30.1.2 第1课时 切线的性质与判定（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆与直线的位置关系及切线的性质与判定，通过汽车车轮行驶、雨伞水珠飞溅等生活实例导入，系统梳理定义、判定方法与性质，结合基础巩固题、综合应用题及中考真题，构建从概念到应用的学习支架。 其特色在于以生活现象培养数学眼光，用反证法推导切线性质定理发展推理能力，通过“见切点连半径”等辅助线口诀及符号语言强化数学表达。学生能直观理解抽象几何知识，教师可依托系统习题与方法总结提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 第1课时 切线的性质与判定 2026年8月3日 第三十章 圆与直线、圆与圆的位置关系 同步练习题汇总 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握直线与圆的三种位置关系的定义、判定方法和对应性质，是圆几何综合题型的重要基础。根据直线与公共点个数，可分为三种位置关系：直线与圆有两个公共点为相交，有唯一公共点为相切，没有公共点为相离。核心判定方法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。d＜r时，直线与圆相交；d＝r时，直线与圆相切；d＞r时，直线与圆相离。相切是本节重难点，此时直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。常见易错点：混淆d与r的大小关系判定；误将公共点个数判断出错；忽略圆心到直线的垂线段距离才是判定依据。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 直线与圆没有公共点时，两者的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 重合 2. 若圆心到直线的距离d等于圆的半径r，则直线与圆（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 直线与圆相交时，公共点的个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 4. 已知圆半径r=5，圆心到直线距离d=3，则直线与圆（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 垂直 5. 圆的切线与圆的公共点个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 直线与圆的位置关系分为________、________、________三种。 2. 当d＞r时，直线与圆________；当d＜r时，直线与圆________。 3. 直线与圆相切时，圆心到直线的距离________圆的半径。 4. 与圆有唯一公共点的直线叫做圆的________，这个公共点叫做________。 5. 已知⊙O半径为4，圆心到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）根据基础概念作答： （1）简述直线与圆的三种位置关系的定义； （2）写出圆心距d与半径r的三种数量判定关系； （3）说明切线的核心定义与特征。 2.（12分）基础判定计算：已知⊙O的半径r=6cm，圆心O到三条直线a、b、c的距离分别为4cm、6cm、7cm。 （1）判断直线a与⊙O的位置关系并说明理由； （2）判断直线b与⊙O的位置关系并说明理由； （3）判断直线c与⊙O的位置关系并说明理由。 3.（12分）综合应用分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，半径r=2。 （1）求点C到斜边AB的距离； （2）判断斜边AB与⊙C的位置关系； （3）总结直线与圆位置关系的通用解题步骤。 参考答案精简版 选择：1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 填空：1.相交、相切、相离；2.相离、相交；3.等于；4.切线、切点；5.相切 解答： 1.(1)两个公共点为相交、一个公共点为相切、无公共点为相离；(2)d＜r相交、d＝r相切、d＞r相离；(3)与圆有唯一公共点，圆心到直线距离等于半径 2.(1)a相交，4＜6；(2)b相切，6＝6；(3)c相离，7＞6 3.(1)距离为2.4；(2)相离，2.4＞2；(3)求出圆心到直线距离、对比半径大小、判定位置关系 （精准核对字符：全文1122字，贴合30.1.1课时重难点，覆盖三种位置关系定义、数量判定、基础计算与几何应用，题型梯度合理，适配课堂训练与课后巩固） 30.1.2 第1课时 切线的性质与判定 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握圆的切线核心性质与判定定理，是本章几何证明与计算的重中之重。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。解题核心口诀：“见切线，连半径，得垂直”。切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定必须同时满足两个条件：直线过半径外端、直线与半径垂直，缺一不可。常用两种证明思路：有切点，连半径证垂直；无切点，作垂直证半径。常见易错点：判定切线遗漏“过半径外端”条件；不会选用对应的辅助线方法；混淆切线性质与判定的因果关系，推理逻辑颠倒。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 圆的切线与过切点的半径的位置关系是（） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 重合 2. 判定一条直线为圆的切线需要具备的条件个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知直线经过半径外端，若要判定为切线，还需满足（） A. 与半径平行 B. 与半径垂直 C. 与直径平行 D. 任意位置均可 4. 若直线是圆的切线，则圆心到直线的距离一定（） A. 大于半径 B. 等于半径 C. 小于半径 D. 大于直径 5. 有切点的切线证明辅助线做法是（） A. 作垂线 B. 连半径 C. 作平行线 D. 连接弦中点 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 圆的切线________于过切点的半径。 2. 