30.3 正多边形与圆（课件）2026年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕正多边形与圆的概念、性质、计算及作图展开，通过回顾三角形、正方形的外接圆和内切圆导入，引导学生从已有知识出发探索正多边形与圆的关系，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于结合表格对比正多边形边与角的关系培养抽象能力，通过证明圆内接正多边形的逻辑推理发展推理意识，借助宝塔塔基计算、六角螺帽作图等实例强化应用意识。学生能直观理解知识，教师可提升教学效率。

30.3 正多边形与圆 人教版·九年级上册 学习目标 （1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形. 新课导入 多边形是否有外接圆、内切圆呢？ 三角形的外接圆 三角形的内切圆 …… 正方形 正五边方形 探索新知 图形 名称 边的关系 角的关系 …… …… …… …… 四条边相等 三个角相等（60°） 三条边相等 四个角相等（90°） 六条边相等 五个角相等（108°） 五条边相等 六个角相等（120°） 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 4 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 矩形不符合各边相等 菱形不符合各角相等 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 说一说你还能找出哪些正多边形呢？ 【教材P106练习 第1题】 是正多边形 5 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 3条 4条 5条 6条 正多边形都是 图形，一个正n边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 . 边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心. 轴对称 n 中心 中心对称图形 有没有对称轴？ 想一想 观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形的图形吗? 你知道正多边形与圆的关系吗？ 把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？ 弧相等 弦相等 圆周角相等 （多边形的边相等） （多边形的角相等） 多边形是正多边形 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？ 【单击圆跳转几何画板】 将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形. ∴ AB=BC=CD=DE=EA, ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 我们以圆内接正五边形为例证明. 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴BCE=CDA=3AB ⌒ ⌒ ⌒ O A B C D E O A B C D E 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. 中心 边心距 中心角 半径 外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条边所对的圆心角 弦心距 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距 O 圆心 半径 圆心角 弦心距 弦 O 中心 半径 边心距 中心角 类比学习 圆内接正多边形 1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。 【教材P163练习 第1题】 解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形. 思考 1.下列说法正确的是（ ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形 C < 针对训练 > 2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 C 证明：∵AB = AC，∴∠ABC= ∠ACB. 又∠BAC= 36°，∴∠ABC= ∠ACB= (180°-∠BAC )= 72°. 又BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°. ∴BC=BE=AE=AD= CD ∴五边形AEBCD是正五边形. 3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形 AEBCD是正五边形. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明一个多边形是正多边形的方法： 证明多边形的各角都相等，各边都相等. 证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等. 正n边形的一个内角的度数是____________； 中心角是___________； 正多边形的中心角与外角的大小关系是________； 正多边形的中心角与内角的大小关系是________. 相等 互补 想一想 例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为6m的正八边形(如图).求塔基的面积（结果保留小数点后一位). A B O P C D E F G H 解：如图，连接OA，OB作AP⊥OB，垂足为P. ∵八边形ABCDEFGH是半径为6 m 的正八边形， ∴OA=OB=6，∠AOB==45° 又△APO为直角三角形， ∴ ∠OAP=∠AOB. ∴ AP=OP. 在Rt△APO中，由勾股定理， 得AP²+OP²=OA²，∴ AP=OA=3. 因此，塔基的面积 S=8××OB×AP=8××6×3=72≈101.8(m²）. A B O P C D E F G H 添加辅助线的方法： 连半径，得中心角； 作边心距，构造直角三角形 方法归纳 圆内接正多边形的辅助线 边心距r 半径R 中心角一半 边长一半 < 针对训练 > 1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ） A.3 B.6 C.8 D.12 D 2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________. 30°或150° 【教材P163练习 第2题】 试一试 分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周. 动手操作 操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。 　　（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ ＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点； O 60° 60° F 60° E 60° D 60° C 60° A B 　　解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； 　　（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示． 26 　　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°，再用圆规依次截取 ，得到圆的 6 个等分点； A B O C D E F 　　方法 2 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； 　　（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示． 还有其他方法吗？ 27 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作． A B O C D E F 　　方法 3 先作一个⊙O ，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示． 28 你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？ · A B C D O · A B C D E O O A B C · 90° 72° 120° 1.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为2，则⊙O的半径是（ ） A.1 B.2 C. D.2 C 随堂练习 2.如图，有一个边长为2 cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________ . (1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆; (2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧; (3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点; (4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形; (5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如图所示: 4. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的 各条对角线，画出一个五角星. 【教材P164练习 第1题】 . O 5. 用等分圆周的方法画出下列图案: 【教材P164练习 第2题】 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 课堂小结 正多边形的 画法 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $