值点为. 故答案为：. 13. 已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值. 【详解】将函数的图象向右平移得到的图象， 又的图象关于原点对称，所以， 即，，当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 等差数列中已知，则当取到最大值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式结合基本不等式计算，得出取等条件即可. 【详解】设等差数列的公差为. 因为等差数列中， 所以 ， 设，所以， 当且仅当，即时，取到最小值，取最大值， 所以当取到最大值时，，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的内角的对边分别为，已知为锐角， （1）求； （2）若，且边上的高为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等式结构利用余弦定理与正弦定理化简求角； （2）将代入余弦定理化简得，可得，再结合边上的高解直角三角形，然后利用正弦定理可得，由面积公式即得所求. 【小问1详解】 ， ， 由余弦定理，得，代入上式得， ，由正弦定理， ，又，即， ，角为锐角，； 【小问2详解】 将代入余弦定理得：， 化简得，， 如图，为等腰三角形，又边上的高， 则在中，，， 在中，由正弦定理，即， . 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面分别为的中点，点在线段上. （1）求证：平面； （2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值. 【答案】（1） 因为侧面底面，，即，侧面底面平面， 平面因为平面， 因为底面是平行四边形，， 因为即， 因为分别为的中点，所以 平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得平面，所以有，在底面中，可得，，进而有，即可证明结论； （2）设，根据直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，利用向量法求出的值，从而可求出的值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，又平面，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以, 设，则，所以， ， 易得平面的法向量， 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以， 因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， 所以，即， 所以，解得， 所以，即. 17. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立． （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）求前3局比赛乙恰好赢1局的概率； （3）用表示前3局比赛中乙获胜的局数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）用相互独立事件的概率公式计算即可； （2）根据规则，分两种情况进行计算相加求解； （3）的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 【小问1详解】 前3局比赛甲都取胜的概率为； 【小问2详解】 前3局比赛乙恰好赢1局，表示第1局乙赢，第2局乙输，或第1局乙输，第3局乙赢；故前3局比赛乙恰好赢1局的概率； 【小问3详解】 的所有可能取值为0，1，2，3．其中，表示第1局乙输，第2局是甲丙上场，第3局是乙输，则； 表示乙恰好赢1局，由（2）知； 表示乙恰好赢2局，即第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则； 表示第1局乙赢，第2局乙赢，第3局乙赢，则； 则的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为． 18. 已知椭圆 的左顶点为，离心率，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点 . （1）求椭圆的方程； （2）设点为的中点. 若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点）. （i）求出点的坐标； （ii）若，求的值. 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）设定点，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，可得出点的坐标，再求出点的坐标，由题意得出，即可求出的值； （ii）由平面向量数量积的定义计算可得，结合三角形的面积公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）假设轴上存在定点 使得， 由题意可知，所在的直线方程为，点， 联立可得， 显然点为直线与椭圆的一个公共点， 由韦达定理可得，所以，，则， 故点， 因为点为线段的中点，所以，点， 易知直线交轴上的点为， 所以，，， 因为，则，解得， 所以，在轴上存在定点，使得使得成立； （ii）因为，所以，， 即，所以，， 即， 即，解得. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数． （1）若，求函数的单调减区间； （2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围； （3）证明：对任意，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，，定义域为R.求出，令，即得的单调减区间； （2）由函数的定义域为R，得恒成立，故，得.分三种情况讨论，即得a的取值范围； （3）设切点为，求出，写出切线方程.把点代入，化简得.令，求出，判断的单调性，结合零点存在定理，即可证明. 【详解】（1）当时，，定义域为R.. ． 令，得， 函数的单调减区间为． （2）由函数的定义域为R，得恒成立， ． 由，得． 当时，，不符合题意． 当时，当时，，在上单调递减，，不符题意． 当时，当时，，在上单调递减，，满足题意． 综上，a的取值范围为． （3）证明：设切点为，则， 切线方程为． 由，化简得． 设，则只需证明函数有且仅有三个不同的零点． 由(2)可知时，函数的定义域为R，． 恒成立， 有两不相等的实数根x1和x2，不妨． 可得下表： x (－∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,＋∞) h’(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数h(x)最多有三个零点． ，， ． 函数的图象不间断，函数在上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点，即对任意，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 【点睛】本题考查函数与方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三年级8月开学阶段练习 数学试题 2025．8 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则集合（    ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知都是锐角，，（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ） A. 880 B. 622 C. 311 D. 220 8. 在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分．在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点在同一个部分的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 抽样调查得到10个样本数据， 记作， 计算得平均数， 方差 现去掉一个最大值10，和一个最小值4后，对新数据下列说法正确的是 （ ） A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 方差变大 D. 平均数不变 10. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，则下列选项正确的是（ ） A. 2（a2+b2）＝c2 B. tanA＝3tanB C. D. tanC存在最大值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的极大值点为__________. 13. 已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为_____． 14. 等差数列中已知，则当取到最大值时，______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的内角的对边分别为，已知为锐角， （1）求； （2）若，且边上的高为，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面分别为的中点，点在线段上. （1）求证：平面； （2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值. 17. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立． （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）求前3局比赛乙恰好赢1局的概率； （3）用表示前3局比赛中乙获胜的局数，求的分布列和数学期望． 18. 已知椭圆 的左顶点为，离心率，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点 . （1）求椭圆的方程； （2）设点为的中点. 若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点）. （i）求出点的坐标； （ii）若，求的值. 19. 已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数． （1）若，求函数的单调减区间； （2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围； （3）证明：对任意，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $