江苏苏州市2026-2027学年高三9月阳光调研数学试卷

2027届高三年级9月阳光调研试卷 数学2026.09 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数与（，为虚数单位）的积为实数的充要条件为 A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量可以是 A． B． C． D． 4．在中，，，则 A． B． C． D． 5．由曲线围成的图形的面积为 A． B． C． D． 6．已知，函数在单调递减，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 8．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是 A．若，则内一定存在直线平行于 B．若，则内所有直线都垂直于 C．若，，，则 D．若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 10．当变化时，有关表示曲线的说法正确的是 A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 11．由数字0，1，2，4组成没有重复数字的三位数或四位数，现从中随机选取一个数，下列说法正确的是 A．四位数18个 B．若抽到四位数，则比1204大的概率为 C．三位偶数12个 D．若抽到三位偶数，则被3整除的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为 ▲ ． 13．已知函数（为自然对数的底数）．记，，，则，，三者中最大的是 ▲ ，最小的是 ▲ ．（第一空3分，第二空2分） 14．从关于变量和的4对随机观测数据，，，中随机取三对，则相关系数的最小值为 ▲ ．（相关系数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图是函数的部分图象，的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象． （1）求的解析式； （2）解不等式． 16．（15分） 已知椭圆的离心率为，短半轴长为2． （1）求的方程； （2）过左焦点且斜率大于0的直线交于，两点，为坐标原点．若的面积为4，求的方程． 17．（15分） 如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去． （1）设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； （2）这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值． 18．（17分） 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若点在线段上运动（含端点），设平面与平面所成二面角的平面角为，求余弦的取值范围． 19．（17分） 设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称．对任意都有，且． （1）求及； （2）证明是周期函数； （3）当时（为自然对数的底数），记，数列的前项和为，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级9月阳光调研试卷 数学2026.09 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数与（，为虚数单位）的积为实数的充要条件为 A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量可以是 A． B． C． D． 4．在中，，，则 A． B． C． D． 5．由曲线围成的图形的面积为 A． B． C． D． 6．已知，函数在单调递减，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 8．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是 A．若，则内一定存在直线平行于 B．若，则内所有直线都垂直于 C．若，，，则 D．若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 10．当变化时，有关表示曲线的说法正确的是 A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 11．由数字0，1，2，4组成没有重复数字的三位数或四位数，现从中随机选取一个数，下列说法正确的是 A．四位数18个 B．若抽到四位数，则比1204大的概率为 C．三位偶数12个 D．若抽到三位偶数，则被3整除的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为 ▲ ． 13．已知函数（为自然对数的底数）．记，，，则，，三者中最大的是 ▲ ，最小的是 ▲ ．（第一空3分，第二空2分） 14．从关于变量和的4对随机观测数据，，，中随机取三对，则相关系数的最小值为 ▲ ．（相关系数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图是函数的部分图象，的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象． （1）求的解析式； （2）解不等式． 16．（15分） 已知椭圆的离心率为，短半轴长为2． （1）求的方程； （2）过左焦点且斜率大于0的直线交于，两点，为坐标原点．若的面积为4，求的方程． 17．（15分） 如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去． （1）设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； （2）这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值． 18．（17分） 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若点在线段上运动（含端点），设平面与平面所成二面角的平面角为，求余弦的取值范围． 19．（17分） 设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称．对任意都有，且． （1）求及； （2）证明是周期函数； （3）当时（为自然对数的底数），记，数列的前项和为，求证：． 2027届高三年级9月阳光调研试卷 数学参考答案 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．，（第一空3分，第二空2分） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）解： （1）由图可得， ，即，解得； 因为图象的最高点为，所以， ，故，故解析式为；4分 向右移个单位长度得到的函数 ；6分 （2）即，也即．10分 则，解得，12分 即不等式的解集为．13分 16．（15分）解： （1）因为椭圆离心率为，故有，又短半轴长为2，故有，结合，可以解的，，故椭圆方程为；4分 （2）由题可设直线的方程为，则 化简得，假设直线与椭圆的两点交点坐标为，，则，，8分 故有，即，10分 的面积，13分 解的，故直线的方程为．15分 17．（15分）解： （1）设第个四边形的面积记为，由， 根据菱形对角线互相垂直平分及中位线性质可知，第二个四边形是领边长为菱形对角线长一半的矩形，则； 第三个四边形为与第一个菱形相似的菱形棱长为第一个菱形棱长的一半， 则，依次类推，故每一次的面积组成一个数列， 它是以为首项为公比的等比数列．3分 故连续4个四边形的面积之和， ；9分 （2）由（1）得， 当无限变大时将趋于一个常数 12分 比值，解得， 故满足条件的最小正整数为11．15分 18．（17分）解： （1）因为梯形中，，，所以， 又，所以，所以，即． 又因为四边形为矩形，平面平面，平面平面， 平面，，所以平面；5分 （2）取中点，连接、 由矩形得，又，，、平面， 所以平面，，为中点，所以， 所以为二面角的平面角．易得，， 故在中，斜边， 所以；10分 （3）由题分别以，，所在射线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，，，， 设平面和平面的法向量分别为和 则由，得，解的可取； 由，得，解的可取； 14分 令 令 ，故在上递增 ，， 故在上存在使得，解得 即递减， 递增， 又， 故 17分 19．（17分）解： （1）因为对，都有，即 ∴取，则，解得；2分 同理取，则，解得 ∴，．4分 （2）证明：依题设关于直线对称， 故，即， 也即， 7分 这表明是上的周期函数，且4是它的一个周期．8分 （3）解：由（1）∵ ∴ ∴ 13分 ∵的一个周期是4， ∴ 15分 ∴，当时，． ， 要证，只需证． 假设，则， 当时递增，当时递减， 故有极大值，也即，所以有（当且仅当时取得）， 取时，上式即，得证．17分， 学科网（北京）股份有限公司 $