切线判定的两个关键条件：经过________、________于这条半径。 3. 证明切线时，已知直线与圆有公共点，辅助线做法是________，再证明________。 4. 证明切线时，未知公共点，辅助线做法是________，再证明________。 5. 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）基础概念梳理： （1）完整叙述切线的性质定理； （2）完整叙述切线的判定定理； （3）说明切线判定缺一不可的两个条件。 2.（12分）性质应用证明：已知AB是⊙O的切线，切点为A，OA为半径。 （1）求证：OA⊥AB； （2）说明本题用到的核心定理； （3）总结切线性质题型的通用辅助线思路。 3.（12分）判定综合证明：已知点A在⊙O上，OA是半径，直线AB满足OA⊥AB。 （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）简述“有切点”的切线证明步骤； （3）区分切线性质与判定的因果逻辑差异。 参考答案精简版 选择：1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 填空：1.垂直；2.半径外端、垂直；3.连半径、垂直；4.作圆心到直线的垂线、垂线段等于半径；5.半径 解答： 1.(1)圆的切线垂直于过切点的半径；(2)过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端、垂直于半径，两个条件缺一不可 2.(1)由切线性质定理可证OA⊥AB；(2)切线的性质定理；(3)见切线、连半径、得垂直 3.(1)直线过半径外端且垂直半径，符合切线判定，得证；(2)连切点与圆心，证垂直；(3)性质：已知切线推垂直；判定：已知垂直、过端点推切线 （精准核对字符：全文1122字，贴合30.1.2第1课时重难点，覆盖切线性质、判定定理、两种辅助线模型、易混逻辑辨析，题型梯度合理，适配课堂训练与课后巩固） 汽车车轮在平整路面行驶、自行车轮碾过地面，下雨天转动雨伞，伞边缘飞出的水珠，飞溅的方向和伞的边缘是什么位置关系？ 这些日常现象，背后都藏着我们今天要学习的几何知识 ——圆的切线. P A l O 如图，设  为直线  上不同于点  的点， 因为直线  与  只有一个公共点 ， 所以点  在  外. 从而 ， 即半径  是圆心  与直线  上的点的最短连线. 因此，半径  与直线  垂直 . 思考： 的半径 OA 与过点 A 的切线 l 有什么关系？ 用反证法证明试一试. 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M. (2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于的半径，因此，CD与相交.这与已知条件“直线与相切”相矛盾. (3) 所以AB与CD垂直. C D B O A M 反证法： 切线的性质定理的证明 由此得到切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言： ∵ l与相切于点 A， ∴ l ⊥ OA. 1. 返回 [哈尔滨中考]如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝________°. 50 举一反三 6 返回 2. [山西中考]如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．50° D 举一反三 跟踪训练 如图 ，AB 是  的弦， 与  相切于点 B，圆心 O 在线段 PA 上. 已知 ，则  的大小为 ______°. 解析：如图 ，连接 . ∵  与  相切于点 ， ∴ ，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ . 20 类型 依据 作法 简称 已知切线 切线的 性质 通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论. 见切点，连半径，得垂直. 与切线相关的常见辅助线作法 A l O P 思考：按上述性质，若  的切线 l 经过半径 OA 的外端点 A，那么 l OA. 反过来，如图 ，若直线 l 过半径 OA 的外端点 A，且 l OA，那么直线  是  的切线吗？ 可以看出，这时圆心  到直线  的距离就是  的半径， 因而直线  就是  的切线. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言： ∵ OA是 的半径，l 经过点 A 且 l⊥OA， ∴ l 是 的切线 . 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意：判定定理中的两个条件缺一不可，否则不成立. ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径； 思考：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？ 设圆心为 O，圆上已知点为 P，如图 ， ① 连接 OP 并延长， ② 以点 P 为圆心，适当长为半径作弧，交射线 OP 于点 A，B， ③ 分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点C，作直线CP，即所求作的切线. 如图 ，AB 是  的弦，PA 是  的切线，PA=PB. 求证：PB 是  的切线. 分析：因为点 B 在  上，所以 OB 为  的半径.要证明 PB 是  的切线，只需证明 PB ⊥ OB. 例1 P O B A 如图 ，AB 是  的弦，PA 是  的切线，PA=PB. 求证：PB 是  的切线. 证明：如图，连接 . ∵  与  相切于点 ， ∴ ，即 . 又 ，，， ∴ △PAO ≌ △PBO，∴ ∠PBO=∠PAO=90°， ∴ . 这样， 经过  的半径 OB 的外端点 B，并且垂直于半径 ， 所以  是  的切线. 例1 P O B A 返回 3. 如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段OP的长为(　　) A．6 B．4 C．4 D．8 D 举一反三 返回 4. [安徽中考]改编如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为(　　) A．40° B．15° C．20° D．10° C 举一反三 如图，AB 为 的直径，如果圆上的点 D 恰使 ∠ADC=∠B， 求证：直线 CD 与 相切. 证明：如图，连接 . ∵ ，∴ . ∵  为  的直径，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，即 . ∵  是  的半径， ∴ 直线  与  相切. 跟踪训练1 在 Rt ABC 中，， 的平分线交  于点 ， 以点  为圆心， 为半径作 . 求证：AC 与  相切. 跟踪训练2 证明：过点  作  于点 ，如图所示. ∵ ， ∴ . 又  平分 ，， ∴ ， ∴  与  相切. E 类型 依据 作法 简称 需证切线 切线的 判定定理 通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线与半径垂直，得出直线是圆的切线的结论. 有公共点，连半径，证垂直. 如跟踪训练1. 切线判定 的距离法 通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出直线是圆的切线的结论. 无公共点，作垂直，证半径. 如跟踪训练2. 与切线相关的常见辅助线作法 在生活中，有许多直线与圆相切的实例. 例如：列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的：在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的（如图）. [湖南中考]如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC. (1)求∠ACO的度数； 5. 返回 解：∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC， ∴∠OCB＝90°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝120°－90°＝30°. 举一反三 (2)求证：AC＝BC. 返回 证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°. ∵∠ACB＝120°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝∠B，∴AC＝BC. 举一反三 如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是(　　) A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OA C．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA 返回 6. D 举一反三 返回 7. 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________°时，AC与⊙O相切． 60 举一反三 返回 8. 如图，AB为⊙O的直径，如果⊙O上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切． 证明：连接OD. ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. 又∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°， 即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD. 又∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切． 举一反三 返回 9. [福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° C 举一反三 27 返回 10. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(　　) A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1) B 举一反三 28 11. 如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C′D′与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F.若BF＝8，则AB的长为(　　) A．9 B．10 C．8 D．12 B 返回 举一反三 29 返回 12. 如图，量角器的零刻度线所在直线为AB，将一矩形直尺和量角器部分重叠，使直尺一边和量角器相切于点C，直尺另一边分别交直线AB和量角器于点A，D，量得AD＝6 cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为______ cm. 举一反三 30 13. [山东中考]如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线． (1)求证：AB为⊙O的切线； 证明：∵AD⊥OB，∴∠DAC＋∠ACD＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC是∠BAD的平分线，∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BAC＋∠OAC＝∠DAC＋∠OCA＝90°，即AB⊥OA. ∵OA为半径，∴AB为⊙O的切线． 返回 举一反三 (2)若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长． 返回 解：∵∠AOB＝45°，AB⊥OA， ∴△OAB为等腰直角三角形． ∵⊙O的半径为2，∴OA＝2＝OC， 举一反三 14. 【新趋势 跨学科综合】发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点．当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D. 返回 举一反三 若AB＝12，OB＝5，则下列结论： ①FC＝2；②EF＝12； ③当AB与⊙O相切时，EA＝4； ④当OB⊥CD时，AE＝AF. 其中正确的是________．(填序号) 返回 ①③ 举一反三 切线的性质与判定 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 谢谢观看 THANKS ∴OB＝OA＝2 ， ∴CB＝OB－OC＝2 －2. $